MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uvcresum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uvcresum 20407
Description: Any element of a free module can be expressed as a finite linear combination of unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uvcresum.u 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcresum.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
uvcresum.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
uvcresum.v · = ( ·𝑠𝑌)
Assertion
Ref Expression
uvcresum ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋 = (𝑌 Σg (𝑋𝑓 · 𝑈)))

Proof of Theorem uvcresum
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uvcresum.y . . . . . . 7 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2 eqid 2764 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 uvcresum.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑌)
41, 2, 3frlmbasf 20379 . . . . . 6 ((𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅))
543adant1 1160 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅))
65feqmptd 6437 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋 = (𝑎𝐼 ↦ (𝑋𝑎)))
7 eqid 2764 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
8 simpl1 1242 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
9 ringmnd 18822 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → 𝑅 ∈ Mnd)
11 simpl2 1244 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → 𝐼𝑊)
12 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → 𝑎𝐼)
13 simpl2 1244 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → 𝐼𝑊)
145ffvelrnda 6548 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑋𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
15 uvcresum.u . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
1615, 1, 3uvcff 20405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑈:𝐼𝐵)
17163adant3 1162 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑈:𝐼𝐵)
1817ffvelrnda 6548 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑈𝑏) ∈ 𝐵)
19 uvcresum.v . . . . . . . . . . . . . . 15 · = ( ·𝑠𝑌)
20 eqid 2764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.r𝑅) = (.r𝑅)
211, 3, 2, 13, 14, 18, 19, 20frlmvscafval 20384 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → ((𝑋𝑏) · (𝑈𝑏)) = ((𝐼 × {(𝑋𝑏)}) ∘𝑓 (.r𝑅)(𝑈𝑏)))
2214adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) ∧ 𝑎𝐼) → (𝑋𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
231, 2, 3frlmbasf 20379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼𝑊 ∧ (𝑈𝑏) ∈ 𝐵) → (𝑈𝑏):𝐼⟶(Base‘𝑅))
2413, 18, 23syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑈𝑏):𝐼⟶(Base‘𝑅))
2524ffvelrnda 6548 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) ∧ 𝑎𝐼) → ((𝑈𝑏)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
26 fconstmpt 5332 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 × {(𝑋𝑏)}) = (𝑎𝐼 ↦ (𝑋𝑏))
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → (𝐼 × {(𝑋𝑏)}) = (𝑎𝐼 ↦ (𝑋𝑏)))
2824feqmptd 6437 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑈𝑏) = (𝑎𝐼 ↦ ((𝑈𝑏)‘𝑎)))
2913, 22, 25, 27, 28offval2 7111 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → ((𝐼 × {(𝑋𝑏)}) ∘𝑓 (.r𝑅)(𝑈𝑏)) = (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))))
3021, 29eqtrd 2798 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → ((𝑋𝑏) · (𝑈𝑏)) = (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))))
311frlmlmod 20368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑌 ∈ LMod)
32313adant3 1162 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑌 ∈ LMod)
3332adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → 𝑌 ∈ LMod)
341frlmsca 20372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
35343adant3 1162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
3635fveq2d 6378 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
3736adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
3814, 37eleqtrd 2845 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑋𝑏) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
39 eqid 2764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
40 eqid 2764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
413, 39, 19, 40lmodvscl 19148 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑋𝑏) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ (𝑈𝑏) ∈ 𝐵) → ((𝑋𝑏) · (𝑈𝑏)) ∈ 𝐵)
4233, 38, 18, 41syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → ((𝑋𝑏) · (𝑈𝑏)) ∈ 𝐵)
4330, 42eqeltrrd 2844 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))) ∈ 𝐵)
441, 2, 3frlmbasf 20379 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑊 ∧ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))) ∈ 𝐵) → (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
4513, 43, 44syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
46 eqid 2764 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))) = (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))
4746fmpt 6569 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑎𝐼 ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)) ∈ (Base‘𝑅) ↔ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
4845, 47sylibr 225 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → ∀𝑎𝐼 ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)) ∈ (Base‘𝑅))
4948r19.21bi 3078 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) ∧ 𝑎𝐼) → ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)) ∈ (Base‘𝑅))
5049an32s 642 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼) → ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)) ∈ (Base‘𝑅))
