Theorem lsmub2x 19718

Description: Subgroup sum is an upper bound of its arguments. (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmless2.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
lsmless2.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsmub2x	⊢ ((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))

Proof of Theorem lsmub2x

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submrcl 18861	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ Mnd)
2	1	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐺 ∈ Mnd)
3		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → 𝑈 ⊆ 𝐵)
4	3	sselda 3938	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝐵)
5		lsmless2.v	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
7		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
8	5, 6, 7	mndlid 18813	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
9	2, 4, 8	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
10	5	submss 18868	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑇 ⊆ 𝐵)
11	10	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑇 ⊆ 𝐵)
12		simplr 780	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑈 ⊆ 𝐵)
13	7	subm0cl 18870	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑇)
14	13	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑇)
15		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
16		lsmless2.s	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
17	5, 6, 16	lsmelvalix 19712	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑥) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
18	2, 11, 12, 14, 15, 17	syl32anc 1405	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑥) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
19	9, 18	eqeltrrd 2864	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
20	19	ex 417	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
21	20	ssrdv 3944	1 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  +_gcplusg 17311  0_gc0g 17493  Mndcmnd 18793  SubMndcsubmnd 18841  LSSumclsm 19705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-lsm 19707

This theorem is referenced by:  lsmub2  19729