Theorem uvcvvcl2 21653

Description: A unit vector coordinate is a ring element. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvcvvcl2.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcvvcl2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
uvcvvcl2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
uvcvvcl2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
uvcvvcl2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
uvcvvcl2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
uvcvvcl2	⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐽)‘𝐾) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem uvcvvcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvcvvcl2.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		uvcvvcl2.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		uvcvvcl2.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
4		uvcvvcl2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐼)
5		uvcvvcl2.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
6		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8	5, 6, 7	uvcvval 21651	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝐽)‘𝐾) = if(𝐾 = 𝐽, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
9	1, 2, 3, 4, 8	syl31anc 1372	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐽)‘𝐾) = if(𝐾 = 𝐽, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
10		uvcvvcl2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11	10, 6	ringidcl 20161	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
12	10, 7	ring0cl 20162	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
13	11, 12	ifcld 4574	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → if(𝐾 = 𝐽, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ 𝐵)
14	1, 13	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐾 = 𝐽, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ 𝐵)
15	9, 14	eqeltrd 2832	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐽)‘𝐾) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ifcif 4528  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  0_gc0g 17392  1_rcur 20082  Ringcrg 20134   unitVec cuvc 21647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-mgp 20036  df-ur 20083  df-ring 20136  df-uvc 21648

This theorem is referenced by: (None)