Theorem tmsxpsval2 23601

Description: Value of the product of two metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tmsxps.p	⊢ 𝑃 = (dist‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
tmsxps.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
tmsxps.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
tmsxpsval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
tmsxpsval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
tmsxpsval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
tmsxpsval.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
tmsxpsval2	⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩𝑃⟨𝐶, 𝐷⟩) = if((𝐴𝑀𝐶) ≤ (𝐵𝑁𝐷), (𝐵𝑁𝐷), (𝐴𝑀𝐶)))

Proof of Theorem tmsxpsval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tmsxps.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (dist‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
2		tmsxps.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		tmsxps.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
4		tmsxpsval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
5		tmsxpsval.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
6		tmsxpsval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
7		tmsxpsval.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	tmsxpsval 23600	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩𝑃⟨𝐶, 𝐷⟩) = sup({(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}, ℝ*, < ))
9		xrltso 12804	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
10		xmetcl 23392	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝐶) ∈ ℝ*)
11	2, 4, 6, 10	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑀𝐶) ∈ ℝ*)
12		xmetcl 23392	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) → (𝐵𝑁𝐷) ∈ ℝ*)
13	3, 5, 7, 12	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝑁𝐷) ∈ ℝ*)
14		suppr 9160	. . 3 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ (𝐴𝑀𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑁𝐷) ∈ ℝ*) → sup({(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}, ℝ*, < ) = if((𝐵𝑁𝐷) < (𝐴𝑀𝐶), (𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)))
15	9, 11, 13, 14	mp3an2i 1464	. 2 ⊢ (𝜑 → sup({(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}, ℝ*, < ) = if((𝐵𝑁𝐷) < (𝐴𝑀𝐶), (𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)))
16		xrltnle 10973	. . . . 5 ⊢ (((𝐵𝑁𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑀𝐶) ∈ ℝ*) → ((𝐵𝑁𝐷) < (𝐴𝑀𝐶) ↔ ¬ (𝐴𝑀𝐶) ≤ (𝐵𝑁𝐷)))
17	13, 11, 16	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵𝑁𝐷) < (𝐴𝑀𝐶) ↔ ¬ (𝐴𝑀𝐶) ≤ (𝐵𝑁𝐷)))
18	17	ifbid 4479	. . 3 ⊢ (𝜑 → if((𝐵𝑁𝐷) < (𝐴𝑀𝐶), (𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)) = if(¬ (𝐴𝑀𝐶) ≤ (𝐵𝑁𝐷), (𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)))
19		ifnot 4508	. . 3 ⊢ if(¬ (𝐴𝑀𝐶) ≤ (𝐵𝑁𝐷), (𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)) = if((𝐴𝑀𝐶) ≤ (𝐵𝑁𝐷), (𝐵𝑁𝐷), (𝐴𝑀𝐶))
20	18, 19	eqtrdi 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → if((𝐵𝑁𝐷) < (𝐴𝑀𝐶), (𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)) = if((𝐴𝑀𝐶) ≤ (𝐵𝑁𝐷), (𝐵𝑁𝐷), (𝐴𝑀𝐶)))
21	8, 15, 20	3eqtrd 2782	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩𝑃⟨𝐶, 𝐷⟩) = if((𝐴𝑀𝐶) ≤ (𝐵𝑁𝐷), (𝐵𝑁𝐷), (𝐴𝑀𝐶)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ifcif 4456  {cpr 4560  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070   Or wor 5493  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  supcsup 9129  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941  distcds 16897   ×_s cxps 17134  ∞Metcxmet 20495  toMetSpctms 23380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-xms 23381  df-tms 23383

This theorem is referenced by:  txmetcnp  23609