MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamurid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamurid 20735
Description: The identity matrix (as operation in maps-to notation) is a right identity (for any matrix with the same number of columns). (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mamumat1cl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamumat1cl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mamumat1cl.o 1 = (1r𝑅)
mamumat1cl.z 0 = (0g𝑅)
mamumat1cl.i 𝐼 = (𝑖𝑀, 𝑗𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
mamumat1cl.m (𝜑𝑀 ∈ Fin)
mamulid.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mamurid.f 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑀, 𝑀⟩)
mamurid.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑀)))
Assertion
Ref Expression
mamurid (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐵   𝑖,𝑀,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗   0 ,𝑖,𝑗   1 ,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑖,𝑗)   𝐹(𝑖,𝑗)   𝐼(𝑖,𝑗)   𝑁(𝑖,𝑗)   𝑋(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mamurid
Dummy variables 𝑘 𝑙 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamurid.f . . . . 5 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑀, 𝑀⟩)
2 mamumat1cl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 eqid 2795 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4 mamumat1cl.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
54adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → 𝑅 ∈ Ring)
6 mamulid.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
76adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → 𝑁 ∈ Fin)
8 mamumat1cl.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ Fin)
98adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → 𝑀 ∈ Fin)
10 mamurid.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑀)))
1110adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑀)))
12 mamumat1cl.o . . . . . . 7 1 = (1r𝑅)
13 mamumat1cl.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
14 mamumat1cl.i . . . . . . 7 𝐼 = (𝑖𝑀, 𝑗𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
152, 4, 12, 13, 14, 8mamumat1cl 20732 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑀)))
1615adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → 𝐼 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑀)))
17 simprl 767 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → 𝑙𝑁)
18 simprr 769 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → 𝑚𝑀)
191, 2, 3, 5, 7, 9, 9, 11, 16, 17, 18mamufv 20680 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑅 Σg (𝑘𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))))
20 ringmnd 18996 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
215, 20syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → 𝑅 ∈ Mnd)
224ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
23 elmapi 8278 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑀)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
2410, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋:(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
2524ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀) → 𝑋:(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
26 simplrl 773 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀) → 𝑙𝑁)
27 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀) → 𝑘𝑀)
2825, 26, 27fovrnd 7176 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀) → (𝑙𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
29 elmapi 8278 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑀)) → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
3015, 29syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
3130ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀) → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
32 simplrr 774 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀) → 𝑚𝑀)
3331, 27, 32fovrnd 7176 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀) → (𝑘𝐼𝑚) ∈ 𝐵)
342, 3ringcl 19001 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑙𝑋𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝑘𝐼𝑚) ∈ 𝐵) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) ∈ 𝐵)
3522, 28, 33, 34syl3anc 1364 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) ∈ 𝐵)
3635fmpttd 6742 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → (𝑘𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚))):𝑀𝐵)
37 simp2 1130 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀𝑘𝑚) → 𝑘𝑀)
38323adant3 1125 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀𝑘𝑚) → 𝑚𝑀)
392, 4, 12, 13, 14, 8mat1comp 20733 . . . . . . . . . 10 ((𝑘𝑀𝑚𝑀) → (𝑘𝐼𝑚) = if(𝑘 = 𝑚, 1 , 0 ))
4037, 38, 39syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀𝑘𝑚) → (𝑘𝐼𝑚) = if(𝑘 = 𝑚, 1 , 0 ))
41 ifnefalse 4393 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑚 → if(𝑘 = 𝑚, 1 , 0 ) = 0 )
42413ad2ant3 1128 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀𝑘𝑚) → if(𝑘 = 𝑚, 1 , 0 ) = 0 )
4340, 42eqtrd 2831 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀𝑘𝑚) → (𝑘𝐼𝑚) = 0 )
4443oveq2d 7032 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀𝑘𝑚) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) = ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅) 0 ))
