MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamulid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamulid 20523
Description: The identity matrix (as operation in maps-to notation) is a left identity (for any matrix with the same number of rows). (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mamumat1cl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamumat1cl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mamumat1cl.o 1 = (1r𝑅)
mamumat1cl.z 0 = (0g𝑅)
mamumat1cl.i 𝐼 = (𝑖𝑀, 𝑗𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
mamumat1cl.m (𝜑𝑀 ∈ Fin)
mamulid.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mamulid.f 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑀, 𝑁⟩)
mamulid.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
Assertion
Ref Expression
mamulid (𝜑 → (𝐼𝐹𝑋) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐵   𝑖,𝑀,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗   0 ,𝑖,𝑗   1 ,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑖,𝑗)   𝐹(𝑖,𝑗)   𝐼(𝑖,𝑗)   𝑁(𝑖,𝑗)   𝑋(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mamulid
Dummy variables 𝑘 𝑙 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamulid.f . . . . 5 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑀, 𝑁⟩)
2 mamumat1cl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 eqid 2765 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4 mamumat1cl.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
54adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
6 mamumat1cl.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ Fin)
76adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → 𝑀 ∈ Fin)
8 mamulid.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
98adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
10 mamumat1cl.o . . . . . . 7 1 = (1r𝑅)
11 mamumat1cl.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
12 mamumat1cl.i . . . . . . 7 𝐼 = (𝑖𝑀, 𝑗𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
132, 4, 10, 11, 12, 6mamumat1cl 20521 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑀)))
1413adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → 𝐼 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑀)))
15 mamulid.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
1615adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
17 simprl 787 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → 𝑙𝑀)
18 simprr 789 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → 𝑘𝑁)
191, 2, 3, 5, 7, 7, 9, 14, 16, 17, 18mamufv 20469 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → (𝑙(𝐼𝐹𝑋)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑚𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))))
20 ringmnd 18823 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
215, 20syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → 𝑅 ∈ Mnd)
224ad2antrr 717 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
23 elmapi 8082 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑀)) → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
2413, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
2524ad2antrr 717 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀) → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
26 simplrl 795 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀) → 𝑙𝑀)
27 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀) → 𝑚𝑀)
2825, 26, 27fovrnd 7004 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀) → (𝑙𝐼𝑚) ∈ 𝐵)
29 elmapi 8082 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
3015, 29syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
3130ad2antrr 717 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
32 simplrr 796 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀) → 𝑘𝑁)
3331, 27, 32fovrnd 7004 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀) → (𝑚𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
342, 3ringcl 18828 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑙𝐼𝑚) ∈ 𝐵 ∧ (𝑚𝑋𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) ∈ 𝐵)
3522, 28, 33, 34syl3anc 1490 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀) → ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) ∈ 𝐵)
3635fmpttd 6575 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → (𝑚𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘))):𝑀𝐵)
37263adant3 1162 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀𝑚𝑙) → 𝑙𝑀)
38 simp2 1167 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀𝑚𝑙) → 𝑚𝑀)
392, 4, 10, 11, 12, 6mat1comp 20522 . . . . . . . . . . 11 ((𝑙𝑀𝑚𝑀) → (𝑙𝐼𝑚) = if(𝑙 = 𝑚, 1 , 0 ))
40 equcom 2115 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 = 𝑚𝑚 = 𝑙)
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑙𝑀𝑚𝑀) → (𝑙 = 𝑚𝑚 = 𝑙))
4241ifbid 4265 . . . . . . . . . . 11 ((𝑙𝑀𝑚𝑀) → if(𝑙 = 𝑚, 1 , 0 ) = if(𝑚 = 𝑙, 1 , 0 ))
4339, 42eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 ((𝑙𝑀𝑚𝑀) → (𝑙𝐼𝑚) = if(𝑚 = 𝑙, 1 , 0 ))
4437, 38, 43syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀𝑚𝑙) → (𝑙𝐼𝑚) = if(𝑚 = 𝑙, 1 , 0 ))
45 ifnefalse 4255 . . . . . . . . . 10 (𝑚𝑙 → if(𝑚 = 𝑙, 1 , 0 ) = 0 )
46453ad2ant3 1165 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀𝑚𝑙) → if(𝑚 = 𝑙, 1 , 0 ) = 0 )
4744, 46eqtrd 2799 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀𝑚𝑙) → (𝑙𝐼𝑚) = 0 )
