Theorem suppssfv 8127

Description: Formula building theorem for support restriction, on a function which preserves zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppssfv.a	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌) ⊆ 𝐿)
suppssfv.f	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) = 𝑍)
suppssfv.v	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑉)
suppssfv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
suppssfv	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐷   𝑥,𝑌   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐿(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem suppssfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsni 4737	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍}) → (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍)
2		suppssfv.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑉)
3	2	elexd 3460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ V)
4	3	ad4ant23 753	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴 ∈ V)
5		suppssfv.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) = 𝑍)
6		fveqeq2 6826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 = 𝑌 → ((𝐹‘𝐴) = 𝑍 ↔ (𝐹‘𝑌) = 𝑍))
7	5, 6	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝑌 → (𝐹‘𝐴) = 𝑍))
8	7	necon3d 2949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍 → 𝐴 ≠ 𝑌))
9	8	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍 → 𝐴 ≠ 𝑌))
10	9	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴 ≠ 𝑌)
11		eldifsn 4733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌}) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝑌))
12	4, 10, 11	sylanbrc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌}))
13	12	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍 → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})))
14	1, 13	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍}) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})))
15	14	ss2rabdv 4021	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍})} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})})
16		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴))
17		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝐷 ∈ V)
18		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑍 ∈ V)
19	16, 17, 18	mptsuppdifd 8111	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍})})
20		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴)
21		suppssfv.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
22	21	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑌 ∈ 𝑈)
23	20, 17, 22	mptsuppdifd 8111	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})})
24	15, 19, 23	3sstr4d 3985	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) ⊆ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌))
25		suppssfv.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌) ⊆ 𝐿)
26	25	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌) ⊆ 𝐿)
27	24, 26	sstrd 3940	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)
28	27	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿))
29		mptexg 7150	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ V)
30		fvex 6830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ V
31	30	rgenw 3051	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐷 (𝐹‘𝐴) ∈ V
32		dmmptg 6184	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐷 (𝐹‘𝐴) ∈ V → dom (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) = 𝐷)
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) = 𝐷
34		dmexg 7826	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ V → dom (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ V)
35	33, 34	eqeltrrid 2836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ V → 𝐷 ∈ V)
36	29, 35	impbii 209	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ V ↔ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ V)
37	36	anbi1i 624	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))
38		supp0prc 8088	. . . . 5 ⊢ (¬ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) = ∅)
39	37, 38	sylnbi 330	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) = ∅)
40		0ss 4345	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝐿
41	39, 40	eqsstrdi 3974	. . 3 ⊢ (¬ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)
42	41	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿))
43	28, 42	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  {crab 3395  Vcvv 3436   ∖ cdif 3894   ⊆ wss 3897  ∅c0 4278  {csn 4571   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5611  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   supp csupp 8085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pr 5365  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-supp 8086

This theorem is referenced by:  evlslem2  22009  evlslem6  22011