MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uvcresum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uvcresum 21568
Description: Any element of a free module can be expressed as a finite linear combination of unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uvcresum.u π‘ˆ = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcresum.y π‘Œ = (𝑅 freeLMod 𝐼)
uvcresum.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
uvcresum.v Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
uvcresum ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 = (π‘Œ Ξ£g (𝑋 ∘f Β· π‘ˆ)))

Proof of Theorem uvcresum
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uvcresum.y . . . . . . 7 π‘Œ = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2 eqid 2731 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3 uvcresum.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
41, 2, 3frlmbasf 21535 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
543adant1 1129 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
65feqmptd 6961 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 = (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘Ž)))
7 eqid 2731 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
8 simpl1 1190 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
9 ringmnd 20138 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
11 simpl2 1191 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
12 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)
13 simpl2 1191 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
145ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
15 uvcresum.u . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π‘ˆ = (𝑅 unitVec 𝐼)
1615, 1, 3uvcff 21566 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ π‘ˆ:𝐼⟢𝐡)
17163adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ π‘ˆ:𝐼⟢𝐡)
1817ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘) ∈ 𝐡)
19 uvcresum.v . . . . . . . . . . . . . 14 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Œ)
20 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . 14 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
211, 3, 2, 13, 14, 18, 19, 20frlmvscafval 21541 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‹β€˜π‘) Β· (π‘ˆβ€˜π‘)) = ((𝐼 Γ— {(π‘‹β€˜π‘)}) ∘f (.rβ€˜π‘…)(π‘ˆβ€˜π‘)))
2214adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
231, 2, 3frlmbasf 21535 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ (π‘ˆβ€˜π‘) ∈ 𝐡) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
2413, 18, 23syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
2524ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
26 fconstmpt 5739 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 Γ— {(π‘‹β€˜π‘)}) = (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘))
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ (𝐼 Γ— {(π‘‹β€˜π‘)}) = (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘)))
2824feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘) = (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)))
2913, 22, 25, 27, 28offval2 7693 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {(π‘‹β€˜π‘)}) ∘f (.rβ€˜π‘…)(π‘ˆβ€˜π‘)) = (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž))))
3021, 29eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‹β€˜π‘) Β· (π‘ˆβ€˜π‘)) = (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž))))
311frlmlmod 21524 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ π‘Œ ∈ LMod)
32313adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ LMod)
3332adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ π‘Œ ∈ LMod)
341frlmsca 21528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Œ))
35343adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Œ))
3635fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
3736adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
3814, 37eleqtrd 2834 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
39 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . 14 (Scalarβ€˜π‘Œ) = (Scalarβ€˜π‘Œ)
40 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . 14 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))
413, 39, 19, 40lmodvscl 20633 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Œ ∈ LMod ∧ (π‘‹β€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘) ∈ 𝐡) β†’ ((π‘‹β€˜π‘) Β· (π‘ˆβ€˜π‘)) ∈ 𝐡)
4233, 38, 18, 41syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‹β€˜π‘) Β· (π‘ˆβ€˜π‘)) ∈ 𝐡)
4330, 42eqeltrrd 2833 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž))) ∈ 𝐡)
441, 2, 3frlmbasf 21535 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž))) ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž))):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
4513, 43, 44syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž))):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
4645fvmptelcdm 7115 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4746an32s 649 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4847fmpttd 7117 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž))):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
