MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgsubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppgsubm 19281
Description: Being a submonoid is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oppggic.o 𝑂 = (oppgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
oppgsubm (SubMndβ€˜πΊ) = (SubMndβ€˜π‘‚)

Proof of Theorem oppgsubm
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submrcl 18727 . . 3 (π‘₯ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
2 submrcl 18727 . . . 4 (π‘₯ ∈ (SubMndβ€˜π‘‚) β†’ 𝑂 ∈ Mnd)
3 oppggic.o . . . . 5 𝑂 = (oppgβ€˜πΊ)
43oppgmndb 19274 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd ↔ 𝑂 ∈ Mnd)
52, 4sylibr 233 . . 3 (π‘₯ ∈ (SubMndβ€˜π‘‚) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
6 ralcom 3280 . . . . . . 7 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ π‘₯)
7 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
8 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜π‘‚) = (+gβ€˜π‘‚)
97, 3, 8oppgplus 19265 . . . . . . . . 9 (𝑧(+gβ€˜π‘‚)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧)
109eleq1i 2818 . . . . . . . 8 ((𝑧(+gβ€˜π‘‚)𝑦) ∈ π‘₯ ↔ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ π‘₯)
11102ralbii 3122 . . . . . . 7 (βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (𝑧(+gβ€˜π‘‚)𝑦) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ π‘₯)
126, 11bitr4i 278 . . . . . 6 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (𝑧(+gβ€˜π‘‚)𝑦) ∈ π‘₯)
13123anbi3i 1156 . . . . 5 ((π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ π‘₯) ↔ (π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (𝑧(+gβ€˜π‘‚)𝑦) ∈ π‘₯))
1413a1i 11 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd β†’ ((π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ π‘₯) ↔ (π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (𝑧(+gβ€˜π‘‚)𝑦) ∈ π‘₯)))
15 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
16 eqid 2726 . . . . 5 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
1715, 16, 7issubm 18728 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd β†’ (π‘₯ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ↔ (π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ π‘₯)))
183, 15oppgbas 19268 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘‚)
193, 16oppgid 19275 . . . . . 6 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜π‘‚)
2018, 19, 8issubm 18728 . . . . 5 (𝑂 ∈ Mnd β†’ (π‘₯ ∈ (SubMndβ€˜π‘‚) ↔ (π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (𝑧(+gβ€˜π‘‚)𝑦) ∈ π‘₯)))
214, 20sylbi 216 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd β†’ (π‘₯ ∈ (SubMndβ€˜π‘‚) ↔ (π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (𝑧(+gβ€˜π‘‚)𝑦) ∈ π‘₯)))
2214, 17, 213bitr4d 311 . . 3 (𝐺 ∈ Mnd β†’ (π‘₯ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ↔ π‘₯ ∈ (SubMndβ€˜π‘‚)))
231, 5, 22pm5.21nii 378 . 2 (π‘₯ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ↔ π‘₯ ∈ (SubMndβ€˜π‘‚))
2423eqriv 2723 1 (SubMndβ€˜πΊ) = (SubMndβ€˜π‘‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   βŠ† wss 3943  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  0gc0g 17394  Mndcmnd 18667  SubMndcsubmnd 18712  oppgcoppg 19261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-oppg 19262
This theorem is referenced by:  oppgsubg  19282  gsumzoppg  19864
  Copyright terms: Public domain W3C validator