MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wfr2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wfr2a 8330
Description: A weak version of wfr2 8332 which is useful for proofs that avoid the Axiom of Replacement. (Contributed by Scott Fenton, 30-Jul-2020.) (Proof shortened by Scott Fenton, 18-Nov-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
wfrfun.1 𝐹 = wrecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)
Assertion
Ref Expression
wfr2a (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑋) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))))

Proof of Theorem wfr2a
StepHypRef Expression
1 wefr 5657 . . . . 5 (𝑅 We 𝐴𝑅 Fr 𝐴)
21adantr 480 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Fr 𝐴)
3 weso 5658 . . . . . 6 (𝑅 We 𝐴𝑅 Or 𝐴)
4 sopo 5598 . . . . . 6 (𝑅 Or 𝐴𝑅 Po 𝐴)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝑅 We 𝐴𝑅 Po 𝐴)
65adantr 480 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Po 𝐴)
7 simpr 484 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Se 𝐴)
82, 6, 73jca 1125 . . 3 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴))
9 wfrfun.1 . . . . 5 𝐹 = wrecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)
10 df-wrecs 8293 . . . . 5 wrecs(𝑅, 𝐴, 𝐺) = frecs(𝑅, 𝐴, (𝐺 ∘ 2nd ))
119, 10eqtri 2752 . . . 4 𝐹 = frecs(𝑅, 𝐴, (𝐺 ∘ 2nd ))
1211fpr2a 8283 . . 3 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑋) = (𝑋(𝐺 ∘ 2nd )(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))))
138, 12sylan 579 . 2 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑋) = (𝑋(𝐺 ∘ 2nd )(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))))
14 simpr 484 . . 3 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → 𝑋 ∈ dom 𝐹)
159wfrresex 8329 . . 3 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ∈ V)
1614, 15opco2 8105 . 2 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → (𝑋(𝐺 ∘ 2nd )(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))))
1713, 16eqtrd 2764 1 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑋) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3466   Po wpo 5577   Or wor 5578   Fr wfr 5619   Se wse 5620   We wwe 5621  dom cdm 5667  cres 5669  ccom 5671  Predcpred 6290  cfv 6534  (class class class)co 7402  2nd c2nd 7968  frecscfrecs 8261  wrecscwrecs 8292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-fo 6540  df-fv 6542  df-ov 7405  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293
This theorem is referenced by:  wfr2  8332
  Copyright terms: Public domain W3C validator