MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamurid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamurid 22464
Description: The identity matrix (as operation in maps-to notation) is a right identity (for any matrix with the same number of columns). (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mamumat1cl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamumat1cl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mamumat1cl.o 1 = (1r𝑅)
mamumat1cl.z 0 = (0g𝑅)
mamumat1cl.i 𝐼 = (𝑖𝑀, 𝑗𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
mamumat1cl.m (𝜑𝑀 ∈ Fin)
mamulid.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mamurid.f 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑀, 𝑀⟩)
mamurid.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑀)))
Assertion
Ref Expression
mamurid (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐵   𝑖,𝑀,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗   0 ,𝑖,𝑗   1 ,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑖,𝑗)   𝐹(𝑖,𝑗)   𝐼(𝑖,𝑗)   𝑁(𝑖,𝑗)   𝑋(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mamurid
Dummy variables 𝑘 𝑙 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamurid.f . . . . 5 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑀, 𝑀⟩)
2 mamumat1cl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 eqid 2735 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4 mamumat1cl.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
54adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → 𝑅 ∈ Ring)
6 mamulid.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
76adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → 𝑁 ∈ Fin)
8 mamumat1cl.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ Fin)
98adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → 𝑀 ∈ Fin)
10 mamurid.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑀)))
1110adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → 𝑋 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑀)))
12 mamumat1cl.o . . . . . . 7 1 = (1r𝑅)
13 mamumat1cl.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
14 mamumat1cl.i . . . . . . 7 𝐼 = (𝑖𝑀, 𝑗𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
152, 4, 12, 13, 14, 8mamumat1cl 22461 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑀)))
1615adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → 𝐼 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑀)))
17 simprl 771 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → 𝑙𝑁)
18 simprr 773 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → 𝑚𝑀)
191, 2, 3, 5, 7, 9, 9, 11, 16, 17, 18mamufv 22414 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑅 Σg (𝑘𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))))
20 ringmnd 20261 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
215, 20syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → 𝑅 ∈ Mnd)
224ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
23 elmapi 8888 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑀)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
2410, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋:(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
2524ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀) → 𝑋:(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
26 simplrl 777 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀) → 𝑙𝑁)
27 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀) → 𝑘𝑀)
2825, 26, 27fovcdmd 7605 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀) → (𝑙𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
29 elmapi 8888 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑀)) → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
3015, 29syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
3130ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀) → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
32 simplrr 778 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀) → 𝑚𝑀)
3331, 27, 32fovcdmd 7605 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀) → (𝑘𝐼𝑚) ∈ 𝐵)
342, 3ringcl 20268 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑙𝑋𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝑘𝐼𝑚) ∈ 𝐵) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) ∈ 𝐵)
3522, 28, 33, 34syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) ∈ 𝐵)
3635fmpttd 7135 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → (𝑘𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚))):𝑀𝐵)
37 simp2 1136 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀𝑘𝑚) → 𝑘𝑀)
38323adant3 1131 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀𝑘𝑚) → 𝑚𝑀)
392, 4, 12, 13, 14, 8mat1comp 22462 . . . . . . . . . 10 ((𝑘𝑀𝑚𝑀) → (𝑘𝐼𝑚) = if(𝑘 = 𝑚, 1 , 0 ))
4037, 38, 39syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀𝑘𝑚) → (𝑘𝐼𝑚) = if(𝑘 = 𝑚, 1 , 0 ))
41 ifnefalse 4543 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑚 → if(𝑘 = 𝑚, 1 , 0 ) = 0 )
42413ad2ant3 1134 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀𝑘𝑚) → if(𝑘 = 𝑚, 1 , 0 ) = 0 )
4340, 42eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀𝑘𝑚) → (𝑘𝐼𝑚) = 0 )
