Theorem toprestsubel 45132

Description: A subset is open in the topology it generates via restriction. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
toprestsubel.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
toprestsubel.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
toprestsubel	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))

Proof of Theorem toprestsubel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toprestsubel.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
3	2	topopn 22902	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
5		toprestsubel.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)
6	1, 4, 5	restsubel 45131	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3950  ∪ cuni 4905  (class class class)co 7429   ↾_t crest 17461  Topctop 22889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pr 5430  ax-un 7751

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-id 5576  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-rest 17463  df-top 22890

This theorem is referenced by: (None)