MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uvcresum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uvcresum 20349
Description: Any element of a free module can be expressed as a finite linear combination of unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uvcresum.u 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcresum.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
uvcresum.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
uvcresum.v · = ( ·𝑠𝑌)
Assertion
Ref Expression
uvcresum ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋 = (𝑌 Σg (𝑋𝑓 · 𝑈)))

Proof of Theorem uvcresum
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uvcresum.y . . . . . . 7 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2 eqid 2771 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 uvcresum.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑌)
41, 2, 3frlmbasf 20321 . . . . . 6 ((𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅))
543adant1 1124 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅))
65feqmptd 6391 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋 = (𝑎𝐼 ↦ (𝑋𝑎)))
7 eqid 2771 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
8 simpl1 1227 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
9 ringmnd 18764 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → 𝑅 ∈ Mnd)
11 simpl2 1229 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → 𝐼𝑊)
12 simpr 471 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → 𝑎𝐼)
13 simpl2 1229 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → 𝐼𝑊)
145ffvelrnda 6502 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑋𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
15 uvcresum.u . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
1615, 1, 3uvcff 20347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑈:𝐼𝐵)
17163adant3 1126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑈:𝐼𝐵)
1817ffvelrnda 6502 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑈𝑏) ∈ 𝐵)
19 uvcresum.v . . . . . . . . . . . . . . 15 · = ( ·𝑠𝑌)
20 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.r𝑅) = (.r𝑅)
211, 3, 2, 13, 14, 18, 19, 20frlmvscafval 20326 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → ((𝑋𝑏) · (𝑈𝑏)) = ((𝐼 × {(𝑋𝑏)}) ∘𝑓 (.r𝑅)(𝑈𝑏)))
2214adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) ∧ 𝑎𝐼) → (𝑋𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
231, 2, 3frlmbasf 20321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼𝑊 ∧ (𝑈𝑏) ∈ 𝐵) → (𝑈𝑏):𝐼⟶(Base‘𝑅))
2413, 18, 23syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑈𝑏):𝐼⟶(Base‘𝑅))
2524ffvelrnda 6502 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) ∧ 𝑎𝐼) → ((𝑈𝑏)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
26 fconstmpt 5303 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 × {(𝑋𝑏)}) = (𝑎𝐼 ↦ (𝑋𝑏))
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → (𝐼 × {(𝑋𝑏)}) = (𝑎𝐼 ↦ (𝑋𝑏)))
2824feqmptd 6391 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑈𝑏) = (𝑎𝐼 ↦ ((𝑈𝑏)‘𝑎)))
2913, 22, 25, 27, 28offval2 7061 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → ((𝐼 × {(𝑋𝑏)}) ∘𝑓 (.r𝑅)(𝑈𝑏)) = (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))))
3021, 29eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → ((𝑋𝑏) · (𝑈𝑏)) = (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))))
311frlmlmod 20310 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑌 ∈ LMod)
32313adant3 1126 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑌 ∈ LMod)
3332adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → 𝑌 ∈ LMod)
341frlmsca 20314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
35343adant3 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
3635fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
3736adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
3814, 37eleqtrd 2852 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑋𝑏) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
39 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
40 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
413, 39, 19, 40lmodvscl 19090 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑋𝑏) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ (𝑈𝑏) ∈ 𝐵) → ((𝑋𝑏) · (𝑈𝑏)) ∈ 𝐵)
4233, 38, 18, 41syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → ((𝑋𝑏) · (𝑈𝑏)) ∈ 𝐵)
4330, 42eqeltrrd 2851 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))) ∈ 𝐵)
441, 2, 3frlmbasf 20321 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑊 ∧ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))) ∈ 𝐵) → (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
4513, 43, 44syl2anc 565 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
46 eqid 2771 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))) = (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))
4746fmpt 6523 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑎𝐼 ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)) ∈ (Base‘𝑅) ↔ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
4845, 47sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → ∀𝑎𝐼 ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)) ∈ (Base‘𝑅))
