Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sitmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sitmcl 32062
Description: Closure of the integral distance between two simple functions, for an extended metric space. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitmcl.0 (𝜑𝑊 ∈ Mnd)
sitmcl.1 (𝜑𝑊 ∈ ∞MetSp)
sitmcl.2 (𝜑𝑀 ran measures)
sitmcl.3 (𝜑𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
sitmcl.4 (𝜑𝐺 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
Assertion
Ref Expression
sitmcl (𝜑 → (𝐹(𝑊sitm𝑀)𝐺) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem sitmcl
Dummy variables 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2739 . . 3 (dist‘𝑊) = (dist‘𝑊)
2 sitmcl.1 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ ∞MetSp)
3 sitmcl.2 . . 3 (𝜑𝑀 ran measures)
4 sitmcl.3 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
5 sitmcl.4 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
61, 2, 3, 4, 5sitmfval 32061 . 2 (𝜑 → (𝐹(𝑊sitm𝑀)𝐺) = (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝐹f (dist‘𝑊)𝐺)))
7 xrge0base 31045 . . 3 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
8 xrge0topn 31639 . . . 4 (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
98eqcomi 2748 . . 3 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
10 eqid 2739 . . 3 (sigaGen‘((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))) = (sigaGen‘((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
11 xrge00 31046 . . 3 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
12 ovex 7268 . . . 4 (0[,]+∞) ∈ V
13 eqid 2739 . . . . 5 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
14 ax-xrsvsca 31034 . . . . 5 ·e = ( ·𝑠 ‘ℝ*𝑠)
1513, 14ressvsca 16910 . . . 4 ((0[,]+∞) ∈ V → ·e = ( ·𝑠 ‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))
1612, 15ax-mp 5 . . 3 ·e = ( ·𝑠 ‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
17 ax-xrssca 31033 . . . . . 6 fld = (Scalar‘ℝ*𝑠)
1813, 17resssca 16909 . . . . 5 ((0[,]+∞) ∈ V → ℝfld = (Scalar‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))
1912, 18ax-mp 5 . . . 4 fld = (Scalar‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
2019fveq2i 6742 . . 3 (ℝHom‘ℝfld) = (ℝHom‘(Scalar‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))
21 ovexd 7270 . . 3 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ V)
22 eqid 2739 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
23 eqid 2739 . . . . . . 7 (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊)
24 eqid 2739 . . . . . . 7 (sigaGen‘(TopOpen‘𝑊)) = (sigaGen‘(TopOpen‘𝑊))
25 eqid 2739 . . . . . . 7 (0g𝑊) = (0g𝑊)
26 eqid 2739 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
27 eqid 2739 . . . . . . 7 (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)) = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
2822, 23, 24, 25, 26, 27, 2, 3, 4sibff 32047 . . . . . 6 (𝜑𝐹: dom 𝑀 (TopOpen‘𝑊))
29 xmstps 23383 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ∞MetSp → 𝑊 ∈ TopSp)
3022, 23tpsuni 21865 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ TopSp → (Base‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊))
312, 29, 303syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊))
32 feq3 6550 . . . . . . 7 ((Base‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊) → (𝐹: dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐹: dom 𝑀 (TopOpen‘𝑊)))
3331, 32syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹: dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐹: dom 𝑀 (TopOpen‘𝑊)))
3428, 33mpbird 260 . . . . 5 (𝜑𝐹: dom 𝑀⟶(Base‘𝑊))
3522, 23, 24, 25, 26, 27, 2, 3, 5sibff 32047 . . . . . 6 (𝜑𝐺: dom 𝑀 (TopOpen‘𝑊))
36 feq3 6550 . . . . . . 7 ((Base‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊) → (𝐺: dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐺: dom 𝑀 (TopOpen‘𝑊)))
