Theorem suppss2 8185

Description: Show that the support of a function is contained in a set. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppss2.n	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → 𝐵 = 𝑍)
suppss2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
suppss2	⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem suppss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		suppss2.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3	2	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		simpl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝑍 ∈ V)
5	1, 3, 4	mptsuppdifd 8171	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) = {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍})})
6		eldifsni 4794	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍}) → 𝐵 ≠ 𝑍)
7		eldif 3959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝑊))
8		suppss2.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → 𝐵 = 𝑍)
9	8	adantll 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → 𝐵 = 𝑍)
10	7, 9	sylan2br 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝑊)) → 𝐵 = 𝑍)
11	10	expr 458	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑘 ∈ 𝑊 → 𝐵 = 𝑍))
12	11	necon1ad 2958	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 ≠ 𝑍 → 𝑘 ∈ 𝑊))
13	6, 12	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍}) → 𝑘 ∈ 𝑊))
14	13	3impia 1118	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍})) → 𝑘 ∈ 𝑊)
15	14	rabssdv 4073	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) → {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍})} ⊆ 𝑊)
16	5, 15	eqsstrd 4021	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
17	16	ex 414	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ V → (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊))
18		id 22	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → ¬ 𝑍 ∈ V)
19	18	intnand 490	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → ¬ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))
20		supp0prc 8149	. . . . 5 ⊢ (¬ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) = ∅)
21	19, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) = ∅)
22		0ss 4397	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝑊
23	21, 22	eqsstrdi 4037	. . 3 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
24	23	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊))
25	17, 24	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  {crab 3433  Vcvv 3475   ∖ cdif 3946   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323  {csn 4629   ↦ cmpt 5232  (class class class)co 7409   supp csupp 8146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-supp 8147

This theorem is referenced by:  suppsssn  8186  fsuppmptif  9394  sniffsupp  9395  cantnflem1d  9683  cantnflem1  9684  gsumzsplit  19795  gsummpt1n0  19833  gsum2dlem1  19838  gsum2dlem2  19839  gsum2d  19840  dprdfid  19887  dprdfinv  19889  dprdfadd  19890  dmdprdsplitlem  19907  dpjidcl  19928  uvcff  21346  uvcresum  21348  psrbagaddclOLD  21482  psrlidm  21523  psrridm  21524  mplsubrg  21564  mplmon  21590  mplmonmul  21591  mplcoe1  21592  mplcoe5  21595  mplbas2  21597  evlslem4  21637  evlslem2  21642  evlslem3  21643  evlslem1  21645  coe1tmmul2  21798  coe1tmmul  21799  tsmssplit  23656  coe1mul3  25617  plypf1  25726  tayl0  25874  suppss2f  31894  suppss3  31980  gsummptres2  32236  elrspunidl  32577  elrspunsn  32578  evls1fpws  32677  fedgmullem2  32746  evlsvvvallem  41181  evlsvvvallem2  41182  evlsvvval  41183  evlsbagval  41186  selvvvval  41205  evlselv  41207  mhpind  41214  evlsmhpvvval  41215