Theorem suppss2 8152

Description: Show that the support of a function is contained in a set. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppss2.n	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → 𝐵 = 𝑍)
suppss2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
suppss2	⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem suppss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		suppss2.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝑍 ∈ V)
5	1, 3, 4	mptsuppdifd 8138	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) = {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍})})
6		eldifsni 4748	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍}) → 𝐵 ≠ 𝑍)
7		eldif 3913	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝑊))
8		suppss2.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → 𝐵 = 𝑍)
9	8	adantll 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → 𝐵 = 𝑍)
10	7, 9	sylan2br 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝑊)) → 𝐵 = 𝑍)
11	10	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑘 ∈ 𝑊 → 𝐵 = 𝑍))
12	11	necon1ad 2950	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 ≠ 𝑍 → 𝑘 ∈ 𝑊))
13	6, 12	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍}) → 𝑘 ∈ 𝑊))
14	13	3impia 1118	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍})) → 𝑘 ∈ 𝑊)
15	14	rabssdv 4028	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) → {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍})} ⊆ 𝑊)
16	5, 15	eqsstrd 3970	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
17	16	ex 412	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ V → (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊))
18		id 22	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → ¬ 𝑍 ∈ V)
19	18	intnand 488	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → ¬ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))
20		supp0prc 8115	. . . . 5 ⊢ (¬ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) = ∅)
21	19, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) = ∅)
22		0ss 4354	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝑊
23	21, 22	eqsstrdi 3980	. . 3 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
24	23	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊))
25	17, 24	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {crab 3401  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  {csn 4582   ↦ cmpt 5181  (class class class)co 7368   supp csupp 8112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-supp 8113

This theorem is referenced by:  suppsssn  8153  fsuppmptif  9314  sniffsupp  9315  cantnflem1d  9609  cantnflem1  9610  gsumzsplit  19868  gsummpt1n0  19906  gsum2dlem1  19911  gsum2dlem2  19912  gsum2d  19913  dprdfid  19960  dprdfinv  19962  dprdfadd  19963  dmdprdsplitlem  19980  dpjidcl  20001  uvcff  21758  uvcresum  21760  psrlidm  21929  psrridm  21930  mplsubrg  21972  mplmon  22002  mplmonmul  22003  mplcoe1  22004  mplcoe5  22007  mplbas2  22009  evlslem4  22043  evlslem2  22046  evlslem3  22047  evlslem1  22049  evlsvvvallem  22058  evlsvvvallem2  22059  evlsvvval  22060  coe1tmmul2  22230  coe1tmmul  22231  evls1fpws  22325  tsmssplit  24108  coe1mul3  26072  plypf1  26185  tayl0  26337  suppss2f  32728  suppss3  32813  gsummptres2  33147  gsummptfsres  33148  elrgspnlem1  33336  elrgspnlem2  33337  elrgspnlem3  33338  elrgspnsubrunlem2  33342  elrspunidl  33521  elrspunsn  33522  psrmonmul  33727  fedgmullem2  33808  fldextrspunlsp  33852  evlsbagval  42927  selvvvval  42943  evlselv  42945  mhpind  42952  evlsmhpvvval  42953