Theorem uvcvvcl2 20932

Description: A unit vector coordinate is a ring element. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvcvvcl2.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcvvcl2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
uvcvvcl2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
uvcvvcl2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
uvcvvcl2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
uvcvvcl2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
uvcvvcl2	⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐽)‘𝐾) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem uvcvvcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvcvvcl2.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		uvcvvcl2.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		uvcvvcl2.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
4		uvcvvcl2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐼)
5		uvcvvcl2.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
6		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8	5, 6, 7	uvcvval 20930	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝐽)‘𝐾) = if(𝐾 = 𝐽, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
9	1, 2, 3, 4, 8	syl31anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐽)‘𝐾) = if(𝐾 = 𝐽, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
10		uvcvvcl2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11	10, 6	ringidcl 19318	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
12	10, 7	ring0cl 19319	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
13	11, 12	ifcld 4512	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → if(𝐾 = 𝐽, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ 𝐵)
14	1, 13	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐾 = 𝐽, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ 𝐵)
15	9, 14	eqeltrd 2913	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐽)‘𝐾) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ifcif 4467  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Basecbs 16483  0_gc0g 16713  1_rcur 19251  Ringcrg 19297   unitVec cuvc 20926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-uvc 20927

This theorem is referenced by: (None)