3731, 36syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺: dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐺: dom 𝑀 (TopOpen‘𝑊)))
3835, 37mpbird 260 . . . . 5 (𝜑𝐺: dom 𝑀⟶(Base‘𝑊))
39 dmexg 7703 . . . . . 6 (𝑀 ran measures → dom 𝑀 ∈ V)
40 uniexg 7550 . . . . . 6 (dom 𝑀 ∈ V → dom 𝑀 ∈ V)
413, 39, 403syl 18 . . . . 5 (𝜑 dom 𝑀 ∈ V)
4234, 38, 41ofresid 30730 . . . 4 (𝜑 → (𝐹f (dist‘𝑊)𝐺) = (𝐹f ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝐺))
432, 29syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
44 eqid 2739 . . . . . . . 8 ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) = ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))
4522, 44xmsxmet 23386 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ∞MetSp → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)))
46 xmetpsmet 23278 . . . . . . 7 (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)) → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (PsMet‘(Base‘𝑊)))
472, 45, 463syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (PsMet‘(Base‘𝑊)))
48 psmetxrge0 23243 . . . . . 6 (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (PsMet‘(Base‘𝑊)) → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))):((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))⟶(0[,]+∞))
4947, 48syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))):((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))⟶(0[,]+∞))
50 xrge0tps 31638 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
5150a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
5223, 22, 44xmstopn 23381 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ∞MetSp → (TopOpen‘𝑊) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))
532, 52syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (TopOpen‘𝑊) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))
54 eqid 2739 . . . . . . . . 9 (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))
5554methaus 23450 . . . . . . . 8 (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)) → (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) ∈ Haus)
562, 45, 553syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) ∈ Haus)
5753, 56eqeltrd 2840 . . . . . 6 (𝜑 → (TopOpen‘𝑊) ∈ Haus)
58 haust1 22281 . . . . . 6 ((TopOpen‘𝑊) ∈ Haus → (TopOpen‘𝑊) ∈ Fre)
5957, 58syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (TopOpen‘𝑊) ∈ Fre)
602, 45syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)))
61 sitmcl.0 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ Mnd)
6222, 25mndidcl 18221 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Mnd → (0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
6361, 62syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
64 xmet0 23272 . . . . . . 7 ((((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)) ∧ (0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊)) → ((0g𝑊)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(0g𝑊)) = 0)
6560, 63, 64syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → ((0g𝑊)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(0g𝑊)) = 0)
6665, 11eqtrdi 2796 . . . . 5 (𝜑 → ((0g𝑊)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(0g𝑊)) = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))
6722, 23, 24, 25, 26, 27, 2, 3, 4, 7, 43, 49, 5, 51, 59, 66sibfof 32051 . . . 4 (𝜑 → (𝐹f ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝐺) ∈ dom ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞))sitg𝑀))
6842, 67eqeltrd 2840 . . 3 (𝜑 → (𝐹f (dist‘𝑊)𝐺) ∈ dom ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞))sitg𝑀))
69 rebase 20601 . . . . 5 ℝ = (Base‘ℝfld)
7069, 69xpeq12i 5597 . . . 4 (ℝ × ℝ) = ((Base‘ℝfld) × (Base‘ℝfld))
