MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2resupmax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2resupmax 12224
Description: The supremum of two real numbers is the maximum of these two numbers. (Contributed by AV, 8-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
2resupmax ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem 2resupmax
StepHypRef Expression
1 ltso 10324 . . 3 < Or ℝ
2 suppr 8537 . . 3 (( < Or ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝐵 < 𝐴, 𝐴, 𝐵))
31, 2mp3an1 1559 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝐵 < 𝐴, 𝐴, 𝐵))
4 ifnot 4273 . . 3 if(¬ 𝐵 < 𝐴, 𝐵, 𝐴) = if(𝐵 < 𝐴, 𝐴, 𝐵)
5 lenlt 10322 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
65bicomd 213 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < 𝐴𝐴𝐵))
76ifbid 4248 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(¬ 𝐵 < 𝐴, 𝐵, 𝐴) = if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
84, 7syl5eqr 2819 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐵 < 𝐴, 𝐴, 𝐵) = if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
93, 8eqtrd 2805 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  ifcif 4226  {cpr 4319   class class class wbr 4787   Or wor 5170  supcsup 8506  cr 10141   < clt 10280  cle 10281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-resscn 10199  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8508  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator