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Theorem insubm 18737
Description: The intersection of two submonoids is a submonoid. (Contributed by AV, 25-Feb-2024.)
Assertion
Ref Expression
insubm ((𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ∧ 𝐡 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) ∈ (SubMndβ€˜π‘€))

Proof of Theorem insubm
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submrcl 18721 . . 3 (𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
2 ssinss1 4238 . . . . . . . . 9 (𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
323ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 ((𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
43ad2antrl 724 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡))) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
5 elin 3965 . . . . . . . . . . . . 13 ((0gβ€˜π‘€) ∈ (𝐴 ∩ 𝐡) ↔ ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡))
65simplbi2com 501 . . . . . . . . . . . 12 ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 β†’ ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)))
763ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡) β†’ ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)))
87com12 32 . . . . . . . . . 10 ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 β†’ ((𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡) β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)))
983ad2ant2 1132 . . . . . . . . 9 ((𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴) β†’ ((𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡) β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)))
109imp 405 . . . . . . . 8 (((𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡)) β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ (𝐴 ∩ 𝐡))
1110adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡))) β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ (𝐴 ∩ 𝐡))
12 elin 3965 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡))
13 elin 3965 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐡) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
1412, 13anbi12i 625 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)))
15 oveq1 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž = π‘₯ β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) = (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑏))
1615eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž = π‘₯ β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴))
17 oveq2 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑦 β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑏) = (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦))
1817eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑦 β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝐴))
19 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
2019adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
21 eqidd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘Ž = π‘₯) β†’ 𝐴 = 𝐴)
22 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
2322adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
2416, 18, 20, 21, 23rspc2vd 3945 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴 β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝐴))
2524com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴 β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝐴))
26253ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝐴))
2726ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡))) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝐴))
2827imp 405 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡))) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝐴)
2915eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž = π‘₯ β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡 ↔ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡))
3017eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑦 β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡 ↔ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝐡))
31 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
3231adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
33 eqidd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘Ž = π‘₯) β†’ 𝐡 = 𝐡)
34 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
3534adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
3629, 30, 32, 33, 35rspc2vd 3945 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡 β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝐡))
3736com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡 β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝐡))
38373ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝐡))
3938adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝐡))
4039adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡))) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝐡))
4140imp 405 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡))) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝐡)
4228, 41elind 4195 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡))) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ (𝐴 ∩ 𝐡))
4342ex 411 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡))) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)))
4414, 43biimtrid 241 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡))) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)))
4544ralrimivv 3196 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ (𝐴 ∩ 𝐡))
464, 11, 453jca 1126 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡))) β†’ ((𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ (𝐴 ∩ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)))
4746ex 411 . . . . 5 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (((𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ (𝐴 ∩ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ (𝐴 ∩ 𝐡))))
48 eqid 2730 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
49 eqid 2730 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
50 eqid 2730 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
5148, 49, 50issubm 18722 . . . . . 6 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ (𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴)))
5248, 49, 50issubm 18722 . . . . . 6 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (𝐡 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡)))
5351, 52anbi12d 629 . . . . 5 (𝑀 ∈ Mnd β†’ ((𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ∧ 𝐡 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ↔ ((𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡))))
5448, 49, 50issubm 18722 . . . . 5 (𝑀 ∈ Mnd β†’ ((𝐴 ∩ 𝐡) ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ ((𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ (𝐴 ∩ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ (𝐴 ∩ 𝐡))))
5547, 53, 543imtr4d 293 . . . 4 (𝑀 ∈ Mnd β†’ ((𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ∧ 𝐡 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) ∈ (SubMndβ€˜π‘€)))
5655expd 414 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) β†’ (𝐡 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) ∈ (SubMndβ€˜π‘€))))
571, 56mpcom 38 . 2 (𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) β†’ (𝐡 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) ∈ (SubMndβ€˜π‘€)))
5857imp 405 1 ((𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ∧ 𝐡 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) ∈ (SubMndβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  Basecbs 17150  +gcplusg 17203  0gc0g 17391  Mndcmnd 18661  SubMndcsubmnd 18706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7416  df-submnd 18708
This theorem is referenced by:  symgsubmefmnd  19309
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