4443oveq2d 7447 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀𝑘𝑚) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) = ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅) 0 ))
452, 3, 13ringrz 20308 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑙𝑋𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅) 0 ) = 0 )
4622, 28, 45syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅) 0 ) = 0 )
47463adant3 1131 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀𝑘𝑚) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅) 0 ) = 0 )
4844, 47eqtrd 2775 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀𝑘𝑚) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) = 0 )
4948, 9suppsssn 8225 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → ((𝑘𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚))) supp 0 ) ⊆ {𝑚})
502, 13, 21, 9, 18, 36, 49gsumpt 19995 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → (𝑅 Σg (𝑘𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))) = ((𝑘𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))‘𝑚))
51 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → (𝑙𝑋𝑘) = (𝑙𝑋𝑚))
52 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝐼𝑚) = (𝑚𝐼𝑚))
5351, 52oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝐼𝑚)))
54 eqid 2735 . . . . . . 7 (𝑘𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚))) = (𝑘𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))
55 ovex 7464 . . . . . . 7 ((𝑙𝑋𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝐼𝑚)) ∈ V
5653, 54, 55fvmpt 7016 . . . . . 6 (𝑚𝑀 → ((𝑘𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))‘𝑚) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝐼𝑚)))
5756ad2antll 729 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → ((𝑘𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))‘𝑚) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝐼𝑚)))
58 equequ1 2022 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑚 → (𝑖 = 𝑗𝑚 = 𝑗))
5958ifbid 4554 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑚 → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) = if(𝑚 = 𝑗, 1 , 0 ))
60 equequ2 2023 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑚 → (𝑚 = 𝑗𝑚 = 𝑚))
6160ifbid 4554 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑚 → if(𝑚 = 𝑗, 1 , 0 ) = if(𝑚 = 𝑚, 1 , 0 ))
62 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 𝑚 = 𝑚
6362iftruei 4538 . . . . . . . . . 10 if(𝑚 = 𝑚, 1 , 0 ) = 1
6461, 63eqtrdi 2791 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑚 → if(𝑚 = 𝑗, 1 , 0 ) = 1 )
6512fvexi 6921 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
6659, 64, 14, 65ovmpo 7593 . . . . . . . 8 ((𝑚𝑀𝑚𝑀) → (𝑚𝐼𝑚) = 1 )
6766anidms 566 . . . . . . 7 (𝑚𝑀 → (𝑚𝐼𝑚) = 1 )
6867oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑚𝑀 → ((𝑙𝑋𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝐼𝑚)) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r𝑅) 1 ))
6968ad2antll 729 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → ((𝑙𝑋𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝐼𝑚)) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r𝑅) 1 ))
7024fovcdmda 7604 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → (𝑙𝑋𝑚) ∈ 𝐵)
712, 3, 12ringridm 20284 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑙𝑋𝑚) ∈ 𝐵) → ((𝑙𝑋𝑚)(.r𝑅) 1 ) = (𝑙𝑋𝑚))
725, 70, 71syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → ((𝑙𝑋𝑚)(.r𝑅) 1 ) = (𝑙𝑋𝑚))
7357, 69, 723eqtrd 2779 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → ((𝑘𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))‘𝑚) = (𝑙𝑋𝑚))
7419, 50, 733eqtrd 2779 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑙𝑋𝑚))
7574ralrimivva 3200 . 2 (𝜑 → ∀𝑙𝑁𝑚𝑀 (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑙𝑋𝑚))
762, 4, 1, 6, 8, 8, 10, 15mamucl 22421 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼) ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑀)))
77 elmapi 8888 . . . . 5 ((𝑋𝐹𝐼) ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑀)) → (𝑋𝐹𝐼):(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
7876, 77syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼):(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
7978ffnd 6738 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼) Fn (𝑁 × 𝑀))
8024ffnd 6738 . . 3 (𝜑𝑋 Fn (𝑁 × 𝑀))
81 eqfnov2 7563 . . 3 (((𝑋𝐹𝐼) Fn (𝑁 × 𝑀) ∧ 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑀)) → ((𝑋𝐹𝐼) = 𝑋 ↔ ∀𝑙𝑁𝑚𝑀 (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑙𝑋𝑚)))
8279, 80, 81syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝑋𝐹𝐼) = 𝑋 ↔ ∀𝑙𝑁𝑚𝑀 (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑙𝑋𝑚)))
8375, 82mpbird 257 1 (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  ifcif 4531  cotp 4639  cmpt 5231   × cxp 5687   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  m cmap 8865  Fincfn 8984  Basecbs 17245  .rcmulr 17299  0gc0g 17486   Σg cgsu 17487  Mndcmnd 18760  1rcur 20199  Ringcrg 20251   maMul cmmul 22410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-mamu 22411
This theorem is referenced by:  matring  22465  mat1  22469
  Copyright terms: Public domain W3C validator