Theorem suppssfv 8212

Description: Formula building theorem for support restriction, on a function which preserves zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppssfv.a	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌) ⊆ 𝐿)
suppssfv.f	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) = 𝑍)
suppssfv.v	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑉)
suppssfv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
suppssfv	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐷   𝑥,𝑌   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐿(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem suppssfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsni 4753	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍}) → (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍)
2		suppssfv.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑉)
3	2	elexd 3474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ V)
4	3	ad4ant23 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴 ∈ V)
5		suppssfv.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) = 𝑍)
6		fveqeq2 6892	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 = 𝑌 → ((𝐹‘𝐴) = 𝑍 ↔ (𝐹‘𝑌) = 𝑍))
7	5, 6	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝑌 → (𝐹‘𝐴) = 𝑍))
8	7	necon3d 2977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍 → 𝐴 ≠ 𝑌))
9	8	ad2antlr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍 → 𝐴 ≠ 𝑌))
10	9	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴 ≠ 𝑌)
11		eldifsn 4748	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌}) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝑌))
12	4, 10, 11	sylanbrc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌}))
13	12	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍 → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})))
14	1, 13	syl5 35	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍}) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})))
15	14	ss2rabdv 4023	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍})} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})})
16		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴))
17		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝐷 ∈ V)
18		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑍 ∈ V)
19	16, 17, 18	mptsuppdifd 8196	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍})})
20		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴)
21		suppssfv.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
22	21	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑌 ∈ 𝑈)
23	20, 17, 22	mptsuppdifd 8196	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})})
24	15, 19, 23	3sstr4d 3986	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) ⊆ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌))
25		suppssfv.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌) ⊆ 𝐿)
26	25	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌) ⊆ 𝐿)
27	24, 26	sstrd 3941	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)
28	27	ex 418	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿))
29		mptexg 7225	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ V)
30		fvex 6896	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ V
31	30	rgenw 3081	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐷 (𝐹‘𝐴) ∈ V
32		dmmptg 6242	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐷 (𝐹‘𝐴) ∈ V → dom (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) = 𝐷)
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) = 𝐷
34		dmexg 7911	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ V → dom (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ V)
35	33, 34	eqeltrrid 2866	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ V → 𝐷 ∈ V)
36	29, 35	impbii 212	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ V ↔ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ V)
37	36	anbi1i 636	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))
38		supp0prc 8173	. . . . 5 ⊢ (¬ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) = ∅)
39	37, 38	sylnbi 333	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) = ∅)
40		0ss 4350	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝐿
41	39, 40	eqsstrdi 3975	. . 3 ⊢ (¬ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)
42	41	a1d 26	. 2 ⊢ (¬ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿))
43	28, 42	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  {crab 3413  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5651  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   supp csupp 8170

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-supp 8171

This theorem is used by:  evlslem2  22381  evlslem6  22383