Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prproropf1olem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prproropf1olem2 47428
Description: Lemma 2 for prproropf1o 47431. (Contributed by AV, 13-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prproropf1o.o 𝑂 = (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))
prproropf1o.p 𝑃 = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2}
Assertion
Ref Expression
prproropf1olem2 ((𝑅 Or 𝑉𝑋𝑃) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ 𝑂)
Distinct variable groups:   𝑉,𝑝   𝑋,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑝)   𝑅(𝑝)   𝑂(𝑝)

Proof of Theorem prproropf1olem2
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prproropf1o.p . . . . 5 𝑃 = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2}
21prpair 47425 . . . 4 (𝑋𝑃 ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏))
3 simpll 767 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑅 Or 𝑉)
4 simplrl 777 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎𝑉)
5 simplrr 778 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏𝑉)
6 simprr 773 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎𝑏)
7 infsupprpr 9541 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑎𝑏)) → inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)𝑅sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅))
83, 4, 5, 6, 7syl13anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)𝑅sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅))
9 df-br 5148 . . . . . . . . 9 (inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)𝑅sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ↔ ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ 𝑅)
108, 9sylib 218 . . . . . . . 8 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ 𝑅)
11 infpr 9540 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 Or 𝑉𝑎𝑉𝑏𝑉) → inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) = if(𝑎𝑅𝑏, 𝑎, 𝑏))
12 ifcl 4575 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → if(𝑎𝑅𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ 𝑉)
13123adant1 1129 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 Or 𝑉𝑎𝑉𝑏𝑉) → if(𝑎𝑅𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ 𝑉)
1411, 13eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 Or 𝑉𝑎𝑉𝑏𝑉) → inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉)
15 suppr 9508 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 Or 𝑉𝑎𝑉𝑏𝑉) → sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) = if(𝑏𝑅𝑎, 𝑎, 𝑏))
16 ifcl 4575 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → if(𝑏𝑅𝑎, 𝑎, 𝑏) ∈ 𝑉)
17163adant1 1129 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 Or 𝑉𝑎𝑉𝑏𝑉) → if(𝑏𝑅𝑎, 𝑎, 𝑏) ∈ 𝑉)
1815, 17eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 Or 𝑉𝑎𝑉𝑏𝑉) → sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉)
1914, 18jca 511 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 Or 𝑉𝑎𝑉𝑏𝑉) → (inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉 ∧ sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉))
20193expb 1119 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉 ∧ sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉))
2120adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → (inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉 ∧ sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉))
22 opelxp 5724 . . . . . . . . 9 (⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑉 × 𝑉) ↔ (inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉 ∧ sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉))
2321, 22sylibr 234 . . . . . . . 8 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑉 × 𝑉))
2410, 23elind 4209 . . . . . . 7 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉)))
25 infeq1 9513 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → inf(𝑋, 𝑉, 𝑅) = inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅))
26 supeq1 9482 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → sup(𝑋, 𝑉, 𝑅) = sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅))
2725, 26opeq12d 4885 . . . . . . . . 9 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩)
2827eleq1d 2823 . . . . . . . 8 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → (⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉)) ↔ ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))))
2928ad2antrl 728 . . . . . . 7 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → (⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉)) ↔ ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))))
3024, 29mpbird 257 . . . . . 6 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉)))
3130ex 412 . . . . 5 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))))
3231rexlimdvva 3210 . . . 4 (𝑅 Or 𝑉 → (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))))
332, 32biimtrid 242 . . 3 (𝑅 Or 𝑉 → (𝑋𝑃 → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))))
3433imp 406 . 2 ((𝑅 Or 𝑉𝑋𝑃) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉)))
35 prproropf1o.o . 2 𝑂 = (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))
3634, 35eleqtrrdi 2849 1 ((𝑅 Or 𝑉𝑋𝑃) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ 𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wrex 3067  {crab 3432  cin 3961  ifcif 4530  𝒫 cpw 4604  {cpr 4632  cop 4636   class class class wbr 5147   Or wor 5595   × cxp 5686  cfv 6562  supcsup 9477  infcinf 9478  2c2 12318  chash 14365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-hash 14366
This theorem is referenced by:  prproropf1o  47431
  Copyright terms: Public domain W3C validator