Theorem suppss2 7864

Description: Show that the support of a function is contained in a set. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppss2.n	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → 𝐵 = 𝑍)
suppss2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
suppss2	⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem suppss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		suppss2.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3	2	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		simpl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝑍 ∈ V)
5	1, 3, 4	mptsuppdifd 7852	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) = {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍})})
6		eldifsni 4722	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍}) → 𝐵 ≠ 𝑍)
7		eldif 3946	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝑊))
8		suppss2.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → 𝐵 = 𝑍)
9	8	adantll 712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → 𝐵 = 𝑍)
10	7, 9	sylan2br 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝑊)) → 𝐵 = 𝑍)
11	10	expr 459	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑘 ∈ 𝑊 → 𝐵 = 𝑍))
12	11	necon1ad 3033	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 ≠ 𝑍 → 𝑘 ∈ 𝑊))
13	6, 12	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍}) → 𝑘 ∈ 𝑊))
14	13	3impia 1113	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍})) → 𝑘 ∈ 𝑊)
15	14	rabssdv 4051	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) → {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍})} ⊆ 𝑊)
16	5, 15	eqsstrd 4005	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
17	16	ex 415	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ V → (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊))
18		id 22	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → ¬ 𝑍 ∈ V)
19	18	intnand 491	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → ¬ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))
20		supp0prc 7833	. . . . 5 ⊢ (¬ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) = ∅)
21	19, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) = ∅)
22		0ss 4350	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝑊
23	21, 22	eqsstrdi 4021	. . 3 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
24	23	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊))
25	17, 24	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  {crab 3142  Vcvv 3494   ∖ cdif 3933   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291  {csn 4567   ↦ cmpt 5146  (class class class)co 7156   supp csupp 7830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-supp 7831

This theorem is referenced by:  suppsssn  7865  fsuppmptif  8863  sniffsupp  8873  cantnflem1d  9151  cantnflem1  9152  gsumzsplit  19047  gsummpt1n0  19085  gsum2dlem1  19090  gsum2dlem2  19091  gsum2d  19092  dprdfid  19139  dprdfinv  19141  dprdfadd  19142  dmdprdsplitlem  19159  dpjidcl  19180  psrbagaddcl  20150  psrlidm  20183  psrridm  20184  mplsubrg  20220  mplmon  20244  mplmonmul  20245  mplcoe1  20246  mplcoe5  20249  mplbas2  20251  evlslem4  20288  evlslem2  20292  evlslem3  20293  evlslem1  20295  coe1tmmul2  20444  coe1tmmul  20445  uvcff  20935  uvcresum  20937  tsmssplit  22760  coe1mul3  24693  plypf1  24802  tayl0  24950  suppss2f  30384  suppss3  30460  fedgmullem2  31026