Theorem tmsxpsval2 24577

Description: Value of the product of two metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tmsxps.p	⊢ 𝑃 = (dist‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
tmsxps.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
tmsxps.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
tmsxpsval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
tmsxpsval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
tmsxpsval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
tmsxpsval.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
tmsxpsval2	⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩𝑃⟨𝐶, 𝐷⟩) = if((𝐴𝑀𝐶) ≤ (𝐵𝑁𝐷), (𝐵𝑁𝐷), (𝐴𝑀𝐶)))

Proof of Theorem tmsxpsval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tmsxps.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (dist‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
2		tmsxps.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		tmsxps.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
4		tmsxpsval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
5		tmsxpsval.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
6		tmsxpsval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
7		tmsxpsval.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	tmsxpsval 24576	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩𝑃⟨𝐶, 𝐷⟩) = sup({(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}, ℝ*, < ))
9		xrltso 13189	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
10		xmetcl 24366	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝐶) ∈ ℝ*)
11	2, 4, 6, 10	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑀𝐶) ∈ ℝ*)
12		xmetcl 24366	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) → (𝐵𝑁𝐷) ∈ ℝ*)
13	3, 5, 7, 12	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝑁𝐷) ∈ ℝ*)
14		suppr 9518	. . 3 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ (𝐴𝑀𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑁𝐷) ∈ ℝ*) → sup({(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}, ℝ*, < ) = if((𝐵𝑁𝐷) < (𝐴𝑀𝐶), (𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)))
15	9, 11, 13, 14	mp3an2i 1467	. 2 ⊢ (𝜑 → sup({(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}, ℝ*, < ) = if((𝐵𝑁𝐷) < (𝐴𝑀𝐶), (𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)))
16		xrltnle 11335	. . . . 5 ⊢ (((𝐵𝑁𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑀𝐶) ∈ ℝ*) → ((𝐵𝑁𝐷) < (𝐴𝑀𝐶) ↔ ¬ (𝐴𝑀𝐶) ≤ (𝐵𝑁𝐷)))
17	13, 11, 16	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵𝑁𝐷) < (𝐴𝑀𝐶) ↔ ¬ (𝐴𝑀𝐶) ≤ (𝐵𝑁𝐷)))
18	17	ifbid 4557	. . 3 ⊢ (𝜑 → if((𝐵𝑁𝐷) < (𝐴𝑀𝐶), (𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)) = if(¬ (𝐴𝑀𝐶) ≤ (𝐵𝑁𝐷), (𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)))
19		ifnot 4586	. . 3 ⊢ if(¬ (𝐴𝑀𝐶) ≤ (𝐵𝑁𝐷), (𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)) = if((𝐴𝑀𝐶) ≤ (𝐵𝑁𝐷), (𝐵𝑁𝐷), (𝐴𝑀𝐶))
20	18, 19	eqtrdi 2793	. 2 ⊢ (𝜑 → if((𝐵𝑁𝐷) < (𝐴𝑀𝐶), (𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)) = if((𝐴𝑀𝐶) ≤ (𝐵𝑁𝐷), (𝐵𝑁𝐷), (𝐴𝑀𝐶)))
21	8, 15, 20	3eqtrd 2781	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩𝑃⟨𝐶, 𝐷⟩) = if((𝐴𝑀𝐶) ≤ (𝐵𝑁𝐷), (𝐵𝑁𝐷), (𝐴𝑀𝐶)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ifcif 4534  {cpr 4636  ⟨cop 4640   class class class wbr 5151   Or wor 5600  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438  supcsup 9487  ℝ^*cxr 11301   < clt 11302   ≤ cle 11303  distcds 17316   ×_s cxps 17562  ∞Metcxmet 21376  toMetSpctms 24354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239  ax-pre-sup 11240

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-tp 4639  df-op 4641  df-uni 4916  df-int 4955  df-iun 5001  df-iin 5002  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-se 5646  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-isom 6578  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-of 7704  df-om 7895  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8194  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8753  df-map 8876  df-ixp 8946  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-fin 8997  df-fsupp 9409  df-sup 9489  df-inf 9490  df-oi 9557  df-card 9986  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-div 11928  df-nn 12274  df-2 12336  df-3 12337  df-4 12338  df-5 12339  df-6 12340  df-7 12341  df-8 12342  df-9 12343  df-n0 12534  df-z 12621  df-dec 12741  df-uz 12886  df-q 12998  df-rp 13042  df-xneg 13161  df-xadd 13162  df-xmul 13163  df-icc 13400  df-fz 13554  df-fzo 13701  df-seq 14049  df-hash 14376  df-struct 17190  df-sets 17207  df-slot 17225  df-ndx 17237  df-base 17255  df-ress 17284  df-plusg 17320  df-mulr 17321  df-sca 17323  df-vsca 17324  df-ip 17325  df-tset 17326  df-ple 17327  df-ds 17329  df-hom 17331  df-cco 17332  df-rest 17478  df-topn 17479  df-0g 17497  df-gsum 17498  df-topgen 17499  df-prds 17503  df-xrs 17558  df-imas 17564  df-xps 17566  df-mre 17640  df-mrc 17641  df-acs 17643  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21383  df-xmet 21384  df-bl 21386  df-mopn 21387  df-top 22925  df-topon 22942  df-topsp 22964  df-bases 22978  df-xms 24355  df-tms 24357

This theorem is referenced by:  txmetcnp  24585