Theorem oppgsubm 19228

Description: Being a submonoid is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppggic.o	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
oppgsubm	⊢ (SubMnd‘𝐺) = (SubMnd‘𝑂)

Proof of Theorem oppgsubm

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submrcl 18682	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ Mnd)
2		submrcl 18682	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) → 𝑂 ∈ Mnd)
3		oppggic.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)
4	3	oppgmndb 19221	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd ↔ 𝑂 ∈ Mnd)
5	2, 4	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) → 𝐺 ∈ Mnd)
6		ralcom 3286	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑥)
7		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
8		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
9	7, 3, 8	oppgplus 19212	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)
10	9	eleq1i 2824	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧(+g‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑥)
11	10	2ralbii 3128	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(+g‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑥)
12	6, 11	bitr4i 277	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(+g‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)
13	12	3anbi3i 1159	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(+g‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥))
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ((𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(+g‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
15		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
16		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
17	15, 16, 7	issubm 18683	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑥)))
18	3, 15	oppgbas 19215	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝑂)
19	3, 16	oppgid 19222	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝑂)
20	18, 19, 8	issubm 18683	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(+g‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
21	4, 20	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(+g‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
22	14, 17, 21	3bitr4d 310	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂)))
23	1, 5, 22	pm5.21nii 379	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂))
24	23	eqriv 2729	1 ⊢ (SubMnd‘𝐺) = (SubMnd‘𝑂)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061   ⊆ wss 3948  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  +_gcplusg 17196  0_gc0g 17384  Mndcmnd 18624  SubMndcsubmnd 18669  opp_gcoppg 19208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-oppg 19209

This theorem is referenced by:  oppgsubg  19229  gsumzoppg  19811