Theorem uvcresum 21339

Description: Any element of a free module can be expressed as a finite linear combination of unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvcresum.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcresum.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
uvcresum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
uvcresum.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
uvcresum	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = (𝑌 Σg (𝑋 ∘f · 𝑈)))

Proof of Theorem uvcresum

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvcresum.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		uvcresum.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
4	1, 2, 3	frlmbasf 21306	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅))
5	4	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅))
6	5	feqmptd 6957	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑎)))
7		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8		simpl1 1191	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
9		ringmnd 20059	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Mnd)
11		simpl2 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
12		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ 𝐼)
13		simpl2 1192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
14	5	ffvelcdmda 7083	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
15		uvcresum.u	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
16	15, 1, 3	uvcff 21337	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
17	16	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
18	17	ffvelcdmda 7083	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝑏) ∈ 𝐵)
19		uvcresum.v	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
20		eqid 2732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
21	1, 3, 2, 13, 14, 18, 19, 20	frlmvscafval 21312	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑏) · (𝑈‘𝑏)) = ((𝐼 × {(𝑋‘𝑏)}) ∘f (.r‘𝑅)(𝑈‘𝑏)))
22	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
23	1, 2, 3	frlmbasf 21306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ (𝑈‘𝑏) ∈ 𝐵) → (𝑈‘𝑏):𝐼⟶(Base‘𝑅))
24	13, 18, 23	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝑏):𝐼⟶(Base‘𝑅))
25	24	ffvelcdmda 7083	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝑏)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
26		fconstmpt 5736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 × {(𝑋‘𝑏)}) = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑏))
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝐼 × {(𝑋‘𝑏)}) = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑏)))
28	24	feqmptd 6957	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝑏) = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))
29	13, 22, 25, 27, 28	offval2 7686	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {(𝑋‘𝑏)}) ∘f (.r‘𝑅)(𝑈‘𝑏)) = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))
30	21, 29	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑏) · (𝑈‘𝑏)) = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))
31	1	frlmlmod 21295	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 ∈ LMod)
32	31	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ LMod)
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → 𝑌 ∈ LMod)
34	1	frlmsca 21299	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
35	34	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
36	35	fveq2d 6892	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
38	14, 37	eleqtrd 2835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑏) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
39		eqid 2732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
40		eqid 2732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
41	3, 39, 19, 40	lmodvscl 20481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑋‘𝑏) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ (𝑈‘𝑏) ∈ 𝐵) → ((𝑋‘𝑏) · (𝑈‘𝑏)) ∈ 𝐵)
42	33, 38, 18, 41	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑏) · (𝑈‘𝑏)) ∈ 𝐵)
43	30, 42	eqeltrrd 2834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))) ∈ 𝐵)
44	1, 2, 3	frlmbasf 21306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))) ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
45	13, 43, 44	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
46	45	fvmptelcdm 7109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)) ∈ (Base‘𝑅))
47	46	an32s 650	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)) ∈ (Base‘𝑅))
48	47	fmpttd 7111	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
49	8	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → 𝑅 ∈ Ring)
50	11	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → 𝐼 ∈ 𝑊)
51		simp2 1137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝐼)
52	12	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → 𝑎 ∈ 𝐼)
53		simp3 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → 𝑏 ≠ 𝑎)
54	15, 49, 50, 51, 52, 53, 7	uvcvv0 21336	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → ((𝑈‘𝑏)‘𝑎) = (0g‘𝑅))
55	54	oveq2d 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)) = ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
56	14	adantlr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
57	56	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → (𝑋‘𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
58	2, 20, 7	ringrz 20101	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋‘𝑏) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
59	49, 57, 58	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
60	55, 59	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)) = (0g‘𝑅))
61	60, 11	suppsssn 8182	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑎})
62	2, 7, 10, 11, 12, 48, 61	gsumpt 19824	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) = ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))‘𝑎))
63		fveq2 6888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑋‘𝑏) = (𝑋‘𝑎))
64		fveq2 6888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑈‘𝑏) = (𝑈‘𝑎))
65	64	fveq1d 6890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((𝑈‘𝑏)‘𝑎) = ((𝑈‘𝑎)‘𝑎))
66	63, 65	oveq12d 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)) = ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑎)‘𝑎)))
67		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))
68		ovex 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑎)‘𝑎)) ∈ V
69	66, 67, 68	fvmpt 6995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐼 → ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))‘𝑎) = ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑎)‘𝑎)))