4983ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 β‰  π‘Ž) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
50113ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 β‰  π‘Ž) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
51 simp2 1136 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 β‰  π‘Ž) β†’ 𝑏 ∈ 𝐼)
52123ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 β‰  π‘Ž) β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)
53 simp3 1137 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 β‰  π‘Ž) β†’ 𝑏 β‰  π‘Ž)
5415, 49, 50, 51, 52, 53, 7uvcvv0 21565 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 β‰  π‘Ž) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž) = (0gβ€˜π‘…))
5554oveq2d 7428 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 β‰  π‘Ž) β†’ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)) = ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)))
5614adantlr 712 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
57563adant3 1131 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 β‰  π‘Ž) β†’ (π‘‹β€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
582, 20, 7ringrz 20183 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘‹β€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
5949, 57, 58syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 β‰  π‘Ž) β†’ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
6055, 59eqtrd 2771 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 β‰  π‘Ž) β†’ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)) = (0gβ€˜π‘…))
6160, 11suppsssn 8189 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† {π‘Ž})
622, 7, 10, 11, 12, 48, 61gsumpt 19872 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)))) = ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)))β€˜π‘Ž))
63 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = π‘Ž β†’ (π‘‹β€˜π‘) = (π‘‹β€˜π‘Ž))
64 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = π‘Ž β†’ (π‘ˆβ€˜π‘) = (π‘ˆβ€˜π‘Ž))
6564fveq1d 6894 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = π‘Ž β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž) = ((π‘ˆβ€˜π‘Ž)β€˜π‘Ž))
6663, 65oveq12d 7430 . . . . . . . . 9 (𝑏 = π‘Ž β†’ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)) = ((π‘‹β€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘Ž)β€˜π‘Ž)))
67 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž))) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)))
68 ovex 7445 . . . . . . . . 9 ((π‘‹β€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘Ž)β€˜π‘Ž)) ∈ V
6966, 67, 68fvmpt 6999 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ 𝐼 β†’ ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)))β€˜π‘Ž) = ((π‘‹β€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘Ž)β€˜π‘Ž)))
7069adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)))β€˜π‘Ž) = ((π‘‹β€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘Ž)β€˜π‘Ž)))
71 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
7215, 8, 11, 12, 71uvcvv1 21564 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘Ž)β€˜π‘Ž) = (1rβ€˜π‘…))
7372oveq2d 7428 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‹β€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘Ž)β€˜π‘Ž)) = ((π‘‹β€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)))
745ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘Ž) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
752, 20, 71ringridm 20159 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘‹β€˜π‘Ž) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (π‘‹β€˜π‘Ž))
768, 74, 75syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‹β€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (π‘‹β€˜π‘Ž))
7773, 76eqtrd 2771 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‹β€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘Ž)β€˜π‘Ž)) = (π‘‹β€˜π‘Ž))
7870, 77eqtrd 2771 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)))β€˜π‘Ž) = (π‘‹β€˜π‘Ž))
7962, 78eqtrd 2771 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)))) = (π‘‹β€˜π‘Ž))
8079mpteq2dva 5249 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž))))) = (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘Ž)))
816, 80eqtr4d 2774 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 = (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž))))))
82 eqid 2731 . . . 4 (0gβ€˜π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Œ)
83 simp2 1136 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
84 simp1 1135 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
85 mptexg 7226 . . . . . 6 (𝐼 ∈ π‘Š β†’ (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)))) ∈ V)
86853ad2ant2 1133 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)))) ∈ V)
87 funmpt 6587 . . . . . 6 Fun (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž))))
8887a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ Fun (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)))))
89 fvexd 6907 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (0gβ€˜π‘Œ) ∈ V)
901, 7, 3frlmbasfsupp 21533 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 finSupp (0gβ€˜π‘…))
