Theorem lsmub2x 19894

Description: Subgroup sum is an upper bound of its arguments. (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmless2.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
lsmless2.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsmub2x	⊢ ((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))

Proof of Theorem lsmub2x

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submrcl 19029	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ Mnd)
2	1	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐺 ∈ Mnd)
3		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → 𝑈 ⊆ 𝐵)
4	3	sselda 3913	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝐵)
5		lsmless2.v	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
7		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
8	5, 6, 7	mndlid 18976	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
9	2, 4, 8	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
10	5	submss 19036	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑇 ⊆ 𝐵)
11	10	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑇 ⊆ 𝐵)
12		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑈 ⊆ 𝐵)
13	7	subm0cl 19038	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑇)
14	13	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑇)
15		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
16		lsmless2.s	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
17	5, 6, 16	lsmelvalix 19888	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑥) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
18	2, 11, 12, 14, 15, 17	syl32anc 1406	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑥) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
19	9, 18	eqeltrrd 2865	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
20	19	ex 418	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
21	20	ssrdv 3919	1 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Basecbs 17419  +_gcplusg 17460  0_gc0g 17642  Mndcmnd 18955  SubMndcsubmnd 19009  LSSumclsm 19881

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-0g 17644  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-submnd 19011  df-lsm 19883

This theorem is used by:  lsmub2  19905