Theorem prproropf1olem2 47787

Description: Lemma 2 for prproropf1o 47790. (Contributed by AV, 13-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prproropf1o.o	⊢ 𝑂 = (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))
prproropf1o.p	⊢ 𝑃 = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2}

Assertion

Ref	Expression
prproropf1olem2	⊢ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ 𝑂)

Distinct variable groups:   𝑉,𝑝   𝑋,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑝)   𝑅(𝑝)   𝑂(𝑝)

Proof of Theorem prproropf1olem2

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prproropf1o.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2}
2	1	prpair 47784	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
3		simpll 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑅 Or 𝑉)
4		simplrl 777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 ∈ 𝑉)
5		simplrr 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑏 ∈ 𝑉)
6		simprr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 ≠ 𝑏)
7		infsupprpr 9411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)𝑅sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅))
8	3, 4, 5, 6, 7	syl13anc 1375	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)𝑅sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅))
9		df-br 5098	. . . . . . . . 9 ⊢ (inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)𝑅sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ↔ ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ 𝑅)
10	8, 9	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ 𝑅)
11		infpr 9410	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) = if(𝑎𝑅𝑏, 𝑎, 𝑏))
12		ifcl 4524	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → if(𝑎𝑅𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ 𝑉)
13	12	3adant1 1131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → if(𝑎𝑅𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ 𝑉)
14	11, 13	eqeltrd 2835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉)
15		suppr 9377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) = if(𝑏𝑅𝑎, 𝑎, 𝑏))
16		ifcl 4524	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → if(𝑏𝑅𝑎, 𝑎, 𝑏) ∈ 𝑉)
17	16	3adant1 1131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → if(𝑏𝑅𝑎, 𝑎, 𝑏) ∈ 𝑉)
18	15, 17	eqeltrd 2835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉)
19	14, 18	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉 ∧ sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉))
20	19	3expb 1121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → (inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉 ∧ sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉))
21	20	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉 ∧ sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉))
22		opelxp 5659	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑉 × 𝑉) ↔ (inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉 ∧ sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∈ 𝑉))
23	21, 22	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑉 × 𝑉))
24	10, 23	elind 4151	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉)))
25		infeq1 9382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → inf(𝑋, 𝑉, 𝑅) = inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅))
26		supeq1 9350	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → sup(𝑋, 𝑉, 𝑅) = sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅))
27	25, 26	opeq12d 4836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩)
28	27	eleq1d 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → (⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉)) ↔ ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))))
29	28	ad2antrl 729	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉)) ↔ ⟨inf({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑎, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))))
30	24, 29	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉)))
31	30	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → ((𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))))
32	31	rexlimdvva 3192	. . . 4 ⊢ (𝑅 Or 𝑉 → (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))))
33	2, 32	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (𝑅 Or 𝑉 → (𝑋 ∈ 𝑃 → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))))
34	33	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉)))
35		prproropf1o.o	. 2 ⊢ 𝑂 = (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))
36	34, 35	eleqtrrdi 2846	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → ⟨inf(𝑋, 𝑉, 𝑅), sup(𝑋, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ 𝑂)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2931  ∃wrex 3059  {crab 3398   ∩ cin 3899  ifcif 4478  𝒫 cpw 4553  {cpr 4581  ⟨cop 4585   class class class wbr 5097   Or wor 5530   × cxp 5621  ‘cfv 6491  supcsup 9345  infcinf 9346  2c2 12202  ♯chash 14255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-sup 9347  df-inf 9348  df-dju 9815  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-fz 13426  df-hash 14256

This theorem is referenced by:  prproropf1o  47790