MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uvcvvcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uvcvvcl 21678
Description: A coordinate of a unit vector is either 0 or 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uvcfval.u 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcfval.o 1 = (1r𝑅)
uvcfval.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
uvcvvcl (((𝑅𝑉𝐼𝑊𝐽𝐼) ∧ 𝐾𝐼) → ((𝑈𝐽)‘𝐾) ∈ { 0 , 1 })

Proof of Theorem uvcvvcl
StepHypRef Expression
1 uvcfval.u . . 3 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
2 uvcfval.o . . 3 1 = (1r𝑅)
3 uvcfval.z . . 3 0 = (0g𝑅)
41, 2, 3uvcvval 21677 . 2 (((𝑅𝑉𝐼𝑊𝐽𝐼) ∧ 𝐾𝐼) → ((𝑈𝐽)‘𝐾) = if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ))
52fvexi 6898 . . . 4 1 ∈ V
63fvexi 6898 . . . 4 0 ∈ V
7 ifpr 4690 . . . 4 (( 1 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ) ∈ { 1 , 0 })
85, 6, 7mp2an 689 . . 3 if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ) ∈ { 1 , 0 }
9 prcom 4731 . . 3 { 1 , 0 } = { 0 , 1 }
108, 9eleqtri 2825 . 2 if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ) ∈ { 0 , 1 }
114, 10eqeltrdi 2835 1 (((𝑅𝑉𝐼𝑊𝐽𝐼) ∧ 𝐾𝐼) → ((𝑈𝐽)‘𝐾) ∈ { 0 , 1 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3468  ifcif 4523  {cpr 4625  cfv 6536  (class class class)co 7404  0gc0g 17392  1rcur 20084   unitVec cuvc 21673
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-uvc 21674
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator