Theorem mamurid 21499

Description: The identity matrix (as operation in maps-to notation) is a right identity (for any matrix with the same number of columns). (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamumat1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamumat1cl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mamumat1cl.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mamumat1cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mamumat1cl.i	⊢ 𝐼 = (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
mamumat1cl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
mamulid.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mamurid.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑀, 𝑀⟩)
mamurid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)))

Assertion

Ref	Expression
mamurid	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐵   𝑖,𝑀,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗   0 ,𝑖,𝑗   1 ,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑖,𝑗)   𝐹(𝑖,𝑗)   𝐼(𝑖,𝑗)   𝑁(𝑖,𝑗)   𝑋(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mamurid

Dummy variables 𝑘 𝑙 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mamurid.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑀, 𝑀⟩)
2		mamumat1cl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		mamumat1cl.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → 𝑅 ∈ Ring)
6		mamulid.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → 𝑁 ∈ Fin)
8		mamumat1cl.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → 𝑀 ∈ Fin)
10		mamurid.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)))
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)))
12		mamumat1cl.o	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
13		mamumat1cl.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
14		mamumat1cl.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
15	2, 4, 12, 13, 14, 8	mamumat1cl 21496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑀)))
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → 𝐼 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑀)))
17		simprl 767	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → 𝑙 ∈ 𝑁)
18		simprr 769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → 𝑚 ∈ 𝑀)
19	1, 2, 3, 5, 7, 9, 9, 11, 16, 17, 18	mamufv 21446	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))))
20		ringmnd 19708	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
21	5, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → 𝑅 ∈ Mnd)
22	4	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
23		elmapi 8595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
24	10, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
25	24	ad2antrr 722	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → 𝑋:(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
26		simplrl 773	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → 𝑙 ∈ 𝑁)
27		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → 𝑘 ∈ 𝑀)
28	25, 26, 27	fovrnd 7422	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → (𝑙𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
29		elmapi 8595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑀)) → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
30	15, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
31	30	ad2antrr 722	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
32		simplrr 774	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → 𝑚 ∈ 𝑀)
33	31, 27, 32	fovrnd 7422	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → (𝑘𝐼𝑚) ∈ 𝐵)
34	2, 3	ringcl 19715	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑙𝑋𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝑘𝐼𝑚) ∈ 𝐵) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) ∈ 𝐵)
35	22, 28, 33, 34	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) ∈ 𝐵)
36	35	fmpttd 6971	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → (𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚))):𝑀⟶𝐵)
37		simp2 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ≠ 𝑚) → 𝑘 ∈ 𝑀)
38	32	3adant3 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ≠ 𝑚) → 𝑚 ∈ 𝑀)
39	2, 4, 12, 13, 14, 8	mat1comp 21497	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → (𝑘𝐼𝑚) = if(𝑘 = 𝑚, 1 , 0 ))
40	37, 38, 39	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ≠ 𝑚) → (𝑘𝐼𝑚) = if(𝑘 = 𝑚, 1 , 0 ))
41		ifnefalse 4468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ≠ 𝑚 → if(𝑘 = 𝑚, 1 , 0 ) = 0 )
42	41	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ≠ 𝑚) → if(𝑘 = 𝑚, 1 , 0 ) = 0 )
43	40, 42	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ≠ 𝑚) → (𝑘𝐼𝑚) = 0 )
44	43	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ≠ 𝑚) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) = ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅) 0 ))
45	2, 3, 13	ringrz 19742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑙𝑋𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
46	22, 28, 45	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
47	46	3adant3 1130	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ≠ 𝑚) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
48	44, 47	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ≠ 𝑚) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) = 0 )
49	48, 9	suppsssn 7988	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → ((𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚))) supp 0 ) ⊆ {𝑚})
50	2, 13, 21, 9, 18, 36, 49	gsumpt 19478	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))) = ((𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))‘𝑚))
51		oveq2 7263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑙𝑋𝑘) = (𝑙𝑋𝑚))
52		oveq1 7262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝐼𝑚) = (𝑚𝐼𝑚))
53	51, 52	oveq12d 7273	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝐼𝑚)))
54		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚))) = (𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))
55		ovex 7288	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝐼𝑚)) ∈ V
56	53, 54, 55	fvmpt 6857	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑀 → ((𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))‘𝑚) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝐼𝑚)))
57	56	ad2antll 725	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → ((𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))‘𝑚) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝐼𝑚)))
58		equequ1 2029	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (𝑖 = 𝑗 ↔ 𝑚 = 𝑗))
59	58	ifbid 4479	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) = if(𝑚 = 𝑗, 1 , 0 ))
60		equequ2 2030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝑚 = 𝑗 ↔ 𝑚 = 𝑚))
61	60	ifbid 4479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → if(𝑚 = 𝑗, 1 , 0 ) = if(𝑚 = 𝑚, 1 , 0 ))
62		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑚 = 𝑚
63	62	iftruei 4463	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(𝑚 = 𝑚, 1 , 0 ) = 1
64	61, 63	eqtrdi 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → if(𝑚 = 𝑗, 1 , 0 ) = 1 )
65	12	fvexi 6770	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
66	59, 64, 14, 65	ovmpo 7411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → (𝑚𝐼𝑚) = 1 )
67	66	anidms 566	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑀 → (𝑚𝐼𝑚) = 1 )
68	67	oveq2d 7271	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑀 → ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝐼𝑚)) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅) 1 ))
69	68	ad2antll 725	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝐼𝑚)) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅) 1 ))
70	24	fovrnda 7421	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → (𝑙𝑋𝑚) ∈ 𝐵)
71	2, 3, 12	ringridm 19726	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑙𝑋𝑚) ∈ 𝐵) → ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅) 1 ) = (𝑙𝑋𝑚))
72	5, 70, 71	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅) 1 ) = (𝑙𝑋𝑚))
73	57, 69, 72	3eqtrd 2782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → ((𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))‘𝑚) = (𝑙𝑋𝑚))
74	19, 50, 73	3eqtrd 2782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑙𝑋𝑚))
75	74	ralrimivva 3114	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ 𝑁 ∀𝑚 ∈ 𝑀 (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑙𝑋𝑚))
76	2, 4, 1, 6, 8, 8, 10, 15	mamucl 21458	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)))
77		elmapi 8595	. . . . 5 ⊢ ((𝑋𝐹𝐼) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)) → (𝑋𝐹𝐼):(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
78	76, 77	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼):(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
79	78	ffnd 6585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼) Fn (𝑁 × 𝑀))
80	24	ffnd 6585	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑀))
81		eqfnov2 7382	. . 3 ⊢ (((𝑋𝐹𝐼) Fn (𝑁 × 𝑀) ∧ 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑀)) → ((𝑋𝐹𝐼) = 𝑋 ↔ ∀𝑙 ∈ 𝑁 ∀𝑚 ∈ 𝑀 (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑙𝑋𝑚)))
82	79, 80, 81	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝐼) = 𝑋 ↔ ∀𝑙 ∈ 𝑁 ∀𝑚 ∈ 𝑀 (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑙𝑋𝑚)))
83	75, 82	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ifcif 4456  ⟨cotp 4566   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257   ↑_m cmap 8573  Fincfn 8691  Basecbs 16840  ._rcmulr 16889  0_gc0g 17067   Σ_g cgsu 17068  Mndcmnd 18300  1_rcur 19652  Ringcrg 19698   maMul cmmul 21442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-mamu 21443

This theorem is referenced by:  matring  21500  mat1  21504