Theorem suppsssn 8145

Description: Show that the support of a function is a subset of a singleton. (Contributed by AV, 21-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppsssn.n	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ≠ 𝑊) → 𝐵 = 𝑍)
suppsssn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
suppsssn	⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ {𝑊})

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem suppsssn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4730	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑊}) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ≠ 𝑊))
2		suppsssn.n	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ≠ 𝑊) → 𝐵 = 𝑍)
3	2	3expb 1121	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ≠ 𝑊)) → 𝐵 = 𝑍)
4	1, 3	sylan2b 595	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑊})) → 𝐵 = 𝑍)
5		suppsssn.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6	4, 5	suppss2 8144	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ {𝑊})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  {csn 4568   ↦ cmpt 5167  (class class class)co 7361   supp csupp 8104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-supp 8105

This theorem is referenced by:  uvcresum  21786  mamulid  22419  mamurid  22420