MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suppsssn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suppsssn 8125
Description: Show that the support of a function is a subset of a singleton. (Contributed by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
suppsssn.n ((𝜑𝑘𝐴𝑘𝑊) → 𝐵 = 𝑍)
suppsssn.a (𝜑𝐴𝑉)
Assertion
Ref Expression
suppsssn (𝜑 → ((𝑘𝐴𝐵) supp 𝑍) ⊆ {𝑊})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem suppsssn
StepHypRef Expression
1 eldifsn 4746 . . 3 (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑊}) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝑊))
2 suppsssn.n . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴𝑘𝑊) → 𝐵 = 𝑍)
323expb 1121 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑘𝑊)) → 𝐵 = 𝑍)
41, 3sylan2b 595 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑊})) → 𝐵 = 𝑍)
5 suppsssn.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
64, 5suppss2 8124 1 (𝜑 → ((𝑘𝐴𝐵) supp 𝑍) ⊆ {𝑊})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2942  cdif 3906  wss 3909  {csn 4585  cmpt 5187  (class class class)co 7352   supp csupp 8085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pr 5383  ax-un 7665
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5530  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-supp 8086
This theorem is referenced by:  uvcresum  21152  mamulid  21742  mamurid  21743
  Copyright terms: Public domain W3C validator