7170reseq2i 5866 . . 3 ((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘ℝfld) ↾ ((Base‘ℝfld) × (Base‘ℝfld)))
72 xrge0cmn 20438 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
7372a1i 11 . . 3 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
74 rerrext 31703 . . . . 5 fld ∈ ℝExt
7519, 74eqeltrri 2837 . . . 4 (Scalar‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) ∈ ℝExt
7675a1i 11 . . 3 (𝜑 → (Scalar‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) ∈ ℝExt )
77 rrhre 31715 . . . . . . . . 9 (ℝHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℝ)
7877imaeq1i 5944 . . . . . . . 8 ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) = (( I ↾ ℝ) “ (0[,)+∞))
79 0re 10865 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
80 pnfxr 10917 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
81 icossre 13046 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (0[,)+∞) ⊆ ℝ)
8279, 80, 81mp2an 692 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
83 resiima 5962 . . . . . . . . 9 ((0[,)+∞) ⊆ ℝ → (( I ↾ ℝ) “ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞))
8482, 83ax-mp 5 . . . . . . . 8 (( I ↾ ℝ) “ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞)
8578, 84eqtri 2767 . . . . . . 7 ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞)
86 icossicc 13054 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
8785, 86eqsstri 3952 . . . . . 6 ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ⊆ (0[,]+∞)
8887sseli 3913 . . . . 5 (𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) → 𝑚 ∈ (0[,]+∞))
89883ad2ant2 1136 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑚 ∈ (0[,]+∞))
90 simp3 1140 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
91 ge0xmulcl 13081 . . . 4 ((𝑚 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑚 ·e 𝑥) ∈ (0[,]+∞))
9289, 90, 91syl2anc 587 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑚 ·e 𝑥) ∈ (0[,]+∞))
937, 9, 10, 11, 16, 20, 21, 3, 68, 19, 71, 51, 73, 76, 92sitgclg 32053 . 2 (𝜑 → (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝐹f (dist‘𝑊)𝐺)) ∈ (0[,]+∞))
946, 93eqeltrd 2840 1 (𝜑 → (𝐹(𝑊sitm𝑀)𝐺) ∈ (0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2112  Vcvv 3423  wss 3883   cuni 4836   I cid 5471   × cxp 5567  dom cdm 5569  ran crn 5570  cres 5571  cima 5572  wf 6397  cfv 6401  (class class class)co 7235  f cof 7489  cr 10758  0cc0 10759  +∞cpnf 10894  *cxr 10896  cle 10898   ·e cxmu 12733  [,)cico 12967  [,]cicc 12968  Basecbs 16793  s cress 16817  Scalarcsca 16838   ·𝑠 cvsca 16839  distcds 16844  t crest 16958  TopOpenctopn 16959  0gc0g 16977  ordTopcordt 17037  *𝑠cxrs 17038  Mndcmnd 18206  CMndccmn 19203  PsMetcpsmet 20380  ∞Metcxmet 20381  MetOpencmopn 20386  fldcrefld 20599  TopSpctps 21861  Frect1 22236  Hauscha 22237  ∞MetSpcxms 23247  ℝHomcrrh 31687   ℝExt crrext 31688  sigaGencsigagen 31850  measurescmeas 31907  sitmcsitm 32039  sitgcsitg 32040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-rep 5196  ax-sep 5209  ax-nul 5216  ax-pow 5275  ax-pr 5339  ax-un 7545  ax-inf2 9286  ax-ac2 10107  ax-cnex 10815  ax-resscn 10816  ax-1cn 10817  ax-icn 10818  ax-addcl 10819  ax-addrcl 10820  ax-mulcl 10821  ax-mulrcl 10822  ax-mulcom 10823  ax-addass 10824  ax-mulass 10825  ax-distr 10826  ax-i2m1 10827  ax-1ne0 10828  ax-1rid 10829  ax-rnegex 10830  ax-rrecex 10831  ax-cnre 10832  ax-pre-lttri 10833  ax-pre-lttrn 10834  ax-pre-ltadd 10835  ax-pre-mulgt0 10836  ax-pre-sup 10837  ax-addf 10838  ax-mulf 10839  ax-xrssca 31033  ax-xrsvsca 31034
