Theorem uvcvvcl 21902

Description: A coordinate of a unit vector is either 0 or 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvcfval.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcfval.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
uvcfval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
uvcvvcl	⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝐽)‘𝐾) ∈ { 0 , 1 })

Proof of Theorem uvcvvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvcfval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
2		uvcfval.o	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
3		uvcfval.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	uvcvval 21901	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝐽)‘𝐾) = if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ))
5	2	fvexi 6893	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
6	3	fvexi 6893	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
7		ifpr 4661	. . . 4 ⊢ (( 1 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ) ∈ { 1 , 0 })
8	5, 6, 7	mp2an 704	. . 3 ⊢ if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ) ∈ { 1 , 0 }
9		prcom 4700	. . 3 ⊢ { 1 , 0 } = { 0 , 1 }
10	8, 9	eleqtri 2867	. 2 ⊢ if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ) ∈ { 0 , 1 }
11	4, 10	eqeltrdi 2877	1 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝐽)‘𝐾) ∈ { 0 , 1 })

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  ifcif 4489  {cpr 4593  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  0_gc0g 17488  1_rcur 20259   unitVec cuvc 21897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-uvc 21898

This theorem is referenced by: (None)