Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sitmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sitmcl 34102
Description: Closure of the integral distance between two simple functions, for an extended metric space. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitmcl.0 (𝜑𝑊 ∈ Mnd)
sitmcl.1 (𝜑𝑊 ∈ ∞MetSp)
sitmcl.2 (𝜑𝑀 ran measures)
sitmcl.3 (𝜑𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
sitmcl.4 (𝜑𝐺 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
Assertion
Ref Expression
sitmcl (𝜑 → (𝐹(𝑊sitm𝑀)𝐺) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem sitmcl
Dummy variables 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . 3 (dist‘𝑊) = (dist‘𝑊)
2 sitmcl.1 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ ∞MetSp)
3 sitmcl.2 . . 3 (𝜑𝑀 ran measures)
4 sitmcl.3 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
5 sitmcl.4 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
61, 2, 3, 4, 5sitmfval 34101 . 2 (𝜑 → (𝐹(𝑊sitm𝑀)𝐺) = (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝐹f (dist‘𝑊)𝐺)))
7 xrge0base 32830 . . 3 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
8 xrge0topn 33675 . . . 4 (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
98eqcomi 2734 . . 3 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
10 eqid 2725 . . 3 (sigaGen‘((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))) = (sigaGen‘((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
11 xrge00 32831 . . 3 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
12 ovex 7452 . . . 4 (0[,]+∞) ∈ V
13 eqid 2725 . . . . 5 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
14 ax-xrsvsca 32821 . . . . 5 ·e = ( ·𝑠 ‘ℝ*𝑠)
1513, 14ressvsca 17328 . . . 4 ((0[,]+∞) ∈ V → ·e = ( ·𝑠 ‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))
1612, 15ax-mp 5 . . 3 ·e = ( ·𝑠 ‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
17 ax-xrssca 32820 . . . . . 6 fld = (Scalar‘ℝ*𝑠)
1813, 17resssca 17327 . . . . 5 ((0[,]+∞) ∈ V → ℝfld = (Scalar‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))
1912, 18ax-mp 5 . . . 4 fld = (Scalar‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
2019fveq2i 6899 . . 3 (ℝHom‘ℝfld) = (ℝHom‘(Scalar‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))
21 ovexd 7454 . . 3 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ V)
22 eqid 2725 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
23 eqid 2725 . . . . . . 7 (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊)
24 eqid 2725 . . . . . . 7 (sigaGen‘(TopOpen‘𝑊)) = (sigaGen‘(TopOpen‘𝑊))
25 eqid 2725 . . . . . . 7 (0g𝑊) = (0g𝑊)
26 eqid 2725 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
27 eqid 2725 . . . . . . 7 (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)) = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
2822, 23, 24, 25, 26, 27, 2, 3, 4sibff 34087 . . . . . 6 (𝜑𝐹: dom 𝑀 (TopOpen‘𝑊))
29 xmstps 24403 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ∞MetSp → 𝑊 ∈ TopSp)
3022, 23tpsuni 22882 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ TopSp → (Base‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊))
312, 29, 303syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊))
32 feq3 6706 . . . . . . 7 ((Base‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊) → (𝐹: dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐹: dom 𝑀 (TopOpen‘𝑊)))
3331, 32syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹: dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐹: dom 𝑀 (TopOpen‘𝑊)))
3428, 33mpbird 256 . . . . 5 (𝜑𝐹: dom 𝑀⟶(Base‘𝑊))
3522, 23, 24, 25, 26, 27, 2, 3, 5sibff 34087 . . . . . 6 (𝜑𝐺: dom 𝑀 (TopOpen‘𝑊))
36 feq3 6706 . . . . . . 7 ((Base‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊) → (𝐺: dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐺: dom 𝑀 (TopOpen‘𝑊)))
3731, 36syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺: dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐺: dom 𝑀 (TopOpen‘𝑊)))
3835, 37mpbird 256 . . . . 5 (𝜑𝐺: dom 𝑀⟶(Base‘𝑊))
39 dmexg 7909 . . . . . 6 (𝑀 ran measures → dom 𝑀 ∈ V)
40 uniexg 7746 . . . . . 6 (dom 𝑀 ∈ V → dom 𝑀 ∈ V)
413, 39, 403syl 18 . . . . 5 (𝜑 dom 𝑀 ∈ V)
4234, 38, 41ofresid 32509 . . . 4 (𝜑 → (𝐹f (dist‘𝑊)𝐺) = (𝐹f ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝐺))
