Theorem toprestsubel 45045

Description: A subset is open in the topology it generates via restriction. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
toprestsubel.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
toprestsubel.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
toprestsubel	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))

Proof of Theorem toprestsubel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toprestsubel.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
2		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
3	2	topopn 22909	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
5		toprestsubel.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)
6	1, 4, 5	restsubel 45044	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104   ⊆ wss 3963  ∪ cuni 4914  (class class class)co 7425   ↾_t crest 17456  Topctop 22896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5430  ax-un 7747

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4915  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7428  df-oprab 7429  df-mpo 7430  df-rest 17458  df-top 22897

This theorem is referenced by: (None)