MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgsubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppgsubm 19330
Description: Being a submonoid is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oppggic.o 𝑂 = (oppgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
oppgsubm (SubMndβ€˜πΊ) = (SubMndβ€˜π‘‚)

Proof of Theorem oppgsubm
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submrcl 18768 . . 3 (π‘₯ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
2 submrcl 18768 . . . 4 (π‘₯ ∈ (SubMndβ€˜π‘‚) β†’ 𝑂 ∈ Mnd)
3 oppggic.o . . . . 5 𝑂 = (oppgβ€˜πΊ)
43oppgmndb 19323 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd ↔ 𝑂 ∈ Mnd)
52, 4sylibr 233 . . 3 (π‘₯ ∈ (SubMndβ€˜π‘‚) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
6 ralcom 3284 . . . . . . 7 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ π‘₯)
7 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
8 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜π‘‚) = (+gβ€˜π‘‚)
97, 3, 8oppgplus 19314 . . . . . . . . 9 (𝑧(+gβ€˜π‘‚)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧)
109eleq1i 2820 . . . . . . . 8 ((𝑧(+gβ€˜π‘‚)𝑦) ∈ π‘₯ ↔ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ π‘₯)
11102ralbii 3125 . . . . . . 7 (βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (𝑧(+gβ€˜π‘‚)𝑦) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ π‘₯)
126, 11bitr4i 277 . . . . . 6 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (𝑧(+gβ€˜π‘‚)𝑦) ∈ π‘₯)
13123anbi3i 1156 . . . . 5 ((π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ π‘₯) ↔ (π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (𝑧(+gβ€˜π‘‚)𝑦) ∈ π‘₯))
1413a1i 11 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd β†’ ((π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ π‘₯) ↔ (π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (𝑧(+gβ€˜π‘‚)𝑦) ∈ π‘₯)))
15 eqid 2728 . . . . 5 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
16 eqid 2728 . . . . 5 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
1715, 16, 7issubm 18769 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd β†’ (π‘₯ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ↔ (π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ π‘₯)))
183, 15oppgbas 19317 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘‚)
193, 16oppgid 19324 . . . . . 6 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜π‘‚)
2018, 19, 8issubm 18769 . . . . 5 (𝑂 ∈ Mnd β†’ (π‘₯ ∈ (SubMndβ€˜π‘‚) ↔ (π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (𝑧(+gβ€˜π‘‚)𝑦) ∈ π‘₯)))
214, 20sylbi 216 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd β†’ (π‘₯ ∈ (SubMndβ€˜π‘‚) ↔ (π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (𝑧(+gβ€˜π‘‚)𝑦) ∈ π‘₯)))
2214, 17, 213bitr4d 310 . . 3 (𝐺 ∈ Mnd β†’ (π‘₯ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ↔ π‘₯ ∈ (SubMndβ€˜π‘‚)))
231, 5, 22pm5.21nii 377 . 2 (π‘₯ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ↔ π‘₯ ∈ (SubMndβ€˜π‘‚))
2423eqriv 2725 1 (SubMndβ€˜πΊ) = (SubMndβ€˜π‘‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058   βŠ† wss 3949  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  +gcplusg 17242  0gc0g 17430  Mndcmnd 18703  SubMndcsubmnd 18748  oppgcoppg 19310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-tpos 8240  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-plusg 17255  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-submnd 18750  df-oppg 19311
This theorem is referenced by:  oppgsubg  19331  gsumzoppg  19913
  Copyright terms: Public domain W3C validator