4847oveq1d 6857 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀𝑚𝑙) → ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = ( 0 (.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))
492, 3, 11ringlz 18854 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑚𝑋𝑘) ∈ 𝐵) → ( 0 (.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = 0 )
5022, 33, 49syl2anc 579 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀) → ( 0 (.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = 0 )
51503adant3 1162 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀𝑚𝑙) → ( 0 (.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = 0 )
5248, 51eqtrd 2799 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) ∧ 𝑚𝑀𝑚𝑙) → ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = 0 )
5352, 7suppsssn 7533 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → ((𝑚𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘))) supp 0 ) ⊆ {𝑙})
542, 11, 21, 7, 17, 36, 53gsumpt 18627 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → (𝑅 Σg (𝑚𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))) = ((𝑚𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))‘𝑙))
55 oveq2 6850 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑙 → (𝑙𝐼𝑚) = (𝑙𝐼𝑙))
56 oveq1 6849 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑙 → (𝑚𝑋𝑘) = (𝑙𝑋𝑘))
5755, 56oveq12d 6860 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑙 → ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = ((𝑙𝐼𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝑋𝑘)))
58 eqid 2765 . . . . . . 7 (𝑚𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘))) = (𝑚𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))
59 ovex 6874 . . . . . . 7 ((𝑙𝐼𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝑋𝑘)) ∈ V
6057, 58, 59fvmpt 6471 . . . . . 6 (𝑙𝑀 → ((𝑚𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))‘𝑙) = ((𝑙𝐼𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝑋𝑘)))
6160ad2antrl 719 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → ((𝑚𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))‘𝑙) = ((𝑙𝐼𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝑋𝑘)))
62 equequ1 2122 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑙 → (𝑖 = 𝑗𝑙 = 𝑗))
6362ifbid 4265 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑙 → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) = if(𝑙 = 𝑗, 1 , 0 ))
64 equequ2 2123 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑙 → (𝑙 = 𝑗𝑙 = 𝑙))
6564ifbid 4265 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑙 → if(𝑙 = 𝑗, 1 , 0 ) = if(𝑙 = 𝑙, 1 , 0 ))
66 equid 2109 . . . . . . . . . . 11 𝑙 = 𝑙
6766iftruei 4250 . . . . . . . . . 10 if(𝑙 = 𝑙, 1 , 0 ) = 1
6865, 67syl6eq 2815 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑙 → if(𝑙 = 𝑗, 1 , 0 ) = 1 )
6910fvexi 6389 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
7063, 68, 12, 69ovmpt2 6994 . . . . . . . 8 ((𝑙𝑀𝑙𝑀) → (𝑙𝐼𝑙) = 1 )
7170anidms 562 . . . . . . 7 (𝑙𝑀 → (𝑙𝐼𝑙) = 1 )
7271ad2antrl 719 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → (𝑙𝐼𝑙) = 1 )
7372oveq1d 6857 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → ((𝑙𝐼𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝑋𝑘)) = ( 1 (.r𝑅)(𝑙𝑋𝑘)))
7430fovrnda 7003 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → (𝑙𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
752, 3, 10ringlidm 18838 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑙𝑋𝑘) ∈ 𝐵) → ( 1 (.r𝑅)(𝑙𝑋𝑘)) = (𝑙𝑋𝑘))
765, 74, 75syl2anc 579 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → ( 1 (.r𝑅)(𝑙𝑋𝑘)) = (𝑙𝑋𝑘))
7761, 73, 763eqtrd 2803 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → ((𝑚𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))‘𝑙) = (𝑙𝑋𝑘))
7819, 54, 773eqtrd 2803 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑀𝑘𝑁)) → (𝑙(𝐼𝐹𝑋)𝑘) = (𝑙𝑋𝑘))
7978ralrimivva 3118 . 2 (𝜑 → ∀𝑙𝑀𝑘𝑁 (𝑙(𝐼𝐹𝑋)𝑘) = (𝑙𝑋𝑘))
802, 4, 1, 6, 6, 8, 13, 15mamucl 20483 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼𝐹𝑋) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
81 elmapi 8082 . . . . 5 ((𝐼𝐹𝑋) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)) → (𝐼𝐹𝑋):(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
8280, 81syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐼𝐹𝑋):(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
8382ffnd 6224 . . 3 (𝜑 → (𝐼𝐹𝑋) Fn (𝑀 × 𝑁))
8430ffnd 6224 . . 3 (𝜑𝑋 Fn (𝑀 × 𝑁))
85 eqfnov2 6965 . . 3 (((𝐼𝐹𝑋) Fn (𝑀 × 𝑁) ∧ 𝑋 Fn (𝑀 × 𝑁)) → ((𝐼𝐹𝑋) = 𝑋 ↔ ∀𝑙𝑀𝑘𝑁 (𝑙(𝐼𝐹𝑋)𝑘) = (𝑙𝑋𝑘)))
8683, 84, 85syl2anc 579 . 2 (𝜑 → ((𝐼𝐹𝑋) = 𝑋 ↔ ∀𝑙𝑀𝑘𝑁 (𝑙(𝐼𝐹𝑋)𝑘) = (𝑙𝑋𝑘)))
8779, 86mpbird 248 1 (𝜑 → (𝐼𝐹𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  ifcif 4243  cotp 4342  cmpt 4888   × cxp 5275   Fn wfn 6063  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cmpt2 6844  𝑚 cmap 8060  Fincfn 8160  Basecbs 16130  .rcmulr 16215  0gc0g 16366   Σg cgsu 16367  Mndcmnd 17560  1rcur 18768  Ringcrg 18814   maMul cmmul 20465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-ot 4343  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-grp 17692  df-minusg 17693  df-mulg 17808  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-mamu 20466
This theorem is referenced by:  matring  20525  mat1  20530
  Copyright terms: Public domain W3C validator