Theorem vcz 30867

Description: Anything times the zero vector is the zero vector. Equation 1b of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 24-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
vc0.1	⊢ 𝐺 = (1st ‘𝑊)
vc0.2	⊢ 𝑆 = (2nd ‘𝑊)
vc0.3	⊢ 𝑋 = ran 𝐺
vc0.4	⊢ 𝑍 = (GId‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vcz	⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴𝑆𝑍) = 𝑍)

Proof of Theorem vcz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vc0.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (1st ‘𝑊)
2		vc0.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = ran 𝐺
3		vc0.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (GId‘𝐺)
4	1, 2, 3	vczcl 30864	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ CVecOLD → 𝑍 ∈ 𝑋)
5	4	anim2i 628	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑊 ∈ CVecOLD) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ∈ 𝑋))
6	5	ancoms 463	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ∈ 𝑋))
7		0cn 11197	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
8		vc0.2	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (2nd ‘𝑊)
9	1, 8, 2	vcass 30859	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ∈ 𝑋)) → ((𝐴 · 0)𝑆𝑍) = (𝐴𝑆(0𝑆𝑍)))
10	7, 9	mp3anr2 1485	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ∈ 𝑋)) → ((𝐴 · 0)𝑆𝑍) = (𝐴𝑆(0𝑆𝑍)))
11	6, 10	syldan 602	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 0)𝑆𝑍) = (𝐴𝑆(0𝑆𝑍)))
12		mul01 11388	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
13	12	oveq1d 7426	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 0)𝑆𝑍) = (0𝑆𝑍))
14	1, 8, 2, 3	vc0 30866	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) → (0𝑆𝑍) = 𝑍)
15	4, 14	mpdan 699	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ CVecOLD → (0𝑆𝑍) = 𝑍)
16	13, 15	sylan9eqr 2826	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 0)𝑆𝑍) = 𝑍)
17	15	oveq2d 7427	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ CVecOLD → (𝐴𝑆(0𝑆𝑍)) = (𝐴𝑆𝑍))
18	17	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴𝑆(0𝑆𝑍)) = (𝐴𝑆𝑍))
19	11, 16, 18	3eqtr3rd 2813	1 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴𝑆𝑍) = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ran crn 5663  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  1^st c1st 7983  2^nd c2nd 7984  ℂcc 11097  0cc0 11099   · cmul 11104  GIdcgi 30782  CVec_OLDcvc 30850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-ltxr 11247  df-grpo 30785  df-gid 30786  df-ginv 30787  df-ablo 30837  df-vc 30851

This theorem is referenced by:  nvsz  30930