Theorem wfr2a 8265

Description: A weak version of wfr2 8267 which is useful for proofs that avoid the Axiom of Replacement. (Contributed by Scott Fenton, 30-Jul-2020.) (Proof shortened by Scott Fenton, 18-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
wfrfun.1	⊢ 𝐹 = wrecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wfr2a	⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑋) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))))

Proof of Theorem wfr2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wefr 5613	. . . . 5 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Fr 𝐴)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Fr 𝐴)
3		weso 5614	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Or 𝐴)
4		sopo 5550	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Po 𝐴)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Po 𝐴)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Po 𝐴)
7		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Se 𝐴)
8	2, 6, 7	3jca 1128	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴))
9		wfrfun.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = wrecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)
10		df-wrecs 8252	. . . . 5 ⊢ wrecs(𝑅, 𝐴, 𝐺) = frecs(𝑅, 𝐴, (𝐺 ∘ 2nd ))
11	9, 10	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ 𝐹 = frecs(𝑅, 𝐴, (𝐺 ∘ 2nd ))
12	11	fpr2a 8242	. . 3 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑋) = (𝑋(𝐺 ∘ 2nd )(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))))
13	8, 12	sylan 580	. 2 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑋) = (𝑋(𝐺 ∘ 2nd )(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))))
14		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → 𝑋 ∈ dom 𝐹)
15	9	wfrresex 8264	. . 3 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ∈ V)
16	14, 15	opco2 8064	. 2 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → (𝑋(𝐺 ∘ 2nd )(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))))
17	13, 16	eqtrd 2764	1 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑋) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   Po wpo 5529   Or wor 5530   Fr wfr 5573   Se wse 5574   We wwe 5575  dom cdm 5623   ↾ cres 5625   ∘ ccom 5627  Predcpred 6252  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  2^nd c2nd 7930  frecscfrecs 8220  wrecscwrecs 8251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fo 6492  df-fv 6494  df-ov 7356  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252

This theorem is referenced by:  wfr2  8267