MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uvcvvcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uvcvvcl 21209
Description: A coordinate of a unit vector is either 0 or 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uvcfval.u 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcfval.o 1 = (1r𝑅)
uvcfval.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
uvcvvcl (((𝑅𝑉𝐼𝑊𝐽𝐼) ∧ 𝐾𝐼) → ((𝑈𝐽)‘𝐾) ∈ { 0 , 1 })

Proof of Theorem uvcvvcl
StepHypRef Expression
1 uvcfval.u . . 3 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
2 uvcfval.o . . 3 1 = (1r𝑅)
3 uvcfval.z . . 3 0 = (0g𝑅)
41, 2, 3uvcvval 21208 . 2 (((𝑅𝑉𝐼𝑊𝐽𝐼) ∧ 𝐾𝐼) → ((𝑈𝐽)‘𝐾) = if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ))
52fvexi 6857 . . . 4 1 ∈ V
63fvexi 6857 . . . 4 0 ∈ V
7 ifpr 4653 . . . 4 (( 1 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ) ∈ { 1 , 0 })
85, 6, 7mp2an 691 . . 3 if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ) ∈ { 1 , 0 }
9 prcom 4694 . . 3 { 1 , 0 } = { 0 , 1 }
108, 9eleqtri 2832 . 2 if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ) ∈ { 0 , 1 }
114, 10eqeltrdi 2842 1 (((𝑅𝑉𝐼𝑊𝐽𝐼) ∧ 𝐾𝐼) → ((𝑈𝐽)‘𝐾) ∈ { 0 , 1 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3444  ifcif 4487  {cpr 4589  cfv 6497  (class class class)co 7358  0gc0g 17326  1rcur 19918   unitVec cuvc 21204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-uvc 21205
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator