Theorem 2resupmax 13188

Description: The supremum of two real numbers is the maximum of these two numbers. (Contributed by AV, 8-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2resupmax	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem 2resupmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11260	. . 3 ⊢ < Or ℝ
2		suppr 9415	. . 3 ⊢ (( < Or ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝐵 < 𝐴, 𝐴, 𝐵))
3	1, 2	mp3an1 1468	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝐵 < 𝐴, 𝐴, 𝐵))
4		ifnot 4532	. . 3 ⊢ if(¬ 𝐵 < 𝐴, 𝐵, 𝐴) = if(𝐵 < 𝐴, 𝐴, 𝐵)
5		lenlt 11258	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
6	5	bicomd 225	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < 𝐴 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
7	6	ifbid 4503	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(¬ 𝐵 < 𝐴, 𝐵, 𝐴) = if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
8	4, 7	eqtr3id 2810	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐵 < 𝐴, 𝐴, 𝐵) = if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
9	3, 8	eqtrd 2796	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ifcif 4479  {cpr 4583   class class class wbr 5099   Or wor 5552  supcsup 9383  ℝcr 11069   < clt 11213   ≤ cle 11214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-resscn 11127  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-sup 9385  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219

This theorem is referenced by: (None)