70	69	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))‘𝑎) = ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑎)‘𝑎)))
71		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
72	15, 8, 11, 12, 71	uvcvv1 21335	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝑎)‘𝑎) = (1r‘𝑅))
73	72	oveq2d 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑎)‘𝑎)) = ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
74	5	ffvelcdmda 7083	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
75	2, 20, 71	ringridm 20080	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋‘𝑎) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑋‘𝑎))
76	8, 74, 75	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑋‘𝑎))
77	73, 76	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑎)‘𝑎)) = (𝑋‘𝑎))
78	70, 77	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))‘𝑎) = (𝑋‘𝑎))
79	62, 78	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) = (𝑋‘𝑎))
80	79	mpteq2dva 5247	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))) = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑎)))
81	6, 80	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))))
82		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
83		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑊)
84		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
85		mptexg 7219	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) ∈ V)
86	85	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) ∈ V)
87		funmpt 6583	. . . . . 6 ⊢ Fun (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))
88	87	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → Fun (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))))
89		fvexd 6903	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑌) ∈ V)
90	1, 7, 3	frlmbasfsupp 21304	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 finSupp (0g‘𝑅))
91	90	3adant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 finSupp (0g‘𝑅))
92	91	fsuppimpd 9365	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 supp (0g‘𝑅)) ∈ Fin)
93	35	eqcomd 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (Scalar‘𝑌) = 𝑅)
94	93	fveq2d 6892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0g‘(Scalar‘𝑌)) = (0g‘𝑅))
95	94	oveq2d 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 supp (0g‘(Scalar‘𝑌))) = (𝑋 supp (0g‘𝑅)))
96		ssid 4003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 supp (0g‘𝑅)) ⊆ (𝑋 supp (0g‘𝑅))
97	95, 96	eqsstrdi 4035	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 supp (0g‘(Scalar‘𝑌))) ⊆ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))
98		fvexd 6903	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0g‘(Scalar‘𝑌)) ∈ V)
99	5, 97, 83, 98	suppssr 8177	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))) → (𝑋‘𝑏) = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
100	99	oveq1d 7420	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))) → ((𝑋‘𝑏) · (𝑈‘𝑏)) = ((0g‘(Scalar‘𝑌)) · (𝑈‘𝑏)))
101		eldifi 4125	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g‘𝑅))) → 𝑏 ∈ 𝐼)
102	101, 30	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))) → ((𝑋‘𝑏) · (𝑈‘𝑏)) = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))
103	32	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))) → 𝑌 ∈ LMod)
104	101, 18	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))) → (𝑈‘𝑏) ∈ 𝐵)
105		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑌)) = (0g‘(Scalar‘𝑌))
106	3, 39, 19, 105, 82	lmod0vs 20497	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑈‘𝑏) ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑌)) · (𝑈‘𝑏)) = (0g‘𝑌))
107	103, 104, 106	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))) → ((0g‘(Scalar‘𝑌)) · (𝑈‘𝑏)) = (0g‘𝑌))
108	100, 102, 107	3eqtr3d 2780	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))) → (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))) = (0g‘𝑌))
109	108, 83	suppss2 8181	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) supp (0g‘𝑌)) ⊆ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))
110		suppssfifsupp 9374	. . . . 5 ⊢ ((((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) ∈ V ∧ Fun (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) ∧ (0g‘𝑌) ∈ V) ∧ ((𝑋 supp (0g‘𝑅)) ∈ Fin ∧ ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) supp (0g‘𝑌)) ⊆ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))) → (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) finSupp (0g‘𝑌))
111	86, 88, 89, 92, 109, 110	syl32anc 1378	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) finSupp (0g‘𝑌))
112	1, 3, 82, 83, 83, 84, 43, 111	frlmgsum 21318	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 Σg (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))) = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))))
113	81, 112	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = (𝑌 Σg (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))))
114	5	feqmptd 6957	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑏)))
115	17	feqmptd 6957	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑈 = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑈‘𝑏)))
116	83, 14, 18, 114, 115	offval2 7686	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∘f · 𝑈) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏) · (𝑈‘𝑏))))
117	30	mpteq2dva 5247	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏) · (𝑈‘𝑏))) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))))
118	116, 117	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∘f · 𝑈) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))))
119	118	oveq2d 7421	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 Σg (𝑋 ∘f · 𝑈)) = (𝑌 Σg (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))))
120	113, 119	eqtr4d 2775	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = (𝑌 Σg (𝑋 ∘f · 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  Vcvv 3474   ∖ cdif 3944   ⊆ wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   × cxp 5673  Fun wfun 6534  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘_f cof 7664   supp csupp 8142  Fincfn 8935   finSupp cfsupp 9357  Basecbs 17140  ._rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·_𝑠 cvsca 17197  0_gc0g 17381   Σ_g cgsu 17382  Mndcmnd 18621  1_rcur 19998  Ringcrg 20049  LModclmod 20463   freeLMod cfrlm 21292   unitVec cuvc 21328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-dsmm 21278  df-frlm 21293  df-uvc 21329

This theorem is referenced by:  frlmsslsp  21342