Theorem uvcresum 21768

Description: Any element of a free module can be expressed as a finite linear combination of unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvcresum.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcresum.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
uvcresum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
uvcresum.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
uvcresum	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = (𝑌 Σg (𝑋 ∘f · 𝑈)))

Proof of Theorem uvcresum

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvcresum.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		uvcresum.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
4	1, 2, 3	frlmbasf 21735	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅))
5	4	3adant1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅))
6	5	feqmptd 6895	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑎)))
7		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8		simpl1 1198	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
9		ringmnd 20215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Mnd)
11		simpl2 1199	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
12		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ 𝐼)
13		simpl2 1199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
14	5	ffvelcdmda 7025	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
15		uvcresum.u	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
16	15, 1, 3	uvcff 21766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
17	16	3adant3 1138	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
18	17	ffvelcdmda 7025	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝑏) ∈ 𝐵)
19		uvcresum.v	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
20		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
21	1, 3, 2, 13, 14, 18, 19, 20	frlmvscafval 21741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑏) · (𝑈‘𝑏)) = ((𝐼 × {(𝑋‘𝑏)}) ∘f (.r‘𝑅)(𝑈‘𝑏)))
22	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
23	1, 2, 3	frlmbasf 21735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ (𝑈‘𝑏) ∈ 𝐵) → (𝑈‘𝑏):𝐼⟶(Base‘𝑅))
24	13, 18, 23	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝑏):𝐼⟶(Base‘𝑅))
25	24	ffvelcdmda 7025	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝑏)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
26		fconstmpt 5680	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 × {(𝑋‘𝑏)}) = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑏))
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝐼 × {(𝑋‘𝑏)}) = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑏)))
28	24	feqmptd 6895	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝑏) = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))
29	13, 22, 25, 27, 28	offval2 7640	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {(𝑋‘𝑏)}) ∘f (.r‘𝑅)(𝑈‘𝑏)) = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))
30	21, 29	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑏) · (𝑈‘𝑏)) = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))
31	1	frlmlmod 21724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 ∈ LMod)
32	31	3adant3 1138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ LMod)
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → 𝑌 ∈ LMod)
34	1	frlmsca 21728	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
35	34	3adant3 1138	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
36	35	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
38	14, 37	eleqtrd 2841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑏) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
39		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
40		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
41	3, 39, 19, 40	lmodvscl 20868	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑋‘𝑏) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ (𝑈‘𝑏) ∈ 𝐵) → ((𝑋‘𝑏) · (𝑈‘𝑏)) ∈ 𝐵)
42	33, 38, 18, 41	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑏) · (𝑈‘𝑏)) ∈ 𝐵)
43	30, 42	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))) ∈ 𝐵)
44	1, 2, 3	frlmbasf 21735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))) ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
45	13, 43, 44	syl2anc 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
46	45	fvmptelcdm 7054	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)) ∈ (Base‘𝑅))
47	46	an32s 658	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)) ∈ (Base‘𝑅))
48	47	fmpttd 7056	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
49	8	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → 𝑅 ∈ Ring)
50	11	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → 𝐼 ∈ 𝑊)
51		simp2 1143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝐼)
52	12	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → 𝑎 ∈ 𝐼)
53		simp3 1144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → 𝑏 ≠ 𝑎)
54	15, 49, 50, 51, 52, 53, 7	uvcvv0 21765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → ((𝑈‘𝑏)‘𝑎) = (0g‘𝑅))
55	54	oveq2d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)) = ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
56	14	adantlr 721	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
57	56	3adant3 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → (𝑋‘𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
58	2, 20, 7	ringrz 20266	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋‘𝑏) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
59	49, 57, 58	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
60	55, 59	eqtrd 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)) = (0g‘𝑅))
61	60, 11	suppsssn 8141	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑎})
62	2, 7, 10, 11, 12, 48, 61	gsumpt 19928	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) = ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))‘𝑎))
63		fveq2 6827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑋‘𝑏) = (𝑋‘𝑎))
64		fveq2 6827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑈‘𝑏) = (𝑈‘𝑎))
65	64	fveq1d 6829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((𝑈‘𝑏)‘𝑎) = ((𝑈‘𝑎)‘𝑎))
66	63, 65	oveq12d 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)) = ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑎)‘𝑎)))
67		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))
68		ovex 7389	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑎)‘𝑎)) ∈ V
69	66, 67, 68	fvmpt 6935	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐼 → ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))‘𝑎) = ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑎)‘𝑎)))
