MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamulid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamulid 22163
Description: The identity matrix (as operation in maps-to notation) is a left identity (for any matrix with the same number of rows). (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mamumat1cl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamumat1cl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mamumat1cl.o 1 = (1r𝑅)
mamumat1cl.z 0 = (0g𝑅)
mamumat1cl.i 𝐼 = (𝑖𝑀, 𝑗𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
mamumat1cl.m (𝜑𝑀 ∈ Fin)
mamulid.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mamulid.f 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑀, 𝑁⟩)
mamulid.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
Assertion
Ref Expression
mamulid (𝜑 → (𝐼𝐹𝑋) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐵   𝑖,𝑀,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗   0 ,𝑖,𝑗   1 ,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑖,𝑗)   𝐹(𝑖,𝑗)   𝐼(𝑖,𝑗)   𝑁(𝑖,𝑗)   𝑋(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mamulid
Dummy variables 𝑘 𝑙 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamulid.f . . . . 5 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑀, 𝑁⟩)
2 mamumat1cl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 eqid 2730 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4 mamumat1cl.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
54adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
6 mamumat1cl.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ Fin)
76adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → 𝑀 ∈ Fin)
8 mamulid.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
98adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
10 mamumat1cl.o . . . . . . 7 1 = (1r𝑅)
11 mamumat1cl.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
12 mamumat1cl.i . . . . . . 7 𝐼 = (𝑖𝑀, 𝑗𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
132, 4, 10, 11, 12, 6mamumat1cl 22161 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑀)))
1413adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → 𝐼 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑀)))
15 mamulid.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
1615adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → 𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
17 simprl 767 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → 𝑙𝑀)
18 simprr 769 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → 𝑘𝑁)
191, 2, 3, 5, 7, 7, 9, 14, 16, 17, 18mamufv 22109 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → (𝑙(𝐼𝐹𝑋)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑚𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))))
20 ringmnd 20137 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
215, 20syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → 𝑅 ∈ Mnd)
224ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
23 elmapi 8845 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑀)) → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
2413, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
2524ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀) → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
26 simplrl 773 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀) → 𝑙𝑀)
27 simpr 483 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀) → 𝑚𝑀)
2825, 26, 27fovcdmd 7581 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀) → (𝑙𝐼𝑚) ∈ 𝐵)
29 elmapi 8845 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
3015, 29syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
3130ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
32 simplrr 774 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀) → 𝑘𝑁)
3331, 27, 32fovcdmd 7581 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀) → (𝑚𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
342, 3ringcl 20144 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑙𝐼𝑚) ∈ 𝐵 ∧ (𝑚𝑋𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) ∈ 𝐵)
3522, 28, 33, 34syl3anc 1369 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀) → ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) ∈ 𝐵)
3635fmpttd 7115 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → (𝑚𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘))):𝑀𝐵)
37263adant3 1130 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀𝑚𝑙) → 𝑙𝑀)
38 simp2 1135 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀𝑚𝑙) → 𝑚𝑀)
392, 4, 10, 11, 12, 6mat1comp 22162 . . . . . . . . . . 11 ((𝑙𝑀𝑚𝑀) → (𝑙𝐼𝑚) = if(𝑙 = 𝑚, 1 , 0 ))
40 equcom 2019 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 = 𝑚𝑚 = 𝑙)
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑙𝑀𝑚𝑀) → (𝑙 = 𝑚𝑚 = 𝑙))
4241ifbid 4550 . . . . . . . . . . 11 ((𝑙𝑀𝑚𝑀) → if(𝑙 = 𝑚, 1 , 0 ) = if(𝑚 = 𝑙, 1 , 0 ))
4339, 42eqtrd 2770 . . . . . . . . . 10 ((𝑙𝑀𝑚𝑀) → (𝑙𝐼𝑚) = if(𝑚 = 𝑙, 1 , 0 ))
4437, 38, 43syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀𝑚𝑙) → (𝑙𝐼𝑚) = if(𝑚 = 𝑙, 1 , 0 ))
45 ifnefalse 4539 . . . . . . . . . 10 (𝑚𝑙 → if(𝑚 = 𝑙, 1 , 0 ) = 0 )
46453ad2ant3 1133 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀𝑚𝑙) → if(𝑚 = 𝑙, 1 , 0 ) = 0 )
