Theorem lsmub2x 19622

Description: Subgroup sum is an upper bound of its arguments. (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmless2.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
lsmless2.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsmub2x	⊢ ((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))

Proof of Theorem lsmub2x

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submrcl 18770	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ Mnd)
2	1	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐺 ∈ Mnd)
3		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → 𝑈 ⊆ 𝐵)
4	3	sselda 3921	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝐵)
5		lsmless2.v	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
7		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
8	5, 6, 7	mndlid 18722	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
9	2, 4, 8	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
10	5	submss 18777	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑇 ⊆ 𝐵)
11	10	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑇 ⊆ 𝐵)
12		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑈 ⊆ 𝐵)
13	7	subm0cl 18779	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑇)
14	13	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑇)
15		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
16		lsmless2.s	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
17	5, 6, 16	lsmelvalix 19616	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑥) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
18	2, 11, 12, 14, 15, 17	syl32anc 1381	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑥) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
19	9, 18	eqeltrrd 2837	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
20	19	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
21	20	ssrdv 3927	1 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402  Mndcmnd 18702  SubMndcsubmnd 18750  LSSumclsm 19609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-lsm 19611

This theorem is referenced by:  lsmub2  19633