Theorem uvcvvcl 21342

Description: A coordinate of a unit vector is either 0 or 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvcfval.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcfval.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
uvcfval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
uvcvvcl	⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝐽)‘𝐾) ∈ { 0 , 1 })

Proof of Theorem uvcvvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvcfval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
2		uvcfval.o	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
3		uvcfval.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	uvcvval 21341	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝐽)‘𝐾) = if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ))
5	2	fvexi 6906	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
6	3	fvexi 6906	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
7		ifpr 4696	. . . 4 ⊢ (( 1 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ) ∈ { 1 , 0 })
8	5, 6, 7	mp2an 691	. . 3 ⊢ if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ) ∈ { 1 , 0 }
9		prcom 4737	. . 3 ⊢ { 1 , 0 } = { 0 , 1 }
10	8, 9	eleqtri 2832	. 2 ⊢ if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ) ∈ { 0 , 1 }
11	4, 10	eqeltrdi 2842	1 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝐽)‘𝐾) ∈ { 0 , 1 })

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  ifcif 4529  {cpr 4631  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  0_gc0g 17385  1_rcur 20004   unitVec cuvc 21337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-uvc 21338

This theorem is referenced by: (None)