Theorem wfrresex 8334

Description: Show without using the axiom of replacement that the restriction of the well-ordered recursion generator to a predecessor class is a set. (Contributed by Scott Fenton, 18-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
wfrfun.1	⊢ 𝐹 = wrecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wfrresex	⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ∈ V)

Proof of Theorem wfrresex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wefr 5659	. . . 4 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Fr 𝐴)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Fr 𝐴)
3		weso 5660	. . . . 5 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Or 𝐴)
4		sopo 5600	. . . . 5 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Po 𝐴)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Po 𝐴)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Po 𝐴)
7		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Se 𝐴)
8	2, 6, 7	3jca 1125	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴))
9		wfrfun.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = wrecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)
10		df-wrecs 8298	. . . 4 ⊢ wrecs(𝑅, 𝐴, 𝐺) = frecs(𝑅, 𝐴, (𝐺 ∘ 2nd ))
11	9, 10	eqtri 2754	. . 3 ⊢ 𝐹 = frecs(𝑅, 𝐴, (𝐺 ∘ 2nd ))
12	11	fprresex 8296	. 2 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ∈ V)
13	8, 12	sylan 579	1 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   Po wpo 5579   Or wor 5580   Fr wfr 5621   Se wse 5622   We wwe 5623  dom cdm 5669   ↾ cres 5671   ∘ ccom 5673  Predcpred 6293  2^nd c2nd 7973  frecscfrecs 8266  wrecscwrecs 8297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-fv 6545  df-ov 7408  df-frecs 8267  df-wrecs 8298

This theorem is referenced by:  wfr2a  8335