Theorem mamurid 21339

Description: The identity matrix (as operation in maps-to notation) is a right identity (for any matrix with the same number of columns). (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamumat1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamumat1cl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mamumat1cl.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mamumat1cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mamumat1cl.i	⊢ 𝐼 = (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
mamumat1cl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
mamulid.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mamurid.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑀, 𝑀⟩)
mamurid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)))

Assertion

Ref	Expression
mamurid	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐵   𝑖,𝑀,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗   0 ,𝑖,𝑗   1 ,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑖,𝑗)   𝐹(𝑖,𝑗)   𝐼(𝑖,𝑗)   𝑁(𝑖,𝑗)   𝑋(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mamurid

Dummy variables 𝑘 𝑙 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mamurid.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑀, 𝑀⟩)
2		mamumat1cl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		mamumat1cl.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5	4	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → 𝑅 ∈ Ring)
6		mamulid.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
7	6	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → 𝑁 ∈ Fin)
8		mamumat1cl.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
9	8	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → 𝑀 ∈ Fin)
10		mamurid.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)))
11	10	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)))
12		mamumat1cl.o	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
13		mamumat1cl.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
14		mamumat1cl.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
15	2, 4, 12, 13, 14, 8	mamumat1cl 21336	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑀)))
16	15	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → 𝐼 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑀)))
17		simprl 771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → 𝑙 ∈ 𝑁)
18		simprr 773	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → 𝑚 ∈ 𝑀)
19	1, 2, 3, 5, 7, 9, 9, 11, 16, 17, 18	mamufv 21286	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))))
20		ringmnd 19572	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
21	5, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → 𝑅 ∈ Mnd)
22	4	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
23		elmapi 8530	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
24	10, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
25	24	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → 𝑋:(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
26		simplrl 777	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → 𝑙 ∈ 𝑁)
27		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → 𝑘 ∈ 𝑀)
28	25, 26, 27	fovrnd 7380	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → (𝑙𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
29		elmapi 8530	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑀)) → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
30	15, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
31	30	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
32		simplrr 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → 𝑚 ∈ 𝑀)
33	31, 27, 32	fovrnd 7380	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → (𝑘𝐼𝑚) ∈ 𝐵)
34	2, 3	ringcl 19579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑙𝑋𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝑘𝐼𝑚) ∈ 𝐵) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) ∈ 𝐵)
35	22, 28, 33, 34	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) ∈ 𝐵)
36	35	fmpttd 6932	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → (𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚))):𝑀⟶𝐵)
37		simp2 1139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ≠ 𝑚) → 𝑘 ∈ 𝑀)
38	32	3adant3 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ≠ 𝑚) → 𝑚 ∈ 𝑀)
39	2, 4, 12, 13, 14, 8	mat1comp 21337	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → (𝑘𝐼𝑚) = if(𝑘 = 𝑚, 1 , 0 ))
40	37, 38, 39	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ≠ 𝑚) → (𝑘𝐼𝑚) = if(𝑘 = 𝑚, 1 , 0 ))
41		ifnefalse 4451	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ≠ 𝑚 → if(𝑘 = 𝑚, 1 , 0 ) = 0 )
42	41	3ad2ant3 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ≠ 𝑚) → if(𝑘 = 𝑚, 1 , 0 ) = 0 )
43	40, 42	eqtrd 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ≠ 𝑚) → (𝑘𝐼𝑚) = 0 )
44	43	oveq2d 7229	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ≠ 𝑚) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) = ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅) 0 ))
