MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suppss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suppss2 7532
Description: Show that the support of a function is contained in a set. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
suppss2.n ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝑊)) → 𝐵 = 𝑍)
suppss2.a (𝜑𝐴𝑉)
Assertion
Ref Expression
suppss2 (𝜑 → ((𝑘𝐴𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem suppss2
StepHypRef Expression
1 eqid 2765 . . . . 5 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
2 suppss2.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑉)
32adantl 473 . . . . 5 ((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴𝑉)
4 simpl 474 . . . . 5 ((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝑍 ∈ V)
51, 3, 4mptsuppdifd 7519 . . . 4 ((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) → ((𝑘𝐴𝐵) supp 𝑍) = {𝑘𝐴𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍})})
6 eldifsni 4476 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍}) → 𝐵𝑍)
7 eldif 3742 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝐴𝑊) ↔ (𝑘𝐴 ∧ ¬ 𝑘𝑊))
8 suppss2.n . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝑊)) → 𝐵 = 𝑍)
98adantll 705 . . . . . . . . . 10 (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴𝑊)) → 𝐵 = 𝑍)
107, 9sylan2br 588 . . . . . . . . 9 (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ (𝑘𝐴 ∧ ¬ 𝑘𝑊)) → 𝐵 = 𝑍)
1110expr 448 . . . . . . . 8 (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ 𝑘𝐴) → (¬ 𝑘𝑊𝐵 = 𝑍))
1211necon1ad 2954 . . . . . . 7 (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵𝑍𝑘𝑊))
136, 12syl5 34 . . . . . 6 (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍}) → 𝑘𝑊))
14133impia 1145 . . . . 5 (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ 𝑘𝐴𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍})) → 𝑘𝑊)
1514rabssdv 3842 . . . 4 ((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) → {𝑘𝐴𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍})} ⊆ 𝑊)
165, 15eqsstrd 3799 . . 3 ((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) → ((𝑘𝐴𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
1716ex 401 . 2 (𝑍 ∈ V → (𝜑 → ((𝑘𝐴𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊))
18 id 22 . . . . . 6 𝑍 ∈ V → ¬ 𝑍 ∈ V)
1918intnand 482 . . . . 5 𝑍 ∈ V → ¬ ((𝑘𝐴𝐵) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))
20 supp0prc 7500 . . . . 5 (¬ ((𝑘𝐴𝐵) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝑘𝐴𝐵) supp 𝑍) = ∅)
2119, 20syl 17 . . . 4 𝑍 ∈ V → ((𝑘𝐴𝐵) supp 𝑍) = ∅)
22 0ss 4134 . . . 4 ∅ ⊆ 𝑊
2321, 22syl6eqss 3815 . . 3 𝑍 ∈ V → ((𝑘𝐴𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
2423a1d 25 . 2 𝑍 ∈ V → (𝜑 → ((𝑘𝐴𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊))
2517, 24pm2.61i 176 1 (𝜑 → ((𝑘𝐴𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  {crab 3059  Vcvv 3350  cdif 3729  wss 3732  c0 4079  {csn 4334  cmpt 4888  (class class class)co 6842   supp csupp 7497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-supp 7498
This theorem is referenced by:  suppsssn  7533  fsuppmptif  8512  sniffsupp  8522  cantnflem1d  8800  cantnflem1  8801  gsumzsplit  18593  gsummpt1n0  18630  gsum2dlem1  18635  gsum2dlem2  18636  gsum2d  18637  dprdfid  18683  dprdfinv  18685  dprdfadd  18686  dmdprdsplitlem  18703  dpjidcl  18724  psrbagaddcl  19644  psrlidm  19677  psrridm  19678  mplsubrg  19714  mplmon  19737  mplmonmul  19738  mplcoe1  19739  mplcoe5  19742  mplbas2  19744  evlslem4  19781  evlslem2  19785  evlslem3  19787  evlslem1  19788  coe1tmmul2  19919  coe1tmmul  19920  uvcff  20406  uvcresum  20408  tsmssplit  22234  coe1mul3  24150  plypf1  24259  tayl0  24407  suppss2f  29889  suppss3  29951
  Copyright terms: Public domain W3C validator