Theorem mamulid 22577

Description: The identity matrix (as operation in maps-to notation) is a left identity (for any matrix with the same number of rows). (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamumat1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamumat1cl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mamumat1cl.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mamumat1cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mamumat1cl.i	⊢ 𝐼 = (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
mamumat1cl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
mamulid.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mamulid.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑀, 𝑁⟩)
mamulid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))

Assertion

Ref	Expression
mamulid	⊢ (𝜑 → (𝐼𝐹𝑋) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐵   𝑖,𝑀,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗   0 ,𝑖,𝑗   1 ,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑖,𝑗)   𝐹(𝑖,𝑗)   𝐼(𝑖,𝑗)   𝑁(𝑖,𝑗)   𝑋(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mamulid

Dummy variables 𝑘 𝑙 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mamulid.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑀, 𝑁⟩)
2		mamumat1cl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		mamumat1cl.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5	4	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
6		mamumat1cl.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
7	6	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑀 ∈ Fin)
8		mamulid.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
9	8	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
10		mamumat1cl.o	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
11		mamumat1cl.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
12		mamumat1cl.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
13	2, 4, 10, 11, 12, 6	mamumat1cl 22575	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑀)))
14	13	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝐼 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑀)))
15		mamulid.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
16	15	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
17		simprl 782	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑙 ∈ 𝑀)
18		simprr 784	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑁)
19	1, 2, 3, 5, 7, 7, 9, 14, 16, 17, 18	mamufv 22530	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → (𝑙(𝐼𝐹𝑋)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))))
20		ringmnd 20324	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
21	5, 20	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Mnd)
22	4	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
23		elmapi 8845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑀)) → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
24	13, 23	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
25	24	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
26		simplrl 788	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → 𝑙 ∈ 𝑀)
27		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → 𝑚 ∈ 𝑀)
28	25, 26, 27	fovcdmd 7582	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → (𝑙𝐼𝑚) ∈ 𝐵)
29		elmapi 8845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
30	15, 29	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
31	30	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
32		simplrr 789	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → 𝑘 ∈ 𝑁)
33	31, 27, 32	fovcdmd 7582	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → (𝑚𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
34	2, 3	ringcl 20331	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑙𝐼𝑚) ∈ 𝐵 ∧ (𝑚𝑋𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) ∈ 𝐵)
35	22, 28, 33, 34	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) ∈ 𝐵)
36	35	fmpttd 7110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → (𝑚 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘))):𝑀⟶𝐵)
37	26	3adant3 1148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ≠ 𝑙) → 𝑙 ∈ 𝑀)
38		simp2 1153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ≠ 𝑙) → 𝑚 ∈ 𝑀)
39	2, 4, 10, 11, 12, 6	mat1comp 22576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → (𝑙𝐼𝑚) = if(𝑙 = 𝑚, 1 , 0 ))
40		equcom 2046	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑙 = 𝑚 ↔ 𝑚 = 𝑙)
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → (𝑙 = 𝑚 ↔ 𝑚 = 𝑙))
42	41	ifbid 4510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → if(𝑙 = 𝑚, 1 , 0 ) = if(𝑚 = 𝑙, 1 , 0 ))
43	39, 42	eqtrd 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → (𝑙𝐼𝑚) = if(𝑚 = 𝑙, 1 , 0 ))
44	37, 38, 43	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ≠ 𝑙) → (𝑙𝐼𝑚) = if(𝑚 = 𝑙, 1 , 0 ))
45		ifnefalse 4498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ≠ 𝑙 → if(𝑚 = 𝑙, 1 , 0 ) = 0 )
46	45	3ad2ant3 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ≠ 𝑙) → if(𝑚 = 𝑙, 1 , 0 ) = 0 )
47	44, 46	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ≠ 𝑙) → (𝑙𝐼𝑚) = 0 )
48	47	oveq1d 7425	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ≠ 𝑙) → ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = ( 0 (.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))
49	2, 3, 11	ringlz 20375	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑚𝑋𝑘) ∈ 𝐵) → ( 0 (.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = 0 )
