MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmsxpsval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tmsxpsval2 24403
Description: Value of the product of two metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tmsxps.p 𝑃 = (distβ€˜((toMetSpβ€˜π‘€) Γ—s (toMetSpβ€˜π‘)))
tmsxps.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
tmsxps.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
tmsxpsval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
tmsxpsval.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ π‘Œ)
tmsxpsval.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
tmsxpsval.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
tmsxpsval2 (πœ‘ β†’ (⟨𝐴, π΅βŸ©π‘ƒβŸ¨πΆ, 𝐷⟩) = if((𝐴𝑀𝐢) ≀ (𝐡𝑁𝐷), (𝐡𝑁𝐷), (𝐴𝑀𝐢)))

Proof of Theorem tmsxpsval2
StepHypRef Expression
1 tmsxps.p . . 3 𝑃 = (distβ€˜((toMetSpβ€˜π‘€) Γ—s (toMetSpβ€˜π‘)))
2 tmsxps.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3 tmsxps.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
4 tmsxpsval.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
5 tmsxpsval.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ π‘Œ)
6 tmsxpsval.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
7 tmsxpsval.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ π‘Œ)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7tmsxpsval 24402 . 2 (πœ‘ β†’ (⟨𝐴, π΅βŸ©π‘ƒβŸ¨πΆ, 𝐷⟩) = sup({(𝐴𝑀𝐢), (𝐡𝑁𝐷)}, ℝ*, < ))
9 xrltso 13126 . . 3 < Or ℝ*
10 xmetcl 24192 . . . 4 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑀𝐢) ∈ ℝ*)
112, 4, 6, 10syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴𝑀𝐢) ∈ ℝ*)
12 xmetcl 24192 . . . 4 ((𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ ∧ 𝐷 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐡𝑁𝐷) ∈ ℝ*)
133, 5, 7, 12syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡𝑁𝐷) ∈ ℝ*)
14 suppr 9468 . . 3 (( < Or ℝ* ∧ (𝐴𝑀𝐢) ∈ ℝ* ∧ (𝐡𝑁𝐷) ∈ ℝ*) β†’ sup({(𝐴𝑀𝐢), (𝐡𝑁𝐷)}, ℝ*, < ) = if((𝐡𝑁𝐷) < (𝐴𝑀𝐢), (𝐴𝑀𝐢), (𝐡𝑁𝐷)))
159, 11, 13, 14mp3an2i 1462 . 2 (πœ‘ β†’ sup({(𝐴𝑀𝐢), (𝐡𝑁𝐷)}, ℝ*, < ) = if((𝐡𝑁𝐷) < (𝐴𝑀𝐢), (𝐴𝑀𝐢), (𝐡𝑁𝐷)))
16 xrltnle 11285 . . . . 5 (((𝐡𝑁𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑀𝐢) ∈ ℝ*) β†’ ((𝐡𝑁𝐷) < (𝐴𝑀𝐢) ↔ Β¬ (𝐴𝑀𝐢) ≀ (𝐡𝑁𝐷)))
1713, 11, 16syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐡𝑁𝐷) < (𝐴𝑀𝐢) ↔ Β¬ (𝐴𝑀𝐢) ≀ (𝐡𝑁𝐷)))
1817ifbid 4546 . . 3 (πœ‘ β†’ if((𝐡𝑁𝐷) < (𝐴𝑀𝐢), (𝐴𝑀𝐢), (𝐡𝑁𝐷)) = if(Β¬ (𝐴𝑀𝐢) ≀ (𝐡𝑁𝐷), (𝐴𝑀𝐢), (𝐡𝑁𝐷)))
19 ifnot 4575 . . 3 if(Β¬ (𝐴𝑀𝐢) ≀ (𝐡𝑁𝐷), (𝐴𝑀𝐢), (𝐡𝑁𝐷)) = if((𝐴𝑀𝐢) ≀ (𝐡𝑁𝐷), (𝐡𝑁𝐷), (𝐴𝑀𝐢))
2018, 19eqtrdi 2782 . 2 (πœ‘ β†’ if((𝐡𝑁𝐷) < (𝐴𝑀𝐢), (𝐴𝑀𝐢), (𝐡𝑁𝐷)) = if((𝐴𝑀𝐢) ≀ (𝐡𝑁𝐷), (𝐡𝑁𝐷), (𝐴𝑀𝐢)))
218, 15, 203eqtrd 2770 1 (πœ‘ β†’ (⟨𝐴, π΅βŸ©π‘ƒβŸ¨πΆ, 𝐷⟩) = if((𝐴𝑀𝐢) ≀ (𝐡𝑁𝐷), (𝐡𝑁𝐷), (𝐴𝑀𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ifcif 4523  {cpr 4625  βŸ¨cop 4629   class class class wbr 5141   Or wor 5580  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  supcsup 9437  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  distcds 17215   Γ—s cxps 17461  βˆžMetcxmet 21225  toMetSpctms 24180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-xms 24181  df-tms 24183
This theorem is referenced by:  txmetcnp  24411
  Copyright terms: Public domain W3C validator