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Theorem tendofset 40142
Description: The set of all trace-preserving endomorphisms on the set of translations for a lattice 𝐾. (Contributed by NM, 8-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoset.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
tendoset.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
tendofset (𝐾 ∈ 𝑉 β†’ (TEndoβ€˜πΎ) = (𝑀 ∈ 𝐻 ↦ {𝑠 ∣ (𝑠:((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)⟢((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)βˆ€π‘” ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)(π‘ β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘ β€˜π‘”)) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜(π‘ β€˜π‘“)) ≀ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘“))}))
Distinct variable groups:   𝑀,𝐻   𝑀,𝑠,𝑓,𝑔,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑓,𝑔,𝑠)   ≀ (𝑀,𝑓,𝑔,𝑠)   𝑉(𝑀,𝑓,𝑔,𝑠)

Proof of Theorem tendofset
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3487 . 2 (𝐾 ∈ 𝑉 β†’ 𝐾 ∈ V)
2 fveq2 6885 . . . . 5 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (LHypβ€˜π‘˜) = (LHypβ€˜πΎ))
3 tendoset.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
42, 3eqtr4di 2784 . . . 4 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (LHypβ€˜π‘˜) = 𝐻)
5 fveq2 6885 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (LTrnβ€˜π‘˜) = (LTrnβ€˜πΎ))
65fveq1d 6887 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€))
76, 6feq23d 6706 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (𝑠:((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)⟢((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) ↔ 𝑠:((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)⟢((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)))
86raleqdv 3319 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (βˆ€π‘” ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)(π‘ β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘ β€˜π‘”)) ↔ βˆ€π‘” ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)(π‘ β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘ β€˜π‘”))))
96, 8raleqbidv 3336 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)βˆ€π‘” ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)(π‘ β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘ β€˜π‘”)) ↔ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)βˆ€π‘” ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)(π‘ β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘ β€˜π‘”))))
10 fveq2 6885 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (trLβ€˜π‘˜) = (trLβ€˜πΎ))
1110fveq1d 6887 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ((trLβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘€))
1211fveq1d 6887 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (((trLβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜(π‘ β€˜π‘“)) = (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜(π‘ β€˜π‘“)))
13 fveq2 6885 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (leβ€˜π‘˜) = (leβ€˜πΎ))
14 tendoset.l . . . . . . . . 9 ≀ = (leβ€˜πΎ)
1513, 14eqtr4di 2784 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (leβ€˜π‘˜) = ≀ )
1611fveq1d 6887 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (((trLβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜π‘“) = (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘“))
1712, 15, 16breq123d 5155 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ((((trLβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜(π‘ β€˜π‘“))(leβ€˜π‘˜)(((trLβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜π‘“) ↔ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜(π‘ β€˜π‘“)) ≀ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘“)))
186, 17raleqbidv 3336 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)(((trLβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜(π‘ β€˜π‘“))(leβ€˜π‘˜)(((trLβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜π‘“) ↔ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜(π‘ β€˜π‘“)) ≀ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘“)))
197, 9, 183anbi123d 1432 . . . . 5 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ((𝑠:((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)⟢((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)βˆ€π‘” ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)(π‘ β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘ β€˜π‘”)) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)(((trLβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜(π‘ β€˜π‘“))(leβ€˜π‘˜)(((trLβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜π‘“)) ↔ (𝑠:((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)⟢((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)βˆ€π‘” ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)(π‘ β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘ β€˜π‘”)) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜(π‘ β€˜π‘“)) ≀ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘“))))
2019abbidv 2795 . . . 4 (π‘˜ = 𝐾 β†’ {𝑠 ∣ (𝑠:((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)⟢((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)βˆ€π‘” ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)(π‘ β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘ β€˜π‘”)) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)(((trLβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜(π‘ β€˜π‘“))(leβ€˜π‘˜)(((trLβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜π‘“))} = {𝑠 ∣ (𝑠:((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)⟢((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)βˆ€π‘” ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)(π‘ β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘ β€˜π‘”)) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜(π‘ β€˜π‘“)) ≀ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘“))})
214, 20mpteq12dv 5232 . . 3 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (𝑀 ∈ (LHypβ€˜π‘˜) ↦ {𝑠 ∣ (𝑠:((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)⟢((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)βˆ€π‘” ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)(π‘ β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘ β€˜π‘”)) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)(((trLβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜(π‘ β€˜π‘“))(leβ€˜π‘˜)(((trLβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜π‘“))}) = (𝑀 ∈ 𝐻 ↦ {𝑠 ∣ (𝑠:((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)⟢((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)βˆ€π‘” ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)(π‘ β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘ β€˜π‘”)) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜(π‘ β€˜π‘“)) ≀ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘“))}))
22 df-tendo 40139 . . 3 TEndo = (π‘˜ ∈ V ↦ (𝑀 ∈ (LHypβ€˜π‘˜) ↦ {𝑠 ∣ (𝑠:((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)⟢((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)βˆ€π‘” ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)(π‘ β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘ β€˜π‘”)) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)(((trLβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜(π‘ β€˜π‘“))(leβ€˜π‘˜)(((trLβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜π‘“))}))
2321, 22, 3mptfvmpt 7225 . 2 (𝐾 ∈ V β†’ (TEndoβ€˜πΎ) = (𝑀 ∈ 𝐻 ↦ {𝑠 ∣ (𝑠:((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)⟢((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)βˆ€π‘” ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)(π‘ β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘ β€˜π‘”)) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜(π‘ β€˜π‘“)) ≀ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘“))}))
241, 23syl 17 1 (𝐾 ∈ 𝑉 β†’ (TEndoβ€˜πΎ) = (𝑀 ∈ 𝐻 ↦ {𝑠 ∣ (𝑠:((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)⟢((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)βˆ€π‘” ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)(π‘ β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘ β€˜π‘”)) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜(π‘ β€˜π‘“)) ≀ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘“))}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2703  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  lecple 17213  LHypclh 39368  LTrncltrn 39485  trLctrl 39542  TEndoctendo 40136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-tendo 40139
This theorem is referenced by:  tendoset  40143
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