Theorem topfneec2 37144

Description: A topology is precisely identified with its equivalence class. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Oct-2009.)

Hypothesis

Ref	Expression
topfneec2.1	⊢ ∼ = (Fne ∩ ◡Fne)

Assertion

Ref	Expression
topfneec2	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → ([𝐽] ∼ = [𝐾] ∼ ↔ 𝐽 = 𝐾))

Proof of Theorem topfneec2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topfneec2.1	. . 3 ⊢ ∼ = (Fne ∩ ◡Fne)
2	1	fneval 37140	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐽 ∼ 𝐾 ↔ (topGen‘𝐽) = (topGen‘𝐾)))
3	1	fneer 37141	. . . 4 ⊢ ∼ Er V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → ∼ Er V)
5		elex 3472	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ∈ V)
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → 𝐽 ∈ V)
7	4, 6	erth 8772	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐽 ∼ 𝐾 ↔ [𝐽] ∼ = [𝐾] ∼ ))
8		tgtop 23291	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
9		tgtop 23291	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Top → (topGen‘𝐾) = 𝐾)
10	8, 9	eqeqan12d 2775	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → ((topGen‘𝐽) = (topGen‘𝐾) ↔ 𝐽 = 𝐾))
11	2, 7, 10	3bitr3d 312	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → ([𝐽] ∼ = [𝐾] ∼ ↔ 𝐽 = 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ∩ cin 3898   class class class wbr 5103  ^◡ccnv 5650  ‘cfv 6538   Er wer 8714  [cec 8715  topGenctg 17608  Topctop 23211  Fnecfne 37124

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-er 8717  df-ec 8719  df-topgen 17614  df-top 23212  df-fne 37125

This theorem is used by: (None)