Theorem toprestsubel 45121

Description: A subset is open in the topology it generates via restriction. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
toprestsubel.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
toprestsubel.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
toprestsubel	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))

Proof of Theorem toprestsubel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toprestsubel.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
3	2	topopn 22769	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
5		toprestsubel.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)
6	1, 4, 5	restsubel 45120	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911  ∪ cuni 4867  (class class class)co 7369   ↾_t crest 17359  Topctop 22756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-rest 17361  df-top 22757

This theorem is referenced by: (None)