Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prproropf1olem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem prproropf1olem2 46159
Description: Lemma 2 for prproropf1o 46162. (Contributed by AV, 13-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prproropf1o.o 𝑂 = (𝑅 ∩ (𝑉 Γ— 𝑉))
prproropf1o.p 𝑃 = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (β™―β€˜π‘) = 2}
Assertion
Ref Expression
prproropf1olem2 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ 𝑂)
Distinct variable groups:   𝑉,𝑝   𝑋,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑝)   𝑅(𝑝)   𝑂(𝑝)
Proof of Theorem prproropf1olem2
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prproropf1o.p . . . . 5 𝑃 = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (β™―β€˜π‘) = 2}
21prpair 46156 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (𝑋 = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏))
3 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ 𝑅 Or 𝑉)
4 simplrl 776 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ π‘Ž ∈ 𝑉)
5 simplrr 777 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑉)
6 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ π‘Ž β‰  𝑏)
7 infsupprpr 9496 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)𝑅sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅))
83, 4, 5, 6, 7syl13anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)𝑅sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅))
9 df-br 5149 . . . . . . . . 9 (inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)𝑅sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ↔ ⟨inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ 𝑅)
108, 9sylib 217 . . . . . . . 8 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ ⟨inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ 𝑅)
11 infpr 9495 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) = if(π‘Žπ‘…π‘, π‘Ž, 𝑏))
12 ifcl 4573 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ if(π‘Žπ‘…π‘, π‘Ž, 𝑏) ∈ 𝑉)
13123adant1 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ if(π‘Žπ‘…π‘, π‘Ž, 𝑏) ∈ 𝑉)
1411, 13eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉)
15 suppr 9463 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) = if(π‘π‘…π‘Ž, π‘Ž, 𝑏))
16 ifcl 4573 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ if(π‘π‘…π‘Ž, π‘Ž, 𝑏) ∈ 𝑉)
17163adant1 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ if(π‘π‘…π‘Ž, π‘Ž, 𝑏) ∈ 𝑉)
1815, 17eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉)
1914, 18jca 513 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ (inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉 ∧ sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉))
20193expb 1121 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ (inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉 ∧ sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉))
2120adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ (inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉 ∧ sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉))
22 opelxp 5712 . . . . . . . . 9 (⟨inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑉 Γ— 𝑉) ↔ (inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉 ∧ sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉))
2321, 22sylibr 233 . . . . . . . 8 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ ⟨inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑉 Γ— 𝑉))
2410, 23elind 4194 . . . . . . 7 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ ⟨inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 Γ— 𝑉)))
25 infeq1 9468 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = {π‘Ž, 𝑏} β†’ inf(𝑋, 𝑉, 𝑅) = inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅))
26 supeq1 9437 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = {π‘Ž, 𝑏} β†’ sup(𝑋, 𝑉, 𝑅) = sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅))
2725, 26opeq12d 4881 . . . . . . . . 9 (𝑋 = {π‘Ž, 𝑏} β†’ ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩)
2827eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (𝑋 = {π‘Ž, 𝑏} β†’ (⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 Γ— 𝑉)) ↔ ⟨inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 Γ— 𝑉))))
2928ad2antrl 727 . . . . . . 7 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ (⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 Γ— 𝑉)) ↔ ⟨inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 Γ— 𝑉))))
3024, 29mpbird 257 . . . . . 6 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 Γ— 𝑉)))
3130ex 414 . . . . 5 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑋 = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏) β†’ ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 Γ— 𝑉))))
3231rexlimdvva 3212 . . . 4 (𝑅 Or 𝑉 β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (𝑋 = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏) β†’ ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 Γ— 𝑉))))
332, 32biimtrid 241 . . 3 (𝑅 Or 𝑉 β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 Γ— 𝑉))))
3433imp 408 . 2 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 Γ— 𝑉)))
35 prproropf1o.o . 2 𝑂 = (𝑅 ∩ (𝑉 Γ— 𝑉))
3634, 35eleqtrrdi 2845 1 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ 𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071  {crab 3433   ∩ cin 3947  ifcif 4528  π’« cpw 4602  {cpr 4630  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148   Or wor 5587   Γ— cxp 5674  β€˜cfv 6541  supcsup 9432  infcinf 9433  2c2 12264  β™―chash 14287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-oadd 8467  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-hash 14288
This theorem is referenced by:  prproropf1o  46162
  Copyright terms: Public domain W3C validator