452, 3, 13ringrz 19028 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑙𝑋𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅) 0 ) = 0 )
4622, 28, 45syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅) 0 ) = 0 )
47463adant3 1125 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀𝑘𝑚) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅) 0 ) = 0 )
4844, 47eqtrd 2831 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀𝑘𝑚) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) = 0 )
4948, 9suppsssn 7716 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → ((𝑘𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚))) supp 0 ) ⊆ {𝑚})
502, 13, 21, 9, 18, 36, 49gsumpt 18802 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → (𝑅 Σg (𝑘𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))) = ((𝑘𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))‘𝑚))
51 oveq2 7024 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → (𝑙𝑋𝑘) = (𝑙𝑋𝑚))
52 oveq1 7023 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝐼𝑚) = (𝑚𝐼𝑚))
5351, 52oveq12d 7034 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝐼𝑚)))
54 eqid 2795 . . . . . . 7 (𝑘𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚))) = (𝑘𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))
55 ovex 7048 . . . . . . 7 ((𝑙𝑋𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝐼𝑚)) ∈ V
5653, 54, 55fvmpt 6635 . . . . . 6 (𝑚𝑀 → ((𝑘𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))‘𝑚) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝐼𝑚)))
5756ad2antll 725 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → ((𝑘𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))‘𝑚) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝐼𝑚)))
58 equequ1 2009 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑚 → (𝑖 = 𝑗𝑚 = 𝑗))
5958ifbid 4403 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑚 → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) = if(𝑚 = 𝑗, 1 , 0 ))
60 equequ2 2010 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑚 → (𝑚 = 𝑗𝑚 = 𝑚))
6160ifbid 4403 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑚 → if(𝑚 = 𝑗, 1 , 0 ) = if(𝑚 = 𝑚, 1 , 0 ))
62 eqid 2795 . . . . . . . . . . 11 𝑚 = 𝑚
6362iftruei 4388 . . . . . . . . . 10 if(𝑚 = 𝑚, 1 , 0 ) = 1
6461, 63syl6eq 2847 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑚 → if(𝑚 = 𝑗, 1 , 0 ) = 1 )
6512fvexi 6552 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
6659, 64, 14, 65ovmpo 7166 . . . . . . . 8 ((𝑚𝑀𝑚𝑀) → (𝑚𝐼𝑚) = 1 )
6766anidms 567 . . . . . . 7 (𝑚𝑀 → (𝑚𝐼𝑚) = 1 )
6867oveq2d 7032 . . . . . 6 (𝑚𝑀 → ((𝑙𝑋𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝐼𝑚)) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r𝑅) 1 ))
6968ad2antll 725 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → ((𝑙𝑋𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝐼𝑚)) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r𝑅) 1 ))
7024fovrnda 7175 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → (𝑙𝑋𝑚) ∈ 𝐵)
712, 3, 12ringridm 19012 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑙𝑋𝑚) ∈ 𝐵) → ((𝑙𝑋𝑚)(.r𝑅) 1 ) = (𝑙𝑋𝑚))
725, 70, 71syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → ((𝑙𝑋𝑚)(.r𝑅) 1 ) = (𝑙𝑋𝑚))
7357, 69, 723eqtrd 2835 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → ((𝑘𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))‘𝑚) = (𝑙𝑋𝑚))
7419, 50, 733eqtrd 2835 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑙𝑋𝑚))
7574ralrimivva 3158 . 2 (𝜑 → ∀𝑙𝑁𝑚𝑀 (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑙𝑋𝑚))
762, 4, 1, 6, 8, 8, 10, 15mamucl 20694 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼) ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑀)))
77 elmapi 8278 . . . . 5 ((𝑋𝐹𝐼) ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑀)) → (𝑋𝐹𝐼):(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
7876, 77syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼):(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
7978ffnd 6383 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼) Fn (𝑁 × 𝑀))
8024ffnd 6383 . . 3 (𝜑𝑋 Fn (𝑁 × 𝑀))
81 eqfnov2 7137 . . 3 (((𝑋𝐹𝐼) Fn (𝑁 × 𝑀) ∧ 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑀)) → ((𝑋𝐹𝐼) = 𝑋 ↔ ∀𝑙𝑁𝑚𝑀 (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑙𝑋𝑚)))
8279, 80, 81syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝑋𝐹𝐼) = 𝑋 ↔ ∀𝑙𝑁𝑚𝑀 (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑙𝑋𝑚)))
8375, 82mpbird 258 1 (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  wral 3105  ifcif 4381  cotp 4480  cmpt 5041   × cxp 5441   Fn wfn 6220  wf 6221  cfv 6225  (class class class)co 7016  cmpo 7018  𝑚 cmap 8256  Fincfn 8357  Basecbs 16312  .rcmulr 16395  0gc0g 16542   Σg cgsu 16543  Mndcmnd 17733  1rcur 18941  Ringcrg 18987   maMul cmmul 20676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-ot 4481  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-oi 8820  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-seq 13220  df-hash 13541  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-submnd 17775  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-mulg 17982  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-abl 18636  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-ring 18989  df-mamu 20677
This theorem is referenced by:  matring  20736  mat1  20740
  Copyright terms: Public domain W3C validator