Theorem toprestsubel 42922

Description: A subset is open in the topology it generates via restriction. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
toprestsubel.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
toprestsubel.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
toprestsubel	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))

Proof of Theorem toprestsubel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toprestsubel.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
3	2	topopn 22104	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
5		toprestsubel.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)
6	1, 4, 5	restsubel 42921	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104   ⊆ wss 3892  ∪ cuni 4844  (class class class)co 7307   ↾_t crest 17180  Topctop 22091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361  ax-un 7620

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-rest 17182  df-top 22092

This theorem is referenced by: (None)