4948r19.21bi 3081 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) ∧ 𝑎𝐼) → ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)) ∈ (Base‘𝑅))
5049an32s 623 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼) → ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)) ∈ (Base‘𝑅))
51 eqid 2771 . . . . . . . 8 (𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))) = (𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))
5250, 51fmptd 6527 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → (𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
5383ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼𝑏𝑎) → 𝑅 ∈ Ring)
54113ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼𝑏𝑎) → 𝐼𝑊)
55 simp2 1131 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼𝑏𝑎) → 𝑏𝐼)
56123ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼𝑏𝑎) → 𝑎𝐼)
57 simp3 1132 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼𝑏𝑎) → 𝑏𝑎)
5815, 53, 54, 55, 56, 57, 7uvcvv0 20346 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼𝑏𝑎) → ((𝑈𝑏)‘𝑎) = (0g𝑅))
5958oveq2d 6809 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼𝑏𝑎) → ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)) = ((𝑋𝑏)(.r𝑅)(0g𝑅)))
6014adantlr 686 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑋𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
61603adant3 1126 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼𝑏𝑎) → (𝑋𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
622, 20, 7ringrz 18796 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑏) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑏)(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
6353, 61, 62syl2anc 565 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼𝑏𝑎) → ((𝑋𝑏)(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
6459, 63eqtrd 2805 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼𝑏𝑎) → ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)) = (0g𝑅))
6564, 11suppsssn 7482 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → ((𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑎})
662, 7, 10, 11, 12, 52, 65gsumpt 18568 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → (𝑅 Σg (𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))) = ((𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))‘𝑎))
67 fveq2 6332 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑎 → (𝑋𝑏) = (𝑋𝑎))
68 fveq2 6332 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑎 → (𝑈𝑏) = (𝑈𝑎))
6968fveq1d 6334 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑎 → ((𝑈𝑏)‘𝑎) = ((𝑈𝑎)‘𝑎))
7067, 69oveq12d 6811 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑎 → ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)) = ((𝑋𝑎)(.r𝑅)((𝑈𝑎)‘𝑎)))
71 ovex 6823 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑎)(.r𝑅)((𝑈𝑎)‘𝑎)) ∈ V
7270, 51, 71fvmpt 6424 . . . . . . . 8 (𝑎𝐼 → ((𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))‘𝑎) = ((𝑋𝑎)(.r𝑅)((𝑈𝑎)‘𝑎)))
7372adantl 467 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → ((𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))‘𝑎) = ((𝑋𝑎)(.r𝑅)((𝑈𝑎)‘𝑎)))
74 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (1r𝑅) = (1r𝑅)
7515, 8, 11, 12, 74uvcvv1 20345 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → ((𝑈𝑎)‘𝑎) = (1r𝑅))
7675oveq2d 6809 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → ((𝑋𝑎)(.r𝑅)((𝑈𝑎)‘𝑎)) = ((𝑋𝑎)(.r𝑅)(1r𝑅)))
775ffvelrnda 6502 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → (𝑋𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
782, 20, 74ringridm 18780 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑎) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑎)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (𝑋𝑎))
798, 77, 78syl2anc 565 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → ((𝑋𝑎)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (𝑋𝑎))
8076, 79eqtrd 2805 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → ((𝑋𝑎)(.r𝑅)((𝑈𝑎)‘𝑎)) = (𝑋𝑎))
8173, 80eqtrd 2805 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → ((𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))‘𝑎) = (𝑋𝑎))
8266, 81eqtrd 2805 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → (𝑅 Σg (𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))) = (𝑋𝑎))
8382mpteq2dva 4878 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑎𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))))) = (𝑎𝐼 ↦ (𝑋𝑎)))
846, 83eqtr4d 2808 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋 = (𝑎𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))))))
85 eqid 2771 . . . 4 (0g𝑌) = (0g𝑌)
86 simp2 1131 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝐼𝑊)
87 simp1 1130 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
88 mptexg 6628 . . . . . 6 (𝐼𝑊 → (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))) ∈ V)
89883ad2ant2 1128 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))) ∈ V)
90 funmpt 6069 . . . . . 6 Fun (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))))
9190a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → Fun (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))))
