Theorem mamurid 22403

Description: The identity matrix (as operation in maps-to notation) is a right identity (for any matrix with the same number of columns). (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamumat1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamumat1cl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mamumat1cl.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mamumat1cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mamumat1cl.i	⊢ 𝐼 = (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
mamumat1cl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
mamulid.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mamurid.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑀, 𝑀⟩)
mamurid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)))

Assertion

Ref	Expression
mamurid	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐵   𝑖,𝑀,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗   0 ,𝑖,𝑗   1 ,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑖,𝑗)   𝐹(𝑖,𝑗)   𝐼(𝑖,𝑗)   𝑁(𝑖,𝑗)   𝑋(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mamurid

Dummy variables 𝑘 𝑙 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mamurid.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑀, 𝑀⟩)
2		mamumat1cl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		mamumat1cl.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → 𝑅 ∈ Ring)
6		mamulid.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → 𝑁 ∈ Fin)
8		mamumat1cl.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → 𝑀 ∈ Fin)
10		mamurid.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)))
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)))
12		mamumat1cl.o	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
13		mamumat1cl.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
14		mamumat1cl.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
15	2, 4, 12, 13, 14, 8	mamumat1cl 22400	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑀)))
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → 𝐼 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑀)))
17		simprl 771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → 𝑙 ∈ 𝑁)
18		simprr 773	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → 𝑚 ∈ 𝑀)
19	1, 2, 3, 5, 7, 9, 9, 11, 16, 17, 18	mamufv 22355	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))))
20		ringmnd 20195	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
21	5, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → 𝑅 ∈ Mnd)
22	4	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
23		elmapi 8800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
24	10, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
25	24	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → 𝑋:(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
26		simplrl 777	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → 𝑙 ∈ 𝑁)
27		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → 𝑘 ∈ 𝑀)
28	25, 26, 27	fovcdmd 7542	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → (𝑙𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
29		elmapi 8800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑀)) → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
30	15, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
31	30	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
32		simplrr 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → 𝑚 ∈ 𝑀)
33	31, 27, 32	fovcdmd 7542	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → (𝑘𝐼𝑚) ∈ 𝐵)
34	2, 3	ringcl 20202	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑙𝑋𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝑘𝐼𝑚) ∈ 𝐵) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) ∈ 𝐵)
35	22, 28, 33, 34	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) ∈ 𝐵)
36	35	fmpttd 7071	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → (𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚))):𝑀⟶𝐵)
37		simp2 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ≠ 𝑚) → 𝑘 ∈ 𝑀)
38	32	3adant3 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ≠ 𝑚) → 𝑚 ∈ 𝑀)
39	2, 4, 12, 13, 14, 8	mat1comp 22401	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → (𝑘𝐼𝑚) = if(𝑘 = 𝑚, 1 , 0 ))
40	37, 38, 39	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ≠ 𝑚) → (𝑘𝐼𝑚) = if(𝑘 = 𝑚, 1 , 0 ))
41		ifnefalse 4493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ≠ 𝑚 → if(𝑘 = 𝑚, 1 , 0 ) = 0 )
42	41	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ≠ 𝑚) → if(𝑘 = 𝑚, 1 , 0 ) = 0 )
43	40, 42	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ≠ 𝑚) → (𝑘𝐼𝑚) = 0 )
44	43	oveq2d 7386	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ≠ 𝑚) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) = ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅) 0 ))
45	2, 3, 13	ringrz 20246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑙𝑋𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
46	22, 28, 45	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
47	46	3adant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ≠ 𝑚) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