70	69	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))‘𝑎) = ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑎)‘𝑎)))
71		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
72	15, 8, 11, 12, 71	uvcvv1 21764	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝑎)‘𝑎) = (1r‘𝑅))
73	72	oveq2d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑎)‘𝑎)) = ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
74	5	ffvelcdmda 7025	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
75	2, 20, 71	ringridm 20242	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋‘𝑎) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑋‘𝑎))
76	8, 74, 75	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑋‘𝑎))
77	73, 76	eqtrd 2774	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑎)‘𝑎)) = (𝑋‘𝑎))
78	70, 77	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))‘𝑎) = (𝑋‘𝑎))
79	62, 78	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) = (𝑋‘𝑎))
80	79	mpteq2dva 5165	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))) = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑎)))
81	6, 80	eqtr4d 2777	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))))
82		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
83		simp2 1143	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑊)
84		simp1 1142	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
85		mptexg 7165	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) ∈ V)
86	85	3ad2ant2 1140	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) ∈ V)
87		funmpt 6523	. . . . . 6 ⊢ Fun (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))
88	87	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → Fun (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))))
89		fvexd 6842	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑌) ∈ V)
90	1, 7, 3	frlmbasfsupp 21733	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 finSupp (0g‘𝑅))
91	90	3adant1 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 finSupp (0g‘𝑅))
92	91	fsuppimpd 9272	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 supp (0g‘𝑅)) ∈ Fin)
93	35	eqcomd 2745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (Scalar‘𝑌) = 𝑅)
94	93	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0g‘(Scalar‘𝑌)) = (0g‘𝑅))
95	94	oveq2d 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 supp (0g‘(Scalar‘𝑌))) = (𝑋 supp (0g‘𝑅)))
96		ssid 3937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 supp (0g‘𝑅)) ⊆ (𝑋 supp (0g‘𝑅))
97	95, 96	eqsstrdi 3959	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 supp (0g‘(Scalar‘𝑌))) ⊆ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))
98		fvexd 6842	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0g‘(Scalar‘𝑌)) ∈ V)
99	5, 97, 83, 98	suppssr 8135	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))) → (𝑋‘𝑏) = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
100	99	oveq1d 7371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))) → ((𝑋‘𝑏) · (𝑈‘𝑏)) = ((0g‘(Scalar‘𝑌)) · (𝑈‘𝑏)))
101		eldifi 4061	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g‘𝑅))) → 𝑏 ∈ 𝐼)
102	101, 30	sylan2 599	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))) → ((𝑋‘𝑏) · (𝑈‘𝑏)) = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))
103	32	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))) → 𝑌 ∈ LMod)
104	101, 18	sylan2 599	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))) → (𝑈‘𝑏) ∈ 𝐵)
105		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑌)) = (0g‘(Scalar‘𝑌))
106	3, 39, 19, 105, 82	lmod0vs 20885	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑈‘𝑏) ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑌)) · (𝑈‘𝑏)) = (0g‘𝑌))
107	103, 104, 106	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))) → ((0g‘(Scalar‘𝑌)) · (𝑈‘𝑏)) = (0g‘𝑌))
108	100, 102, 107	3eqtr3d 2782	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))) → (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))) = (0g‘𝑌))
109	108, 83	suppss2 8140	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) supp (0g‘𝑌)) ⊆ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))
110		suppssfifsupp 9283	. . . . 5 ⊢ ((((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) ∈ V ∧ Fun (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) ∧ (0g‘𝑌) ∈ V) ∧ ((𝑋 supp (0g‘𝑅)) ∈ Fin ∧ ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) supp (0g‘𝑌)) ⊆ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))) → (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) finSupp (0g‘𝑌))
111	86, 88, 89, 92, 109, 110	syl32anc 1386	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) finSupp (0g‘𝑌))
112	1, 3, 82, 83, 83, 84, 43, 111	frlmgsum 21747	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 Σg (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))) = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))))
113	81, 112	eqtr4d 2777	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = (𝑌 Σg (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))))
114	5	feqmptd 6895	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑏)))
115	17	feqmptd 6895	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑈 = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑈‘𝑏)))
116	83, 14, 18, 114, 115	offval2 7640	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∘f · 𝑈) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏) · (𝑈‘𝑏))))
117	30	mpteq2dva 5165	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏) · (𝑈‘𝑏))) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))))
118	116, 117	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∘f · 𝑈) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))))
119	118	oveq2d 7372	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 Σg (𝑋 ∘f · 𝑈)) = (𝑌 Σg (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))))
120	113, 119	eqtr4d 2777	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = (𝑌 Σg (𝑋 ∘f · 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  Vcvv 3431   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  {csn 4555   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153   × cxp 5616  Fun wfun 6479  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∘_f cof 7618   supp csupp 8100  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9264  Basecbs 17170  ._rcmulr 17212  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  0_gc0g 17393   Σ_g cgsu 17394  Mndcmnd 18693  1_rcur 20153  Ringcrg 20205  LModclmod 20850   freeLMod cfrlm 21721   unitVec cuvc 21757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-subrg 20542  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-dsmm 21707  df-frlm 21722  df-uvc 21758

This theorem is referenced by:  frlmsslsp  21771