Theorem vcz 30908

Description: Anything times the zero vector is the zero vector. Equation 1b of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 24-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
vc0.1	⊢ 𝐺 = (1st ‘𝑊)
vc0.2	⊢ 𝑆 = (2nd ‘𝑊)
vc0.3	⊢ 𝑋 = ran 𝐺
vc0.4	⊢ 𝑍 = (GId‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vcz	⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴𝑆𝑍) = 𝑍)

Proof of Theorem vcz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vc0.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (1st ‘𝑊)
2		vc0.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = ran 𝐺
3		vc0.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (GId‘𝐺)
4	1, 2, 3	vczcl 30905	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ CVecOLD → 𝑍 ∈ 𝑋)
5	4	anim2i 628	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑊 ∈ CVecOLD) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ∈ 𝑋))
6	5	ancoms 463	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ∈ 𝑋))
7		0cn 11199	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
8		vc0.2	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (2nd ‘𝑊)
9	1, 8, 2	vcass 30900	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ∈ 𝑋)) → ((𝐴 · 0)𝑆𝑍) = (𝐴𝑆(0𝑆𝑍)))
10	7, 9	mp3anr2 1488	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ∈ 𝑋)) → ((𝐴 · 0)𝑆𝑍) = (𝐴𝑆(0𝑆𝑍)))
11	6, 10	syldan 602	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 0)𝑆𝑍) = (𝐴𝑆(0𝑆𝑍)))
12		mul01 11390	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
13	12	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 0)𝑆𝑍) = (0𝑆𝑍))
14	1, 8, 2, 3	vc0 30907	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) → (0𝑆𝑍) = 𝑍)
15	4, 14	mpdan 699	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ CVecOLD → (0𝑆𝑍) = 𝑍)
16	13, 15	sylan9eqr 2820	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 0)𝑆𝑍) = 𝑍)
17	15	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ CVecOLD → (𝐴𝑆(0𝑆𝑍)) = (𝐴𝑆𝑍))
18	17	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴𝑆(0𝑆𝑍)) = (𝐴𝑆𝑍))
19	11, 16, 18	3eqtr3rd 2807	1 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴𝑆𝑍) = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ran crn 5664  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  1^st c1st 7985  2^nd c2nd 7986  ℂcc 11099  0cc0 11101   · cmul 11106  GIdcgi 30823  CVec_OLDcvc 30891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-grpo 30826  df-gid 30827  df-ginv 30828  df-ablo 30878  df-vc 30892

This theorem is referenced by:  nvsz  30971