Theorem suppsssn 8225

Description: Show that the support of a function is a subset of a singleton. (Contributed by AV, 21-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppsssn.n	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ≠ 𝑊) → 𝐵 = 𝑍)
suppsssn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
suppsssn	⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ {𝑊})

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem suppsssn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4791	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑊}) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ≠ 𝑊))
2		suppsssn.n	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ≠ 𝑊) → 𝐵 = 𝑍)
3	2	3expb 1119	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ≠ 𝑊)) → 𝐵 = 𝑍)
4	1, 3	sylan2b 594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑊})) → 𝐵 = 𝑍)
5		suppsssn.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6	4, 5	suppss2 8224	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ {𝑊})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   ∖ cdif 3960   ⊆ wss 3963  {csn 4631   ↦ cmpt 5231  (class class class)co 7431   supp csupp 8184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-supp 8185

This theorem is referenced by:  uvcresum  21831  mamulid  22463  mamurid  22464