4744, 46eqtrd 2770 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀𝑚𝑙) → (𝑙𝐼𝑚) = 0 )
4847oveq1d 7426 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀𝑚𝑙) → ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = ( 0 (.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))
492, 3, 11ringlz 20181 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑚𝑋𝑘) ∈ 𝐵) → ( 0 (.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = 0 )
5022, 33, 49syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀) → ( 0 (.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = 0 )
51503adant3 1130 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀𝑚𝑙) → ( 0 (.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = 0 )
5248, 51eqtrd 2770 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀𝑚𝑙) → ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = 0 )
5352, 7suppsssn 8188 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → ((𝑚𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘))) supp 0 ) ⊆ {𝑙})
542, 11, 21, 7, 17, 36, 53gsumpt 19871 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → (𝑅 Σg (𝑚𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))) = ((𝑚𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))‘𝑙))
55 oveq2 7419 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑙 → (𝑙𝐼𝑚) = (𝑙𝐼𝑙))
56 oveq1 7418 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑙 → (𝑚𝑋𝑘) = (𝑙𝑋𝑘))
5755, 56oveq12d 7429 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑙 → ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = ((𝑙𝐼𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝑋𝑘)))
58 eqid 2730 . . . . . . 7 (𝑚𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘))) = (𝑚𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))
59 ovex 7444 . . . . . . 7 ((𝑙𝐼𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝑋𝑘)) ∈ V
6057, 58, 59fvmpt 6997 . . . . . 6 (𝑙𝑀 → ((𝑚𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))‘𝑙) = ((𝑙𝐼𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝑋𝑘)))
6160ad2antrl 724 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → ((𝑚𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))‘𝑙) = ((𝑙𝐼𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝑋𝑘)))
62 equequ1 2026 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑙 → (𝑖 = 𝑗𝑙 = 𝑗))
6362ifbid 4550 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑙 → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) = if(𝑙 = 𝑗, 1 , 0 ))
64 equequ2 2027 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑙 → (𝑙 = 𝑗𝑙 = 𝑙))
6564ifbid 4550 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑙 → if(𝑙 = 𝑗, 1 , 0 ) = if(𝑙 = 𝑙, 1 , 0 ))
66 equid 2013 . . . . . . . . . . 11 𝑙 = 𝑙
6766iftruei 4534 . . . . . . . . . 10 if(𝑙 = 𝑙, 1 , 0 ) = 1
6865, 67eqtrdi 2786 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑙 → if(𝑙 = 𝑗, 1 , 0 ) = 1 )
6910fvexi 6904 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
7063, 68, 12, 69ovmpo 7570 . . . . . . . 8 ((𝑙𝑀𝑙𝑀) → (𝑙𝐼𝑙) = 1 )
7170anidms 565 . . . . . . 7 (𝑙𝑀 → (𝑙𝐼𝑙) = 1 )
7271ad2antrl 724 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → (𝑙𝐼𝑙) = 1 )
7372oveq1d 7426 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → ((𝑙𝐼𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝑋𝑘)) = ( 1 (.r𝑅)(𝑙𝑋𝑘)))
7430fovcdmda 7580 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → (𝑙𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
752, 3, 10ringlidm 20157 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑙𝑋𝑘) ∈ 𝐵) → ( 1 (.r𝑅)(𝑙𝑋𝑘)) = (𝑙𝑋𝑘))
765, 74, 75syl2anc 582 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → ( 1 (.r𝑅)(𝑙𝑋𝑘)) = (𝑙𝑋𝑘))
7761, 73, 763eqtrd 2774 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → ((𝑚𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))‘𝑙) = (𝑙𝑋𝑘))
7819, 54, 773eqtrd 2774 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → (𝑙(𝐼𝐹𝑋)𝑘) = (𝑙𝑋𝑘))
7978ralrimivva 3198 . 2 (𝜑 → ∀𝑙𝑀𝑘𝑁 (𝑙(𝐼𝐹𝑋)𝑘) = (𝑙𝑋𝑘))
802, 4, 1, 6, 6, 8, 13, 15mamucl 22121 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼𝐹𝑋) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
81 elmapi 8845 . . . . 5 ((𝐼𝐹𝑋) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)) → (𝐼𝐹𝑋):(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
8280, 81syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐼𝐹𝑋):(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
8382ffnd 6717 . . 3 (𝜑 → (𝐼𝐹𝑋) Fn (𝑀 × 𝑁))
8430ffnd 6717 . . 3 (𝜑𝑋 Fn (𝑀 × 𝑁))
85 eqfnov2 7541 . . 3 (((𝐼𝐹𝑋) Fn (𝑀 × 𝑁) ∧ 𝑋 Fn (𝑀 × 𝑁)) → ((𝐼𝐹𝑋) = 𝑋 ↔ ∀𝑙𝑀𝑘𝑁 (𝑙(𝐼𝐹𝑋)𝑘) = (𝑙𝑋𝑘)))
8683, 84, 85syl2anc 582 . 2 (𝜑 → ((𝐼𝐹𝑋) = 𝑋 ↔ ∀𝑙𝑀𝑘𝑁 (𝑙(𝐼𝐹𝑋)𝑘) = (𝑙𝑋𝑘)))
8779, 86mpbird 256 1 (𝜑 → (𝐼𝐹𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2104  wne 2938  wral 3059  ifcif 4527  cotp 4635  cmpt 5230   × cxp 5673   Fn wfn 6537  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7411  cmpo 7413  m cmap 8822  Fincfn 8941  Basecbs 17148  .rcmulr 17202  0gc0g 17389   Σg cgsu 17390  Mndcmnd 18659  1rcur 20075  Ringcrg 20127   maMul cmmul 22105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-mamu 22106
This theorem is referenced by:  matring  22165  mat1  22169
  Copyright terms: Public domain W3C validator