Theorem prproropf1olem2 47498

Description: Lemma 2 for prproropf1o 47501. (Contributed by AV, 13-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prproropf1o.o	⊢ 𝑂 = (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))
prproropf1o.p	⊢ 𝑃 = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2}

Assertion

Ref	Expression
prproropf1olem2	⊢ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ 𝑂)

Distinct variable groups:   𝑉,𝑝   𝑋,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑝)   𝑅(𝑝)   𝑂(𝑝)

Proof of Theorem prproropf1olem2

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prproropf1o.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2}
2	1	prpair 47495	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
3		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑅 Or 𝑉)
4		simplrl 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 ∈ 𝑉)
5		simplrr 777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑏 ∈ 𝑉)
6		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 ≠ 𝑏)
7		infsupprpr 9433	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)𝑅sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅))
8	3, 4, 5, 6, 7	syl13anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)𝑅sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅))
9		df-br 5103	. . . . . . . . 9 ⊢ (inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)𝑅sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ↔ ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ 𝑅)
10	8, 9	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ 𝑅)
11		infpr 9432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) = if(𝑎𝑅𝑏, 𝑎, 𝑏))
12		ifcl 4530	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → if(𝑎𝑅𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ 𝑉)
13	12	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → if(𝑎𝑅𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ 𝑉)
14	11, 13	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉)
15		suppr 9399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) = if(𝑏𝑅𝑎, 𝑎, 𝑏))
16		ifcl 4530	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → if(𝑏𝑅𝑎, 𝑎, 𝑏) ∈ 𝑉)
17	16	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → if(𝑏𝑅𝑎, 𝑎, 𝑏) ∈ 𝑉)
18	15, 17	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉)
19	14, 18	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉 ∧ sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉))
20	19	3expb 1120	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → (inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉 ∧ sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉))
21	20	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉 ∧ sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉))
22		opelxp 5667	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑉 × 𝑉) ↔ (inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉 ∧ sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉))
23	21, 22	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑉 × 𝑉))
24	10, 23	elind 4159	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉)))
25		infeq1 9404	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → inf(𝑋, 𝑉, 𝑅) = inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅))
26		supeq1 9372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → sup(𝑋, 𝑉, 𝑅) = sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅))
27	25, 26	opeq12d 4841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩)
28	27	eleq1d 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → (⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉)) ↔ ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))))
29	28	ad2antrl 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉)) ↔ ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))))
30	24, 29	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉)))
31	30	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → ((𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))))
32	31	rexlimdvva 3192	. . . 4 ⊢ (𝑅 Or 𝑉 → (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))))
33	2, 32	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (𝑅 Or 𝑉 → (𝑋 ∈ 𝑃 → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))))
34	33	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉)))
35		prproropf1o.o	. 2 ⊢ 𝑂 = (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))
36	34, 35	eleqtrrdi 2839	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ 𝑂)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  {crab 3402   ∩ cin 3910  ifcif 4484  𝒫 cpw 4559  {cpr 4587  ⟨cop 4591   class class class wbr 5102   Or wor 5538   × cxp 5629  ‘cfv 6499  supcsup 9367  infcinf 9368  2c2 12217  ♯chash 14271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-dju 9830  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-hash 14272

This theorem is referenced by:  prproropf1o  47501