Theorem wfr2a 8348

Description: A weak version of wfr2 8350 which is useful for proofs that avoid the Axiom of Replacement. (Contributed by Scott Fenton, 30-Jul-2020.) (Proof shortened by Scott Fenton, 18-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
wfrfun.1	⊢ 𝐹 = wrecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wfr2a	⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑋) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))))

Proof of Theorem wfr2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wefr 5644	. . . . 5 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Fr 𝐴)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Fr 𝐴)
3		weso 5645	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Or 𝐴)
4		sopo 5580	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Po 𝐴)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Po 𝐴)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Po 𝐴)
7		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Se 𝐴)
8	2, 6, 7	3jca 1128	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴))
9		wfrfun.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = wrecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)
10		df-wrecs 8311	. . . . 5 ⊢ wrecs(𝑅, 𝐴, 𝐺) = frecs(𝑅, 𝐴, (𝐺 ∘ 2nd ))
11	9, 10	eqtri 2758	. . . 4 ⊢ 𝐹 = frecs(𝑅, 𝐴, (𝐺 ∘ 2nd ))
12	11	fpr2a 8301	. . 3 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑋) = (𝑋(𝐺 ∘ 2nd )(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))))
13	8, 12	sylan 580	. 2 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑋) = (𝑋(𝐺 ∘ 2nd )(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))))
14		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → 𝑋 ∈ dom 𝐹)
15	9	wfrresex 8347	. . 3 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ∈ V)
16	14, 15	opco2 8123	. 2 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → (𝑋(𝐺 ∘ 2nd )(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))))
17	13, 16	eqtrd 2770	1 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑋) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   Po wpo 5559   Or wor 5560   Fr wfr 5603   Se wse 5604   We wwe 5605  dom cdm 5654   ↾ cres 5656   ∘ ccom 5658  Predcpred 6289  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  2^nd c2nd 7987  frecscfrecs 8279  wrecscwrecs 8310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fo 6537  df-fv 6539  df-ov 7408  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311

This theorem is referenced by:  wfr2  8350