Theorem suppssfv 8186

Description: Formula building theorem for support restriction, on a function which preserves zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppssfv.a	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌) ⊆ 𝐿)
suppssfv.f	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) = 𝑍)
suppssfv.v	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑉)
suppssfv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
suppssfv	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐷   𝑥,𝑌   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐿(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem suppssfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsni 4793	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍}) → (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍)
2		suppssfv.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑉)
3	2	elexd 3494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ V)
4	3	ad4ant23 751	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴 ∈ V)
5		suppssfv.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) = 𝑍)
6		fveqeq2 6900	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 = 𝑌 → ((𝐹‘𝐴) = 𝑍 ↔ (𝐹‘𝑌) = 𝑍))
7	5, 6	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝑌 → (𝐹‘𝐴) = 𝑍))
8	7	necon3d 2961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍 → 𝐴 ≠ 𝑌))
9	8	ad2antlr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍 → 𝐴 ≠ 𝑌))
10	9	imp 407	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴 ≠ 𝑌)
11		eldifsn 4790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌}) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝑌))
12	4, 10, 11	sylanbrc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌}))
13	12	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍 → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})))
14	1, 13	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍}) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})))
15	14	ss2rabdv 4073	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍})} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})})
16		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴))
17		simpll 765	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝐷 ∈ V)
18		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑍 ∈ V)
19	16, 17, 18	mptsuppdifd 8170	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍})})
20		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴)
21		suppssfv.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
22	21	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑌 ∈ 𝑈)
23	20, 17, 22	mptsuppdifd 8170	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})})
24	15, 19, 23	3sstr4d 4029	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) ⊆ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌))
25		suppssfv.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌) ⊆ 𝐿)
26	25	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌) ⊆ 𝐿)
27	24, 26	sstrd 3992	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)
28	27	ex 413	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿))
29		mptexg 7222	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ V)
30		fvex 6904	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ V
31	30	rgenw 3065	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐷 (𝐹‘𝐴) ∈ V
32		dmmptg 6241	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐷 (𝐹‘𝐴) ∈ V → dom (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) = 𝐷)
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) = 𝐷
34		dmexg 7893	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ V → dom (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ V)
35	33, 34	eqeltrrid 2838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ V → 𝐷 ∈ V)
36	29, 35	impbii 208	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ V ↔ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ V)
37	36	anbi1i 624	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))
38		supp0prc 8148	. . . . 5 ⊢ (¬ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) = ∅)
39	37, 38	sylnbi 329	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) = ∅)
40		0ss 4396	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝐿
41	39, 40	eqsstrdi 4036	. . 3 ⊢ (¬ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)
42	41	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿))
43	28, 42	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474   ∖ cdif 3945   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  {csn 4628   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408   supp csupp 8145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-supp 8146

This theorem is referenced by:  evlslem2  21641  evlslem6  21643