MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uvcresum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uvcresum 21791
Description: Any element of a free module can be expressed as a finite linear combination of unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uvcresum.u 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcresum.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
uvcresum.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
uvcresum.v · = ( ·𝑠𝑌)
Assertion
Ref Expression
uvcresum ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋 = (𝑌 Σg (𝑋f · 𝑈)))

Proof of Theorem uvcresum
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uvcresum.y . . . . . . 7 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2 eqid 2726 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 uvcresum.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑌)
41, 2, 3frlmbasf 21758 . . . . . 6 ((𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅))
543adant1 1127 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅))
65feqmptd 6971 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋 = (𝑎𝐼 ↦ (𝑋𝑎)))
7 eqid 2726 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
8 simpl1 1188 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
9 ringmnd 20226 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → 𝑅 ∈ Mnd)
11 simpl2 1189 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → 𝐼𝑊)
12 simpr 483 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → 𝑎𝐼)
13 simpl2 1189 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → 𝐼𝑊)
145ffvelcdmda 7098 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑋𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
15 uvcresum.u . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
1615, 1, 3uvcff 21789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑈:𝐼𝐵)
17163adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑈:𝐼𝐵)
1817ffvelcdmda 7098 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑈𝑏) ∈ 𝐵)
19 uvcresum.v . . . . . . . . . . . . . 14 · = ( ·𝑠𝑌)
20 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (.r𝑅) = (.r𝑅)
211, 3, 2, 13, 14, 18, 19, 20frlmvscafval 21764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → ((𝑋𝑏) · (𝑈𝑏)) = ((𝐼 × {(𝑋𝑏)}) ∘f (.r𝑅)(𝑈𝑏)))
2214adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) ∧ 𝑎𝐼) → (𝑋𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
231, 2, 3frlmbasf 21758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑊 ∧ (𝑈𝑏) ∈ 𝐵) → (𝑈𝑏):𝐼⟶(Base‘𝑅))
2413, 18, 23syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑈𝑏):𝐼⟶(Base‘𝑅))
2524ffvelcdmda 7098 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) ∧ 𝑎𝐼) → ((𝑈𝑏)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
26 fconstmpt 5744 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 × {(𝑋𝑏)}) = (𝑎𝐼 ↦ (𝑋𝑏))
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → (𝐼 × {(𝑋𝑏)}) = (𝑎𝐼 ↦ (𝑋𝑏)))
2824feqmptd 6971 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑈𝑏) = (𝑎𝐼 ↦ ((𝑈𝑏)‘𝑎)))
2913, 22, 25, 27, 28offval2 7710 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → ((𝐼 × {(𝑋𝑏)}) ∘f (.r𝑅)(𝑈𝑏)) = (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))))
3021, 29eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → ((𝑋𝑏) · (𝑈𝑏)) = (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))))
311frlmlmod 21747 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑌 ∈ LMod)
32313adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑌 ∈ LMod)
3332adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → 𝑌 ∈ LMod)
341frlmsca 21751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
35343adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
3635fveq2d 6905 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
3736adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
3814, 37eleqtrd 2828 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑋𝑏) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
39 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
40 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
413, 39, 19, 40lmodvscl 20854 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑋𝑏) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ (𝑈𝑏) ∈ 𝐵) → ((𝑋𝑏) · (𝑈𝑏)) ∈ 𝐵)
4233, 38, 18, 41syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → ((𝑋𝑏) · (𝑈𝑏)) ∈ 𝐵)
4330, 42eqeltrrd 2827 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))) ∈ 𝐵)
441, 2, 3frlmbasf 21758 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑊 ∧ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))) ∈ 𝐵) → (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
4513, 43, 44syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
4645fvmptelcdm 7127 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) ∧ 𝑎𝐼) → ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)) ∈ (Base‘𝑅))
4746an32s 650 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼) → ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)) ∈ (Base‘𝑅))
