Theorem wfr2a 8304

Description: A weak version of wfr2 8306 which is useful for proofs that avoid the Axiom of Replacement. (Contributed by Scott Fenton, 30-Jul-2020.) (Proof shortened by Scott Fenton, 18-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
wfrfun.1	⊢ 𝐹 = wrecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wfr2a	⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑋) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))))

Proof of Theorem wfr2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wefr 5628	. . . . 5 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Fr 𝐴)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Fr 𝐴)
3		weso 5629	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Or 𝐴)
4		sopo 5565	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Po 𝐴)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Po 𝐴)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Po 𝐴)
7		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Se 𝐴)
8	2, 6, 7	3jca 1128	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴))
9		wfrfun.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = wrecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)
10		df-wrecs 8291	. . . . 5 ⊢ wrecs(𝑅, 𝐴, 𝐺) = frecs(𝑅, 𝐴, (𝐺 ∘ 2nd ))
11	9, 10	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ 𝐹 = frecs(𝑅, 𝐴, (𝐺 ∘ 2nd ))
12	11	fpr2a 8281	. . 3 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑋) = (𝑋(𝐺 ∘ 2nd )(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))))
13	8, 12	sylan 580	. 2 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑋) = (𝑋(𝐺 ∘ 2nd )(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))))
14		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → 𝑋 ∈ dom 𝐹)
15	9	wfrresex 8303	. . 3 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ∈ V)
16	14, 15	opco2 8103	. 2 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → (𝑋(𝐺 ∘ 2nd )(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))))
17	13, 16	eqtrd 2764	1 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑋) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   Po wpo 5544   Or wor 5545   Fr wfr 5588   Se wse 5589   We wwe 5590  dom cdm 5638   ↾ cres 5640   ∘ ccom 5642  Predcpred 6273  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  2^nd c2nd 7967  frecscfrecs 8259  wrecscwrecs 8290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fo 6517  df-fv 6519  df-ov 7390  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291

This theorem is referenced by:  wfr2  8306