432, 29syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
44 eqid 2725 . . . . . . . 8 ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) = ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))
4522, 44xmsxmet 24406 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ∞MetSp → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)))
46 xmetpsmet 24298 . . . . . . 7 (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)) → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (PsMet‘(Base‘𝑊)))
472, 45, 463syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (PsMet‘(Base‘𝑊)))
48 psmetxrge0 24263 . . . . . 6 (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (PsMet‘(Base‘𝑊)) → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))):((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))⟶(0[,]+∞))
4947, 48syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))):((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))⟶(0[,]+∞))
50 xrge0tps 33674 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
5150a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
5223, 22, 44xmstopn 24401 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ∞MetSp → (TopOpen‘𝑊) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))
532, 52syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (TopOpen‘𝑊) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))
54 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))
5554methaus 24473 . . . . . . . 8 (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)) → (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) ∈ Haus)
562, 45, 553syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) ∈ Haus)
5753, 56eqeltrd 2825 . . . . . 6 (𝜑 → (TopOpen‘𝑊) ∈ Haus)
58 haust1 23300 . . . . . 6 ((TopOpen‘𝑊) ∈ Haus → (TopOpen‘𝑊) ∈ Fre)
5957, 58syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (TopOpen‘𝑊) ∈ Fre)
602, 45syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)))
61 sitmcl.0 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ Mnd)
6222, 25mndidcl 18712 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Mnd → (0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
6361, 62syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
64 xmet0 24292 . . . . . . 7 ((((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)) ∧ (0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊)) → ((0g𝑊)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(0g𝑊)) = 0)
6560, 63, 64syl2anc 582 . . . . . 6 (𝜑 → ((0g𝑊)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(0g𝑊)) = 0)
6665, 11eqtrdi 2781 . . . . 5 (𝜑 → ((0g𝑊)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(0g𝑊)) = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))
6722, 23, 24, 25, 26, 27, 2, 3, 4, 7, 43, 49, 5, 51, 59, 66sibfof 34091 . . . 4 (𝜑 → (𝐹f ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝐺) ∈ dom ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞))sitg𝑀))
6842, 67eqeltrd 2825 . . 3 (𝜑 → (𝐹f (dist‘𝑊)𝐺) ∈ dom ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞))sitg𝑀))
69 rebase 21555 . . . . 5 ℝ = (Base‘ℝfld)
7069, 69xpeq12i 5706 . . . 4 (ℝ × ℝ) = ((Base‘ℝfld) × (Base‘ℝfld))
7170reseq2i 5982 . . 3 ((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘ℝfld) ↾ ((Base‘ℝfld) × (Base‘ℝfld)))
72 xrge0cmn 21358 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
7372a1i 11 . . 3 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
74 rerrext 33741 . . . . 5 fld ∈ ℝExt
7519, 74eqeltrri 2822 . . . 4 (Scalar‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) ∈ ℝExt
7675a1i 11 . . 3 (𝜑 → (Scalar‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) ∈ ℝExt )
77 rrhre 33753 . . . . . . . . 9 (ℝHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℝ)
7877imaeq1i 6061 . . . . . . . 8 ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) = (( I ↾ ℝ) “ (0[,)+∞))
79 0re 11248 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
80 pnfxr 11300 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
81 icossre 13440 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (0[,)+∞) ⊆ ℝ)
8279, 80, 81mp2an 690 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
