Theorem tmsxpsval2 24434

Description: Value of the product of two metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tmsxps.p	⊢ 𝑃 = (dist‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
tmsxps.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
tmsxps.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
tmsxpsval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
tmsxpsval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
tmsxpsval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
tmsxpsval.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
tmsxpsval2	⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩𝑃⟨𝐶, 𝐷⟩) = if((𝐴𝑀𝐶) ≤ (𝐵𝑁𝐷), (𝐵𝑁𝐷), (𝐴𝑀𝐶)))

Proof of Theorem tmsxpsval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tmsxps.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (dist‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
2		tmsxps.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		tmsxps.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
4		tmsxpsval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
5		tmsxpsval.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
6		tmsxpsval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
7		tmsxpsval.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	tmsxpsval 24433	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩𝑃⟨𝐶, 𝐷⟩) = sup({(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}, ℝ*, < ))
9		xrltso 13108	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
10		xmetcl 24226	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝐶) ∈ ℝ*)
11	2, 4, 6, 10	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑀𝐶) ∈ ℝ*)
12		xmetcl 24226	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) → (𝐵𝑁𝐷) ∈ ℝ*)
13	3, 5, 7, 12	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝑁𝐷) ∈ ℝ*)
14		suppr 9430	. . 3 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ (𝐴𝑀𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑁𝐷) ∈ ℝ*) → sup({(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}, ℝ*, < ) = if((𝐵𝑁𝐷) < (𝐴𝑀𝐶), (𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)))
15	9, 11, 13, 14	mp3an2i 1468	. 2 ⊢ (𝜑 → sup({(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}, ℝ*, < ) = if((𝐵𝑁𝐷) < (𝐴𝑀𝐶), (𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)))
16		xrltnle 11248	. . . . 5 ⊢ (((𝐵𝑁𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑀𝐶) ∈ ℝ*) → ((𝐵𝑁𝐷) < (𝐴𝑀𝐶) ↔ ¬ (𝐴𝑀𝐶) ≤ (𝐵𝑁𝐷)))
17	13, 11, 16	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵𝑁𝐷) < (𝐴𝑀𝐶) ↔ ¬ (𝐴𝑀𝐶) ≤ (𝐵𝑁𝐷)))
18	17	ifbid 4515	. . 3 ⊢ (𝜑 → if((𝐵𝑁𝐷) < (𝐴𝑀𝐶), (𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)) = if(¬ (𝐴𝑀𝐶) ≤ (𝐵𝑁𝐷), (𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)))
19		ifnot 4544	. . 3 ⊢ if(¬ (𝐴𝑀𝐶) ≤ (𝐵𝑁𝐷), (𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)) = if((𝐴𝑀𝐶) ≤ (𝐵𝑁𝐷), (𝐵𝑁𝐷), (𝐴𝑀𝐶))
20	18, 19	eqtrdi 2781	. 2 ⊢ (𝜑 → if((𝐵𝑁𝐷) < (𝐴𝑀𝐶), (𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)) = if((𝐴𝑀𝐶) ≤ (𝐵𝑁𝐷), (𝐵𝑁𝐷), (𝐴𝑀𝐶)))
21	8, 15, 20	3eqtrd 2769	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩𝑃⟨𝐶, 𝐷⟩) = if((𝐴𝑀𝐶) ≤ (𝐵𝑁𝐷), (𝐵𝑁𝐷), (𝐴𝑀𝐶)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4491  {cpr 4594  ⟨cop 4598   class class class wbr 5110   Or wor 5548  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  supcsup 9398  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215   ≤ cle 11216  distcds 17236   ×_s cxps 17476  ∞Metcxmet 21256  toMetSpctms 24214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-xms 24215  df-tms 24217

This theorem is referenced by:  txmetcnp  24442