MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgval2 22322
Description: Definition of a topology generated by a basis in [Munkres] p. 78. Later we show (in tgcl 22335) that (topGenβ€˜π΅) is indeed a topology (on βˆͺ 𝐡, see unitg 22333). See also tgval 22321 and tgval3 22329. (Contributed by NM, 15-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgval2 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (topGenβ€˜π΅) = {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐡 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))})
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐡   π‘₯,𝑉,𝑦,𝑧

Proof of Theorem tgval2
StepHypRef Expression
1 tgval 22321 . 2 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (topGenβ€˜π΅) = {π‘₯ ∣ π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯)})
2 inss1 4189 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) βŠ† 𝐡
32unissi 4875 . . . . . . . 8 βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝐡
43sseli 3941 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡)
54pm4.71ri 562 . . . . . 6 (𝑦 ∈ βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) ↔ (𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯)))
65ralbii 3093 . . . . 5 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ 𝑦 ∈ βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯)))
7 r19.26 3111 . . . . 5 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯)) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ 𝑦 ∈ βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯)))
86, 7bitri 275 . . . 4 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ 𝑦 ∈ βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ 𝑦 ∈ βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯)))
9 dfss3 3933 . . . 4 (π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ 𝑦 ∈ βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯))
10 dfss3 3933 . . . . 5 (π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐡 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡)
11 elin 3927 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) ↔ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 π‘₯))
1211anbi2i 624 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯)) ↔ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 π‘₯)))
13 an12 644 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 π‘₯)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 π‘₯)))
1412, 13bitri 275 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 π‘₯)))
1514exbii 1851 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘§(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ 𝐡 ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 π‘₯)))
16 eluni 4869 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) ↔ βˆƒπ‘§(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯)))
17 df-rex 3071 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 π‘₯) ↔ βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ 𝐡 ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 π‘₯)))
1815, 16, 173bitr4i 303 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 π‘₯))
19 velpw 4566 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝒫 π‘₯ ↔ 𝑧 βŠ† π‘₯)
2019anbi2i 624 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 π‘₯) ↔ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))
2120rexbii 3094 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 π‘₯) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))
2218, 21bitr2i 276 . . . . . 6 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯) ↔ 𝑦 ∈ βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯))
2322ralbii 3093 . . . . 5 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ 𝑦 ∈ βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯))
2410, 23anbi12i 628 . . . 4 ((π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐡 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯)) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ 𝑦 ∈ βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯)))
258, 9, 243bitr4i 303 . . 3 (π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) ↔ (π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐡 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯)))
2625abbii 2803 . 2 {π‘₯ ∣ π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯)} = {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐡 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))}
271, 26eqtrdi 2789 1 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (topGenβ€˜π΅) = {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐡 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  {cab 2710  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  π’« cpw 4561  βˆͺ cuni 4866  β€˜cfv 6497  topGenctg 17324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-topgen 17330
This theorem is referenced by:  eltg2  22324
  Copyright terms: Public domain W3C validator