MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamurid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamurid 21791
Description: The identity matrix (as operation in maps-to notation) is a right identity (for any matrix with the same number of columns). (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mamumat1cl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamumat1cl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mamumat1cl.o 1 = (1r𝑅)
mamumat1cl.z 0 = (0g𝑅)
mamumat1cl.i 𝐼 = (𝑖𝑀, 𝑗𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
mamumat1cl.m (𝜑𝑀 ∈ Fin)
mamulid.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mamurid.f 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑀, 𝑀⟩)
mamurid.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑀)))
Assertion
Ref Expression
mamurid (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐵   𝑖,𝑀,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗   0 ,𝑖,𝑗   1 ,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑖,𝑗)   𝐹(𝑖,𝑗)   𝐼(𝑖,𝑗)   𝑁(𝑖,𝑗)   𝑋(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mamurid
Dummy variables 𝑘 𝑙 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamurid.f . . . . 5 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑀, 𝑀⟩)
2 mamumat1cl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 eqid 2736 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4 mamumat1cl.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
54adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → 𝑅 ∈ Ring)
6 mamulid.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
76adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → 𝑁 ∈ Fin)
8 mamumat1cl.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ Fin)
98adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → 𝑀 ∈ Fin)
10 mamurid.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑀)))
1110adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → 𝑋 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑀)))
12 mamumat1cl.o . . . . . . 7 1 = (1r𝑅)
13 mamumat1cl.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
14 mamumat1cl.i . . . . . . 7 𝐼 = (𝑖𝑀, 𝑗𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
152, 4, 12, 13, 14, 8mamumat1cl 21788 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑀)))
1615adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → 𝐼 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑀)))
17 simprl 769 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → 𝑙𝑁)
18 simprr 771 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → 𝑚𝑀)
191, 2, 3, 5, 7, 9, 9, 11, 16, 17, 18mamufv 21736 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑅 Σg (𝑘𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))))
20 ringmnd 19974 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
215, 20syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → 𝑅 ∈ Mnd)
224ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
23 elmapi 8787 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑀)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
2410, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋:(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
2524ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀) → 𝑋:(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
26 simplrl 775 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀) → 𝑙𝑁)
27 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀) → 𝑘𝑀)
2825, 26, 27fovcdmd 7526 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀) → (𝑙𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
29 elmapi 8787 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑀)) → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
3015, 29syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
3130ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀) → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
32 simplrr 776 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀) → 𝑚𝑀)
3331, 27, 32fovcdmd 7526 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀) → (𝑘𝐼𝑚) ∈ 𝐵)
342, 3ringcl 19981 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑙𝑋𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝑘𝐼𝑚) ∈ 𝐵) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) ∈ 𝐵)
3522, 28, 33, 34syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) ∈ 𝐵)
3635fmpttd 7063 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → (𝑘𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚))):𝑀𝐵)
37 simp2 1137 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀𝑘𝑚) → 𝑘𝑀)
38323adant3 1132 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀𝑘𝑚) → 𝑚𝑀)
392, 4, 12, 13, 14, 8mat1comp 21789 . . . . . . . . . 10 ((𝑘𝑀𝑚𝑀) → (𝑘𝐼𝑚) = if(𝑘 = 𝑚, 1 , 0 ))
4037, 38, 39syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀𝑘𝑚) → (𝑘𝐼𝑚) = if(𝑘 = 𝑚, 1 , 0 ))
41 ifnefalse 4498 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑚 → if(𝑘 = 𝑚, 1 , 0 ) = 0 )
42413ad2ant3 1135 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀𝑘𝑚) → if(𝑘 = 𝑚, 1 , 0 ) = 0 )
4340, 42eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀𝑘𝑚) → (𝑘𝐼𝑚) = 0 )
