Theorem wfrresex 8326

Description: Show without using the axiom of replacement that the restriction of the well-ordered recursion generator to a predecessor class is a set. (Contributed by Scott Fenton, 18-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
wfrfun.1	⊢ 𝐹 = wrecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wfrresex	⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ∈ V)

Proof of Theorem wfrresex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wefr 5649	. . . 4 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Fr 𝐴)
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Fr 𝐴)
3		weso 5650	. . . . 5 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Or 𝐴)
4		sopo 5586	. . . . 5 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Po 𝐴)
5	3, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Po 𝐴)
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Po 𝐴)
7		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Se 𝐴)
8	2, 6, 7	3jca 1146	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴))
9		wfrfun.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = wrecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)
10		df-wrecs 8314	. . . 4 ⊢ wrecs(𝑅, 𝐴, 𝐺) = frecs(𝑅, 𝐴, (𝐺 ∘ 2nd ))
11	9, 10	eqtri 2785	. . 3 ⊢ 𝐹 = frecs(𝑅, 𝐴, (𝐺 ∘ 2nd ))
12	11	fprresex 8312	. 2 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ∈ V)
13	8, 12	sylan 592	1 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   Po wpo 5565   Or wor 5566   Fr wfr 5609   Se wse 5610   We wwe 5611  dom cdm 5659   ↾ cres 5661   ∘ ccom 5663  Predcpred 6302  2^nd c2nd 7988  frecscfrecs 8282  wrecscwrecs 8313

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-fv 6545  df-ov 7419  df-frecs 8283  df-wrecs 8314

This theorem is used by:  wfr2a  8327