Theorem tmsxpsval2 24733

Description: Value of the product of two metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tmsxps.p	⊢ 𝑃 = (dist‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
tmsxps.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
tmsxps.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
tmsxpsval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
tmsxpsval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
tmsxpsval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
tmsxpsval.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
tmsxpsval2	⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩𝑃⟨𝐶, 𝐷⟩) = if((𝐴𝑀𝐶) ≤ (𝐵𝑁𝐷), (𝐵𝑁𝐷), (𝐴𝑀𝐶)))

Proof of Theorem tmsxpsval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tmsxps.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (dist‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
2		tmsxps.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		tmsxps.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
4		tmsxpsval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
5		tmsxpsval.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
6		tmsxpsval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
7		tmsxpsval.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	tmsxpsval 24732	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩𝑃⟨𝐶, 𝐷⟩) = sup({(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}, ℝ*, < ))
9		xrltso 13184	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
10		xmetcl 24525	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝐶) ∈ ℝ*)
11	2, 4, 6, 10	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑀𝐶) ∈ ℝ*)
12		xmetcl 24525	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) → (𝐵𝑁𝐷) ∈ ℝ*)
13	3, 5, 7, 12	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝑁𝐷) ∈ ℝ*)
14		suppr 9442	. . 3 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ (𝐴𝑀𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑁𝐷) ∈ ℝ*) → sup({(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}, ℝ*, < ) = if((𝐵𝑁𝐷) < (𝐴𝑀𝐶), (𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)))
15	9, 11, 13, 14	mp3an2i 1495	. 2 ⊢ (𝜑 → sup({(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}, ℝ*, < ) = if((𝐵𝑁𝐷) < (𝐴𝑀𝐶), (𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)))
16		xrltnle 11294	. . . . 5 ⊢ (((𝐵𝑁𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑀𝐶) ∈ ℝ*) → ((𝐵𝑁𝐷) < (𝐴𝑀𝐶) ↔ ¬ (𝐴𝑀𝐶) ≤ (𝐵𝑁𝐷)))
17	13, 11, 16	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵𝑁𝐷) < (𝐴𝑀𝐶) ↔ ¬ (𝐴𝑀𝐶) ≤ (𝐵𝑁𝐷)))
18	17	ifbid 4516	. . 3 ⊢ (𝜑 → if((𝐵𝑁𝐷) < (𝐴𝑀𝐶), (𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)) = if(¬ (𝐴𝑀𝐶) ≤ (𝐵𝑁𝐷), (𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)))
19		ifnot 4545	. . 3 ⊢ if(¬ (𝐴𝑀𝐶) ≤ (𝐵𝑁𝐷), (𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)) = if((𝐴𝑀𝐶) ≤ (𝐵𝑁𝐷), (𝐵𝑁𝐷), (𝐴𝑀𝐶))
20	18, 19	eqtrdi 2817	. 2 ⊢ (𝜑 → if((𝐵𝑁𝐷) < (𝐴𝑀𝐶), (𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)) = if((𝐴𝑀𝐶) ≤ (𝐵𝑁𝐷), (𝐵𝑁𝐷), (𝐴𝑀𝐶)))
21	8, 15, 20	3eqtrd 2805	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩𝑃⟨𝐶, 𝐷⟩) = if((𝐴𝑀𝐶) ≤ (𝐵𝑁𝐷), (𝐵𝑁𝐷), (𝐴𝑀𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ifcif 4492  {cpr 4596  ⟨cop 4600   class class class wbr 5114   Or wor 5573  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  supcsup 9410  ℝ^*cxr 11260   < clt 11261   ≤ cle 11262  distcds 17344   ×_s cxps 17585  ∞Metcxmet 21544  toMetSpctms 24513

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-hash 14387  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-hom 17359  df-cco 17360  df-rest 17500  df-topn 17501  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-topgen 17521  df-prds 17525  df-xrs 17581  df-imas 17587  df-xps 17589  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-mulg 19165  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127  df-bases 23140  df-xms 24514  df-tms 24516

This theorem is used by:  txmetcnp  24741