Theorem prproropf1olem2 47378

Description: Lemma 2 for prproropf1o 47381. (Contributed by AV, 13-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prproropf1o.o	⊢ 𝑂 = (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))
prproropf1o.p	⊢ 𝑃 = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2}

Assertion

Ref	Expression
prproropf1olem2	⊢ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ 𝑂)

Distinct variable groups:   𝑉,𝑝   𝑋,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑝)   𝑅(𝑝)   𝑂(𝑝)

Proof of Theorem prproropf1olem2

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prproropf1o.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2}
2	1	prpair 47375	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
3		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑅 Or 𝑉)
4		simplrl 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 ∈ 𝑉)
5		simplrr 777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑏 ∈ 𝑉)
6		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 ≠ 𝑏)
7		infsupprpr 9573	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)𝑅sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅))
8	3, 4, 5, 6, 7	syl13anc 1372	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)𝑅sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅))
9		df-br 5167	. . . . . . . . 9 ⊢ (inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)𝑅sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ↔ ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ 𝑅)
10	8, 9	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ 𝑅)
11		infpr 9572	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) = if(𝑎𝑅𝑏, 𝑎, 𝑏))
12		ifcl 4593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → if(𝑎𝑅𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ 𝑉)
13	12	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → if(𝑎𝑅𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ 𝑉)
14	11, 13	eqeltrd 2844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉)
15		suppr 9540	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) = if(𝑏𝑅𝑎, 𝑎, 𝑏))
16		ifcl 4593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → if(𝑏𝑅𝑎, 𝑎, 𝑏) ∈ 𝑉)
17	16	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → if(𝑏𝑅𝑎, 𝑎, 𝑏) ∈ 𝑉)
18	15, 17	eqeltrd 2844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉)
19	14, 18	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉 ∧ sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉))
20	19	3expb 1120	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → (inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉 ∧ sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉))
21	20	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉 ∧ sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉))
22		opelxp 5736	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑉 × 𝑉) ↔ (inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉 ∧ sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉))
23	21, 22	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑉 × 𝑉))
24	10, 23	elind 4223	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉)))
25		infeq1 9545	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → inf(𝑋, 𝑉, 𝑅) = inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅))
26		supeq1 9514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → sup(𝑋, 𝑉, 𝑅) = sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅))
27	25, 26	opeq12d 4905	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩)
28	27	eleq1d 2829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → (⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉)) ↔ ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))))
29	28	ad2antrl 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉)) ↔ ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))))
30	24, 29	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉)))
31	30	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → ((𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))))
32	31	rexlimdvva 3219	. . . 4 ⊢ (𝑅 Or 𝑉 → (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))))
33	2, 32	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (𝑅 Or 𝑉 → (𝑋 ∈ 𝑃 → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))))
34	33	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉)))
35		prproropf1o.o	. 2 ⊢ 𝑂 = (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))
36	34, 35	eleqtrrdi 2855	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ 𝑂)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076  {crab 3443   ∩ cin 3975  ifcif 4548  𝒫 cpw 4622  {cpr 4650  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166   Or wor 5606   × cxp 5698  ‘cfv 6573  supcsup 9509  infcinf 9510  2c2 12348  ♯chash 14379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-hash 14380

This theorem is referenced by:  prproropf1o  47381