4847fmpttd 7129 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → (𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
4983ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼𝑏𝑎) → 𝑅 ∈ Ring)
50113ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼𝑏𝑎) → 𝐼𝑊)
51 simp2 1134 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼𝑏𝑎) → 𝑏𝐼)
52123ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼𝑏𝑎) → 𝑎𝐼)
53 simp3 1135 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼𝑏𝑎) → 𝑏𝑎)
5415, 49, 50, 51, 52, 53, 7uvcvv0 21788 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼𝑏𝑎) → ((𝑈𝑏)‘𝑎) = (0g𝑅))
5554oveq2d 7440 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼𝑏𝑎) → ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)) = ((𝑋𝑏)(.r𝑅)(0g𝑅)))
5614adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑋𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
57563adant3 1129 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼𝑏𝑎) → (𝑋𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
582, 20, 7ringrz 20273 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑏) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑏)(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
5949, 57, 58syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼𝑏𝑎) → ((𝑋𝑏)(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
6055, 59eqtrd 2766 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼𝑏𝑎) → ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)) = (0g𝑅))
6160, 11suppsssn 8216 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → ((𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑎})
622, 7, 10, 11, 12, 48, 61gsumpt 19960 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → (𝑅 Σg (𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))) = ((𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))‘𝑎))
63 fveq2 6901 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑎 → (𝑋𝑏) = (𝑋𝑎))
64 fveq2 6901 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑎 → (𝑈𝑏) = (𝑈𝑎))
6564fveq1d 6903 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑎 → ((𝑈𝑏)‘𝑎) = ((𝑈𝑎)‘𝑎))
6663, 65oveq12d 7442 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑎 → ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)) = ((𝑋𝑎)(.r𝑅)((𝑈𝑎)‘𝑎)))
67 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))) = (𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))
68 ovex 7457 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑎)(.r𝑅)((𝑈𝑎)‘𝑎)) ∈ V
6966, 67, 68fvmpt 7009 . . . . . . . 8 (𝑎𝐼 → ((𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))‘𝑎) = ((𝑋𝑎)(.r𝑅)((𝑈𝑎)‘𝑎)))
7069adantl 480 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → ((𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))‘𝑎) = ((𝑋𝑎)(.r𝑅)((𝑈𝑎)‘𝑎)))
71 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (1r𝑅) = (1r𝑅)
7215, 8, 11, 12, 71uvcvv1 21787 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → ((𝑈𝑎)‘𝑎) = (1r𝑅))
7372oveq2d 7440 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → ((𝑋𝑎)(.r𝑅)((𝑈𝑎)‘𝑎)) = ((𝑋𝑎)(.r𝑅)(1r𝑅)))
745ffvelcdmda 7098 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → (𝑋𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
752, 20, 71ringridm 20249 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑎) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑎)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (𝑋𝑎))
768, 74, 75syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → ((𝑋𝑎)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (𝑋𝑎))
7773, 76eqtrd 2766 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → ((𝑋𝑎)(.r𝑅)((𝑈𝑎)‘𝑎)) = (𝑋𝑎))
7870, 77eqtrd 2766 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → ((𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))‘𝑎) = (𝑋𝑎))
7962, 78eqtrd 2766 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → (𝑅 Σg (𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))) = (𝑋𝑎))
8079mpteq2dva 5253 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑎𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))))) = (𝑎𝐼 ↦ (𝑋𝑎)))
816, 80eqtr4d 2769 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋 = (𝑎𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))))))
82 eqid 2726 . . . 4 (0g𝑌) = (0g𝑌)
83 simp2 1134 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝐼𝑊)
84 simp1 1133 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
85 mptexg 7238 . . . . . 6 (𝐼𝑊 → (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))) ∈ V)
86853ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))) ∈ V)
87 funmpt 6597 . . . . . 6 Fun (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))))
8887a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → Fun (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))))
89 fvexd 6916 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (0g𝑌) ∈ V)
901, 7, 3frlmbasfsupp 21756 . . . . . . 7 ((𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋 finSupp (0g𝑅))
91903adant1 1127 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋 finSupp (0g𝑅))
