MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suppssfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suppssfv 8137
Description: Formula building theorem for support restriction, on a function which preserves zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
suppssfv.a (𝜑 → ((𝑥𝐷𝐴) supp 𝑌) ⊆ 𝐿)
suppssfv.f (𝜑 → (𝐹𝑌) = 𝑍)
suppssfv.v ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐴𝑉)
suppssfv.y (𝜑𝑌𝑈)
Assertion
Ref Expression
suppssfv (𝜑 → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐷   𝑥,𝑌   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐿(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem suppssfv
StepHypRef Expression
1 eldifsni 4754 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍}) → (𝐹𝐴) ≠ 𝑍)
2 suppssfv.v . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐴𝑉)
32elexd 3467 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐴 ∈ V)
43ad4ant23 752 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐹𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴 ∈ V)
5 suppssfv.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹𝑌) = 𝑍)
6 fveqeq2 6855 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = 𝑌 → ((𝐹𝐴) = 𝑍 ↔ (𝐹𝑌) = 𝑍))
75, 6syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 = 𝑌 → (𝐹𝐴) = 𝑍))
87necon3d 2961 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ≠ 𝑍𝐴𝑌))
98ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝐹𝐴) ≠ 𝑍𝐴𝑌))
109imp 408 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐹𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴𝑌)
11 eldifsn 4751 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌}) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝑌))
124, 10, 11sylanbrc 584 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐹𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌}))
1312ex 414 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝐹𝐴) ≠ 𝑍𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})))
141, 13syl5 34 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝐹𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍}) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})))
1514ss2rabdv 4037 . . . . 5 (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍})} ⊆ {𝑥𝐷𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})})
16 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) = (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴))
17 simpll 766 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝐷 ∈ V)
18 simplr 768 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑍 ∈ V)
1916, 17, 18mptsuppdifd 8121 . . . . 5 (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) supp 𝑍) = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍})})
20 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑥𝐷𝐴) = (𝑥𝐷𝐴)
21 suppssfv.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑈)
2221adantl 483 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑌𝑈)
2320, 17, 22mptsuppdifd 8121 . . . . 5 (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥𝐷𝐴) supp 𝑌) = {𝑥𝐷𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})})
2415, 19, 233sstr4d 3995 . . . 4 (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) supp 𝑍) ⊆ ((𝑥𝐷𝐴) supp 𝑌))
25 suppssfv.a . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐷𝐴) supp 𝑌) ⊆ 𝐿)
2625adantl 483 . . . 4 (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥𝐷𝐴) supp 𝑌) ⊆ 𝐿)
2724, 26sstrd 3958 . . 3 (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)
2827ex 414 . 2 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿))
29 mptexg 7175 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ V → (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) ∈ V)
30 fvex 6859 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐴) ∈ V
3130rgenw 3065 . . . . . . . . 9 𝑥𝐷 (𝐹𝐴) ∈ V
32 dmmptg 6198 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐷 (𝐹𝐴) ∈ V → dom (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) = 𝐷)
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . 8 dom (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) = 𝐷
34 dmexg 7844 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) ∈ V → dom (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) ∈ V)
3533, 34eqeltrrid 2839 . . . . . . 7 ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) ∈ V → 𝐷 ∈ V)
3629, 35impbii 208 . . . . . 6 (𝐷 ∈ V ↔ (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) ∈ V)
3736anbi1i 625 . . . . 5 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ↔ ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))
38 supp0prc 8099 . . . . 5 (¬ ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) supp 𝑍) = ∅)
3937, 38sylnbi 330 . . . 4 (¬ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) supp 𝑍) = ∅)
40 0ss 4360 . . . 4 ∅ ⊆ 𝐿
4139, 40eqsstrdi 4002 . . 3 (¬ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)
4241a1d 25 . 2 (¬ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿))
4328, 42pm2.61i 182 1 (𝜑 → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  wral 3061  {crab 3406  Vcvv 3447  cdif 3911  wss 3914  c0 4286  {csn 4590  cmpt 5192  dom cdm 5637  cfv 6500  (class class class)co 7361   supp csupp 8096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-supp 8097
This theorem is referenced by:  evlslem2  21512  evlslem6  21514
  Copyright terms: Public domain W3C validator