Theorem mamulid 21790

Description: The identity matrix (as operation in maps-to notation) is a left identity (for any matrix with the same number of rows). (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamumat1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamumat1cl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mamumat1cl.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mamumat1cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mamumat1cl.i	⊢ 𝐼 = (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
mamumat1cl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
mamulid.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mamulid.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑀, 𝑁⟩)
mamulid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))

Assertion

Ref	Expression
mamulid	⊢ (𝜑 → (𝐼𝐹𝑋) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐵   𝑖,𝑀,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗   0 ,𝑖,𝑗   1 ,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑖,𝑗)   𝐹(𝑖,𝑗)   𝐼(𝑖,𝑗)   𝑁(𝑖,𝑗)   𝑋(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mamulid

Dummy variables 𝑘 𝑙 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mamulid.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑀, 𝑁⟩)
2		mamumat1cl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		mamumat1cl.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5	4	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
6		mamumat1cl.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
7	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑀 ∈ Fin)
8		mamulid.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
9	8	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
10		mamumat1cl.o	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
11		mamumat1cl.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
12		mamumat1cl.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
13	2, 4, 10, 11, 12, 6	mamumat1cl 21788	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑀)))
14	13	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝐼 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑀)))
15		mamulid.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
16	15	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
17		simprl 769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑙 ∈ 𝑀)
18		simprr 771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑁)
19	1, 2, 3, 5, 7, 7, 9, 14, 16, 17, 18	mamufv 21736	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → (𝑙(𝐼𝐹𝑋)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))))
20		ringmnd 19974	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
21	5, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Mnd)
22	4	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
23		elmapi 8787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑀)) → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
24	13, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
25	24	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
26		simplrl 775	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → 𝑙 ∈ 𝑀)
27		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → 𝑚 ∈ 𝑀)
28	25, 26, 27	fovcdmd 7526	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → (𝑙𝐼𝑚) ∈ 𝐵)
29		elmapi 8787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
30	15, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
31	30	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
32		simplrr 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → 𝑘 ∈ 𝑁)
33	31, 27, 32	fovcdmd 7526	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → (𝑚𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
34	2, 3	ringcl 19981	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑙𝐼𝑚) ∈ 𝐵 ∧ (𝑚𝑋𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) ∈ 𝐵)
35	22, 28, 33, 34	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) ∈ 𝐵)
36	35	fmpttd 7063	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → (𝑚 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘))):𝑀⟶𝐵)
37	26	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ≠ 𝑙) → 𝑙 ∈ 𝑀)
38		simp2 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ≠ 𝑙) → 𝑚 ∈ 𝑀)
39	2, 4, 10, 11, 12, 6	mat1comp 21789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → (𝑙𝐼𝑚) = if(𝑙 = 𝑚, 1 , 0 ))
40		equcom 2021	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑙 = 𝑚 ↔ 𝑚 = 𝑙)
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → (𝑙 = 𝑚 ↔ 𝑚 = 𝑙))
42	41	ifbid 4509	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → if(𝑙 = 𝑚, 1 , 0 ) = if(𝑚 = 𝑙, 1 , 0 ))
43	39, 42	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → (𝑙𝐼𝑚) = if(𝑚 = 𝑙, 1 , 0 ))
44	37, 38, 43	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ≠ 𝑙) → (𝑙𝐼𝑚) = if(𝑚 = 𝑙, 1 , 0 ))
45		ifnefalse 4498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ≠ 𝑙 → if(𝑚 = 𝑙, 1 , 0 ) = 0 )
46	45	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ≠ 𝑙) → if(𝑚 = 𝑙, 1 , 0 ) = 0 )
47	44, 46	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ≠ 𝑙) → (𝑙𝐼𝑚) = 0 )
48	47	oveq1d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ≠ 𝑙) → ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = ( 0 (.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))
