MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamulid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamulid 21813
Description: The identity matrix (as operation in maps-to notation) is a left identity (for any matrix with the same number of rows). (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mamumat1cl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamumat1cl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mamumat1cl.o 1 = (1r𝑅)
mamumat1cl.z 0 = (0g𝑅)
mamumat1cl.i 𝐼 = (𝑖𝑀, 𝑗𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
mamumat1cl.m (𝜑𝑀 ∈ Fin)
mamulid.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mamulid.f 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑀, 𝑁⟩)
mamulid.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
Assertion
Ref Expression
mamulid (𝜑 → (𝐼𝐹𝑋) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐵   𝑖,𝑀,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗   0 ,𝑖,𝑗   1 ,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑖,𝑗)   𝐹(𝑖,𝑗)   𝐼(𝑖,𝑗)   𝑁(𝑖,𝑗)   𝑋(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mamulid
Dummy variables 𝑘 𝑙 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamulid.f . . . . 5 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑀, 𝑁⟩)
2 mamumat1cl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 eqid 2733 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4 mamumat1cl.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
54adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
6 mamumat1cl.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ Fin)
76adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → 𝑀 ∈ Fin)
8 mamulid.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
98adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
10 mamumat1cl.o . . . . . . 7 1 = (1r𝑅)
11 mamumat1cl.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
12 mamumat1cl.i . . . . . . 7 𝐼 = (𝑖𝑀, 𝑗𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
132, 4, 10, 11, 12, 6mamumat1cl 21811 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑀)))
1413adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → 𝐼 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑀)))
15 mamulid.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
1615adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → 𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
17 simprl 770 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → 𝑙𝑀)
18 simprr 772 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → 𝑘𝑁)
191, 2, 3, 5, 7, 7, 9, 14, 16, 17, 18mamufv 21759 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → (𝑙(𝐼𝐹𝑋)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑚𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))))
20 ringmnd 19982 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
215, 20syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → 𝑅 ∈ Mnd)
224ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
23 elmapi 8793 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑀)) → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
2413, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
2524ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀) → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
26 simplrl 776 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀) → 𝑙𝑀)
27 simpr 486 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀) → 𝑚𝑀)
2825, 26, 27fovcdmd 7530 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀) → (𝑙𝐼𝑚) ∈ 𝐵)
29 elmapi 8793 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
3015, 29syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
3130ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
32 simplrr 777 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀) → 𝑘𝑁)
3331, 27, 32fovcdmd 7530 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀) → (𝑚𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
342, 3ringcl 19989 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑙𝐼𝑚) ∈ 𝐵 ∧ (𝑚𝑋𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) ∈ 𝐵)
3522, 28, 33, 34syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀) → ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) ∈ 𝐵)
3635fmpttd 7067 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → (𝑚𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘))):𝑀𝐵)
37263adant3 1133 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀𝑚𝑙) → 𝑙𝑀)
38 simp2 1138 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀𝑚𝑙) → 𝑚𝑀)
392, 4, 10, 11, 12, 6mat1comp 21812 . . . . . . . . . . 11 ((𝑙𝑀𝑚𝑀) → (𝑙𝐼𝑚) = if(𝑙 = 𝑚, 1 , 0 ))
40 equcom 2022 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 = 𝑚𝑚 = 𝑙)
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑙𝑀𝑚𝑀) → (𝑙 = 𝑚𝑚 = 𝑙))
4241ifbid 4513 . . . . . . . . . . 11 ((𝑙𝑀𝑚𝑀) → if(𝑙 = 𝑚, 1 , 0 ) = if(𝑚 = 𝑙, 1 , 0 ))
4339, 42eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((𝑙𝑀𝑚𝑀) → (𝑙𝐼𝑚) = if(𝑚 = 𝑙, 1 , 0 ))
4437, 38, 43syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀𝑚𝑙) → (𝑙𝐼𝑚) = if(𝑚 = 𝑙, 1 , 0 ))
45 ifnefalse 4502 . . . . . . . . . 10 (𝑚𝑙 → if(𝑚 = 𝑙, 1 , 0 ) = 0 )
46453ad2ant3 1136 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀𝑚𝑙) → if(𝑚 = 𝑙, 1 , 0 ) = 0 )
