MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgsubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppgsubm 19271
Description: Being a submonoid is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oppggic.o 𝑂 = (oppg𝐺)
Assertion
Ref Expression
oppgsubm (SubMnd‘𝐺) = (SubMnd‘𝑂)

Proof of Theorem oppgsubm
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submrcl 18717 . . 3 (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ Mnd)
2 submrcl 18717 . . . 4 (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) → 𝑂 ∈ Mnd)
3 oppggic.o . . . . 5 𝑂 = (oppg𝐺)
43oppgmndb 19264 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd ↔ 𝑂 ∈ Mnd)
52, 4sylibr 233 . . 3 (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) → 𝐺 ∈ Mnd)
6 ralcom 3278 . . . . . . 7 (∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑥)
7 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (+g𝐺) = (+g𝐺)
8 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (+g𝑂) = (+g𝑂)
97, 3, 8oppgplus 19255 . . . . . . . . 9 (𝑧(+g𝑂)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑧)
109eleq1i 2816 . . . . . . . 8 ((𝑧(+g𝑂)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑥)
11102ralbii 3120 . . . . . . 7 (∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(+g𝑂)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑥)
126, 11bitr4i 278 . . . . . 6 (∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(+g𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)
13123anbi3i 1156 . . . . 5 ((𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(+g𝑂)𝑦) ∈ 𝑥))
1413a1i 11 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → ((𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(+g𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
15 eqid 2724 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
16 eqid 2724 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
1715, 16, 7issubm 18718 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑥)))
183, 15oppgbas 19258 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝑂)
193, 16oppgid 19265 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝑂)
2018, 19, 8issubm 18718 . . . . 5 (𝑂 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(+g𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
214, 20sylbi 216 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(+g𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
2214, 17, 213bitr4d 311 . . 3 (𝐺 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂)))
231, 5, 22pm5.21nii 378 . 2 (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂))
2423eqriv 2721 1 (SubMnd‘𝐺) = (SubMnd‘𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3053  wss 3940  cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  0gc0g 17384  Mndcmnd 18657  SubMndcsubmnd 18702  oppgcoppg 19251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-oppg 19252
This theorem is referenced by:  oppgsubg  19272  gsumzoppg  19854
  Copyright terms: Public domain W3C validator