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Theorem uvcresum 21354
Description: Any element of a free module can be expressed as a finite linear combination of unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uvcresum.u π‘ˆ = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcresum.y π‘Œ = (𝑅 freeLMod 𝐼)
uvcresum.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
uvcresum.v Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
uvcresum ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 = (π‘Œ Ξ£g (𝑋 ∘f Β· π‘ˆ)))

Proof of Theorem uvcresum
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uvcresum.y . . . . . . 7 π‘Œ = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3 uvcresum.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
41, 2, 3frlmbasf 21321 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
543adant1 1130 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
65feqmptd 6960 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 = (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘Ž)))
7 eqid 2732 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
8 simpl1 1191 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
9 ringmnd 20068 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
11 simpl2 1192 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
12 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)
13 simpl2 1192 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
145ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
15 uvcresum.u . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π‘ˆ = (𝑅 unitVec 𝐼)
1615, 1, 3uvcff 21352 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ π‘ˆ:𝐼⟢𝐡)
17163adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ π‘ˆ:𝐼⟢𝐡)
1817ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘) ∈ 𝐡)
19 uvcresum.v . . . . . . . . . . . . . 14 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Œ)
20 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
211, 3, 2, 13, 14, 18, 19, 20frlmvscafval 21327 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‹β€˜π‘) Β· (π‘ˆβ€˜π‘)) = ((𝐼 Γ— {(π‘‹β€˜π‘)}) ∘f (.rβ€˜π‘…)(π‘ˆβ€˜π‘)))
2214adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
231, 2, 3frlmbasf 21321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ (π‘ˆβ€˜π‘) ∈ 𝐡) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
2413, 18, 23syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
2524ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
26 fconstmpt 5738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 Γ— {(π‘‹β€˜π‘)}) = (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘))
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ (𝐼 Γ— {(π‘‹β€˜π‘)}) = (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘)))
2824feqmptd 6960 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘) = (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)))
2913, 22, 25, 27, 28offval2 7692 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {(π‘‹β€˜π‘)}) ∘f (.rβ€˜π‘…)(π‘ˆβ€˜π‘)) = (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž))))
3021, 29eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‹β€˜π‘) Β· (π‘ˆβ€˜π‘)) = (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž))))
311frlmlmod 21310 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ π‘Œ ∈ LMod)
32313adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ LMod)
3332adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ π‘Œ ∈ LMod)
341frlmsca 21314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Œ))
35343adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Œ))
3635fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
3736adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
3814, 37eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
39 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (Scalarβ€˜π‘Œ) = (Scalarβ€˜π‘Œ)
40 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))
413, 39, 19, 40lmodvscl 20493 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Œ ∈ LMod ∧ (π‘‹β€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘) ∈ 𝐡) β†’ ((π‘‹β€˜π‘) Β· (π‘ˆβ€˜π‘)) ∈ 𝐡)
4233, 38, 18, 41syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‹β€˜π‘) Β· (π‘ˆβ€˜π‘)) ∈ 𝐡)
4330, 42eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž))) ∈ 𝐡)
441, 2, 3frlmbasf 21321 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž))) ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž))):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
4513, 43, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž))):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
4645fvmptelcdm 7114 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4746an32s 650 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4847fmpttd 7116 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž))):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
4983ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 β‰  π‘Ž) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
50113ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 β‰  π‘Ž) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
51 simp2 1137 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 β‰  π‘Ž) β†’ 𝑏 ∈ 𝐼)
52123ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 β‰  π‘Ž) β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)
53 simp3 1138 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 β‰  π‘Ž) β†’ 𝑏 β‰  π‘Ž)
5415, 49, 50, 51, 52, 53, 7uvcvv0 21351 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 β‰  π‘Ž) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž) = (0gβ€˜π‘…))
5554oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 β‰  π‘Ž) β†’ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)) = ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)))
5614adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
57563adant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 β‰  π‘Ž) β†’ (π‘‹β€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
582, 20, 7ringrz 20110 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘‹β€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
5949, 57, 58syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 β‰  π‘Ž) β†’ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
6055, 59eqtrd 2772 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 β‰  π‘Ž) β†’ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)) = (0gβ€˜π‘…))
6160, 11suppsssn 8188 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† {π‘Ž})
622, 7, 10, 11, 12, 48, 61gsumpt 19832 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)))) = ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)))β€˜π‘Ž))
63 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = π‘Ž β†’ (π‘‹β€˜π‘) = (π‘‹β€˜π‘Ž))
64 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = π‘Ž β†’ (π‘ˆβ€˜π‘) = (π‘ˆβ€˜π‘Ž))
6564fveq1d 6893 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = π‘Ž β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž) = ((π‘ˆβ€˜π‘Ž)β€˜π‘Ž))
6663, 65oveq12d 7429 . . . . . . . . 9 (𝑏 = π‘Ž β†’ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)) = ((π‘‹β€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘Ž)β€˜π‘Ž)))
67 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž))) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)))
68 ovex 7444 . . . . . . . . 9 ((π‘‹β€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘Ž)β€˜π‘Ž)) ∈ V
6966, 67, 68fvmpt 6998 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ 𝐼 β†’ ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)))β€˜π‘Ž) = ((π‘‹β€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘Ž)β€˜π‘Ž)))
