Theorem uvcresum 21348

Description: Any element of a free module can be expressed as a finite linear combination of unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvcresum.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcresum.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
uvcresum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
uvcresum.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
uvcresum	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = (𝑌 Σg (𝑋 ∘f · 𝑈)))

Proof of Theorem uvcresum

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvcresum.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		uvcresum.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
4	1, 2, 3	frlmbasf 21315	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅))
5	4	3adant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅))
6	5	feqmptd 6961	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑎)))
7		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8		simpl1 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
9		ringmnd 20066	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Mnd)
11		simpl2 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
12		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ 𝐼)
13		simpl2 1193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
14	5	ffvelcdmda 7087	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
15		uvcresum.u	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
16	15, 1, 3	uvcff 21346	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
17	16	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
18	17	ffvelcdmda 7087	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝑏) ∈ 𝐵)
19		uvcresum.v	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
20		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
21	1, 3, 2, 13, 14, 18, 19, 20	frlmvscafval 21321	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑏) · (𝑈‘𝑏)) = ((𝐼 × {(𝑋‘𝑏)}) ∘f (.r‘𝑅)(𝑈‘𝑏)))
22	14	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
23	1, 2, 3	frlmbasf 21315	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ (𝑈‘𝑏) ∈ 𝐵) → (𝑈‘𝑏):𝐼⟶(Base‘𝑅))
24	13, 18, 23	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝑏):𝐼⟶(Base‘𝑅))
25	24	ffvelcdmda 7087	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝑏)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
26		fconstmpt 5739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 × {(𝑋‘𝑏)}) = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑏))
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝐼 × {(𝑋‘𝑏)}) = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑏)))
28	24	feqmptd 6961	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝑏) = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))
29	13, 22, 25, 27, 28	offval2 7690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {(𝑋‘𝑏)}) ∘f (.r‘𝑅)(𝑈‘𝑏)) = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))
30	21, 29	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑏) · (𝑈‘𝑏)) = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))
31	1	frlmlmod 21304	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 ∈ LMod)
32	31	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ LMod)
33	32	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → 𝑌 ∈ LMod)
34	1	frlmsca 21308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
35	34	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
36	35	fveq2d 6896	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
37	36	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
38	14, 37	eleqtrd 2836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑏) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
39		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
40		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
41	3, 39, 19, 40	lmodvscl 20489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑋‘𝑏) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ (𝑈‘𝑏) ∈ 𝐵) → ((𝑋‘𝑏) · (𝑈‘𝑏)) ∈ 𝐵)
42	33, 38, 18, 41	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑏) · (𝑈‘𝑏)) ∈ 𝐵)
43	30, 42	eqeltrrd 2835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))) ∈ 𝐵)
44	1, 2, 3	frlmbasf 21315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))) ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
45	13, 43, 44	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
46	45	fvmptelcdm 7113	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)) ∈ (Base‘𝑅))
47	46	an32s 651	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)) ∈ (Base‘𝑅))
48	47	fmpttd 7115	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
49	8	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → 𝑅 ∈ Ring)
50	11	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → 𝐼 ∈ 𝑊)
51		simp2 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝐼)
52	12	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → 𝑎 ∈ 𝐼)
53		simp3 1139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → 𝑏 ≠ 𝑎)
54	15, 49, 50, 51, 52, 53, 7	uvcvv0 21345	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → ((𝑈‘𝑏)‘𝑎) = (0g‘𝑅))
55	54	oveq2d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)) = ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
56	14	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
57	56	3adant3 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → (𝑋‘𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
58	2, 20, 7	ringrz 20108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋‘𝑏) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
59	49, 57, 58	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
60	55, 59	eqtrd 2773	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎) → ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)) = (0g‘𝑅))
61	60, 11	suppsssn 8186	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑎})
62	2, 7, 10, 11, 12, 48, 61	gsumpt 19830	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) = ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))‘𝑎))
63		fveq2 6892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑋‘𝑏) = (𝑋‘𝑎))
64		fveq2 6892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑈‘𝑏) = (𝑈‘𝑎))
65	64	fveq1d 6894	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((𝑈‘𝑏)‘𝑎) = ((𝑈‘𝑎)‘𝑎))
66	63, 65	oveq12d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)) = ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑎)‘𝑎)))
67		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))
68		ovex 7442	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑎)‘𝑎)) ∈ V
69	66, 67, 68	fvmpt 6999	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐼 → ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))‘𝑎) = ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑎)‘𝑎)))
