Theorem oppgsubm 19381

Description: Being a submonoid is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppggic.o	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
oppgsubm	⊢ (SubMnd‘𝐺) = (SubMnd‘𝑂)

Proof of Theorem oppgsubm

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submrcl 18815	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ Mnd)
2		submrcl 18815	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) → 𝑂 ∈ Mnd)
3		oppggic.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)
4	3	oppgmndb 19374	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd ↔ 𝑂 ∈ Mnd)
5	2, 4	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) → 𝐺 ∈ Mnd)
6		ralcom 3289	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑥)
7		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
8		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
9	7, 3, 8	oppgplus 19367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)
10	9	eleq1i 2832	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧(+g‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑥)
11	10	2ralbii 3128	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(+g‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑥)
12	6, 11	bitr4i 278	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(+g‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)
13	12	3anbi3i 1160	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(+g‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥))
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ((𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(+g‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
15		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
16		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
17	15, 16, 7	issubm 18816	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑥)))
18	3, 15	oppgbas 19370	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝑂)
19	3, 16	oppgid 19375	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝑂)
20	18, 19, 8	issubm 18816	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(+g‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
21	4, 20	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(+g‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
22	14, 17, 21	3bitr4d 311	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂)))
23	1, 5, 22	pm5.21nii 378	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂))
24	23	eqriv 2734	1 ⊢ (SubMnd‘𝐺) = (SubMnd‘𝑂)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061   ⊆ wss 3951  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  0_gc0g 17484  Mndcmnd 18747  SubMndcsubmnd 18795  opp_gcoppg 19363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-oppg 19364

This theorem is referenced by:  oppgsubg  19382  gsumzoppg  19962