Theorem suppsssn 8183

Description: Show that the support of a function is a subset of a singleton. (Contributed by AV, 21-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppsssn.n	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ≠ 𝑊) → 𝐵 = 𝑍)
suppsssn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
suppsssn	⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ {𝑊})

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem suppsssn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4748	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑊}) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ≠ 𝑊))
2		suppsssn.n	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ≠ 𝑊) → 𝐵 = 𝑍)
3	2	3expb 1134	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ≠ 𝑊)) → 𝐵 = 𝑍)
4	1, 3	sylan2b 603	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑊})) → 𝐵 = 𝑍)
5		suppsssn.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6	4, 5	suppss2 8182	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ {𝑊})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  {csn 4584   ↦ cmpt 5183  (class class class)co 7398   supp csupp 8142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-supp 8143

This theorem is referenced by:  uvcresum  21847  mamulid  22503  mamurid  22504