92 fvexd 6344 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (0g𝑌) ∈ V)
931, 7, 3frlmbasfsupp 20319 . . . . . . 7 ((𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋 finSupp (0g𝑅))
94933adant1 1124 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋 finSupp (0g𝑅))
9594fsuppimpd 8438 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑋 supp (0g𝑅)) ∈ Fin)
9635eqcomd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (Scalar‘𝑌) = 𝑅)
9796fveq2d 6336 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (0g‘(Scalar‘𝑌)) = (0g𝑅))
9897oveq2d 6809 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑋 supp (0g‘(Scalar‘𝑌))) = (𝑋 supp (0g𝑅)))
99 ssid 3773 . . . . . . . . . 10 (𝑋 supp (0g𝑅)) ⊆ (𝑋 supp (0g𝑅))
10098, 99syl6eqss 3804 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑋 supp (0g‘(Scalar‘𝑌))) ⊆ (𝑋 supp (0g𝑅)))
101 fvexd 6344 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (0g‘(Scalar‘𝑌)) ∈ V)
1025, 100, 86, 101suppssr 7478 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g𝑅)))) → (𝑋𝑏) = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
103102oveq1d 6808 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g𝑅)))) → ((𝑋𝑏) · (𝑈𝑏)) = ((0g‘(Scalar‘𝑌)) · (𝑈𝑏)))
104 eldifi 3883 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g𝑅))) → 𝑏𝐼)
105104, 30sylan2 572 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g𝑅)))) → ((𝑋𝑏) · (𝑈𝑏)) = (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))))
10632adantr 466 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g𝑅)))) → 𝑌 ∈ LMod)
107104, 18sylan2 572 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g𝑅)))) → (𝑈𝑏) ∈ 𝐵)
108 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (0g‘(Scalar‘𝑌)) = (0g‘(Scalar‘𝑌))
1093, 39, 19, 108, 85lmod0vs 19106 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑏) ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑌)) · (𝑈𝑏)) = (0g𝑌))
110106, 107, 109syl2anc 565 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g𝑅)))) → ((0g‘(Scalar‘𝑌)) · (𝑈𝑏)) = (0g𝑌))
111103, 105, 1103eqtr3d 2813 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g𝑅)))) → (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))) = (0g𝑌))
112111, 86suppss2 7481 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → ((𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))) supp (0g𝑌)) ⊆ (𝑋 supp (0g𝑅)))
113 suppssfifsupp 8446 . . . . 5 ((((𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))) ∈ V ∧ Fun (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))) ∧ (0g𝑌) ∈ V) ∧ ((𝑋 supp (0g𝑅)) ∈ Fin ∧ ((𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))) supp (0g𝑌)) ⊆ (𝑋 supp (0g𝑅)))) → (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))) finSupp (0g𝑌))
11489, 91, 92, 95, 112, 113syl32anc 1484 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))) finSupp (0g𝑌))
1151, 3, 85, 86, 86, 87, 43, 114frlmgsum 20328 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑌 Σg (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))))) = (𝑎𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))))))
11684, 115eqtr4d 2808 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋 = (𝑌 Σg (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))))))
1175feqmptd 6391 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋 = (𝑏𝐼 ↦ (𝑋𝑏)))
11817feqmptd 6391 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑈 = (𝑏𝐼 ↦ (𝑈𝑏)))
11986, 14, 18, 117, 118offval2 7061 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑋𝑓 · 𝑈) = (𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏) · (𝑈𝑏))))
12030mpteq2dva 4878 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏) · (𝑈𝑏))) = (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))))
121119, 120eqtrd 2805 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑋𝑓 · 𝑈) = (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))))
122121oveq2d 6809 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑌 Σg (𝑋𝑓 · 𝑈)) = (𝑌 Σg (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))))))
123116, 122eqtr4d 2808 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋 = (𝑌 Σg (𝑋𝑓 · 𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  Vcvv 3351  cdif 3720  wss 3723  {csn 4316   class class class wbr 4786  cmpt 4863   × cxp 5247  Fun wfun 6025  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  𝑓 cof 7042   supp csupp 7446  Fincfn 8109   finSupp cfsupp 8431  Basecbs 16064  .rcmulr 16150  Scalarcsca 16152   ·𝑠 cvsca 16153  0gc0g 16308   Σg cgsu 16309  Mndcmnd 17502  1rcur 18709  Ringcrg 18755  LModclmod 19073   freeLMod cfrlm 20307   unitVec cuvc 20338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-sup 8504  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-hom 16174  df-cco 16175  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-prds 16316  df-pws 16318  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-subrg 18988  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-dsmm 20293  df-frlm 20308  df-uvc 20339
This theorem is referenced by:  frlmsslsp  20352
  Copyright terms: Public domain W3C validator