Theorem oppgsubm 19576

Description: Being a submonoid is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppggic.o	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
oppgsubm	⊢ (SubMnd‘𝐺) = (SubMnd‘𝑂)

Proof of Theorem oppgsubm

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submrcl 18997	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ Mnd)
2		submrcl 18997	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) → 𝑂 ∈ Mnd)
3		oppggic.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)
4	3	oppgmndb 19569	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd ↔ 𝑂 ∈ Mnd)
5	2, 4	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) → 𝐺 ∈ Mnd)
6		ralcom 3290	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑥)
7		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
8		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
9	7, 3, 8	oppgplus 19563	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)
10	9	eleq1i 2851	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧(+g‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑥)
11	10	2ralbii 3137	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(+g‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑥)
12	6, 11	bitr4i 281	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(+g‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)
13	12	3anbi3i 1177	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(+g‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥))
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ((𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(+g‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
15		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
16		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
17	15, 16, 7	issubm 18998	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑥)))
18	3, 15	oppgbas 19565	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝑂)
19	3, 16	oppgid 19570	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝑂)
20	18, 19, 8	issubm 18998	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(+g‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
21	4, 20	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(+g‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
22	14, 17, 21	3bitr4d 314	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂)))
23	1, 5, 22	pm5.21nii 381	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂))
24	23	eqriv 2757	1 ⊢ (SubMnd‘𝐺) = (SubMnd‘𝑂)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ⊆ wss 3895  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  0_gc0g 17610  Mndcmnd 18923  SubMndcsubmnd 18977  opp_gcoppg 19559

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-oppg 19560

This theorem is used by:  oppgsubg  19577  gsumzoppg  20158