MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgsubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppgsubm 19396
Description: Being a submonoid is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oppggic.o 𝑂 = (oppg𝐺)
Assertion
Ref Expression
oppgsubm (SubMnd‘𝐺) = (SubMnd‘𝑂)

Proof of Theorem oppgsubm
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submrcl 18828 . . 3 (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ Mnd)
2 submrcl 18828 . . . 4 (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) → 𝑂 ∈ Mnd)
3 oppggic.o . . . . 5 𝑂 = (oppg𝐺)
43oppgmndb 19389 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd ↔ 𝑂 ∈ Mnd)
52, 4sylibr 234 . . 3 (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) → 𝐺 ∈ Mnd)
6 ralcom 3287 . . . . . . 7 (∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑥)
7 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (+g𝐺) = (+g𝐺)
8 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (+g𝑂) = (+g𝑂)
97, 3, 8oppgplus 19380 . . . . . . . . 9 (𝑧(+g𝑂)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑧)
109eleq1i 2830 . . . . . . . 8 ((𝑧(+g𝑂)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑥)
11102ralbii 3126 . . . . . . 7 (∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(+g𝑂)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑥)
126, 11bitr4i 278 . . . . . 6 (∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(+g𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)
13123anbi3i 1158 . . . . 5 ((𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(+g𝑂)𝑦) ∈ 𝑥))
1413a1i 11 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → ((𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(+g𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
15 eqid 2735 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
16 eqid 2735 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
1715, 16, 7issubm 18829 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑥)))
183, 15oppgbas 19383 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝑂)
193, 16oppgid 19390 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝑂)
2018, 19, 8issubm 18829 . . . . 5 (𝑂 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(+g𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
214, 20sylbi 217 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(+g𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
2214, 17, 213bitr4d 311 . . 3 (𝐺 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂)))
231, 5, 22pm5.21nii 378 . 2 (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂))
2423eqriv 2732 1 (SubMnd‘𝐺) = (SubMnd‘𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wss 3963  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  0gc0g 17486  Mndcmnd 18760  SubMndcsubmnd 18808  oppgcoppg 19376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-oppg 19377
This theorem is referenced by:  oppgsubg  19397  gsumzoppg  19977
  Copyright terms: Public domain W3C validator