MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmet0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmet0 24353
Description: The distance function of a metric space is zero if its arguments are equal. Definition 14-1.1(a) of [Gleason] p. 223. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmet0 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐷𝐴) = 0)

Proof of Theorem xmet0
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . 2 𝐴 = 𝐴
2 xmeteq0 24349 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑋) → ((𝐴𝐷𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐴))
323anidm23 1422 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐴𝐷𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐴))
41, 3mpbiri 258 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐷𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  cfv 6560  (class class class)co 7432  0cc0 11156  ∞Metcxmet 21350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-map 8869  df-xr 11300  df-xmet 21358
This theorem is referenced by:  met0  24354  xmetge0  24355  xmetsym  24358  xmetpsmet  24359  xblcntr  24422  ssbl  24434  xmeter  24444  ubthlem2  30891  sitmcl  34354
  Copyright terms: Public domain W3C validator