MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wfrresex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wfrresex 8362
Description: Show without using the axiom of replacement that the restriction of the well-ordered recursion generator to a predecessor class is a set. (Contributed by Scott Fenton, 18-Nov-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
wfrfun.1 𝐹 = wrecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)
Assertion
Ref Expression
wfrresex (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ∈ V)

Proof of Theorem wfrresex
StepHypRef Expression
1 wefr 5672 . . . 4 (𝑅 We 𝐴𝑅 Fr 𝐴)
21adantr 479 . . 3 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Fr 𝐴)
3 weso 5673 . . . . 5 (𝑅 We 𝐴𝑅 Or 𝐴)
4 sopo 5613 . . . . 5 (𝑅 Or 𝐴𝑅 Po 𝐴)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝑅 We 𝐴𝑅 Po 𝐴)
65adantr 479 . . 3 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Po 𝐴)
7 simpr 483 . . 3 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Se 𝐴)
82, 6, 73jca 1125 . 2 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴))
9 wfrfun.1 . . . 4 𝐹 = wrecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)
10 df-wrecs 8326 . . . 4 wrecs(𝑅, 𝐴, 𝐺) = frecs(𝑅, 𝐴, (𝐺 ∘ 2nd ))
119, 10eqtri 2756 . . 3 𝐹 = frecs(𝑅, 𝐴, (𝐺 ∘ 2nd ))
1211fprresex 8324 . 2 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ∈ V)
138, 12sylan 578 1 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3473   Po wpo 5592   Or wor 5593   Fr wfr 5634   Se wse 5635   We wwe 5636  dom cdm 5682  cres 5684  ccom 5686  Predcpred 6309  2nd c2nd 8000  frecscfrecs 8294  wrecscwrecs 8325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-fv 6561  df-ov 7429  df-frecs 8295  df-wrecs 8326
This theorem is referenced by:  wfr2a  8363
  Copyright terms: Public domain W3C validator