Theorem lsmub2x 19167

Description: Subgroup sum is an upper bound of its arguments. (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmless2.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
lsmless2.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsmub2x	⊢ ((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))

Proof of Theorem lsmub2x

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submrcl 18356	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ Mnd)
2	1	ad2antrr 722	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐺 ∈ Mnd)
3		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → 𝑈 ⊆ 𝐵)
4	3	sselda 3917	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝐵)
5		lsmless2.v	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
7		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
8	5, 6, 7	mndlid 18320	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
9	2, 4, 8	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
10	5	submss 18363	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑇 ⊆ 𝐵)
11	10	ad2antrr 722	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑇 ⊆ 𝐵)
12		simplr 765	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑈 ⊆ 𝐵)
13	7	subm0cl 18365	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑇)
14	13	ad2antrr 722	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑇)
15		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
16		lsmless2.s	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
17	5, 6, 16	lsmelvalix 19161	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑥) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
18	2, 11, 12, 14, 15, 17	syl32anc 1376	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑥) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
19	9, 18	eqeltrrd 2840	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
20	19	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
21	20	ssrdv 3923	1 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  0_gc0g 17067  Mndcmnd 18300  SubMndcsubmnd 18344  LSSumclsm 19154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-lsm 19156

This theorem is referenced by:  lsmub2  19178