MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmub2x Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmub2x 18764
Description: Subgroup sum is an upper bound of its arguments. (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmless2.v 𝐵 = (Base‘𝐺)
lsmless2.s = (LSSum‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
lsmub2x ((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈𝐵) → 𝑈 ⊆ (𝑇 𝑈))

Proof of Theorem lsmub2x
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submrcl 17959 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ Mnd)
21ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈𝐵) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐺 ∈ Mnd)
3 simpr 488 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈𝐵) → 𝑈𝐵)
43sselda 3915 . . . . 5 (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈𝐵) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥𝐵)
5 lsmless2.v . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
6 eqid 2798 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
7 eqid 2798 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
85, 6, 7mndlid 17923 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵) → ((0g𝐺)(+g𝐺)𝑥) = 𝑥)
92, 4, 8syl2anc 587 . . . 4 (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈𝐵) ∧ 𝑥𝑈) → ((0g𝐺)(+g𝐺)𝑥) = 𝑥)
105submss 17966 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑇𝐵)
1110ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈𝐵) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑇𝐵)
12 simplr 768 . . . . 5 (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈𝐵) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑈𝐵)
137subm0cl 17968 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝑇)
1413ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈𝐵) ∧ 𝑥𝑈) → (0g𝐺) ∈ 𝑇)
15 simpr 488 . . . . 5 (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈𝐵) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥𝑈)
16 lsmless2.s . . . . . 6 = (LSSum‘𝐺)
175, 6, 16lsmelvalix 18758 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) ∧ ((0g𝐺) ∈ 𝑇𝑥𝑈)) → ((0g𝐺)(+g𝐺)𝑥) ∈ (𝑇 𝑈))
182, 11, 12, 14, 15, 17syl32anc 1375 . . . 4 (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈𝐵) ∧ 𝑥𝑈) → ((0g𝐺)(+g𝐺)𝑥) ∈ (𝑇 𝑈))
199, 18eqeltrrd 2891 . . 3 (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈𝐵) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥 ∈ (𝑇 𝑈))
2019ex 416 . 2 ((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈𝐵) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ (𝑇 𝑈)))
2120ssrdv 3921 1 ((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈𝐵) → 𝑈 ⊆ (𝑇 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111  wss 3881  cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  0gc0g 16705  Mndcmnd 17903  SubMndcsubmnd 17947  LSSumclsm 18751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-lsm 18753
This theorem is referenced by:  lsmub2  18775
  Copyright terms: Public domain W3C validator