4744, 46eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀𝑚𝑙) → (𝑙𝐼𝑚) = 0 )
4847oveq1d 7376 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀𝑚𝑙) → ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = ( 0 (.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))
492, 3, 11ringlz 20019 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑚𝑋𝑘) ∈ 𝐵) → ( 0 (.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = 0 )
5022, 33, 49syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀) → ( 0 (.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = 0 )
51503adant3 1133 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀𝑚𝑙) → ( 0 (.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = 0 )
5248, 51eqtrd 2773 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀𝑚𝑙) → ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = 0 )
5352, 7suppsssn 8136 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → ((𝑚𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘))) supp 0 ) ⊆ {𝑙})
542, 11, 21, 7, 17, 36, 53gsumpt 19747 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → (𝑅 Σg (𝑚𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))) = ((𝑚𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))‘𝑙))
55 oveq2 7369 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑙 → (𝑙𝐼𝑚) = (𝑙𝐼𝑙))
56 oveq1 7368 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑙 → (𝑚𝑋𝑘) = (𝑙𝑋𝑘))
5755, 56oveq12d 7379 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑙 → ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = ((𝑙𝐼𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝑋𝑘)))
58 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑚𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘))) = (𝑚𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))
59 ovex 7394 . . . . . . 7 ((𝑙𝐼𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝑋𝑘)) ∈ V
6057, 58, 59fvmpt 6952 . . . . . 6 (𝑙𝑀 → ((𝑚𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))‘𝑙) = ((𝑙𝐼𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝑋𝑘)))
6160ad2antrl 727 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → ((𝑚𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))‘𝑙) = ((𝑙𝐼𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝑋𝑘)))
62 equequ1 2029 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑙 → (𝑖 = 𝑗𝑙 = 𝑗))
6362ifbid 4513 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑙 → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) = if(𝑙 = 𝑗, 1 , 0 ))
64 equequ2 2030 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑙 → (𝑙 = 𝑗𝑙 = 𝑙))
6564ifbid 4513 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑙 → if(𝑙 = 𝑗, 1 , 0 ) = if(𝑙 = 𝑙, 1 , 0 ))
66 equid 2016 . . . . . . . . . . 11 𝑙 = 𝑙
6766iftruei 4497 . . . . . . . . . 10 if(𝑙 = 𝑙, 1 , 0 ) = 1
6865, 67eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑙 → if(𝑙 = 𝑗, 1 , 0 ) = 1 )
6910fvexi 6860 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
7063, 68, 12, 69ovmpo 7519 . . . . . . . 8 ((𝑙𝑀𝑙𝑀) → (𝑙𝐼𝑙) = 1 )
7170anidms 568 . . . . . . 7 (𝑙𝑀 → (𝑙𝐼𝑙) = 1 )
7271ad2antrl 727 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → (𝑙𝐼𝑙) = 1 )
7372oveq1d 7376 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → ((𝑙𝐼𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝑋𝑘)) = ( 1 (.r𝑅)(𝑙𝑋𝑘)))
7430fovcdmda 7529 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → (𝑙𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
752, 3, 10ringlidm 20000 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑙𝑋𝑘) ∈ 𝐵) → ( 1 (.r𝑅)(𝑙𝑋𝑘)) = (𝑙𝑋𝑘))
765, 74, 75syl2anc 585 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → ( 1 (.r𝑅)(𝑙𝑋𝑘)) = (𝑙𝑋𝑘))
7761, 73, 763eqtrd 2777 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → ((𝑚𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))‘𝑙) = (𝑙𝑋𝑘))
7819, 54, 773eqtrd 2777 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → (𝑙(𝐼𝐹𝑋)𝑘) = (𝑙𝑋𝑘))
7978ralrimivva 3194 . 2 (𝜑 → ∀𝑙𝑀𝑘𝑁 (𝑙(𝐼𝐹𝑋)𝑘) = (𝑙𝑋𝑘))
802, 4, 1, 6, 6, 8, 13, 15mamucl 21771 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼𝐹𝑋) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
81 elmapi 8793 . . . . 5 ((𝐼𝐹𝑋) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)) → (𝐼𝐹𝑋):(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
8280, 81syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐼𝐹𝑋):(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
8382ffnd 6673 . . 3 (𝜑 → (𝐼𝐹𝑋) Fn (𝑀 × 𝑁))
8430ffnd 6673 . . 3 (𝜑𝑋 Fn (𝑀 × 𝑁))
85 eqfnov2 7490 . . 3 (((𝐼𝐹𝑋) Fn (𝑀 × 𝑁) ∧ 𝑋 Fn (𝑀 × 𝑁)) → ((𝐼𝐹𝑋) = 𝑋 ↔ ∀𝑙𝑀𝑘𝑁 (𝑙(𝐼𝐹𝑋)𝑘) = (𝑙𝑋𝑘)))
8683, 84, 85syl2anc 585 . 2 (𝜑 → ((𝐼𝐹𝑋) = 𝑋 ↔ ∀𝑙𝑀𝑘𝑁 (𝑙(𝐼𝐹𝑋)𝑘) = (𝑙𝑋𝑘)))
8779, 86mpbird 257 1 (𝜑 → (𝐼𝐹𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  wral 3061  ifcif 4490  cotp 4598  cmpt 5192   × cxp 5635   Fn wfn 6495  wf 6496  cfv 6500  (class class class)co 7361  cmpo 7363  m cmap 8771  Fincfn 8889  Basecbs 17091  .rcmulr 17142  0gc0g 17329   Σg cgsu 17330  Mndcmnd 18564  1rcur 19921  Ringcrg 19972   maMul cmmul 21755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-mamu 21756
This theorem is referenced by:  matring  21815  mat1  21819
  Copyright terms: Public domain W3C validator