Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prproropf1olem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prproropf1olem2 47491
Description: Lemma 2 for prproropf1o 47494. (Contributed by AV, 13-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prproropf1o.o 𝑂 = (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))
prproropf1o.p 𝑃 = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2}
Assertion
Ref Expression
prproropf1olem2 ((𝑅 Or 𝑉𝑋𝑃) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ 𝑂)
Distinct variable groups:   𝑉,𝑝   𝑋,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑝)   𝑅(𝑝)   𝑂(𝑝)

Proof of Theorem prproropf1olem2
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prproropf1o.p . . . . 5 𝑃 = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2}
21prpair 47488 . . . 4 (𝑋𝑃 ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏))
3 simpll 767 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑅 Or 𝑉)
4 simplrl 777 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎𝑉)
5 simplrr 778 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏𝑉)
6 simprr 773 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎𝑏)
7 infsupprpr 9544 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑎𝑏)) → inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)𝑅sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅))
83, 4, 5, 6, 7syl13anc 1374 . . . . . . . . 9 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)𝑅sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅))
9 df-br 5144 . . . . . . . . 9 (inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)𝑅sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ↔ ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ 𝑅)
108, 9sylib 218 . . . . . . . 8 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ 𝑅)
11 infpr 9543 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 Or 𝑉𝑎𝑉𝑏𝑉) → inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) = if(𝑎𝑅𝑏, 𝑎, 𝑏))
12 ifcl 4571 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → if(𝑎𝑅𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ 𝑉)
13123adant1 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 Or 𝑉𝑎𝑉𝑏𝑉) → if(𝑎𝑅𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ 𝑉)
1411, 13eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 Or 𝑉𝑎𝑉𝑏𝑉) → inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉)
15 suppr 9511 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 Or 𝑉𝑎𝑉𝑏𝑉) → sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) = if(𝑏𝑅𝑎, 𝑎, 𝑏))
16 ifcl 4571 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → if(𝑏𝑅𝑎, 𝑎, 𝑏) ∈ 𝑉)
17163adant1 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 Or 𝑉𝑎𝑉𝑏𝑉) → if(𝑏𝑅𝑎, 𝑎, 𝑏) ∈ 𝑉)
1815, 17eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 Or 𝑉𝑎𝑉𝑏𝑉) → sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉)
1914, 18jca 511 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 Or 𝑉𝑎𝑉𝑏𝑉) → (inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉 ∧ sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉))
20193expb 1121 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉 ∧ sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉))
2120adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → (inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉 ∧ sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉))
22 opelxp 5721 . . . . . . . . 9 (⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑉 × 𝑉) ↔ (inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉 ∧ sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉))
2321, 22sylibr 234 . . . . . . . 8 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑉 × 𝑉))
2410, 23elind 4200 . . . . . . 7 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉)))
25 infeq1 9516 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → inf(𝑋, 𝑉, 𝑅) = inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅))
26 supeq1 9485 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → sup(𝑋, 𝑉, 𝑅) = sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅))
2725, 26opeq12d 4881 . . . . . . . . 9 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩)
2827eleq1d 2826 . . . . . . . 8 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → (⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉)) ↔ ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))))
2928ad2antrl 728 . . . . . . 7 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → (⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉)) ↔ ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))))
3024, 29mpbird 257 . . . . . 6 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉)))
3130ex 412 . . . . 5 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))))
3231rexlimdvva 3213 . . . 4 (𝑅 Or 𝑉 → (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))))
332, 32biimtrid 242 . . 3 (𝑅 Or 𝑉 → (𝑋𝑃 → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))))
3433imp 406 . 2 ((𝑅 Or 𝑉𝑋𝑃) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉)))
35 prproropf1o.o . 2 𝑂 = (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))
3634, 35eleqtrrdi 2852 1 ((𝑅 Or 𝑉𝑋𝑃) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ 𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  {crab 3436  cin 3950  ifcif 4525  𝒫 cpw 4600  {cpr 4628  cop 4632   class class class wbr 5143   Or wor 5591   × cxp 5683  cfv 6561  supcsup 9480  infcinf 9481  2c2 12321  chash 14369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370
This theorem is referenced by:  prproropf1o  47494
  Copyright terms: Public domain W3C validator