Theorem uvcresum 20910

Description: Any element of a free module can be expressed as a finite linear combination of unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvcresum.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcresum.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
uvcresum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
uvcresum.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
uvcresum	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = (𝑌 Σg (𝑋 ∘f · 𝑈)))

Proof of Theorem uvcresum

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvcresum.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		uvcresum.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
4	1, 2, 3	frlmbasf 20877	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅))
5	4	3adant1 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅))
6	5	feqmptd 6819	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑎)))
7		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8		simpl1 1189	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
9		ringmnd 19708	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Mnd)
11		simpl2 1190	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
12		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ 𝐼)
13		simpl2 1190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
14	5	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
15		uvcresum.u	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
16	15, 1, 3	uvcff 20908	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
17	16	3adant3 1130	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
18	17	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝑏) ∈ 𝐵)
19		uvcresum.v	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
20		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
21	1, 3, 2, 13, 14, 18, 19, 20	frlmvscafval 20883	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑏) · (𝑈‘𝑏)) = ((𝐼 × {(𝑋‘𝑏)}) ∘f (.r‘𝑅)(𝑈‘𝑏)))
22	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
23	1, 2, 3	frlmbasf 20877	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ (𝑈‘𝑏) ∈ 𝐵) → (𝑈‘𝑏):𝐼⟶(Base‘𝑅))
24	13, 18, 23	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝑏):𝐼⟶(Base‘𝑅))
25	24	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝑏)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
26		fconstmpt 5640	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 × {(𝑋‘𝑏)}) = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑏))
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝐼 × {(𝑋‘𝑏)}) = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑏)))
28	24	feqmptd 6819	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝑏) = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))
29	13, 22, 25, 27, 28	offval2 7531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {(𝑋‘𝑏)}) ∘f (.r‘𝑅)(𝑈‘𝑏)) = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))
30	21, 29	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑏) · (𝑈‘𝑏)) = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))
31	1	frlmlmod 20866	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 ∈ LMod)
32	31	3adant3 1130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ LMod)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → 𝑌 ∈ LMod)
34	1	frlmsca 20870	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
35	34	3adant3 1130	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
36	35	fveq2d 6760	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
38	14, 37	eleqtrd 2841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑏) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
39		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
40		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
41	3, 39, 19, 40	lmodvscl 20055	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑋‘𝑏) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ (𝑈‘𝑏) ∈ 𝐵) → ((𝑋‘𝑏) · (𝑈‘𝑏)) ∈ 𝐵)
42	33, 38, 18, 41	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑏) · (𝑈‘𝑏)) ∈ 𝐵)
43	30, 42	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))) ∈ 𝐵)
44	1, 2, 3	frlmbasf 20877	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))) ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
45	13, 43, 44	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
46	45	fvmptelrn 6969	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)) ∈ (Base‘𝑅))
47	46	an32s 648	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)) ∈ (Base‘𝑅))
48	47	fmpttd 6971	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
49	8	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → 𝑅 ∈ Ring)
50	11	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → 𝐼 ∈ 𝑊)
51		simp2 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝐼)
52	12	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → 𝑎 ∈ 𝐼)
53		simp3 1136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → 𝑏 ≠ 𝑎)
54	15, 49, 50, 51, 52, 53, 7	uvcvv0 20907	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → ((𝑈‘𝑏)‘𝑎) = (0g‘𝑅))
55	54	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)) = ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
56	14	adantlr 711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
57	56	3adant3 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → (𝑋‘𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
58	2, 20, 7	ringrz 19742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋‘𝑏) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
59	49, 57, 58	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
60	55, 59	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)) = (0g‘𝑅))
61	60, 11	suppsssn 7988	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑎})
62	2, 7, 10, 11, 12, 48, 61	gsumpt 19478	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) = ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))‘𝑎))
63		fveq2 6756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑋‘𝑏) = (𝑋‘𝑎))
64		fveq2 6756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑈‘𝑏) = (𝑈‘𝑎))
65	64	fveq1d 6758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((𝑈‘𝑏)‘𝑎) = ((𝑈‘𝑎)‘𝑎))
66	63, 65	oveq12d 7273	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)) = ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑎)‘𝑎)))
67		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))
68		ovex 7288	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑎)‘𝑎)) ∈ V
69	66, 67, 68	fvmpt 6857	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐼 → ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))‘𝑎) = ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑎)‘𝑎)))
