Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suppss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suppss2 7879
 Description: Show that the support of a function is contained in a set. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
suppss2.n ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝑊)) → 𝐵 = 𝑍)
suppss2.a (𝜑𝐴𝑉)
Assertion
Ref Expression
suppss2 (𝜑 → ((𝑘𝐴𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem suppss2
StepHypRef Expression
1 eqid 2758 . . . . 5 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
2 suppss2.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑉)
32adantl 485 . . . . 5 ((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴𝑉)
4 simpl 486 . . . . 5 ((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝑍 ∈ V)
51, 3, 4mptsuppdifd 7865 . . . 4 ((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) → ((𝑘𝐴𝐵) supp 𝑍) = {𝑘𝐴𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍})})
6 eldifsni 4683 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍}) → 𝐵𝑍)
7 eldif 3870 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝐴𝑊) ↔ (𝑘𝐴 ∧ ¬ 𝑘𝑊))
8 suppss2.n . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝑊)) → 𝐵 = 𝑍)
98adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴𝑊)) → 𝐵 = 𝑍)
107, 9sylan2br 597 . . . . . . . . 9 (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ (𝑘𝐴 ∧ ¬ 𝑘𝑊)) → 𝐵 = 𝑍)
1110expr 460 . . . . . . . 8 (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ 𝑘𝐴) → (¬ 𝑘𝑊𝐵 = 𝑍))
1211necon1ad 2968 . . . . . . 7 (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵𝑍𝑘𝑊))
136, 12syl5 34 . . . . . 6 (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍}) → 𝑘𝑊))
14133impia 1114 . . . . 5 (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ 𝑘𝐴𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍})) → 𝑘𝑊)
1514rabssdv 3981 . . . 4 ((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) → {𝑘𝐴𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍})} ⊆ 𝑊)
165, 15eqsstrd 3932 . . 3 ((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) → ((𝑘𝐴𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
1716ex 416 . 2 (𝑍 ∈ V → (𝜑 → ((𝑘𝐴𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊))
18 id 22 . . . . . 6 𝑍 ∈ V → ¬ 𝑍 ∈ V)
1918intnand 492 . . . . 5 𝑍 ∈ V → ¬ ((𝑘𝐴𝐵) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))
20 supp0prc 7843 . . . . 5 (¬ ((𝑘𝐴𝐵) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝑘𝐴𝐵) supp 𝑍) = ∅)
2119, 20syl 17 . . . 4 𝑍 ∈ V → ((𝑘𝐴𝐵) supp 𝑍) = ∅)
22 0ss 4295 . . . 4 ∅ ⊆ 𝑊
2321, 22eqsstrdi 3948 . . 3 𝑍 ∈ V → ((𝑘𝐴𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
2423a1d 25 . 2 𝑍 ∈ V → (𝜑 → ((𝑘𝐴𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊))
2517, 24pm2.61i 185 1 (𝜑 → ((𝑘𝐴𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  {crab 3074  Vcvv 3409   ∖ cdif 3857   ⊆ wss 3860  ∅c0 4227  {csn 4525   ↦ cmpt 5115  (class class class)co 7155   supp csupp 7840 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pr 5301  ax-un 7464 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-id 5433  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-supp 7841 This theorem is referenced by:  suppsssn  7880  fsuppmptif  8901  sniffsupp  8902  cantnflem1d  9189  cantnflem1  9190  gsumzsplit  19120  gsummpt1n0  19158  gsum2dlem1  19163  gsum2dlem2  19164  gsum2d  19165  dprdfid  19212  dprdfinv  19214  dprdfadd  19215  dmdprdsplitlem  19232  dpjidcl  19253  uvcff  20561  uvcresum  20563  psrbagaddclOLD  20696  psrlidm  20736  psrridm  20737  mplsubrg  20775  mplmon  20800  mplmonmul  20801  mplcoe1  20802  mplcoe5  20805  mplbas2  20807  evlslem4  20842  evlslem2  20847  evlslem3  20848  evlslem1  20850  coe1tmmul2  21005  coe1tmmul  21006  tsmssplit  22857  coe1mul3  24804  plypf1  24913  tayl0  25061  suppss2f  30501  suppss3  30587  gsummptres2  30843  elrspunidl  31131  fedgmullem2  31236  evlsbagval  39808  mhpind  39816  mhphf  39818
 Copyright terms: Public domain W3C validator