Theorem 2resupmax 13232

Description: The supremum of two real numbers is the maximum of these two numbers. (Contributed by AV, 8-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2resupmax	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem 2resupmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11308	. . 3 ⊢ < Or ℝ
2		suppr 9442	. . 3 ⊢ (( < Or ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝐵 < 𝐴, 𝐴, 𝐵))
3	1, 2	mp3an1 1477	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝐵 < 𝐴, 𝐴, 𝐵))
4		ifnot 4545	. . 3 ⊢ if(¬ 𝐵 < 𝐴, 𝐵, 𝐴) = if(𝐵 < 𝐴, 𝐴, 𝐵)
5		lenlt 11306	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
6	5	bicomd 226	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < 𝐴 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
7	6	ifbid 4516	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(¬ 𝐵 < 𝐴, 𝐵, 𝐴) = if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
8	4, 7	eqtr3id 2815	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐵 < 𝐴, 𝐴, 𝐵) = if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
9	3, 8	eqtrd 2801	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ifcif 4492  {cpr 4596   class class class wbr 5114   Or wor 5573  supcsup 9410  ℝcr 11117   < clt 11261   ≤ cle 11262

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267

This theorem is used by: (None)