Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prproropf1olem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prproropf1olem2 43543
Description: Lemma 2 for prproropf1o 43546. (Contributed by AV, 13-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prproropf1o.o 𝑂 = (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))
prproropf1o.p 𝑃 = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2}
Assertion
Ref Expression
prproropf1olem2 ((𝑅 Or 𝑉𝑋𝑃) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ 𝑂)
Distinct variable groups:   𝑉,𝑝   𝑋,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑝)   𝑅(𝑝)   𝑂(𝑝)

Proof of Theorem prproropf1olem2
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prproropf1o.p . . . . 5 𝑃 = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2}
21prpair 43540 . . . 4 (𝑋𝑃 ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏))
3 simpll 763 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑅 Or 𝑉)
4 simplrl 773 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎𝑉)
5 simplrr 774 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏𝑉)
6 simprr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎𝑏)
7 infsupprpr 8956 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑎𝑏)) → inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)𝑅sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅))
83, 4, 5, 6, 7syl13anc 1364 . . . . . . . . 9 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)𝑅sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅))
9 df-br 5058 . . . . . . . . 9 (inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)𝑅sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ↔ ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ 𝑅)
108, 9sylib 219 . . . . . . . 8 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ 𝑅)
11 infpr 8955 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 Or 𝑉𝑎𝑉𝑏𝑉) → inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) = if(𝑎𝑅𝑏, 𝑎, 𝑏))
12 ifcl 4507 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → if(𝑎𝑅𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ 𝑉)
13123adant1 1122 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 Or 𝑉𝑎𝑉𝑏𝑉) → if(𝑎𝑅𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ 𝑉)
1411, 13eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 Or 𝑉𝑎𝑉𝑏𝑉) → inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉)
15 suppr 8923 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 Or 𝑉𝑎𝑉𝑏𝑉) → sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) = if(𝑏𝑅𝑎, 𝑎, 𝑏))
16 ifcl 4507 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → if(𝑏𝑅𝑎, 𝑎, 𝑏) ∈ 𝑉)
17163adant1 1122 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 Or 𝑉𝑎𝑉𝑏𝑉) → if(𝑏𝑅𝑎, 𝑎, 𝑏) ∈ 𝑉)
1815, 17eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 Or 𝑉𝑎𝑉𝑏𝑉) → sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉)
1914, 18jca 512 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 Or 𝑉𝑎𝑉𝑏𝑉) → (inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉 ∧ sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉))
20193expb 1112 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉 ∧ sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉))
2120adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → (inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉 ∧ sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉))
22 opelxp 5584 . . . . . . . . 9 (⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑉 × 𝑉) ↔ (inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉 ∧ sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉))
2321, 22sylibr 235 . . . . . . . 8 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑉 × 𝑉))
2410, 23elind 4168 . . . . . . 7 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉)))
25 infeq1 8928 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → inf(𝑋, 𝑉, 𝑅) = inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅))
26 supeq1 8897 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → sup(𝑋, 𝑉, 𝑅) = sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅))
2725, 26opeq12d 4803 . . . . . . . . 9 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩)
2827eleq1d 2894 . . . . . . . 8 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → (⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉)) ↔ ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))))
2928ad2antrl 724 . . . . . . 7 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → (⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉)) ↔ ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))))
3024, 29mpbird 258 . . . . . 6 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉)))
3130ex 413 . . . . 5 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))))
3231rexlimdvva 3291 . . . 4 (𝑅 Or 𝑉 → (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))))
332, 32syl5bi 243 . . 3 (𝑅 Or 𝑉 → (𝑋𝑃 → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))))
3433imp 407 . 2 ((𝑅 Or 𝑉𝑋𝑃) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉)))
35 prproropf1o.o . 2 𝑂 = (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))
3634, 35eleqtrrdi 2921 1 ((𝑅 Or 𝑉𝑋𝑃) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ 𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136  {crab 3139  cin 3932  ifcif 4463  𝒫 cpw 4535  {cpr 4559  cop 4563   class class class wbr 5057   Or wor 5466   × cxp 5546  cfv 6348  supcsup 8892  infcinf 8893  2c2 11680  chash 13678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-hash 13679
This theorem is referenced by:  prproropf1o  43546
  Copyright terms: Public domain W3C validator