5150fmpttd 6574 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → (𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
5283ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼𝑏𝑎) → 𝑅 ∈ Ring)
53113ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼𝑏𝑎) → 𝐼𝑊)
54 simp2 1167 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼𝑏𝑎) → 𝑏𝐼)
55123ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼𝑏𝑎) → 𝑎𝐼)
56 simp3 1168 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼𝑏𝑎) → 𝑏𝑎)
5715, 52, 53, 54, 55, 56, 7uvcvv0 20404 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼𝑏𝑎) → ((𝑈𝑏)‘𝑎) = (0g𝑅))
5857oveq2d 6857 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼𝑏𝑎) → ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)) = ((𝑋𝑏)(.r𝑅)(0g𝑅)))
5914adantlr 706 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑋𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
60593adant3 1162 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼𝑏𝑎) → (𝑋𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
612, 20, 7ringrz 18854 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑏) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑏)(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
6252, 60, 61syl2anc 579 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼𝑏𝑎) → ((𝑋𝑏)(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
6358, 62eqtrd 2798 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼𝑏𝑎) → ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)) = (0g𝑅))
6463, 11suppsssn 7532 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → ((𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑎})
652, 7, 10, 11, 12, 51, 64gsumpt 18626 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → (𝑅 Σg (𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))) = ((𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))‘𝑎))
66 fveq2 6374 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑎 → (𝑋𝑏) = (𝑋𝑎))
67 fveq2 6374 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑎 → (𝑈𝑏) = (𝑈𝑎))
6867fveq1d 6376 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑎 → ((𝑈𝑏)‘𝑎) = ((𝑈𝑎)‘𝑎))
6966, 68oveq12d 6859 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑎 → ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)) = ((𝑋𝑎)(.r𝑅)((𝑈𝑎)‘𝑎)))
70 eqid 2764 . . . . . . . . 9 (𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))) = (𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))
71 ovex 6873 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑎)(.r𝑅)((𝑈𝑎)‘𝑎)) ∈ V
7269, 70, 71fvmpt 6470 . . . . . . . 8 (𝑎𝐼 → ((𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))‘𝑎) = ((𝑋𝑎)(.r𝑅)((𝑈𝑎)‘𝑎)))
7372adantl 473 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → ((𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))‘𝑎) = ((𝑋𝑎)(.r𝑅)((𝑈𝑎)‘𝑎)))
74 eqid 2764 . . . . . . . . . 10 (1r𝑅) = (1r𝑅)
7515, 8, 11, 12, 74uvcvv1 20403 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → ((𝑈𝑎)‘𝑎) = (1r𝑅))
7675oveq2d 6857 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → ((𝑋𝑎)(.r𝑅)((𝑈𝑎)‘𝑎)) = ((𝑋𝑎)(.r𝑅)(1r𝑅)))
775ffvelrnda 6548 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → (𝑋𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
782, 20, 74ringridm 18838 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑎) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑎)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (𝑋𝑎))
798, 77, 78syl2anc 579 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → ((𝑋𝑎)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (𝑋𝑎))
8076, 79eqtrd 2798 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → ((𝑋𝑎)(.r𝑅)((𝑈𝑎)‘𝑎)) = (𝑋𝑎))
8173, 80eqtrd 2798 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → ((𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))‘𝑎) = (𝑋𝑎))
8265, 81eqtrd 2798 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → (𝑅 Σg (𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))) = (𝑋𝑎))
8382mpteq2dva 4902 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑎𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))))) = (𝑎𝐼 ↦ (𝑋𝑎)))
846, 83eqtr4d 2801 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋 = (𝑎𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))))))
85 eqid 2764 . . . 4 (0g𝑌) = (0g𝑌)
86 simp2 1167 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝐼𝑊)
87 simp1 1166 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
88 mptexg 6676 . . . . . 6 (𝐼𝑊 → (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))) ∈ V)
89883ad2ant2 1164 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))) ∈ V)
90 funmpt 6105 . . . . . 6 Fun (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))))
9190a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → Fun (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))))
92 fvexd 6389 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (0g𝑌) ∈ V)
931, 7, 3frlmbasfsupp 20377 . . . . . . 7 ((𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋 finSupp (0g𝑅))
94933adant1 1160 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋 finSupp (0g𝑅))
9594fsuppimpd 8488 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑋 supp (0g𝑅)) ∈ Fin)
9635eqcomd 2770 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (Scalar‘𝑌) = 𝑅)
9796fveq2d 6378 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (0g‘(Scalar‘𝑌)) = (0g𝑅))
9897oveq2d 6857 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑋 supp (0g‘(Scalar‘𝑌))) = (𝑋 supp (0g𝑅)))
99 ssid 3782 . . . . . . . . . 10 (𝑋 supp (0g𝑅)) ⊆ (𝑋 supp (0g𝑅))
