Theorem suppsssn 8242

Description: Show that the support of a function is a subset of a singleton. (Contributed by AV, 21-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppsssn.n	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ≠ 𝑊) → 𝐵 = 𝑍)
suppsssn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
suppsssn	⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ {𝑊})

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem suppsssn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4811	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑊}) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ≠ 𝑊))
2		suppsssn.n	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ≠ 𝑊) → 𝐵 = 𝑍)
3	2	3expb 1120	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ≠ 𝑊)) → 𝐵 = 𝑍)
4	1, 3	sylan2b 593	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑊})) → 𝐵 = 𝑍)
5		suppsssn.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6	4, 5	suppss2 8241	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ {𝑊})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ∖ cdif 3973   ⊆ wss 3976  {csn 4648   ↦ cmpt 5249  (class class class)co 7448   supp csupp 8201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-supp 8202

This theorem is referenced by:  uvcresum  21836  mamulid  22468  mamurid  22469