70	69	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))‘𝑎) = ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑎)‘𝑎)))
71		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
72	15, 8, 11, 12, 71	uvcvv1 21344	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝑎)‘𝑎) = (1r‘𝑅))
73	72	oveq2d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑎)‘𝑎)) = ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
74	5	ffvelcdmda 7087	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
75	2, 20, 71	ringridm 20087	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋‘𝑎) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑋‘𝑎))
76	8, 74, 75	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑋‘𝑎))
77	73, 76	eqtrd 2773	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑎)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑎)‘𝑎)) = (𝑋‘𝑎))
78	70, 77	eqtrd 2773	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))‘𝑎) = (𝑋‘𝑎))
79	62, 78	eqtrd 2773	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) = (𝑋‘𝑎))
80	79	mpteq2dva 5249	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))) = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑎)))
81	6, 80	eqtr4d 2776	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))))
82		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
83		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑊)
84		simp1 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
85		mptexg 7223	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) ∈ V)
86	85	3ad2ant2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) ∈ V)
87		funmpt 6587	. . . . . 6 ⊢ Fun (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))
88	87	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → Fun (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))))
89		fvexd 6907	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑌) ∈ V)
90	1, 7, 3	frlmbasfsupp 21313	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 finSupp (0g‘𝑅))
91	90	3adant1 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 finSupp (0g‘𝑅))
92	91	fsuppimpd 9369	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 supp (0g‘𝑅)) ∈ Fin)
93	35	eqcomd 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (Scalar‘𝑌) = 𝑅)
94	93	fveq2d 6896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0g‘(Scalar‘𝑌)) = (0g‘𝑅))
95	94	oveq2d 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 supp (0g‘(Scalar‘𝑌))) = (𝑋 supp (0g‘𝑅)))
96		ssid 4005	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 supp (0g‘𝑅)) ⊆ (𝑋 supp (0g‘𝑅))
97	95, 96	eqsstrdi 4037	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 supp (0g‘(Scalar‘𝑌))) ⊆ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))
98		fvexd 6907	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0g‘(Scalar‘𝑌)) ∈ V)
99	5, 97, 83, 98	suppssr 8181	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))) → (𝑋‘𝑏) = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
100	99	oveq1d 7424	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))) → ((𝑋‘𝑏) · (𝑈‘𝑏)) = ((0g‘(Scalar‘𝑌)) · (𝑈‘𝑏)))
101		eldifi 4127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g‘𝑅))) → 𝑏 ∈ 𝐼)
102	101, 30	sylan2 594	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))) → ((𝑋‘𝑏) · (𝑈‘𝑏)) = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))
103	32	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))) → 𝑌 ∈ LMod)
104	101, 18	sylan2 594	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))) → (𝑈‘𝑏) ∈ 𝐵)
105		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑌)) = (0g‘(Scalar‘𝑌))
106	3, 39, 19, 105, 82	lmod0vs 20505	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑈‘𝑏) ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑌)) · (𝑈‘𝑏)) = (0g‘𝑌))
107	103, 104, 106	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))) → ((0g‘(Scalar‘𝑌)) · (𝑈‘𝑏)) = (0g‘𝑌))
108	100, 102, 107	3eqtr3d 2781	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))) → (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))) = (0g‘𝑌))
109	108, 83	suppss2 8185	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) supp (0g‘𝑌)) ⊆ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))
110		suppssfifsupp 9378	. . . . 5 ⊢ ((((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) ∈ V ∧ Fun (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) ∧ (0g‘𝑌) ∈ V) ∧ ((𝑋 supp (0g‘𝑅)) ∈ Fin ∧ ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) supp (0g‘𝑌)) ⊆ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))) → (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) finSupp (0g‘𝑌))
111	86, 88, 89, 92, 109, 110	syl32anc 1379	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))) finSupp (0g‘𝑌))
112	1, 3, 82, 83, 83, 84, 43, 111	frlmgsum 21327	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 Σg (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))) = (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))))
113	81, 112	eqtr4d 2776	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = (𝑌 Σg (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))))
114	5	feqmptd 6961	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑏)))
115	17	feqmptd 6961	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑈 = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑈‘𝑏)))
116	83, 14, 18, 114, 115	offval2 7690	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∘f · 𝑈) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏) · (𝑈‘𝑏))))
117	30	mpteq2dva 5249	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏) · (𝑈‘𝑏))) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))))
118	116, 117	eqtrd 2773	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∘f · 𝑈) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎)))))
119	118	oveq2d 7425	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 Σg (𝑋 ∘f · 𝑈)) = (𝑌 Σg (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑏)(.r‘𝑅)((𝑈‘𝑏)‘𝑎))))))
120	113, 119	eqtr4d 2776	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = (𝑌 Σg (𝑋 ∘f · 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  Vcvv 3475   ∖ cdif 3946   ⊆ wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   × cxp 5675  Fun wfun 6538  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘_f cof 7668   supp csupp 8146  Fincfn 8939   finSupp cfsupp 9361  Basecbs 17144  ._rcmulr 17198  Scalarcsca 17200   ·_𝑠 cvsca 17201  0_gc0g 17385   Σ_g cgsu 17386  Mndcmnd 18625  1_rcur 20004  Ringcrg 20056  LModclmod 20471   freeLMod cfrlm 21301   unitVec cuvc 21337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-dsmm 21287  df-frlm 21302  df-uvc 21338

This theorem is referenced by:  frlmsslsp  21351