Theorem uvcvval 20614

Description: Value of a unit vector coordinate in a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvcfval.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcfval.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
uvcfval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
uvcvval	⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝐽)‘𝐾) = if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ))

Proof of Theorem uvcvval

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvcfval.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
2		uvcfval.o	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
3		uvcfval.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	uvcval 20613	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝐽) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝐽, 1 , 0 )))
5	4	fveq1d 6688	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝐽)‘𝐾) = ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝐽, 1 , 0 ))‘𝐾))
6	5	adantr 484	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝐽)‘𝐾) = ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝐽, 1 , 0 ))‘𝐾))
7		simpr 488	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ 𝐼) → 𝐾 ∈ 𝐼)
8	2	fvexi 6700	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
9	3	fvexi 6700	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
10	8, 9	ifex 4474	. . 3 ⊢ if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ) ∈ V
11		eqeq1 2743	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑘 = 𝐽 ↔ 𝐾 = 𝐽))
12	11	ifbid 4447	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → if(𝑘 = 𝐽, 1 , 0 ) = if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ))
13		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝐽, 1 , 0 )) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝐽, 1 , 0 ))
14	12, 13	fvmptg 6785	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐼 ∧ if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ) ∈ V) → ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝐽, 1 , 0 ))‘𝐾) = if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ))
15	7, 10, 14	sylancl 589	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ 𝐼) → ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝐽, 1 , 0 ))‘𝐾) = if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ))
16	6, 15	eqtrd 2774	1 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝐽)‘𝐾) = if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3400  ifcif 4424   ↦ cmpt 5120  ‘cfv 6349  (class class class)co 7182  0_gc0g 16828  1_rcur 19382   unitVec cuvc 20610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5306

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-uvc 20611

This theorem is referenced by:  uvcvvcl  20615  uvcvvcl2  20616  uvcvv1  20617  uvcvv0  20618  matunitlindflem2  35429