48	44, 47	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ≠ 𝑚) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) = 0 )
49	48, 9	suppsssn 8155	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → ((𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚))) supp 0 ) ⊆ {𝑚})
50	2, 13, 21, 9, 18, 36, 49	gsumpt 19908	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))) = ((𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))‘𝑚))
51		oveq2 7378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑙𝑋𝑘) = (𝑙𝑋𝑚))
52		oveq1 7377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝐼𝑚) = (𝑚𝐼𝑚))
53	51, 52	oveq12d 7388	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝐼𝑚)))
54		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚))) = (𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))
55		ovex 7403	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝐼𝑚)) ∈ V
56	53, 54, 55	fvmpt 6951	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑀 → ((𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))‘𝑚) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝐼𝑚)))
57	56	ad2antll 730	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → ((𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))‘𝑚) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝐼𝑚)))
58		equequ1 2027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (𝑖 = 𝑗 ↔ 𝑚 = 𝑗))
59	58	ifbid 4505	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) = if(𝑚 = 𝑗, 1 , 0 ))
60		equequ2 2028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝑚 = 𝑗 ↔ 𝑚 = 𝑚))
61	60	ifbid 4505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → if(𝑚 = 𝑗, 1 , 0 ) = if(𝑚 = 𝑚, 1 , 0 ))
62		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑚 = 𝑚
63	62	iftruei 4488	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(𝑚 = 𝑚, 1 , 0 ) = 1
64	61, 63	eqtrdi 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → if(𝑚 = 𝑗, 1 , 0 ) = 1 )
65	12	fvexi 6858	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
66	59, 64, 14, 65	ovmpo 7530	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → (𝑚𝐼𝑚) = 1 )
67	66	anidms 566	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑀 → (𝑚𝐼𝑚) = 1 )
68	67	oveq2d 7386	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑀 → ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝐼𝑚)) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅) 1 ))
69	68	ad2antll 730	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝐼𝑚)) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅) 1 ))
70	24	fovcdmda 7541	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → (𝑙𝑋𝑚) ∈ 𝐵)
71	2, 3, 12	ringridm 20222	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑙𝑋𝑚) ∈ 𝐵) → ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅) 1 ) = (𝑙𝑋𝑚))
72	5, 70, 71	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅) 1 ) = (𝑙𝑋𝑚))
73	57, 69, 72	3eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → ((𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))‘𝑚) = (𝑙𝑋𝑚))
74	19, 50, 73	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑙𝑋𝑚))
75	74	ralrimivva 3181	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ 𝑁 ∀𝑚 ∈ 𝑀 (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑙𝑋𝑚))
76	2, 4, 1, 6, 8, 8, 10, 15	mamucl 22362	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)))
77		elmapi 8800	. . . . 5 ⊢ ((𝑋𝐹𝐼) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)) → (𝑋𝐹𝐼):(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
78	76, 77	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼):(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
79	78	ffnd 6673	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼) Fn (𝑁 × 𝑀))
80	24	ffnd 6673	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑀))
81		eqfnov2 7500	. . 3 ⊢ (((𝑋𝐹𝐼) Fn (𝑁 × 𝑀) ∧ 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑀)) → ((𝑋𝐹𝐼) = 𝑋 ↔ ∀𝑙 ∈ 𝑁 ∀𝑚 ∈ 𝑀 (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑙𝑋𝑚)))
82	79, 80, 81	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝐼) = 𝑋 ↔ ∀𝑙 ∈ 𝑁 ∀𝑚 ∈ 𝑀 (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑙𝑋𝑚)))
83	75, 82	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ifcif 4481  ⟨cotp 4590   ↦ cmpt 5181   × cxp 5632   Fn wfn 6497  ⟶wf 6498  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370   ∈ cmpo 7372   ↑_m cmap 8777  Fincfn 8897  Basecbs 17150  ._rcmulr 17192  0_gc0g 17373   Σ_g cgsu 17374  Mndcmnd 18673  1_rcur 20133  Ringcrg 20185   maMul cmmul 22351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-ot 4591  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-supp 8115  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-fsupp 9279  df-oi 9429  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-seq 13939  df-hash 14268  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-0g 17375  df-gsum 17376  df-mre 17519  df-mrc 17520  df-acs 17522  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-submnd 18723  df-grp 18883  df-minusg 18884  df-mulg 19015  df-cntz 19263  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20093  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-mamu 22352

This theorem is referenced by:  matring  22404  mat1  22408