Theorem suppss2 8140

Description: Show that the support of a function is contained in a set. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppss2.n	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → 𝐵 = 𝑍)
suppss2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
suppss2	⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem suppss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		suppss2.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3	2	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝑍 ∈ V)
5	1, 3, 4	mptsuppdifd 8126	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) = {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍})})
6		eldifsni 4723	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍}) → 𝐵 ≠ 𝑍)
7		eldif 3893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝑊))
8		suppss2.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → 𝐵 = 𝑍)
9	8	adantll 720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → 𝐵 = 𝑍)
10	7, 9	sylan2br 601	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝑊)) → 𝐵 = 𝑍)
11	10	expr 457	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑘 ∈ 𝑊 → 𝐵 = 𝑍))
12	11	necon1ad 2951	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 ≠ 𝑍 → 𝑘 ∈ 𝑊))
13	6, 12	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍}) → 𝑘 ∈ 𝑊))
14	13	3impia 1123	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍})) → 𝑘 ∈ 𝑊)
15	14	rabssdv 4005	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) → {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍})} ⊆ 𝑊)
16	5, 15	eqsstrd 3949	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
17	16	ex 413	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ V → (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊))
18		id 22	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → ¬ 𝑍 ∈ V)
19	18	intnand 489	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → ¬ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))
20		supp0prc 8103	. . . . 5 ⊢ (¬ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) = ∅)
21	19, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) = ∅)
22		0ss 4328	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝑊
23	21, 22	eqsstrdi 3959	. . 3 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
24	23	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊))
25	17, 24	pm2.61i 183	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  {crab 3391  Vcvv 3431   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261  {csn 4555   ↦ cmpt 5153  (class class class)co 7356   supp csupp 8100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-supp 8101

This theorem is referenced by:  suppsssn  8141  fsuppmptif  9302  sniffsupp  9303  cantnflem1d  9600  cantnflem1  9601  gsumzsplit  19893  gsummpt1n0  19931  gsum2dlem1  19936  gsum2dlem2  19937  gsum2d  19938  dprdfid  19985  dprdfinv  19987  dprdfadd  19988  dmdprdsplitlem  20005  dpjidcl  20026  uvcff  21766  uvcresum  21768  psrlidm  21936  psrridm  21937  mplsubrg  21979  mplmon  22011  mplmonmul  22012  mplcoe1  22013  mplcoe5  22016  mplbas2  22018  evlslem4  22052  evlslem2  22055  evlslem3  22056  evlslem1  22058  evlsvvvallem  22067  evlsvvvallem2  22068  evlsvvval  22069  selvvvval  22118  coe1tmmul2  22262  coe1tmmul  22263  evls1fpws  22355  tsmssplit  24135  coe1mul3  26082  plypf1  26195  tayl0  26345  suppss2f  32730  suppss3  32815  gsummptres2  33134  gsummptfsres  33135  elrgspnlem1  33323  elrgspnlem2  33324  elrgspnlem3  33325  elrgspnsubrunlem2  33329  elrspunidl  33511  elrspunsn  33512  psrmonmul  33734  fedgmullem2  33814  fldextrspunlsp  33858  evlsbagval  43036  evlselv  43039  mhpind  43044  evlsmhpvvval  43045