Theorem mamurid 22357

Description: The identity matrix (as operation in maps-to notation) is a right identity (for any matrix with the same number of columns). (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamumat1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamumat1cl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mamumat1cl.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mamumat1cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mamumat1cl.i	⊢ 𝐼 = (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
mamumat1cl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
mamulid.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mamurid.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑀, 𝑀⟩)
mamurid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)))

Assertion

Ref	Expression
mamurid	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐵   𝑖,𝑀,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗   0 ,𝑖,𝑗   1 ,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑖,𝑗)   𝐹(𝑖,𝑗)   𝐼(𝑖,𝑗)   𝑁(𝑖,𝑗)   𝑋(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mamurid

Dummy variables 𝑘 𝑙 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mamurid.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑀, 𝑀⟩)
2		mamumat1cl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		mamumat1cl.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → 𝑅 ∈ Ring)
6		mamulid.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → 𝑁 ∈ Fin)
8		mamumat1cl.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → 𝑀 ∈ Fin)
10		mamurid.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)))
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)))
12		mamumat1cl.o	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
13		mamumat1cl.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
14		mamumat1cl.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
15	2, 4, 12, 13, 14, 8	mamumat1cl 22354	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑀)))
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → 𝐼 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑀)))
17		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → 𝑙 ∈ 𝑁)
18		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → 𝑚 ∈ 𝑀)
19	1, 2, 3, 5, 7, 9, 9, 11, 16, 17, 18	mamufv 22309	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))))
20		ringmnd 20161	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
21	5, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → 𝑅 ∈ Mnd)
22	4	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
23		elmapi 8773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
24	10, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
25	24	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → 𝑋:(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
26		simplrl 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → 𝑙 ∈ 𝑁)
27		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → 𝑘 ∈ 𝑀)
28	25, 26, 27	fovcdmd 7518	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → (𝑙𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
29		elmapi 8773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑀)) → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
30	15, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
31	30	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
32		simplrr 777	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → 𝑚 ∈ 𝑀)
33	31, 27, 32	fovcdmd 7518	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → (𝑘𝐼𝑚) ∈ 𝐵)
34	2, 3	ringcl 20168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑙𝑋𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝑘𝐼𝑚) ∈ 𝐵) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) ∈ 𝐵)
35	22, 28, 33, 34	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) ∈ 𝐵)
36	35	fmpttd 7048	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → (𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚))):𝑀⟶𝐵)
37		simp2 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ≠ 𝑚) → 𝑘 ∈ 𝑀)
38	32	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ≠ 𝑚) → 𝑚 ∈ 𝑀)
39	2, 4, 12, 13, 14, 8	mat1comp 22355	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → (𝑘𝐼𝑚) = if(𝑘 = 𝑚, 1 , 0 ))
40	37, 38, 39	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ≠ 𝑚) → (𝑘𝐼𝑚) = if(𝑘 = 𝑚, 1 , 0 ))
41		ifnefalse 4484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ≠ 𝑚 → if(𝑘 = 𝑚, 1 , 0 ) = 0 )
42	41	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ≠ 𝑚) → if(𝑘 = 𝑚, 1 , 0 ) = 0 )
43	40, 42	eqtrd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ≠ 𝑚) → (𝑘𝐼𝑚) = 0 )
44	43	oveq2d 7362	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ≠ 𝑚) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) = ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅) 0 ))
45	2, 3, 13	ringrz 20212	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑙𝑋𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
46	22, 28, 45	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
