MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suppssfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suppssfv 8016
Description: Formula building theorem for support restriction, on a function which preserves zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
suppssfv.a (𝜑 → ((𝑥𝐷𝐴) supp 𝑌) ⊆ 𝐿)
suppssfv.f (𝜑 → (𝐹𝑌) = 𝑍)
suppssfv.v ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐴𝑉)
suppssfv.y (𝜑𝑌𝑈)
Assertion
Ref Expression
suppssfv (𝜑 → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐷   𝑥,𝑌   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐿(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem suppssfv
StepHypRef Expression
1 eldifsni 4725 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍}) → (𝐹𝐴) ≠ 𝑍)
2 suppssfv.v . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐴𝑉)
32elexd 3451 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐴 ∈ V)
43ad4ant23 750 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐹𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴 ∈ V)
5 suppssfv.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹𝑌) = 𝑍)
6 fveqeq2 6785 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = 𝑌 → ((𝐹𝐴) = 𝑍 ↔ (𝐹𝑌) = 𝑍))
75, 6syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 = 𝑌 → (𝐹𝐴) = 𝑍))
87necon3d 2964 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ≠ 𝑍𝐴𝑌))
98ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝐹𝐴) ≠ 𝑍𝐴𝑌))
109imp 407 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐹𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴𝑌)
11 eldifsn 4722 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌}) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝑌))
124, 10, 11sylanbrc 583 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐹𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌}))
1312ex 413 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝐹𝐴) ≠ 𝑍𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})))
141, 13syl5 34 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝐹𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍}) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})))
1514ss2rabdv 4010 . . . . 5 (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍})} ⊆ {𝑥𝐷𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})})
16 eqid 2738 . . . . . 6 (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) = (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴))
17 simpll 764 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝐷 ∈ V)
18 simplr 766 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑍 ∈ V)
1916, 17, 18mptsuppdifd 8000 . . . . 5 (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) supp 𝑍) = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍})})
20 eqid 2738 . . . . . 6 (𝑥𝐷𝐴) = (𝑥𝐷𝐴)
21 suppssfv.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑈)
2221adantl 482 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑌𝑈)
2320, 17, 22mptsuppdifd 8000 . . . . 5 (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥𝐷𝐴) supp 𝑌) = {𝑥𝐷𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})})
2415, 19, 233sstr4d 3969 . . . 4 (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) supp 𝑍) ⊆ ((𝑥𝐷𝐴) supp 𝑌))
25 suppssfv.a . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐷𝐴) supp 𝑌) ⊆ 𝐿)
2625adantl 482 . . . 4 (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥𝐷𝐴) supp 𝑌) ⊆ 𝐿)
2724, 26sstrd 3932 . . 3 (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)
2827ex 413 . 2 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿))
29 mptexg 7099 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ V → (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) ∈ V)
30 fvex 6789 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐴) ∈ V
3130rgenw 3076 . . . . . . . . 9 𝑥𝐷 (𝐹𝐴) ∈ V
32 dmmptg 6147 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐷 (𝐹𝐴) ∈ V → dom (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) = 𝐷)
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . 8 dom (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) = 𝐷
34 dmexg 7750 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) ∈ V → dom (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) ∈ V)
3533, 34eqeltrrid 2844 . . . . . . 7 ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) ∈ V → 𝐷 ∈ V)
3629, 35impbii 208 . . . . . 6 (𝐷 ∈ V ↔ (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) ∈ V)
3736anbi1i 624 . . . . 5 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ↔ ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))
38 supp0prc 7978 . . . . 5 (¬ ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) supp 𝑍) = ∅)
3937, 38sylnbi 330 . . . 4 (¬ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) supp 𝑍) = ∅)
40 0ss 4332 . . . 4 ∅ ⊆ 𝐿
4139, 40eqsstrdi 3976 . . 3 (¬ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)
4241a1d 25 . 2 (¬ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿))
4328, 42pm2.61i 182 1 (𝜑 → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  {crab 3068  Vcvv 3431  cdif 3885  wss 3888  c0 4258  {csn 4563  cmpt 5159  dom cdm 5591  cfv 6435  (class class class)co 7277   supp csupp 7975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5211  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pr 5354  ax-un 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4259  df-if 4462  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-id 5491  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-supp 7976
This theorem is referenced by:  evlslem2  21287  evlslem6  21289
  Copyright terms: Public domain W3C validator