MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmub2x Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmub2x 19680
Description: Subgroup sum is an upper bound of its arguments. (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmless2.v 𝐵 = (Base‘𝐺)
lsmless2.s = (LSSum‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
lsmub2x ((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈𝐵) → 𝑈 ⊆ (𝑇 𝑈))

Proof of Theorem lsmub2x
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submrcl 18828 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ Mnd)
21ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈𝐵) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐺 ∈ Mnd)
3 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈𝐵) → 𝑈𝐵)
43sselda 3995 . . . . 5 (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈𝐵) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥𝐵)
5 lsmless2.v . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
6 eqid 2735 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
7 eqid 2735 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
85, 6, 7mndlid 18780 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵) → ((0g𝐺)(+g𝐺)𝑥) = 𝑥)
92, 4, 8syl2anc 584 . . . 4 (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈𝐵) ∧ 𝑥𝑈) → ((0g𝐺)(+g𝐺)𝑥) = 𝑥)
105submss 18835 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑇𝐵)
1110ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈𝐵) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑇𝐵)
12 simplr 769 . . . . 5 (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈𝐵) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑈𝐵)
137subm0cl 18837 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝑇)
1413ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈𝐵) ∧ 𝑥𝑈) → (0g𝐺) ∈ 𝑇)
15 simpr 484 . . . . 5 (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈𝐵) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥𝑈)
16 lsmless2.s . . . . . 6 = (LSSum‘𝐺)
175, 6, 16lsmelvalix 19674 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) ∧ ((0g𝐺) ∈ 𝑇𝑥𝑈)) → ((0g𝐺)(+g𝐺)𝑥) ∈ (𝑇 𝑈))
182, 11, 12, 14, 15, 17syl32anc 1377 . . . 4 (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈𝐵) ∧ 𝑥𝑈) → ((0g𝐺)(+g𝐺)𝑥) ∈ (𝑇 𝑈))
199, 18eqeltrrd 2840 . . 3 (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈𝐵) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥 ∈ (𝑇 𝑈))
2019ex 412 . 2 ((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈𝐵) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ (𝑇 𝑈)))
2120ssrdv 4001 1 ((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈𝐵) → 𝑈 ⊆ (𝑇 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  0gc0g 17486  Mndcmnd 18760  SubMndcsubmnd 18808  LSSumclsm 19667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-lsm 19669
This theorem is referenced by:  lsmub2  19691
  Copyright terms: Public domain W3C validator