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Theorem tendofset 39224
Description: The set of all trace-preserving endomorphisms on the set of translations for a lattice 𝐾. (Contributed by NM, 8-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoset.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
tendoset.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
tendofset (𝐾 ∈ 𝑉 β†’ (TEndoβ€˜πΎ) = (𝑀 ∈ 𝐻 ↦ {𝑠 ∣ (𝑠:((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)⟢((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)βˆ€π‘” ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)(π‘ β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘ β€˜π‘”)) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜(π‘ β€˜π‘“)) ≀ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘“))}))
Distinct variable groups:   𝑀,𝐻   𝑀,𝑠,𝑓,𝑔,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑓,𝑔,𝑠)   ≀ (𝑀,𝑓,𝑔,𝑠)   𝑉(𝑀,𝑓,𝑔,𝑠)

Proof of Theorem tendofset
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3464 . 2 (𝐾 ∈ 𝑉 β†’ 𝐾 ∈ V)
2 fveq2 6843 . . . . 5 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (LHypβ€˜π‘˜) = (LHypβ€˜πΎ))
3 tendoset.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
42, 3eqtr4di 2795 . . . 4 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (LHypβ€˜π‘˜) = 𝐻)
5 fveq2 6843 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (LTrnβ€˜π‘˜) = (LTrnβ€˜πΎ))
65fveq1d 6845 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€))
76, 6feq23d 6664 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (𝑠:((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)⟢((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) ↔ 𝑠:((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)⟢((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)))
86raleqdv 3314 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (βˆ€π‘” ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)(π‘ β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘ β€˜π‘”)) ↔ βˆ€π‘” ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)(π‘ β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘ β€˜π‘”))))
96, 8raleqbidv 3320 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)βˆ€π‘” ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)(π‘ β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘ β€˜π‘”)) ↔ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)βˆ€π‘” ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)(π‘ β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘ β€˜π‘”))))
10 fveq2 6843 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (trLβ€˜π‘˜) = (trLβ€˜πΎ))
1110fveq1d 6845 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ((trLβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘€))
1211fveq1d 6845 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (((trLβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜(π‘ β€˜π‘“)) = (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜(π‘ β€˜π‘“)))
13 fveq2 6843 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (leβ€˜π‘˜) = (leβ€˜πΎ))
14 tendoset.l . . . . . . . . 9 ≀ = (leβ€˜πΎ)
1513, 14eqtr4di 2795 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (leβ€˜π‘˜) = ≀ )
1611fveq1d 6845 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (((trLβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜π‘“) = (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘“))
1712, 15, 16breq123d 5120 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ((((trLβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜(π‘ β€˜π‘“))(leβ€˜π‘˜)(((trLβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜π‘“) ↔ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜(π‘ β€˜π‘“)) ≀ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘“)))
186, 17raleqbidv 3320 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)(((trLβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜(π‘ β€˜π‘“))(leβ€˜π‘˜)(((trLβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜π‘“) ↔ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜(π‘ β€˜π‘“)) ≀ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘“)))
197, 9, 183anbi123d 1437 . . . . 5 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ((𝑠:((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)⟢((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)βˆ€π‘” ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)(π‘ β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘ β€˜π‘”)) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)(((trLβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜(π‘ β€˜π‘“))(leβ€˜π‘˜)(((trLβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜π‘“)) ↔ (𝑠:((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)⟢((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)βˆ€π‘” ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)(π‘ β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘ β€˜π‘”)) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜(π‘ β€˜π‘“)) ≀ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘“))))
2019abbidv 2806 . . . 4 (π‘˜ = 𝐾 β†’ {𝑠 ∣ (𝑠:((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)⟢((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)βˆ€π‘” ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)(π‘ β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘ β€˜π‘”)) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)(((trLβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜(π‘ β€˜π‘“))(leβ€˜π‘˜)(((trLβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜π‘“))} = {𝑠 ∣ (𝑠:((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)⟢((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)βˆ€π‘” ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)(π‘ β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘ β€˜π‘”)) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜(π‘ β€˜π‘“)) ≀ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘“))})
214, 20mpteq12dv 5197 . . 3 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (𝑀 ∈ (LHypβ€˜π‘˜) ↦ {𝑠 ∣ (𝑠:((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)⟢((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)βˆ€π‘” ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)(π‘ β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘ β€˜π‘”)) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)(((trLβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜(π‘ β€˜π‘“))(leβ€˜π‘˜)(((trLβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜π‘“))}) = (𝑀 ∈ 𝐻 ↦ {𝑠 ∣ (𝑠:((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)⟢((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)βˆ€π‘” ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)(π‘ β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘ β€˜π‘”)) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜(π‘ β€˜π‘“)) ≀ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘“))}))
22 df-tendo 39221 . . 3 TEndo = (π‘˜ ∈ V ↦ (𝑀 ∈ (LHypβ€˜π‘˜) ↦ {𝑠 ∣ (𝑠:((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)⟢((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)βˆ€π‘” ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)(π‘ β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘ β€˜π‘”)) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)(((trLβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜(π‘ β€˜π‘“))(leβ€˜π‘˜)(((trLβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜π‘“))}))
2321, 22, 3mptfvmpt 7179 . 2 (𝐾 ∈ V β†’ (TEndoβ€˜πΎ) = (𝑀 ∈ 𝐻 ↦ {𝑠 ∣ (𝑠:((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)⟢((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)βˆ€π‘” ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)(π‘ β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘ β€˜π‘”)) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜(π‘ β€˜π‘“)) ≀ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘“))}))
241, 23syl 17 1 (𝐾 ∈ 𝑉 β†’ (TEndoβ€˜πΎ) = (𝑀 ∈ 𝐻 ↦ {𝑠 ∣ (𝑠:((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)⟢((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)βˆ€π‘” ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)(π‘ β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘ β€˜π‘”)) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜(π‘ β€˜π‘“)) ≀ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘“))}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2714  βˆ€wral 3065  Vcvv 3446   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   ∘ ccom 5638  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  lecple 17141  LHypclh 38450  LTrncltrn 38567  trLctrl 38624  TEndoctendo 39218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-tendo 39221
This theorem is referenced by:  tendoset  39225
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