Theorem 2resupmax 13212

Description: The supremum of two real numbers is the maximum of these two numbers. (Contributed by AV, 8-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2resupmax	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem 2resupmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11323	. . 3 ⊢ < Or ℝ
2		suppr 9493	. . 3 ⊢ (( < Or ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝐵 < 𝐴, 𝐴, 𝐵))
3	1, 2	mp3an1 1449	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝐵 < 𝐴, 𝐴, 𝐵))
4		ifnot 4558	. . 3 ⊢ if(¬ 𝐵 < 𝐴, 𝐵, 𝐴) = if(𝐵 < 𝐴, 𝐴, 𝐵)
5		lenlt 11321	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
6	5	bicomd 223	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < 𝐴 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
7	6	ifbid 4529	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(¬ 𝐵 < 𝐴, 𝐵, 𝐴) = if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
8	4, 7	eqtr3id 2783	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐵 < 𝐴, 𝐴, 𝐵) = if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
9	3, 8	eqtrd 2769	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ifcif 4505  {cpr 4608   class class class wbr 5123   Or wor 5571  supcsup 9462  ℝcr 11136   < clt 11277   ≤ cle 11278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-resscn 11194  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-sup 9464  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283

This theorem is referenced by: (None)