MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgsubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppgsubm 18969
Description: Being a submonoid is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oppggic.o 𝑂 = (oppg𝐺)
Assertion
Ref Expression
oppgsubm (SubMnd‘𝐺) = (SubMnd‘𝑂)

Proof of Theorem oppgsubm
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submrcl 18441 . . 3 (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ Mnd)
2 submrcl 18441 . . . 4 (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) → 𝑂 ∈ Mnd)
3 oppggic.o . . . . 5 𝑂 = (oppg𝐺)
43oppgmndb 18962 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd ↔ 𝑂 ∈ Mnd)
52, 4sylibr 233 . . 3 (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) → 𝐺 ∈ Mnd)
6 ralcom 3166 . . . . . . 7 (∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑥)
7 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 (+g𝐺) = (+g𝐺)
8 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 (+g𝑂) = (+g𝑂)
97, 3, 8oppgplus 18953 . . . . . . . . 9 (𝑧(+g𝑂)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑧)
109eleq1i 2829 . . . . . . . 8 ((𝑧(+g𝑂)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑥)
11102ralbii 3093 . . . . . . 7 (∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(+g𝑂)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑥)
126, 11bitr4i 277 . . . . . 6 (∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(+g𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)
13123anbi3i 1158 . . . . 5 ((𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(+g𝑂)𝑦) ∈ 𝑥))
1413a1i 11 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → ((𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(+g𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
15 eqid 2738 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
16 eqid 2738 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
1715, 16, 7issubm 18442 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑥)))
183, 15oppgbas 18956 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝑂)
193, 16oppgid 18963 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝑂)
2018, 19, 8issubm 18442 . . . . 5 (𝑂 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(+g𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
214, 20sylbi 216 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(+g𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
2214, 17, 213bitr4d 311 . . 3 (𝐺 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂)))
231, 5, 22pm5.21nii 380 . 2 (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂))
2423eqriv 2735 1 (SubMnd‘𝐺) = (SubMnd‘𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064  wss 3887  cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  +gcplusg 16962  0gc0g 17150  Mndcmnd 18385  SubMndcsubmnd 18429  oppgcoppg 18949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-oppg 18950
This theorem is referenced by:  oppgsubg  18970  gsumzoppg  19545
  Copyright terms: Public domain W3C validator