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-tr 5179  df-id 5472  df-eprel 5478  df-po 5486  df-so 5487  df-fr 5527  df-se 5528  df-we 5529  df-xp 5575  df-rel 5576  df-cnv 5577  df-co 5578  df-dm 5579  df-rn 5580  df-res 5581  df-ima 5582  df-pred 6179  df-ord 6237  df-on 6238  df-lim 6239  df-suc 6240  df-iota 6359  df-fun 6403  df-fn 6404  df-f 6405  df-f1 6406  df-fo 6407  df-f1o 6408  df-fv 6409  df-isom 6410  df-riota 7192  df-ov 7238  df-oprab 7239  df-mpo 7240  df-of 7491  df-om 7667  df-1st 7783  df-2nd 7784  df-supp 7928  df-tpos 7992  df-wrecs 8071  df-recs 8132  df-rdg 8170  df-1o 8226  df-2o 8227  df-er 8415  df-map 8534  df-pm 8535  df-ixp 8603  df-en 8651  df-dom 8652  df-sdom 8653  df-fin 8654  df-fsupp 9016  df-fi 9057  df-sup 9088  df-inf 9089  df-oi 9156  df-dju 9547  df-card 9585  df-acn 9588  df-ac 9760  df-pnf 10899  df-mnf 10900  df-xr 10901  df-ltxr 10902  df-le 10903  df-sub 11094  df-neg 11095  df-div 11520  df-nn 11861  df-2 11923  df-3 11924  df-4 11925  df-5 11926  df-6 11927  df-7 11928  df-8 11929  df-9 11930  df-n0 12121  df-z 12207  df-dec 12324  df-uz 12469  df-q 12575  df-rp 12617  df-xneg 12734  df-xadd 12735  df-xmul 12736  df-ioo 12969  df-ioc 12970  df-ico 12971  df-icc 12972  df-fz 13126  df-fzo 13269  df-fl 13397  df-mod 13475  df-seq 13607  df-exp 13668  df-fac 13873  df-bc 13902  df-hash 13930  df-shft 14663  df-cj 14695  df-re 14696  df-im 14697  df-sqrt 14831  df-abs 14832  df-limsup 15065  df-clim 15082  df-rlim 15083  df-sum 15283  df-ef 15662  df-sin 15664  df-cos 15665  df-pi 15667  df-dvds 15849  df-gcd 16087  df-numer 16324  df-denom 16325  df-gz 16516  df-struct 16733  df-sets 16750  df-slot 16768  df-ndx 16778  df-base 16794  df-ress 16818  df-plusg 16848  df-mulr 16849  df-starv 16850  df-sca 16851  df-vsca 16852  df-ip 16853  df-tset 16854  df-ple 16855  df-ds 16857  df-unif 16858  df-hom 16859  df-cco 16860  df-rest 16960  df-topn 16961  df-0g 16979  df-gsum 16980  df-topgen 16981  df-pt 16982  df-prds 16985  df-ordt 17039  df-xrs 17040  df-qtop 17045  df-imas 17046  df-xps 17048  df-mre 17122  df-mrc 17123  df-acs 17125  df-proset 17835  df-poset 17853  df-plt 17869  df-toset 17956  df-ps 18105  df-tsr 18106  df-plusf 18146  df-mgm 18147  df-sgrp 18196  df-mnd 18207  df-mhm 18251  df-submnd 18252  df-grp 18401  df-minusg 18402  df-sbg 18403  df-mulg 18522  df-subg 18573  df-ghm 18653  df-cntz 18744  df-od 18953  df-cmn 19205  df-abl 19206  df-mgp 19538  df-ur 19550  df-ring 19597  df-cring 19598  df-oppr 19674  df-dvdsr 19692  df-unit 19693  df-invr 19723  df-dvr 19734  df-rnghom 19768  df-drng 19802  df-field 19803  df-subrg 19831  df-abv 19886  df-lmod 19934  df-scaf 19935  df-sra 20242  df-rgmod 20243  df-nzr 20329  df-psmet 20388  df-xmet 20389  df-met 20390  df-bl 20391  df-mopn 20392  df-fbas 20393  df-fg 20394  df-metu 20395  df-cnfld 20397  df-zring 20469  df-zrh 20503  df-zlm 20504  df-chr 20505  df-refld 20600  df-top 21823  df-topon 21840  df-topsp 21862  df-bases 21875  df-cld 21948  df-ntr 21949  df-cls 21950  df-nei 22027  df-lp 22065  df-perf 22066  df-cn 22156  df-cnp 22157  df-t1 22243  df-haus 22244  df-reg 22245  df-cmp 22316  df-tx 22491  df-hmeo 22684  df-fil 22775  df-fm 22867  df-flim 22868  df-flf 22869  df-fcls 22870  df-cnext 22989  df-tmd 23001  df-tgp 23002  df-tsms 23056  df-trg 23089  df-ust 23130  df-utop 23161  df-uss 23186  df-usp 23187  df-ucn 23205  df-cfilu 23216  df-cusp 23227  df-xms 23250  df-ms 23251  df-tms 23252  df-nm 23512  df-ngp 23513  df-nrg 23515  df-nlm 23516  df-ii 23806  df-cncf 23807  df-cfil 24184  df-cmet 24186  df-cms 24264  df-limc 24795  df-dv 24796  df-log 25477  df-omnd 31076  df-ogrp 31077  df-orng 31247  df-ofld 31248  df-qqh 31667  df-rrh 31689  df-rrext 31693  df-esum 31740  df-siga 31821  df-sigagen 31851  df-meas 31908  df-mbfm 31962  df-sitg 32041  df-sitm 32042
This theorem is referenced by:  sitmf  32063
  Copyright terms: Public domain W3C validator