MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vcz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vcz 27758
Description: Anything times the zero vector is the zero vector. Equation 1b of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 24-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
vc0.1 𝐺 = (1st𝑊)
vc0.2 𝑆 = (2nd𝑊)
vc0.3 𝑋 = ran 𝐺
vc0.4 𝑍 = (GId‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vcz ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴𝑆𝑍) = 𝑍)

Proof of Theorem vcz
StepHypRef Expression
1 vc0.1 . . . . . 6 𝐺 = (1st𝑊)
2 vc0.3 . . . . . 6 𝑋 = ran 𝐺
3 vc0.4 . . . . . 6 𝑍 = (GId‘𝐺)
41, 2, 3vczcl 27755 . . . . 5 (𝑊 ∈ CVecOLD𝑍𝑋)
54anim2i 605 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑊 ∈ CVecOLD) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑍𝑋))
65ancoms 448 . . 3 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑍𝑋))
7 0cn 10317 . . . 4 0 ∈ ℂ
8 vc0.2 . . . . 5 𝑆 = (2nd𝑊)
91, 8, 2vcass 27750 . . . 4 ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑍𝑋)) → ((𝐴 · 0)𝑆𝑍) = (𝐴𝑆(0𝑆𝑍)))
107, 9mp3anr2 1576 . . 3 ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑍𝑋)) → ((𝐴 · 0)𝑆𝑍) = (𝐴𝑆(0𝑆𝑍)))
116, 10syldan 581 . 2 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 0)𝑆𝑍) = (𝐴𝑆(0𝑆𝑍)))
12 mul01 10500 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
1312oveq1d 6889 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 0)𝑆𝑍) = (0𝑆𝑍))
141, 8, 2, 3vc0 27757 . . . 4 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝑍𝑋) → (0𝑆𝑍) = 𝑍)
154, 14mpdan 670 . . 3 (𝑊 ∈ CVecOLD → (0𝑆𝑍) = 𝑍)
1613, 15sylan9eqr 2862 . 2 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 0)𝑆𝑍) = 𝑍)
1715oveq2d 6890 . . 3 (𝑊 ∈ CVecOLD → (𝐴𝑆(0𝑆𝑍)) = (𝐴𝑆𝑍))
1817adantr 468 . 2 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴𝑆(0𝑆𝑍)) = (𝐴𝑆𝑍))
1911, 16, 183eqtr3rd 2849 1 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴𝑆𝑍) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2156  ran crn 5312  cfv 6101  (class class class)co 6874  1st c1st 7396  2nd c2nd 7397  cc 10219  0cc0 10221   · cmul 10226  GIdcgi 27673  CVecOLDcvc 27741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5219  df-po 5232  df-so 5233  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6835  df-ov 6877  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-er 7979  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-ltxr 10364  df-grpo 27676  df-gid 27677  df-ginv 27678  df-ablo 27728  df-vc 27742
This theorem is referenced by:  nvsz  27821
  Copyright terms: Public domain W3C validator