91903adant1 1129 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 finSupp (0gβ€˜π‘…))
9291fsuppimpd 9372 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 supp (0gβ€˜π‘…)) ∈ Fin)
9335eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (Scalarβ€˜π‘Œ) = 𝑅)
9493fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) = (0gβ€˜π‘…))
9594oveq2d 7428 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 supp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))) = (𝑋 supp (0gβ€˜π‘…)))
96 ssid 4005 . . . . . . . . . 10 (𝑋 supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† (𝑋 supp (0gβ€˜π‘…))
9795, 96eqsstrdi 4037 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 supp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))) βŠ† (𝑋 supp (0gβ€˜π‘…)))
98 fvexd 6907 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∈ V)
995, 97, 83, 98suppssr 8184 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 βˆ– (𝑋 supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ (π‘‹β€˜π‘) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
10099oveq1d 7427 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 βˆ– (𝑋 supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ ((π‘‹β€˜π‘) Β· (π‘ˆβ€˜π‘)) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) Β· (π‘ˆβ€˜π‘)))
101 eldifi 4127 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝐼 βˆ– (𝑋 supp (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑏 ∈ 𝐼)
102101, 30sylan2 592 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 βˆ– (𝑋 supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ ((π‘‹β€˜π‘) Β· (π‘ˆβ€˜π‘)) = (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž))))
10332adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 βˆ– (𝑋 supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ π‘Œ ∈ LMod)
104101, 18sylan2 592 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 βˆ– (𝑋 supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘) ∈ 𝐡)
105 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))
1063, 39, 19, 105, 82lmod0vs 20650 . . . . . . . 8 ((π‘Œ ∈ LMod ∧ (π‘ˆβ€˜π‘) ∈ 𝐡) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) Β· (π‘ˆβ€˜π‘)) = (0gβ€˜π‘Œ))
107103, 104, 106syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 βˆ– (𝑋 supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) Β· (π‘ˆβ€˜π‘)) = (0gβ€˜π‘Œ))
108100, 102, 1073eqtr3d 2779 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 βˆ– (𝑋 supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž))) = (0gβ€˜π‘Œ))
109108, 83suppss2 8188 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)))) supp (0gβ€˜π‘Œ)) βŠ† (𝑋 supp (0gβ€˜π‘…)))
110 suppssfifsupp 9381 . . . . 5 ((((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)))) ∈ V ∧ Fun (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)))) ∧ (0gβ€˜π‘Œ) ∈ V) ∧ ((𝑋 supp (0gβ€˜π‘…)) ∈ Fin ∧ ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)))) supp (0gβ€˜π‘Œ)) βŠ† (𝑋 supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)))) finSupp (0gβ€˜π‘Œ))
11186, 88, 89, 92, 109, 110syl32anc 1377 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)))) finSupp (0gβ€˜π‘Œ))
1121, 3, 82, 83, 83, 84, 43, 111frlmgsum 21547 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž))))) = (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž))))))
11381, 112eqtr4d 2774 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 = (π‘Œ Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž))))))
1145feqmptd 6961 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘)))
11517feqmptd 6961 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ π‘ˆ = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (π‘ˆβ€˜π‘)))
11683, 14, 18, 114, 115offval2 7693 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∘f Β· π‘ˆ) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘) Β· (π‘ˆβ€˜π‘))))
11730mpteq2dva 5249 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘) Β· (π‘ˆβ€˜π‘))) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)))))
118116, 117eqtrd 2771 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∘f Β· π‘ˆ) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž)))))
119118oveq2d 7428 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ Ξ£g (𝑋 ∘f Β· π‘ˆ)) = (π‘Œ Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)((π‘ˆβ€˜π‘)β€˜π‘Ž))))))
120113, 119eqtr4d 2774 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 = (π‘Œ Ξ£g (𝑋 ∘f Β· π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  Fun wfun 6538  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   ∘f cof 7671   supp csupp 8149  Fincfn 8942   finSupp cfsupp 9364  Basecbs 17149  .rcmulr 17203  Scalarcsca 17205   ·𝑠 cvsca 17206  0gc0g 17390   Ξ£g cgsu 17391  Mndcmnd 18660  1rcur 20076  Ringcrg 20128  LModclmod 20615   freeLMod cfrlm 21521   unitVec cuvc 21557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-sup 9440  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-hash 14296  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-subrg 20460  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-dsmm 21507  df-frlm 21522  df-uvc 21558
This theorem is referenced by:  frlmsslsp  21571
  Copyright terms: Public domain W3C validator