Theorem mamurid 22757

Description: The identity matrix (as operation in maps-to notation) is a right identity (for any matrix with the same number of columns). (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamumat1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamumat1cl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mamumat1cl.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mamumat1cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mamumat1cl.i	⊢ 𝐼 = (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
mamumat1cl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
mamulid.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mamurid.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑀, 𝑀⟩)
mamurid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)))

Assertion

Ref	Expression
mamurid	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐵   𝑖,𝑀,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗   0 ,𝑖,𝑗   1 ,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑖, 𝑗)   𝐹(𝑖, 𝑗)   𝐼(𝑖, 𝑗)   𝑁(𝑖, 𝑗)   𝑋(𝑖, 𝑗)

Proof of Theorem mamurid

Dummy variables 𝑘 𝑙 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mamurid.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑀, 𝑀⟩)
2		mamumat1cl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		mamumat1cl.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → 𝑅 ∈ Ring)
6		mamulid.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
7	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → 𝑁 ∈ Fin)
8		mamumat1cl.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → 𝑀 ∈ Fin)
10		mamurid.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)))
11	10	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)))
12		mamumat1cl.o	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
13		mamumat1cl.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
14		mamumat1cl.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
15	2, 4, 12, 13, 14, 8	mamumat1cl 22754	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑀)))
16	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → 𝐼 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑀)))
17		simprl 783	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → 𝑙 ∈ 𝑁)
18		simprr 785	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → 𝑚 ∈ 𝑀)
19	1, 2, 3, 5, 7, 9, 9, 11, 16, 17, 18	mamufv 22709	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))))
20		ringmnd 20470	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
21	5, 20	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → 𝑅 ∈ Mnd)
22	4	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
23		elmapi 8869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
24	10, 23	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
25	24	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → 𝑋:(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
26		simplrl 789	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → 𝑙 ∈ 𝑁)
27		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → 𝑘 ∈ 𝑀)
28	25, 26, 27	fovcdmd 7593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → (𝑙𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
29		elmapi 8869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑀)) → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
30	15, 29	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
31	30	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
32		simplrr 790	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → 𝑚 ∈ 𝑀)
33	31, 27, 32	fovcdmd 7593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → (𝑘𝐼𝑚) ∈ 𝐵)
34	2, 3	ringcl 20477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑙𝑋𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝑘𝐼𝑚) ∈ 𝐵) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) ∈ 𝐵)
35	22, 28, 33, 34	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) ∈ 𝐵)
36	35	fmpttd 7115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → (𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚))):𝑀⟶𝐵)
37		simp2 1155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ≠ 𝑚) → 𝑘 ∈ 𝑀)
38	32	3adant3 1150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ≠ 𝑚) → 𝑚 ∈ 𝑀)
39	2, 4, 12, 13, 14, 8	mat1comp 22755	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → (𝑘𝐼𝑚) = if(𝑘 = 𝑚, 1 , 0 ))
40	37, 38, 39	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ≠ 𝑚) → (𝑘𝐼𝑚) = if(𝑘 = 𝑚, 1 , 0 ))
41		ifnefalse 4493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ≠ 𝑚 → if(𝑘 = 𝑚, 1 , 0 ) = 0 )
42	41	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ≠ 𝑚) → if(𝑘 = 𝑚, 1 , 0 ) = 0 )
43	40, 42	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ≠ 𝑚) → (𝑘𝐼𝑚) = 0 )
44	43	oveq2d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ≠ 𝑚) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) = ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅) 0 ))
45	2, 3, 13	ringrz 20525	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑙𝑋𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
46	22, 28, 45	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
47	46	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ≠ 𝑚) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
48	44, 47	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ≠ 𝑚) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) = 0 )
49	48, 9	suppsssn 8218	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → ((𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚))) supp 0 ) ⊆ {𝑚})
50	2, 13, 21, 9, 18, 36, 49	gsumpt 20176	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))) = ((𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))‘𝑚))
51		oveq2 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑙𝑋𝑘) = (𝑙𝑋𝑚))
52		oveq1 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝐼𝑚) = (𝑚𝐼𝑚))
53	51, 52	oveq12d 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝐼𝑚)))
54		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚))) = (𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))
55		ovex 7453	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝐼𝑚)) ∈ V
56	53, 54, 55	fvmpt 6993	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑀 → ((𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))‘𝑚) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝐼𝑚)))
57	56	ad2antll 742	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → ((𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))‘𝑚) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝐼𝑚)))
58		equequ1 2057	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (𝑖 = 𝑗 ↔ 𝑚 = 𝑗))
59	58	ifbid 4505	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) = if(𝑚 = 𝑗, 1 , 0 ))
60		equequ2 2058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝑚 = 𝑗 ↔ 𝑚 = 𝑚))
61	60	ifbid 4505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → if(𝑚 = 𝑗, 1 , 0 ) = if(𝑚 = 𝑚, 1 , 0 ))
62		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑚 = 𝑚
63	62	iftruei 4488	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(𝑚 = 𝑚, 1 , 0 ) = 1
64	61, 63	eqtrdi 2811	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → if(𝑚 = 𝑗, 1 , 0 ) = 1 )
65	12	fvexi 6899	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
66	59, 64, 14, 65	ovmpo 7580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → (𝑚𝐼𝑚) = 1 )
67	66	anidms 577	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑀 → (𝑚𝐼𝑚) = 1 )
68	67	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑀 → ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝐼𝑚)) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅) 1 ))
69	68	ad2antll 742	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝐼𝑚)) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅) 1 ))
70	24	fovcdmda 7592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → (𝑙𝑋𝑚) ∈ 𝐵)
71	2, 3, 12	ringridm 20499	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑙𝑋𝑚) ∈ 𝐵) → ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅) 1 ) = (𝑙𝑋𝑚))
72	5, 70, 71	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅) 1 ) = (𝑙𝑋𝑚))
73	57, 69, 72	3eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → ((𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))‘𝑚) = (𝑙𝑋𝑚))
74	19, 50, 73	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑙𝑋𝑚))
75	74	ralrimivva 3205	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ 𝑁 ∀𝑚 ∈ 𝑀 (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑙𝑋𝑚))
76	2, 4, 1, 6, 8, 8, 10, 15	mamucl 22716	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)))
77		elmapi 8869	. . . . 5 ⊢ ((𝑋𝐹𝐼) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)) → (𝑋𝐹𝐼):(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
78	76, 77	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼):(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
79	78	ffnd 6710	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼) Fn (𝑁 × 𝑀))
80	24	ffnd 6710	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑀))
81		eqfnov2 7550	. . 3 ⊢ (((𝑋𝐹𝐼) Fn (𝑁 × 𝑀) ∧ 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑀)) → ((𝑋𝐹𝐼) = 𝑋 ↔ ∀𝑙 ∈ 𝑁 ∀𝑚 ∈ 𝑀 (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑙𝑋𝑚)))
82	79, 80, 81	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝐼) = 𝑋 ↔ ∀𝑙 ∈ 𝑁 ∀𝑚 ∈ 𝑀 (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑙𝑋𝑚)))
83	75, 82	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ifcif 4481  ⟨cotp 4591   ↦ cmpt 5185   × cxp 5648   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422   ↑_m cmap 8847  Fincfn 8973  Basecbs 17387  ._rcmulr 17429  0_gc0g 17610   Σ_g cgsu 17611  Mndcmnd 18923  1_rcur 20407  Ringcrg 20459   maMul cmmul 22705

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-ot 4592  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-mamu 22706

This theorem is used by:  matring  22758  mat1  22762