MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suppssfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suppssfv 8208
Description: Formula building theorem for support restriction, on a function which preserves zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
suppssfv.a (𝜑 → ((𝑥𝐷𝐴) supp 𝑌) ⊆ 𝐿)
suppssfv.f (𝜑 → (𝐹𝑌) = 𝑍)
suppssfv.v ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐴𝑉)
suppssfv.y (𝜑𝑌𝑈)
Assertion
Ref Expression
suppssfv (𝜑 → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐷   𝑥,𝑌   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐿(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem suppssfv
StepHypRef Expression
1 eldifsni 4795 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍}) → (𝐹𝐴) ≠ 𝑍)
2 suppssfv.v . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐴𝑉)
32elexd 3483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐴 ∈ V)
43ad4ant23 751 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐹𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴 ∈ V)
5 suppssfv.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹𝑌) = 𝑍)
6 fveqeq2 6905 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = 𝑌 → ((𝐹𝐴) = 𝑍 ↔ (𝐹𝑌) = 𝑍))
75, 6syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 = 𝑌 → (𝐹𝐴) = 𝑍))
87necon3d 2950 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ≠ 𝑍𝐴𝑌))
98ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝐹𝐴) ≠ 𝑍𝐴𝑌))
109imp 405 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐹𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴𝑌)
11 eldifsn 4792 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌}) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝑌))
124, 10, 11sylanbrc 581 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐹𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌}))
1312ex 411 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝐹𝐴) ≠ 𝑍𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})))
141, 13syl5 34 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝐹𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍}) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})))
1514ss2rabdv 4069 . . . . 5 (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍})} ⊆ {𝑥𝐷𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})})
16 eqid 2725 . . . . . 6 (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) = (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴))
17 simpll 765 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝐷 ∈ V)
18 simplr 767 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑍 ∈ V)
1916, 17, 18mptsuppdifd 8191 . . . . 5 (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) supp 𝑍) = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍})})
20 eqid 2725 . . . . . 6 (𝑥𝐷𝐴) = (𝑥𝐷𝐴)
21 suppssfv.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑈)
2221adantl 480 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑌𝑈)
2320, 17, 22mptsuppdifd 8191 . . . . 5 (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥𝐷𝐴) supp 𝑌) = {𝑥𝐷𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})})
2415, 19, 233sstr4d 4024 . . . 4 (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) supp 𝑍) ⊆ ((𝑥𝐷𝐴) supp 𝑌))
25 suppssfv.a . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐷𝐴) supp 𝑌) ⊆ 𝐿)
2625adantl 480 . . . 4 (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥𝐷𝐴) supp 𝑌) ⊆ 𝐿)
2724, 26sstrd 3987 . . 3 (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)
2827ex 411 . 2 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿))
29 mptexg 7233 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ V → (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) ∈ V)
30 fvex 6909 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐴) ∈ V
3130rgenw 3054 . . . . . . . . 9 𝑥𝐷 (𝐹𝐴) ∈ V
32 dmmptg 6248 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐷 (𝐹𝐴) ∈ V → dom (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) = 𝐷)
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . 8 dom (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) = 𝐷
34 dmexg 7909 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) ∈ V → dom (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) ∈ V)
3533, 34eqeltrrid 2830 . . . . . . 7 ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) ∈ V → 𝐷 ∈ V)
3629, 35impbii 208 . . . . . 6 (𝐷 ∈ V ↔ (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) ∈ V)
3736anbi1i 622 . . . . 5 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ↔ ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))
38 supp0prc 8168 . . . . 5 (¬ ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) supp 𝑍) = ∅)
3937, 38sylnbi 329 . . . 4 (¬ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) supp 𝑍) = ∅)
40 0ss 4398 . . . 4 ∅ ⊆ 𝐿
4139, 40eqsstrdi 4031 . . 3 (¬ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)
4241a1d 25 . 2 (¬ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿))
4328, 42pm2.61i 182 1 (𝜑 → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  {crab 3418  Vcvv 3461  cdif 3941  wss 3944  c0 4322  {csn 4630  cmpt 5232  dom cdm 5678  cfv 6549  (class class class)co 7419   supp csupp 8165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-supp 8166
This theorem is referenced by:  evlslem2  22052  evlslem6  22054
  Copyright terms: Public domain W3C validator