50	22, 33, 49	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → ( 0 (.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = 0 )
51	50	3adant3 1148	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ≠ 𝑙) → ( 0 (.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = 0 )
52	48, 51	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ≠ 𝑙) → ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = 0 )
53	52, 7	suppsssn 8196	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → ((𝑚 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘))) supp 0 ) ⊆ {𝑙})
54	2, 11, 21, 7, 17, 36, 53	gsumpt 20031	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))) = ((𝑚 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))‘𝑙))
55		oveq2 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑙 → (𝑙𝐼𝑚) = (𝑙𝐼𝑙))
56		oveq1 7417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑙 → (𝑚𝑋𝑘) = (𝑙𝑋𝑘))
57	55, 56	oveq12d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑙 → ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = ((𝑙𝐼𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝑋𝑘)))
58		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘))) = (𝑚 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))
59		ovex 7443	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑙𝐼𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝑋𝑘)) ∈ V
60	57, 58, 59	fvmpt 6989	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ 𝑀 → ((𝑚 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))‘𝑙) = ((𝑙𝐼𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝑋𝑘)))
61	60	ad2antrl 740	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → ((𝑚 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))‘𝑙) = ((𝑙𝐼𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝑋𝑘)))
62		equequ1 2053	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑙 → (𝑖 = 𝑗 ↔ 𝑙 = 𝑗))
63	62	ifbid 4510	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑙 → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) = if(𝑙 = 𝑗, 1 , 0 ))
64		equequ2 2054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑙 = 𝑗 ↔ 𝑙 = 𝑙))
65	64	ifbid 4510	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → if(𝑙 = 𝑗, 1 , 0 ) = if(𝑙 = 𝑙, 1 , 0 ))
66		equid 2040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑙 = 𝑙
67	66	iftruei 4493	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(𝑙 = 𝑙, 1 , 0 ) = 1
68	65, 67	eqtrdi 2812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → if(𝑙 = 𝑗, 1 , 0 ) = 1 )
69	10	fvexi 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
70	63, 68, 12, 69	ovmpo 7570	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑙 ∈ 𝑀) → (𝑙𝐼𝑙) = 1 )
71	70	anidms 576	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 ∈ 𝑀 → (𝑙𝐼𝑙) = 1 )
72	71	ad2antrl 740	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → (𝑙𝐼𝑙) = 1 )
73	72	oveq1d 7425	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → ((𝑙𝐼𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝑋𝑘)) = ( 1 (.r‘𝑅)(𝑙𝑋𝑘)))
74	30	fovcdmda 7581	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → (𝑙𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
75	2, 3, 10	ringlidm 20351	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑙𝑋𝑘) ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝑅)(𝑙𝑋𝑘)) = (𝑙𝑋𝑘))
76	5, 74, 75	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → ( 1 (.r‘𝑅)(𝑙𝑋𝑘)) = (𝑙𝑋𝑘))
77	61, 73, 76	3eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → ((𝑚 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))‘𝑙) = (𝑙𝑋𝑘))
78	19, 54, 77	3eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → (𝑙(𝐼𝐹𝑋)𝑘) = (𝑙𝑋𝑘))
79	78	ralrimivva 3206	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑁 (𝑙(𝐼𝐹𝑋)𝑘) = (𝑙𝑋𝑘))
80	2, 4, 1, 6, 6, 8, 13, 15	mamucl 22537	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝐹𝑋) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
81		elmapi 8845	. . . . 5 ⊢ ((𝐼𝐹𝑋) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) → (𝐼𝐹𝑋):(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
82	80, 81	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝐹𝑋):(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
83	82	ffnd 6706	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝐹𝑋) Fn (𝑀 × 𝑁))
84	30	ffnd 6706	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn (𝑀 × 𝑁))
85		eqfnov2 7540	. . 3 ⊢ (((𝐼𝐹𝑋) Fn (𝑀 × 𝑁) ∧ 𝑋 Fn (𝑀 × 𝑁)) → ((𝐼𝐹𝑋) = 𝑋 ↔ ∀𝑙 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑁 (𝑙(𝐼𝐹𝑋)𝑘) = (𝑙𝑋𝑘)))
86	83, 84, 85	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼𝐹𝑋) = 𝑋 ↔ ∀𝑙 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑁 (𝑙(𝐼𝐹𝑋)𝑘) = (𝑙𝑋𝑘)))
87	79, 86	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝐹𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ifcif 4486  ⟨cotp 4596   ↦ cmpt 5191   × cxp 5659   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412   ↑_m cmap 8823  Fincfn 8942  Basecbs 17268  ._rcmulr 17310  0_gc0g 17491   Σ_g cgsu 17492  Mndcmnd 18791  1_rcur 20262  Ringcrg 20314   maMul cmmul 22526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-ot 4597  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-hash 14366  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-mulg 19133  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-mamu 22527

This theorem is referenced by:  matring  22579  mat1  22583