47	46	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ≠ 𝑚) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
48	44, 47	eqtrd 2766	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ≠ 𝑚) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) = 0 )
49	48, 9	suppsssn 8131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → ((𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚))) supp 0 ) ⊆ {𝑚})
50	2, 13, 21, 9, 18, 36, 49	gsumpt 19874	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))) = ((𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))‘𝑚))
51		oveq2 7354	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑙𝑋𝑘) = (𝑙𝑋𝑚))
52		oveq1 7353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝐼𝑚) = (𝑚𝐼𝑚))
53	51, 52	oveq12d 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝐼𝑚)))
54		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚))) = (𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))
55		ovex 7379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝐼𝑚)) ∈ V
56	53, 54, 55	fvmpt 6929	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑀 → ((𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))‘𝑚) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝐼𝑚)))
57	56	ad2antll 729	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → ((𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))‘𝑚) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝐼𝑚)))
58		equequ1 2026	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (𝑖 = 𝑗 ↔ 𝑚 = 𝑗))
59	58	ifbid 4496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) = if(𝑚 = 𝑗, 1 , 0 ))
60		equequ2 2027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝑚 = 𝑗 ↔ 𝑚 = 𝑚))
61	60	ifbid 4496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → if(𝑚 = 𝑗, 1 , 0 ) = if(𝑚 = 𝑚, 1 , 0 ))
62		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑚 = 𝑚
63	62	iftruei 4479	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(𝑚 = 𝑚, 1 , 0 ) = 1
64	61, 63	eqtrdi 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → if(𝑚 = 𝑗, 1 , 0 ) = 1 )
65	12	fvexi 6836	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
66	59, 64, 14, 65	ovmpo 7506	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → (𝑚𝐼𝑚) = 1 )
67	66	anidms 566	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑀 → (𝑚𝐼𝑚) = 1 )
68	67	oveq2d 7362	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑀 → ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝐼𝑚)) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅) 1 ))
69	68	ad2antll 729	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝐼𝑚)) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅) 1 ))
70	24	fovcdmda 7517	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → (𝑙𝑋𝑚) ∈ 𝐵)
71	2, 3, 12	ringridm 20188	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑙𝑋𝑚) ∈ 𝐵) → ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅) 1 ) = (𝑙𝑋𝑚))
72	5, 70, 71	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → ((𝑙𝑋𝑚)(.r‘𝑅) 1 ) = (𝑙𝑋𝑚))
73	57, 69, 72	3eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → ((𝑘 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))‘𝑚) = (𝑙𝑋𝑚))
74	19, 50, 73	3eqtrd 2770	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀)) → (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑙𝑋𝑚))
75	74	ralrimivva 3175	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ 𝑁 ∀𝑚 ∈ 𝑀 (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑙𝑋𝑚))
76	2, 4, 1, 6, 8, 8, 10, 15	mamucl 22316	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)))
77		elmapi 8773	. . . . 5 ⊢ ((𝑋𝐹𝐼) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)) → (𝑋𝐹𝐼):(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
78	76, 77	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼):(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
79	78	ffnd 6652	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼) Fn (𝑁 × 𝑀))
80	24	ffnd 6652	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑀))
81		eqfnov2 7476	. . 3 ⊢ (((𝑋𝐹𝐼) Fn (𝑁 × 𝑀) ∧ 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑀)) → ((𝑋𝐹𝐼) = 𝑋 ↔ ∀𝑙 ∈ 𝑁 ∀𝑚 ∈ 𝑀 (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑙𝑋𝑚)))
82	79, 80, 81	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝐼) = 𝑋 ↔ ∀𝑙 ∈ 𝑁 ∀𝑚 ∈ 𝑀 (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑙𝑋𝑚)))
83	75, 82	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ifcif 4472  ⟨cotp 4581   ↦ cmpt 5170   × cxp 5612   Fn wfn 6476  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∈ cmpo 7348   ↑_m cmap 8750  Fincfn 8869  Basecbs 17120  ._rcmulr 17162  0_gc0g 17343   Σ_g cgsu 17344  Mndcmnd 18642  1_rcur 20099  Ringcrg 20151   maMul cmmul 22305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-ot 4582  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-hash 14238  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-mulg 18981  df-cntz 19229  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-mamu 22306

This theorem is referenced by:  matring  22358  mat1  22362