45	2, 3, 13	ringrz 19606	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑙𝑋𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
46	22, 28, 45	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
47	46	3adant3 1134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ≠ 𝑚) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
48	44, 47	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ≠ 𝑚) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) = 0 )
49	48, 9	suppsssn 7943	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → ((𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚))) supp 0 ) ⊆ {𝑚})
50	2, 13, 21, 9, 18, 36, 49	gsumpt 19347	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))) = ((𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))‘𝑚))
51		oveq2 7221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑙𝑋𝑘) = (𝑙𝑋𝑚))
52		oveq1 7220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝐼𝑚) = (𝑚𝐼𝑚))
53	51, 52	oveq12d 7231	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝐼𝑚)))
54		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚))) = (𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))
55		ovex 7246	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝐼𝑚)) ∈ V
56	53, 54, 55	fvmpt 6818	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑀 → ((𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))‘𝑚) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝐼𝑚)))
57	56	ad2antll 729	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → ((𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))‘𝑚) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝐼𝑚)))
58		equequ1 2033	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (𝑖 = 𝑗 ↔ 𝑚 = 𝑗))
59	58	ifbid 4462	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) = if(𝑚 = 𝑗, 1 , 0 ))
60		equequ2 2034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝑚 = 𝑗 ↔ 𝑚 = 𝑚))
61	60	ifbid 4462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → if(𝑚 = 𝑗, 1 , 0 ) = if(𝑚 = 𝑚, 1 , 0 ))
62		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑚 = 𝑚
63	62	iftruei 4446	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(𝑚 = 𝑚, 1 , 0 ) = 1
64	61, 63	eqtrdi 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → if(𝑚 = 𝑗, 1 , 0 ) = 1 )
65	12	fvexi 6731	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
66	59, 64, 14, 65	ovmpo 7369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → (𝑚𝐼𝑚) = 1 )
67	66	anidms 570	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑀 → (𝑚𝐼𝑚) = 1 )
68	67	oveq2d 7229	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑀 → ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝐼𝑚)) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅) 1 ))
69	68	ad2antll 729	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝐼𝑚)) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅) 1 ))
70	24	fovrnda 7379	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → (𝑙𝑋𝑚) ∈ 𝐵)
71	2, 3, 12	ringridm 19590	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑙𝑋𝑚) ∈ 𝐵) → ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅) 1 ) = (𝑙𝑋𝑚))
72	5, 70, 71	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅) 1 ) = (𝑙𝑋𝑚))
73	57, 69, 72	3eqtrd 2781	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → ((𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))‘𝑚) = (𝑙𝑋𝑚))
74	19, 50, 73	3eqtrd 2781	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑙𝑋𝑚))
75	74	ralrimivva 3112	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ 𝑁 ∀𝑚 ∈ 𝑀 (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑙𝑋𝑚))
76	2, 4, 1, 6, 8, 8, 10, 15	mamucl 21298	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)))
77		elmapi 8530	. . . . 5 ⊢ ((𝑋𝐹𝐼) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)) → (𝑋𝐹𝐼):(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
78	76, 77	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼):(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
79	78	ffnd 6546	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼) Fn (𝑁 × 𝑀))
80	24	ffnd 6546	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑀))
81		eqfnov2 7340	. . 3 ⊢ (((𝑋𝐹𝐼) Fn (𝑁 × 𝑀) ∧ 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑀)) → ((𝑋𝐹𝐼) = 𝑋 ↔ ∀𝑙 ∈ 𝑁 ∀𝑚 ∈ 𝑀 (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑙𝑋𝑚)))
82	79, 80, 81	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝐼) = 𝑋 ↔ ∀𝑙 ∈ 𝑁 ∀𝑚 ∈ 𝑀 (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑙𝑋𝑚)))
83	75, 82	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ifcif 4439  ⟨cotp 4549   ↦ cmpt 5135   × cxp 5549   Fn wfn 6375  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213   ∈ cmpo 7215   ↑_m cmap 8508  Fincfn 8626  Basecbs 16760  ._rcmulr 16803  0_gc0g 16944   Σ_g cgsu 16945  Mndcmnd 18173  1_rcur 19516  Ringcrg 19562   maMul cmmul 21282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-ot 4550  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-hash 13897  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-abl 19173  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-mamu 21283

This theorem is referenced by:  matring  21340  mat1  21344