Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  toprestsubel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem toprestsubel 44585
Description: A subset is open in the topology it generates via restriction. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Dec-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
toprestsubel.1 (𝜑𝐽 ∈ Top)
toprestsubel.2 (𝜑𝐴 𝐽)
Assertion
Ref Expression
toprestsubel (𝜑𝐴 ∈ (𝐽t 𝐴))

Proof of Theorem toprestsubel
StepHypRef Expression
1 toprestsubel.1 . 2 (𝜑𝐽 ∈ Top)
2 eqid 2725 . . . 4 𝐽 = 𝐽
32topopn 22821 . . 3 (𝐽 ∈ Top → 𝐽𝐽)
41, 3syl 17 . 2 (𝜑 𝐽𝐽)
5 toprestsubel.2 . 2 (𝜑𝐴 𝐽)
61, 4, 5restsubel 44584 1 (𝜑𝐴 ∈ (𝐽t 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2098  wss 3941   cuni 4904  (class class class)co 7413  t crest 17396  Topctop 22808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pr 5424  ax-un 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-rest 17398  df-top 22809
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator