Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prproropf1olem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prproropf1olem2 44036
 Description: Lemma 2 for prproropf1o 44039. (Contributed by AV, 13-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prproropf1o.o 𝑂 = (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))
prproropf1o.p 𝑃 = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2}
Assertion
Ref Expression
prproropf1olem2 ((𝑅 Or 𝑉𝑋𝑃) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ 𝑂)
Distinct variable groups:   𝑉,𝑝   𝑋,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑝)   𝑅(𝑝)   𝑂(𝑝)

Proof of Theorem prproropf1olem2
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prproropf1o.p . . . . 5 𝑃 = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2}
21prpair 44033 . . . 4 (𝑋𝑃 ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏))
3 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑅 Or 𝑉)
4 simplrl 776 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎𝑉)
5 simplrr 777 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏𝑉)
6 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎𝑏)
7 infsupprpr 8954 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑎𝑏)) → inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)𝑅sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅))
83, 4, 5, 6, 7syl13anc 1369 . . . . . . . . 9 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)𝑅sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅))
9 df-br 5031 . . . . . . . . 9 (inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)𝑅sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ↔ ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ 𝑅)
108, 9sylib 221 . . . . . . . 8 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ 𝑅)
11 infpr 8953 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 Or 𝑉𝑎𝑉𝑏𝑉) → inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) = if(𝑎𝑅𝑏, 𝑎, 𝑏))
12 ifcl 4469 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → if(𝑎𝑅𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ 𝑉)
13123adant1 1127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 Or 𝑉𝑎𝑉𝑏𝑉) → if(𝑎𝑅𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ 𝑉)
1411, 13eqeltrd 2890 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 Or 𝑉𝑎𝑉𝑏𝑉) → inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉)
15 suppr 8921 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 Or 𝑉𝑎𝑉𝑏𝑉) → sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) = if(𝑏𝑅𝑎, 𝑎, 𝑏))
16 ifcl 4469 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → if(𝑏𝑅𝑎, 𝑎, 𝑏) ∈ 𝑉)
17163adant1 1127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 Or 𝑉𝑎𝑉𝑏𝑉) → if(𝑏𝑅𝑎, 𝑎, 𝑏) ∈ 𝑉)
1815, 17eqeltrd 2890 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 Or 𝑉𝑎𝑉𝑏𝑉) → sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉)
1914, 18jca 515 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 Or 𝑉𝑎𝑉𝑏𝑉) → (inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉 ∧ sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉))
20193expb 1117 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉 ∧ sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉))
2120adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → (inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉 ∧ sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉))
22 opelxp 5555 . . . . . . . . 9 (⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑉 × 𝑉) ↔ (inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉 ∧ sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉))
2321, 22sylibr 237 . . . . . . . 8 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑉 × 𝑉))
2410, 23elind 4121 . . . . . . 7 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉)))
25 infeq1 8926 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → inf(𝑋, 𝑉, 𝑅) = inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅))
26 supeq1 8895 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → sup(𝑋, 𝑉, 𝑅) = sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅))
2725, 26opeq12d 4773 . . . . . . . . 9 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩)
2827eleq1d 2874 . . . . . . . 8 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → (⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉)) ↔ ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))))
2928ad2antrl 727 . . . . . . 7 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → (⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉)) ↔ ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))))
3024, 29mpbird 260 . . . . . 6 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉)))
3130ex 416 . . . . 5 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))))
3231rexlimdvva 3253 . . . 4 (𝑅 Or 𝑉 → (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))))
332, 32syl5bi 245 . . 3 (𝑅 Or 𝑉 → (𝑋𝑃 → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))))
3433imp 410 . 2 ((𝑅 Or 𝑉𝑋𝑃) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉)))
35 prproropf1o.o . 2 𝑂 = (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))
3634, 35eleqtrrdi 2901 1 ((𝑅 Or 𝑉𝑋𝑃) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ 𝑂)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∃wrex 3107  {crab 3110   ∩ cin 3880  ifcif 4425  𝒫 cpw 4497  {cpr 4527  ⟨cop 4531   class class class wbr 5030   Or wor 5437   × cxp 5517  ‘cfv 6324  supcsup 8890  infcinf 8891  2c2 11682  ♯chash 13688 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-2o 8088  df-oadd 8091  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-sup 8892  df-inf 8893  df-dju 9316  df-card 9354  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-nn 11628  df-2 11690  df-n0 11888  df-z 11972  df-uz 12234  df-fz 12888  df-hash 13689 This theorem is referenced by:  prproropf1o  44039
 Copyright terms: Public domain W3C validator