Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prproropf1olem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem prproropf1olem2 46657
Description: Lemma 2 for prproropf1o 46660. (Contributed by AV, 13-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prproropf1o.o 𝑂 = (𝑅 ∩ (𝑉 Γ— 𝑉))
prproropf1o.p 𝑃 = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (β™―β€˜π‘) = 2}
Assertion
Ref Expression
prproropf1olem2 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ 𝑂)
Distinct variable groups:   𝑉,𝑝   𝑋,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑝)   𝑅(𝑝)   𝑂(𝑝)
Proof of Theorem prproropf1olem2
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prproropf1o.p . . . . 5 𝑃 = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (β™―β€˜π‘) = 2}
21prpair 46654 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (𝑋 = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏))
3 simpll 764 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ 𝑅 Or 𝑉)
4 simplrl 774 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ π‘Ž ∈ 𝑉)
5 simplrr 775 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑉)
6 simprr 770 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ π‘Ž β‰  𝑏)
7 infsupprpr 9495 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)𝑅sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅))
83, 4, 5, 6, 7syl13anc 1369 . . . . . . . . 9 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)𝑅sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅))
9 df-br 5139 . . . . . . . . 9 (inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)𝑅sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ↔ ⟨inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ 𝑅)
108, 9sylib 217 . . . . . . . 8 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ ⟨inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ 𝑅)
11 infpr 9494 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) = if(π‘Žπ‘…π‘, π‘Ž, 𝑏))
12 ifcl 4565 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ if(π‘Žπ‘…π‘, π‘Ž, 𝑏) ∈ 𝑉)
13123adant1 1127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ if(π‘Žπ‘…π‘, π‘Ž, 𝑏) ∈ 𝑉)
1411, 13eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉)
15 suppr 9462 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) = if(π‘π‘…π‘Ž, π‘Ž, 𝑏))
16 ifcl 4565 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ if(π‘π‘…π‘Ž, π‘Ž, 𝑏) ∈ 𝑉)
17163adant1 1127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ if(π‘π‘…π‘Ž, π‘Ž, 𝑏) ∈ 𝑉)
1815, 17eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉)
1914, 18jca 511 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ (inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉 ∧ sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉))
20193expb 1117 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ (inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉 ∧ sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉))
2120adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ (inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉 ∧ sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉))
22 opelxp 5702 . . . . . . . . 9 (⟨inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑉 Γ— 𝑉) ↔ (inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉 ∧ sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉))
2321, 22sylibr 233 . . . . . . . 8 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ ⟨inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑉 Γ— 𝑉))
2410, 23elind 4186 . . . . . . 7 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ ⟨inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 Γ— 𝑉)))
25 infeq1 9467 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = {π‘Ž, 𝑏} β†’ inf(𝑋, 𝑉, 𝑅) = inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅))
26 supeq1 9436 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = {π‘Ž, 𝑏} β†’ sup(𝑋, 𝑉, 𝑅) = sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅))
2725, 26opeq12d 4873 . . . . . . . . 9 (𝑋 = {π‘Ž, 𝑏} β†’ ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩)
2827eleq1d 2810 . . . . . . . 8 (𝑋 = {π‘Ž, 𝑏} β†’ (⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 Γ— 𝑉)) ↔ ⟨inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 Γ— 𝑉))))
2928ad2antrl 725 . . . . . . 7 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ (⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 Γ— 𝑉)) ↔ ⟨inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 Γ— 𝑉))))
3024, 29mpbird 257 . . . . . 6 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 Γ— 𝑉)))
3130ex 412 . . . . 5 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑋 = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏) β†’ ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 Γ— 𝑉))))
3231rexlimdvva 3203 . . . 4 (𝑅 Or 𝑉 β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (𝑋 = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏) β†’ ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 Γ— 𝑉))))
332, 32biimtrid 241 . . 3 (𝑅 Or 𝑉 β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 Γ— 𝑉))))
3433imp 406 . 2 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 Γ— 𝑉)))
35 prproropf1o.o . 2 𝑂 = (𝑅 ∩ (𝑉 Γ— 𝑉))
3634, 35eleqtrrdi 2836 1 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ 𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆƒwrex 3062  {crab 3424   ∩ cin 3939  ifcif 4520  π’« cpw 4594  {cpr 4622  βŸ¨cop 4626   class class class wbr 5138   Or wor 5577   Γ— cxp 5664  β€˜cfv 6533  supcsup 9431  infcinf 9432  2c2 12264  β™―chash 14287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-hash 14288
This theorem is referenced by:  prproropf1o  46660
  Copyright terms: Public domain W3C validator