9291fsuppimpd 9413 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑋 supp (0g𝑅)) ∈ Fin)
9335eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (Scalar‘𝑌) = 𝑅)
9493fveq2d 6905 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (0g‘(Scalar‘𝑌)) = (0g𝑅))
9594oveq2d 7440 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑋 supp (0g‘(Scalar‘𝑌))) = (𝑋 supp (0g𝑅)))
96 ssid 4002 . . . . . . . . . 10 (𝑋 supp (0g𝑅)) ⊆ (𝑋 supp (0g𝑅))
9795, 96eqsstrdi 4034 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑋 supp (0g‘(Scalar‘𝑌))) ⊆ (𝑋 supp (0g𝑅)))
98 fvexd 6916 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (0g‘(Scalar‘𝑌)) ∈ V)
995, 97, 83, 98suppssr 8210 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g𝑅)))) → (𝑋𝑏) = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
10099oveq1d 7439 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g𝑅)))) → ((𝑋𝑏) · (𝑈𝑏)) = ((0g‘(Scalar‘𝑌)) · (𝑈𝑏)))
101 eldifi 4126 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g𝑅))) → 𝑏𝐼)
102101, 30sylan2 591 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g𝑅)))) → ((𝑋𝑏) · (𝑈𝑏)) = (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))))
10332adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g𝑅)))) → 𝑌 ∈ LMod)
104101, 18sylan2 591 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g𝑅)))) → (𝑈𝑏) ∈ 𝐵)
105 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (0g‘(Scalar‘𝑌)) = (0g‘(Scalar‘𝑌))
1063, 39, 19, 105, 82lmod0vs 20871 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑏) ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑌)) · (𝑈𝑏)) = (0g𝑌))
107103, 104, 106syl2anc 582 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g𝑅)))) → ((0g‘(Scalar‘𝑌)) · (𝑈𝑏)) = (0g𝑌))
108100, 102, 1073eqtr3d 2774 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g𝑅)))) → (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))) = (0g𝑌))
109108, 83suppss2 8215 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → ((𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))) supp (0g𝑌)) ⊆ (𝑋 supp (0g𝑅)))
110 suppssfifsupp 9423 . . . . 5 ((((𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))) ∈ V ∧ Fun (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))) ∧ (0g𝑌) ∈ V) ∧ ((𝑋 supp (0g𝑅)) ∈ Fin ∧ ((𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))) supp (0g𝑌)) ⊆ (𝑋 supp (0g𝑅)))) → (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))) finSupp (0g𝑌))
11186, 88, 89, 92, 109, 110syl32anc 1375 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))) finSupp (0g𝑌))
1121, 3, 82, 83, 83, 84, 43, 111frlmgsum 21770 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑌 Σg (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))))) = (𝑎𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))))))
11381, 112eqtr4d 2769 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋 = (𝑌 Σg (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))))))
1145feqmptd 6971 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋 = (𝑏𝐼 ↦ (𝑋𝑏)))
11517feqmptd 6971 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑈 = (𝑏𝐼 ↦ (𝑈𝑏)))
11683, 14, 18, 114, 115offval2 7710 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑋f · 𝑈) = (𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏) · (𝑈𝑏))))
11730mpteq2dva 5253 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏) · (𝑈𝑏))) = (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))))
118116, 117eqtrd 2766 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑋f · 𝑈) = (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))))
119118oveq2d 7440 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑌 Σg (𝑋f · 𝑈)) = (𝑌 Σg (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))))))
120113, 119eqtr4d 2769 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋 = (𝑌 Σg (𝑋f · 𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  Vcvv 3462  cdif 3944  wss 3947  {csn 4633   class class class wbr 5153  cmpt 5236   × cxp 5680  Fun wfun 6548  wf 6550  cfv 6554  (class class class)co 7424  f cof 7688   supp csupp 8174  Fincfn 8974   finSupp cfsupp 9405  Basecbs 17213  .rcmulr 17267  Scalarcsca 17269   ·𝑠 cvsca 17270  0gc0g 17454   Σg cgsu 17455  Mndcmnd 18727  1rcur 20164  Ringcrg 20216  LModclmod 20836   freeLMod cfrlm 21744   unitVec cuvc 21780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-sup 9485  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-seq 14022  df-hash 14348  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-hom 17290  df-cco 17291  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-prds 17462  df-pws 17464  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-mhm 18773  df-submnd 18774  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-sbg 18933  df-mulg 19062  df-subg 19117  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-subrg 20553  df-lmod 20838  df-lss 20909  df-sra 21151  df-rgmod 21152  df-dsmm 21730  df-frlm 21745  df-uvc 21781
This theorem is referenced by:  frlmsslsp  21794
  Copyright terms: Public domain W3C validator