Theorem suppsssn 8205

Description: Show that the support of a function is a subset of a singleton. (Contributed by AV, 21-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppsssn.n	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ≠ 𝑊) → 𝐵 = 𝑍)
suppsssn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
suppsssn	⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ {𝑊})

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem suppsssn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4767	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑊}) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ≠ 𝑊))
2		suppsssn.n	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ≠ 𝑊) → 𝐵 = 𝑍)
3	2	3expb 1120	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ≠ 𝑊)) → 𝐵 = 𝑍)
4	1, 3	sylan2b 594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑊})) → 𝐵 = 𝑍)
5		suppsssn.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6	4, 5	suppss2 8204	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ {𝑊})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3928   ⊆ wss 3931  {csn 4606   ↦ cmpt 5206  (class class class)co 7410   supp csupp 8164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-supp 8165

This theorem is referenced by:  uvcresum  21758  mamulid  22384  mamurid  22385