49	2, 3, 11	ringlz 20011	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑚𝑋𝑘) ∈ 𝐵) → ( 0 (.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = 0 )
50	22, 33, 49	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → ( 0 (.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = 0 )
51	50	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ≠ 𝑙) → ( 0 (.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = 0 )
52	48, 51	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ≠ 𝑙) → ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = 0 )
53	52, 7	suppsssn 8132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → ((𝑚 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘))) supp 0 ) ⊆ {𝑙})
54	2, 11, 21, 7, 17, 36, 53	gsumpt 19739	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))) = ((𝑚 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))‘𝑙))
55		oveq2 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑙 → (𝑙𝐼𝑚) = (𝑙𝐼𝑙))
56		oveq1 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑙 → (𝑚𝑋𝑘) = (𝑙𝑋𝑘))
57	55, 56	oveq12d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑙 → ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = ((𝑙𝐼𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝑋𝑘)))
58		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘))) = (𝑚 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))
59		ovex 7390	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑙𝐼𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝑋𝑘)) ∈ V
60	57, 58, 59	fvmpt 6948	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ 𝑀 → ((𝑚 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))‘𝑙) = ((𝑙𝐼𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝑋𝑘)))
61	60	ad2antrl 726	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → ((𝑚 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))‘𝑙) = ((𝑙𝐼𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝑋𝑘)))
62		equequ1 2028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑙 → (𝑖 = 𝑗 ↔ 𝑙 = 𝑗))
63	62	ifbid 4509	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑙 → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) = if(𝑙 = 𝑗, 1 , 0 ))
64		equequ2 2029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑙 = 𝑗 ↔ 𝑙 = 𝑙))
65	64	ifbid 4509	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → if(𝑙 = 𝑗, 1 , 0 ) = if(𝑙 = 𝑙, 1 , 0 ))
66		equid 2015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑙 = 𝑙
67	66	iftruei 4493	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(𝑙 = 𝑙, 1 , 0 ) = 1
68	65, 67	eqtrdi 2792	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → if(𝑙 = 𝑗, 1 , 0 ) = 1 )
69	10	fvexi 6856	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
70	63, 68, 12, 69	ovmpo 7515	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑙 ∈ 𝑀) → (𝑙𝐼𝑙) = 1 )
71	70	anidms 567	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 ∈ 𝑀 → (𝑙𝐼𝑙) = 1 )
72	71	ad2antrl 726	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → (𝑙𝐼𝑙) = 1 )
73	72	oveq1d 7372	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → ((𝑙𝐼𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝑋𝑘)) = ( 1 (.r‘𝑅)(𝑙𝑋𝑘)))
74	30	fovcdmda 7525	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → (𝑙𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
75	2, 3, 10	ringlidm 19992	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑙𝑋𝑘) ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝑅)(𝑙𝑋𝑘)) = (𝑙𝑋𝑘))
76	5, 74, 75	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → ( 1 (.r‘𝑅)(𝑙𝑋𝑘)) = (𝑙𝑋𝑘))
77	61, 73, 76	3eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → ((𝑚 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))‘𝑙) = (𝑙𝑋𝑘))
78	19, 54, 77	3eqtrd 2780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → (𝑙(𝐼𝐹𝑋)𝑘) = (𝑙𝑋𝑘))
79	78	ralrimivva 3197	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑁 (𝑙(𝐼𝐹𝑋)𝑘) = (𝑙𝑋𝑘))
80	2, 4, 1, 6, 6, 8, 13, 15	mamucl 21748	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝐹𝑋) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
81		elmapi 8787	. . . . 5 ⊢ ((𝐼𝐹𝑋) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) → (𝐼𝐹𝑋):(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
82	80, 81	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝐹𝑋):(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
83	82	ffnd 6669	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝐹𝑋) Fn (𝑀 × 𝑁))
84	30	ffnd 6669	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn (𝑀 × 𝑁))
85		eqfnov2 7486	. . 3 ⊢ (((𝐼𝐹𝑋) Fn (𝑀 × 𝑁) ∧ 𝑋 Fn (𝑀 × 𝑁)) → ((𝐼𝐹𝑋) = 𝑋 ↔ ∀𝑙 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑁 (𝑙(𝐼𝐹𝑋)𝑘) = (𝑙𝑋𝑘)))
86	83, 84, 85	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼𝐹𝑋) = 𝑋 ↔ ∀𝑙 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑁 (𝑙(𝐼𝐹𝑋)𝑘) = (𝑙𝑋𝑘)))
87	79, 86	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝐹𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ifcif 4486  ⟨cotp 4594   ↦ cmpt 5188   × cxp 5631   Fn wfn 6491  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359   ↑_m cmap 8765  Fincfn 8883  Basecbs 17083  ._rcmulr 17134  0_gc0g 17321   Σ_g cgsu 17322  Mndcmnd 18556  1_rcur 19913  Ringcrg 19964   maMul cmmul 21732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-mamu 21733

This theorem is referenced by:  matring  21792  mat1  21796