MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmet0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmet0 24368
Description: The distance function of a metric space is zero if its arguments are equal. Definition 14-1.1(a) of [Gleason] p. 223. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmet0 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐷𝐴) = 0)

Proof of Theorem xmet0
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . 2 𝐴 = 𝐴
2 xmeteq0 24364 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑋) → ((𝐴𝐷𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐴))
323anidm23 1420 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐴𝐷𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐴))
41, 3mpbiri 258 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐷𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  ∞Metcxmet 21367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-xr 11297  df-xmet 21375
This theorem is referenced by:  met0  24369  xmetge0  24370  xmetsym  24373  xmetpsmet  24374  xblcntr  24437  ssbl  24449  xmeter  24459  ubthlem2  30900  sitmcl  34333
  Copyright terms: Public domain W3C validator