4443oveq2d 7373 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀𝑘𝑚) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) = ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅) 0 ))
452, 3, 13ringrz 20012 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑙𝑋𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅) 0 ) = 0 )
4622, 28, 45syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅) 0 ) = 0 )
47463adant3 1132 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀𝑘𝑚) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅) 0 ) = 0 )
4844, 47eqtrd 2776 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀𝑘𝑚) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) = 0 )
4948, 9suppsssn 8132 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → ((𝑘𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚))) supp 0 ) ⊆ {𝑚})
502, 13, 21, 9, 18, 36, 49gsumpt 19739 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → (𝑅 Σg (𝑘𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))) = ((𝑘𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))‘𝑚))
51 oveq2 7365 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → (𝑙𝑋𝑘) = (𝑙𝑋𝑚))
52 oveq1 7364 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝐼𝑚) = (𝑚𝐼𝑚))
5351, 52oveq12d 7375 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝐼𝑚)))
54 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑘𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚))) = (𝑘𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))
55 ovex 7390 . . . . . . 7 ((𝑙𝑋𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝐼𝑚)) ∈ V
5653, 54, 55fvmpt 6948 . . . . . 6 (𝑚𝑀 → ((𝑘𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))‘𝑚) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝐼𝑚)))
5756ad2antll 727 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → ((𝑘𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))‘𝑚) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝐼𝑚)))
58 equequ1 2028 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑚 → (𝑖 = 𝑗𝑚 = 𝑗))
5958ifbid 4509 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑚 → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) = if(𝑚 = 𝑗, 1 , 0 ))
60 equequ2 2029 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑚 → (𝑚 = 𝑗𝑚 = 𝑚))
6160ifbid 4509 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑚 → if(𝑚 = 𝑗, 1 , 0 ) = if(𝑚 = 𝑚, 1 , 0 ))
62 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 𝑚 = 𝑚
6362iftruei 4493 . . . . . . . . . 10 if(𝑚 = 𝑚, 1 , 0 ) = 1
6461, 63eqtrdi 2792 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑚 → if(𝑚 = 𝑗, 1 , 0 ) = 1 )
6512fvexi 6856 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
6659, 64, 14, 65ovmpo 7515 . . . . . . . 8 ((𝑚𝑀𝑚𝑀) → (𝑚𝐼𝑚) = 1 )
6766anidms 567 . . . . . . 7 (𝑚𝑀 → (𝑚𝐼𝑚) = 1 )
6867oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝑚𝑀 → ((𝑙𝑋𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝐼𝑚)) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r𝑅) 1 ))
6968ad2antll 727 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → ((𝑙𝑋𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝐼𝑚)) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r𝑅) 1 ))
7024fovcdmda 7525 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → (𝑙𝑋𝑚) ∈ 𝐵)
712, 3, 12ringridm 19993 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑙𝑋𝑚) ∈ 𝐵) → ((𝑙𝑋𝑚)(.r𝑅) 1 ) = (𝑙𝑋𝑚))
725, 70, 71syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → ((𝑙𝑋𝑚)(.r𝑅) 1 ) = (𝑙𝑋𝑚))
7357, 69, 723eqtrd 2780 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → ((𝑘𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))‘𝑚) = (𝑙𝑋𝑚))
7419, 50, 733eqtrd 2780 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑙𝑋𝑚))
7574ralrimivva 3197 . 2 (𝜑 → ∀𝑙𝑁𝑚𝑀 (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑙𝑋𝑚))
762, 4, 1, 6, 8, 8, 10, 15mamucl 21748 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼) ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑀)))
77 elmapi 8787 . . . . 5 ((𝑋𝐹𝐼) ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑀)) → (𝑋𝐹𝐼):(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
7876, 77syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼):(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
7978ffnd 6669 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼) Fn (𝑁 × 𝑀))
8024ffnd 6669 . . 3 (𝜑𝑋 Fn (𝑁 × 𝑀))
81 eqfnov2 7486 . . 3 (((𝑋𝐹𝐼) Fn (𝑁 × 𝑀) ∧ 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑀)) → ((𝑋𝐹𝐼) = 𝑋 ↔ ∀𝑙𝑁𝑚𝑀 (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑙𝑋𝑚)))
8279, 80, 81syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝑋𝐹𝐼) = 𝑋 ↔ ∀𝑙𝑁𝑚𝑀 (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑙𝑋𝑚)))
8375, 82mpbird 256 1 (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  ifcif 4486  cotp 4594  cmpt 5188   × cxp 5631   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  m cmap 8765  Fincfn 8883  Basecbs 17083  .rcmulr 17134  0gc0g 17321   Σg cgsu 17322  Mndcmnd 18556  1rcur 19913  Ringcrg 19964   maMul cmmul 21732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-mamu 21733
This theorem is referenced by:  matring  21792  mat1  21796
  Copyright terms: Public domain W3C validator