7069adantl 482 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)))β€˜π‘Ž) = ((π‘‹β€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘Ž)β€˜π‘Ž)))
71 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
7215, 8, 11, 12, 71uvcvv1 21350 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘Ž)β€˜π‘Ž) = (1rβ€˜π‘…))
7372oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‹β€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘Ž)β€˜π‘Ž)) = ((π‘‹β€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)))
745ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘Ž) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
752, 20, 71ringridm 20089 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘‹β€˜π‘Ž) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (π‘‹β€˜π‘Ž))
768, 74, 75syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‹β€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (π‘‹β€˜π‘Ž))
7773, 76eqtrd 2772 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‹β€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘Ž)β€˜π‘Ž)) = (π‘‹β€˜π‘Ž))
7870, 77eqtrd 2772 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)))β€˜π‘Ž) = (π‘‹β€˜π‘Ž))
7962, 78eqtrd 2772 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)))) = (π‘‹β€˜π‘Ž))
8079mpteq2dva 5248 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž))))) = (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘Ž)))
816, 80eqtr4d 2775 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 = (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž))))))
82 eqid 2732 . . . 4 (0gβ€˜π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Œ)
83 simp2 1137 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
84 simp1 1136 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
85 mptexg 7225 . . . . . 6 (𝐼 ∈ π‘Š β†’ (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)))) ∈ V)
86853ad2ant2 1134 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)))) ∈ V)
87 funmpt 6586 . . . . . 6 Fun (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž))))
8887a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ Fun (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)))))
89 fvexd 6906 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (0gβ€˜π‘Œ) ∈ V)
901, 7, 3frlmbasfsupp 21319 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 finSupp (0gβ€˜π‘…))
91903adant1 1130 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 finSupp (0gβ€˜π‘…))
9291fsuppimpd 9371 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 supp (0gβ€˜π‘…)) ∈ Fin)
9335eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (Scalarβ€˜π‘Œ) = 𝑅)
9493fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) = (0gβ€˜π‘…))
9594oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 supp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))) = (𝑋 supp (0gβ€˜π‘…)))
96 ssid 4004 . . . . . . . . . 10 (𝑋 supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† (𝑋 supp (0gβ€˜π‘…))
9795, 96eqsstrdi 4036 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 supp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))) βŠ† (𝑋 supp (0gβ€˜π‘…)))
98 fvexd 6906 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∈ V)
995, 97, 83, 98suppssr 8183 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 βˆ– (𝑋 supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ (π‘‹β€˜π‘) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
10099oveq1d 7426 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 βˆ– (𝑋 supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ ((π‘‹β€˜π‘) Β· (π‘ˆβ€˜π‘)) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) Β· (π‘ˆβ€˜π‘)))
101 eldifi 4126 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝐼 βˆ– (𝑋 supp (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑏 ∈ 𝐼)
102101, 30sylan2 593 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 βˆ– (𝑋 supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ ((π‘‹β€˜π‘) Β· (π‘ˆβ€˜π‘)) = (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž))))
10332adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 βˆ– (𝑋 supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ π‘Œ ∈ LMod)
104101, 18sylan2 593 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 βˆ– (𝑋 supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘) ∈ 𝐡)
105 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))
1063, 39, 19, 105, 82lmod0vs 20510 . . . . . . . 8 ((π‘Œ ∈ LMod ∧ (π‘ˆβ€˜π‘) ∈ 𝐡) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) Β· (π‘ˆβ€˜π‘)) = (0gβ€˜π‘Œ))
107103, 104, 106syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 βˆ– (𝑋 supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) Β· (π‘ˆβ€˜π‘)) = (0gβ€˜π‘Œ))
108100, 102, 1073eqtr3d 2780 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 βˆ– (𝑋 supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž))) = (0gβ€˜π‘Œ))
109108, 83suppss2 8187 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)))) supp (0gβ€˜π‘Œ)) βŠ† (𝑋 supp (0gβ€˜π‘…)))
110 suppssfifsupp 9380 . . . . 5 ((((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)))) ∈ V ∧ Fun (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)))) ∧ (0gβ€˜π‘Œ) ∈ V) ∧ ((𝑋 supp (0gβ€˜π‘…)) ∈ Fin ∧ ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)))) supp (0gβ€˜π‘Œ)) βŠ† (𝑋 supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)))) finSupp (0gβ€˜π‘Œ))
11186, 88, 89, 92, 109, 110syl32anc 1378 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)))) finSupp (0gβ€˜π‘Œ))
1121, 3, 82, 83, 83, 84, 43, 111frlmgsum 21333 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž))))) = (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž))))))
11381, 112eqtr4d 2775 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 = (π‘Œ Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž))))))
1145feqmptd 6960 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘)))
11517feqmptd 6960 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ π‘ˆ = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (π‘ˆβ€˜π‘)))
11683, 14, 18, 114, 115offval2 7692 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∘f Β· π‘ˆ) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘) Β· (π‘ˆβ€˜π‘))))
11730mpteq2dva 5248 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘) Β· (π‘ˆβ€˜π‘))) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)))))
118116, 117eqtrd 2772 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∘f Β· π‘ˆ) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)))))
119118oveq2d 7427 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ Ξ£g (𝑋 ∘f Β· π‘ˆ)) = (π‘Œ Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž))))))
120113, 119eqtr4d 2775 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 = (π‘Œ Ξ£g (𝑋 ∘f Β· π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670   supp csupp 8148  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363  Basecbs 17146  .rcmulr 17200  Scalarcsca 17202   ·𝑠 cvsca 17203  0gc0g 17387   Ξ£g cgsu 17388  Mndcmnd 18627  1rcur 20006  Ringcrg 20058  LModclmod 20475   freeLMod cfrlm 21307   unitVec cuvc 21343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-hash 14293  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-hom 17223  df-cco 17224  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-prds 17395  df-pws 17397  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-mulg 18953  df-subg 19005  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-subrg 20321  df-lmod 20477  df-lss 20548  df-sra 20791  df-rgmod 20792  df-dsmm 21293  df-frlm 21308  df-uvc 21344
This theorem is referenced by:  frlmsslsp  21357
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