Theorem vczcl 30663

Description: The zero vector is a vector. (Contributed by NM, 4-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
vczcl.1	⊢ 𝐺 = (1st ‘𝑊)
vczcl.2	⊢ 𝑋 = ran 𝐺
vczcl.3	⊢ 𝑍 = (GId‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vczcl	⊢ (𝑊 ∈ CVecOLD → 𝑍 ∈ 𝑋)

Proof of Theorem vczcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vczcl.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (1st ‘𝑊)
2	1	vcgrp 30661	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ CVecOLD → 𝐺 ∈ GrpOp)
3		vczcl.2	. . 3 ⊢ 𝑋 = ran 𝐺
4		vczcl.3	. . 3 ⊢ 𝑍 = (GId‘𝐺)
5	3, 4	grpoidcl 30605	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ GrpOp → 𝑍 ∈ 𝑋)
6	2, 5	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ CVecOLD → 𝑍 ∈ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ran crn 5623  ‘cfv 6490  1^st c1st 7931  GrpOpcgr 30580  GIdcgi 30581  CVec_OLDcvc 30649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fo 6496  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-grpo 30584  df-gid 30585  df-ablo 30636  df-vc 30650

This theorem is referenced by:  vc0  30665  vcz  30666