MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgsubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppgsubm 18608
Description: Being a submonoid is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oppggic.o 𝑂 = (oppg𝐺)
Assertion
Ref Expression
oppgsubm (SubMnd‘𝐺) = (SubMnd‘𝑂)

Proof of Theorem oppgsubm
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submrcl 18083 . . 3 (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ Mnd)
2 submrcl 18083 . . . 4 (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) → 𝑂 ∈ Mnd)
3 oppggic.o . . . . 5 𝑂 = (oppg𝐺)
43oppgmndb 18601 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd ↔ 𝑂 ∈ Mnd)
52, 4sylibr 237 . . 3 (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) → 𝐺 ∈ Mnd)
6 ralcom 3258 . . . . . . 7 (∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑥)
7 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 (+g𝐺) = (+g𝐺)
8 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 (+g𝑂) = (+g𝑂)
97, 3, 8oppgplus 18595 . . . . . . . . 9 (𝑧(+g𝑂)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑧)
109eleq1i 2823 . . . . . . . 8 ((𝑧(+g𝑂)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑥)
11102ralbii 3081 . . . . . . 7 (∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(+g𝑂)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑥)
126, 11bitr4i 281 . . . . . 6 (∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(+g𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)
13123anbi3i 1160 . . . . 5 ((𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(+g𝑂)𝑦) ∈ 𝑥))
1413a1i 11 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → ((𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(+g𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
15 eqid 2738 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
16 eqid 2738 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
1715, 16, 7issubm 18084 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑥)))
183, 15oppgbas 18597 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝑂)
193, 16oppgid 18602 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝑂)
2018, 19, 8issubm 18084 . . . . 5 (𝑂 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(+g𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
214, 20sylbi 220 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(+g𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
2214, 17, 213bitr4d 314 . . 3 (𝐺 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂)))
231, 5, 22pm5.21nii 383 . 2 (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂))
2423eqriv 2735 1 (SubMnd‘𝐺) = (SubMnd‘𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3053  wss 3843  cfv 6339  (class class class)co 7170  Basecbs 16586  +gcplusg 16668  0gc0g 16816  Mndcmnd 18027  SubMndcsubmnd 18071  oppgcoppg 18591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-tpos 7921  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-plusg 16681  df-0g 16818  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-oppg 18592
This theorem is referenced by:  oppgsubg  18609  gsumzoppg  19183
  Copyright terms: Public domain W3C validator