Theorem uvcvval 21701

Description: Value of a unit vector coordinate in a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvcfval.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcfval.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
uvcfval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
uvcvval	⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝐽)‘𝐾) = if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ))

Proof of Theorem uvcvval

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvcfval.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
2		uvcfval.o	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
3		uvcfval.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	uvcval 21700	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝐽) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝐽, 1 , 0 )))
5	4	fveq1d 6862	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝐽)‘𝐾) = ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝐽, 1 , 0 ))‘𝐾))
6	5	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝐽)‘𝐾) = ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝐽, 1 , 0 ))‘𝐾))
7		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ 𝐼) → 𝐾 ∈ 𝐼)
8	2	fvexi 6874	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
9	3	fvexi 6874	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
10	8, 9	ifex 4541	. . 3 ⊢ if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ) ∈ V
11		eqeq1 2734	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑘 = 𝐽 ↔ 𝐾 = 𝐽))
12	11	ifbid 4514	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → if(𝑘 = 𝐽, 1 , 0 ) = if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ))
13		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝐽, 1 , 0 )) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝐽, 1 , 0 ))
14	12, 13	fvmptg 6968	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐼 ∧ if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ) ∈ V) → ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝐽, 1 , 0 ))‘𝐾) = if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ))
15	7, 10, 14	sylancl 586	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ 𝐼) → ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 = 𝐽, 1 , 0 ))‘𝐾) = if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ))
16	6, 15	eqtrd 2765	1 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝐽)‘𝐾) = if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  ifcif 4490   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  0_gc0g 17408  1_rcur 20096   unitVec cuvc 21697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-uvc 21698

This theorem is referenced by:  uvcvvcl  21702  uvcvvcl2  21703  uvcvv1  21704  uvcvv0  21705  matunitlindflem2  37606