10098, 99syl6eqss 3814 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑋 supp (0g‘(Scalar‘𝑌))) ⊆ (𝑋 supp (0g𝑅)))
101 fvexd 6389 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (0g‘(Scalar‘𝑌)) ∈ V)
1025, 100, 86, 101suppssr 7528 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g𝑅)))) → (𝑋𝑏) = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
103102oveq1d 6856 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g𝑅)))) → ((𝑋𝑏) · (𝑈𝑏)) = ((0g‘(Scalar‘𝑌)) · (𝑈𝑏)))
104 eldifi 3893 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g𝑅))) → 𝑏𝐼)
105104, 30sylan2 586 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g𝑅)))) → ((𝑋𝑏) · (𝑈𝑏)) = (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))))
10632adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g𝑅)))) → 𝑌 ∈ LMod)
107104, 18sylan2 586 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g𝑅)))) → (𝑈𝑏) ∈ 𝐵)
108 eqid 2764 . . . . . . . . 9 (0g‘(Scalar‘𝑌)) = (0g‘(Scalar‘𝑌))
1093, 39, 19, 108, 85lmod0vs 19164 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑏) ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑌)) · (𝑈𝑏)) = (0g𝑌))
110106, 107, 109syl2anc 579 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g𝑅)))) → ((0g‘(Scalar‘𝑌)) · (𝑈𝑏)) = (0g𝑌))
111103, 105, 1103eqtr3d 2806 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g𝑅)))) → (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))) = (0g𝑌))
112111, 86suppss2 7531 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → ((𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))) supp (0g𝑌)) ⊆ (𝑋 supp (0g𝑅)))
113 suppssfifsupp 8496 . . . . 5 ((((𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))) ∈ V ∧ Fun (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))) ∧ (0g𝑌) ∈ V) ∧ ((𝑋 supp (0g𝑅)) ∈ Fin ∧ ((𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))) supp (0g𝑌)) ⊆ (𝑋 supp (0g𝑅)))) → (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))) finSupp (0g𝑌))
11489, 91, 92, 95, 112, 113syl32anc 1497 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))) finSupp (0g𝑌))
1151, 3, 85, 86, 86, 87, 43, 114frlmgsum 20386 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑌 Σg (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))))) = (𝑎𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))))))
11684, 115eqtr4d 2801 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋 = (𝑌 Σg (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))))))
1175feqmptd 6437 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋 = (𝑏𝐼 ↦ (𝑋𝑏)))
11817feqmptd 6437 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑈 = (𝑏𝐼 ↦ (𝑈𝑏)))
11986, 14, 18, 117, 118offval2 7111 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑋𝑓 · 𝑈) = (𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏) · (𝑈𝑏))))
12030mpteq2dva 4902 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏) · (𝑈𝑏))) = (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))))
121119, 120eqtrd 2798 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑋𝑓 · 𝑈) = (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))))
122121oveq2d 6857 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑌 Σg (𝑋𝑓 · 𝑈)) = (𝑌 Σg (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))))))
123116, 122eqtr4d 2801 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋 = (𝑌 Σg (𝑋𝑓 · 𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2936  wral 3054  Vcvv 3349  cdif 3728  wss 3731  {csn 4333   class class class wbr 4808  cmpt 4887   × cxp 5274  Fun wfun 6061  wf 6063  cfv 6067  (class class class)co 6841  𝑓 cof 7092   supp csupp 7496  Fincfn 8159   finSupp cfsupp 8481  Basecbs 16131  .rcmulr 16216  Scalarcsca 16218   ·𝑠 cvsca 16219  0gc0g 16367   Σg cgsu 16368  Mndcmnd 17561  1rcur 18767  Ringcrg 18813  LModclmod 19131   freeLMod cfrlm 20365   unitVec cuvc 20396
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-inf2 8752  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-int 4633  df-iun 4677  df-iin 4678  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-se 5236  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-isom 6076  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-of 7094  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-supp 7497  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-1o 7763  df-oadd 7767  df-er 7946  df-map 8061  df-ixp 8113  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-fin 8163  df-fsupp 8482  df-sup 8554  df-oi 8621  df-card 9015  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-nn 11274  df-2 11334  df-3 11335  df-4 11336  df-5 11337  df-6 11338  df-7 11339  df-8 11340  df-9 11341  df-n0 11538  df-z 11624  df-dec 11740  df-uz 11886  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-hash 13321  df-struct 16133  df-ndx 16134  df-slot 16135  df-base 16137  df-sets 16138  df-ress 16139  df-plusg 16228  df-mulr 16229  df-sca 16231  df-vsca 16232  df-ip 16233  df-tset 16234  df-ple 16235  df-ds 16237  df-hom 16239  df-cco 16240  df-0g 16369  df-gsum 16370  df-prds 16375  df-pws 16377  df-mre 16513  df-mrc 16514  df-acs 16516  df-mgm 17509  df-sgrp 17551  df-mnd 17562  df-mhm 17602  df-submnd 17603  df-grp 17693  df-minusg 17694  df-sbg 17695  df-mulg 17809  df-subg 17856  df-cntz 18014  df-cmn 18460  df-abl 18461  df-mgp 18756  df-ur 18768  df-ring 18815  df-subrg 19046  df-lmod 19133  df-lss 19201  df-sra 19445  df-rgmod 19446  df-dsmm 20351  df-frlm 20366  df-uvc 20397
This theorem is referenced by:  frlmsslsp  20410
  Copyright terms: Public domain W3C validator