70	69	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))‘𝑎) = ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑎)‘𝑎)))
71		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
72	15, 8, 11, 12, 71	uvcvv1 20906	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝑎)‘𝑎) = (1r‘𝑅))
73	72	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑎)‘𝑎)) = ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
74	5	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
75	2, 20, 71	ringridm 19726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋‘𝑎) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑋‘𝑎))
76	8, 74, 75	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑋‘𝑎))
77	73, 76	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑎)‘𝑎)) = (𝑋‘𝑎))
78	70, 77	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))‘𝑎) = (𝑋‘𝑎))
79	62, 78	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) = (𝑋‘𝑎))
80	79	mpteq2dva 5170	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))) = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑎)))
81	6, 80	eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))))
82		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
83		simp2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑊)
84		simp1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
85		mptexg 7079	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) ∈ V)
86	85	3ad2ant2 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) ∈ V)
87		funmpt 6456	. . . . . 6 ⊢ Fun (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))
88	87	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → Fun (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))))
89		fvexd 6771	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑌) ∈ V)
90	1, 7, 3	frlmbasfsupp 20875	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 finSupp (0g‘𝑅))
91	90	3adant1 1128	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 finSupp (0g‘𝑅))
92	91	fsuppimpd 9065	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 supp (0g‘𝑅)) ∈ Fin)
93	35	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (Scalar‘𝑌) = 𝑅)
94	93	fveq2d 6760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0g‘(Scalar‘𝑌)) = (0g‘𝑅))
95	94	oveq2d 7271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 supp (0g‘(Scalar‘𝑌))) = (𝑋 supp (0g‘𝑅)))
96		ssid 3939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 supp (0g‘𝑅)) ⊆ (𝑋 supp (0g‘𝑅))
97	95, 96	eqsstrdi 3971	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 supp (0g‘(Scalar‘𝑌))) ⊆ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))
98		fvexd 6771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0g‘(Scalar‘𝑌)) ∈ V)
99	5, 97, 83, 98	suppssr 7983	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))) → (𝑋‘𝑏) = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
100	99	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))) → ((𝑋‘𝑏) · (𝑈‘𝑏)) = ((0g‘(Scalar‘𝑌)) · (𝑈‘𝑏)))
101		eldifi 4057	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g‘𝑅))) → 𝑏 ∈ 𝐼)
102	101, 30	sylan2 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))) → ((𝑋‘𝑏) · (𝑈‘𝑏)) = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))
103	32	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))) → 𝑌 ∈ LMod)
104	101, 18	sylan2 592	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))) → (𝑈‘𝑏) ∈ 𝐵)
105		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑌)) = (0g‘(Scalar‘𝑌))
106	3, 39, 19, 105, 82	lmod0vs 20071	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑈‘𝑏) ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑌)) · (𝑈‘𝑏)) = (0g‘𝑌))
107	103, 104, 106	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))) → ((0g‘(Scalar‘𝑌)) · (𝑈‘𝑏)) = (0g‘𝑌))
108	100, 102, 107	3eqtr3d 2786	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))) → (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))) = (0g‘𝑌))
109	108, 83	suppss2 7987	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) supp (0g‘𝑌)) ⊆ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))
110		suppssfifsupp 9073	. . . . 5 ⊢ ((((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) ∈ V ∧ Fun (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) ∧ (0g‘𝑌) ∈ V) ∧ ((𝑋 supp (0g‘𝑅)) ∈ Fin ∧ ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) supp (0g‘𝑌)) ⊆ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))) → (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) finSupp (0g‘𝑌))
111	86, 88, 89, 92, 109, 110	syl32anc 1376	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) finSupp (0g‘𝑌))
112	1, 3, 82, 83, 83, 84, 43, 111	frlmgsum 20889	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 Σg (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))) = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))))
113	81, 112	eqtr4d 2781	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = (𝑌 Σg (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))))
114	5	feqmptd 6819	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑏)))
115	17	feqmptd 6819	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑈 = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑈‘𝑏)))
116	83, 14, 18, 114, 115	offval2 7531	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∘f · 𝑈) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏) · (𝑈‘𝑏))))
117	30	mpteq2dva 5170	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏) · (𝑈‘𝑏))) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))))
118	116, 117	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∘f · 𝑈) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))))
119	118	oveq2d 7271	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 Σg (𝑋 ∘f · 𝑈)) = (𝑌 Σg (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))))
120	113, 119	eqtr4d 2781	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = (𝑌 Σg (𝑋 ∘f · 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  {csn 4558   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578  Fun wfun 6412  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_f cof 7509   supp csupp 7948  Fincfn 8691   finSupp cfsupp 9058  Basecbs 16840  ._rcmulr 16889  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  0_gc0g 17067   Σ_g cgsu 17068  Mndcmnd 18300  1_rcur 19652  Ringcrg 19698  LModclmod 20038   freeLMod cfrlm 20863   unitVec cuvc 20899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-dsmm 20849  df-frlm 20864  df-uvc 20900

This theorem is referenced by:  frlmsslsp  20913