MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uvcvvcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uvcvvcl 20859
Description: A coordinate of a unit vector is either 0 or 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uvcfval.u 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcfval.o 1 = (1r𝑅)
uvcfval.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
uvcvvcl (((𝑅𝑉𝐼𝑊𝐽𝐼) ∧ 𝐾𝐼) → ((𝑈𝐽)‘𝐾) ∈ { 0 , 1 })

Proof of Theorem uvcvvcl
StepHypRef Expression
1 uvcfval.u . . 3 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
2 uvcfval.o . . 3 1 = (1r𝑅)
3 uvcfval.z . . 3 0 = (0g𝑅)
41, 2, 3uvcvval 20858 . 2 (((𝑅𝑉𝐼𝑊𝐽𝐼) ∧ 𝐾𝐼) → ((𝑈𝐽)‘𝐾) = if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ))
52fvexi 6677 . . . 4 1 ∈ V
63fvexi 6677 . . . 4 0 ∈ V
7 ifpr 4621 . . . 4 (( 1 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ) ∈ { 1 , 0 })
85, 6, 7mp2an 688 . . 3 if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ) ∈ { 1 , 0 }
9 prcom 4660 . . 3 { 1 , 0 } = { 0 , 1 }
108, 9eleqtri 2908 . 2 if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ) ∈ { 0 , 1 }
114, 10syl6eqel 2918 1 (((𝑅𝑉𝐼𝑊𝐽𝐼) ∧ 𝐾𝐼) → ((𝑈𝐽)‘𝐾) ∈ { 0 , 1 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  ifcif 4463  {cpr 4559  cfv 6348  (class class class)co 7145  0gc0g 16701  1rcur 19180   unitVec cuvc 20854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-uvc 20855
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator