Theorem uvcvvcl 21752

Description: A coordinate of a unit vector is either 0 or 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvcfval.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcfval.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
uvcfval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
uvcvvcl	⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝐽)‘𝐾) ∈ { 0 , 1 })

Proof of Theorem uvcvvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvcfval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
2		uvcfval.o	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
3		uvcfval.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	uvcvval 21751	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝐽)‘𝐾) = if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ))
5	2	fvexi 6895	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
6	3	fvexi 6895	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
7		ifpr 4674	. . . 4 ⊢ (( 1 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ) ∈ { 1 , 0 })
8	5, 6, 7	mp2an 692	. . 3 ⊢ if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ) ∈ { 1 , 0 }
9		prcom 4713	. . 3 ⊢ { 1 , 0 } = { 0 , 1 }
10	8, 9	eleqtri 2833	. 2 ⊢ if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ) ∈ { 0 , 1 }
11	4, 10	eqeltrdi 2843	1 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝐽)‘𝐾) ∈ { 0 , 1 })

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464  ifcif 4505  {cpr 4608  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0_gc0g 17458  1_rcur 20146   unitVec cuvc 21747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-uvc 21748

This theorem is referenced by: (None)