83 resiima 6080 . . . . . . . . 9 ((0[,)+∞) ⊆ ℝ → (( I ↾ ℝ) “ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞))
8482, 83ax-mp 5 . . . . . . . 8 (( I ↾ ℝ) “ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞)
8578, 84eqtri 2753 . . . . . . 7 ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞)
86 icossicc 13448 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
8785, 86eqsstri 4011 . . . . . 6 ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ⊆ (0[,]+∞)
8887sseli 3972 . . . . 5 (𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) → 𝑚 ∈ (0[,]+∞))
89883ad2ant2 1131 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑚 ∈ (0[,]+∞))
90 simp3 1135 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
91 ge0xmulcl 13475 . . . 4 ((𝑚 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑚 ·e 𝑥) ∈ (0[,]+∞))
9289, 90, 91syl2anc 582 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑚 ·e 𝑥) ∈ (0[,]+∞))
937, 9, 10, 11, 16, 20, 21, 3, 68, 19, 71, 51, 73, 76, 92sitgclg 34093 . 2 (𝜑 → (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝐹f (dist‘𝑊)𝐺)) ∈ (0[,]+∞))
946, 93eqeltrd 2825 1 (𝜑 → (𝐹(𝑊sitm𝑀)𝐺) ∈ (0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3461  wss 3944   cuni 4909   I cid 5575   × cxp 5676  dom cdm 5678  ran crn 5679  cres 5680  cima 5681  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  f cof 7683  cr 11139  0cc0 11140  +∞cpnf 11277  *cxr 11279  cle 11281   ·e cxmu 13126  [,)cico 13361  [,]cicc 13362  Basecbs 17183  s cress 17212  Scalarcsca 17239   ·𝑠 cvsca 17240  distcds 17245  t crest 17405  TopOpenctopn 17406  0gc0g 17424  ordTopcordt 17484  *𝑠cxrs 17485  Mndcmnd 18697  CMndccmn 19747  PsMetcpsmet 21280  ∞Metcxmet 21281  MetOpencmopn 21286  fldcrefld 21553  TopSpctps 22878  Frect1 23255  Hauscha 23256  ∞MetSpcxms 24267  ℝHomcrrh 33725   ℝExt crrext 33726  sigaGencsigagen 33888  measurescmeas 33945  sitmcsitm 34079  sitgcsitg 34080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-ac2 10488  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219  ax-mulf 11220  ax-xrssca 32820  ax-xrsvsca 32821
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-dju 9926  df-card 9964  df-acn 9967  df-ac 10141  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ioo 13363  df-ioc 13364  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-mod 13871  df-seq 14003  df-exp 14063  df-fac 14269  df-bc 14298  df-hash 14326  df-shft 15050  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-limsup 15451  df-clim 15468  df-rlim 15469  df-sum 15669  df-ef 16047  df-sin 16049  df-cos 16050  df-pi 16052  df-dvds 16235  df-gcd 16473  df-numer 16710  df-denom 16711  df-gz 16902  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-hom 17260  df-cco 17261  df-rest 17407  df-topn 17408  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-topgen 17428  df-pt 17429  df-prds 17432  df-ordt 17486  df-xrs 17487  df-qtop 17492  df-imas 17493  df-xps 17495  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-proset 18290  df-poset 18308  df-plt 18325  df-toset 18412  df-ps 18561  df-tsr 18562  df-plusf 18602  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-mulg 19032  df-subg 19086  df-ghm 19176  df-cntz 19280  df-od 19495  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-oppr 20285  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-dvr 20352  df-rhm 20423  df-nzr 20464  df-subrng 20495  df-subrg 20520  df-drng 20638  df-field 20639  df-abv 20709  df-lmod 20757  df-scaf 20758  df-sra 21070  df-rgmod 21071  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-metu 21295  df-cnfld 21297  df-zring 21390  df-zrh 21446  df-zlm 21447  df-chr 21448  df-refld 21554  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-lp 23084  df-perf 23085  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-t1 23262  df-haus 23263  df-reg 23264  df-cmp 23335  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-fcls 23889  df-cnext 24008  df-tmd 24020  df-tgp 24021  df-tsms 24075  df-trg 24108  df-ust 24149  df-utop 24180  df-uss 24205  df-usp 24206  df-ucn 24225  df-cfilu 24236  df-cusp 24247  df-xms 24270  df-ms 24271  df-tms 24272  df-nm 24535  df-ngp 24536  df-nrg 24538  df-nlm 24539  df-ii 24841  df-cncf 24842  df-cfil 25227  df-cmet 25229  df-cms 25307  df-limc 25839  df-dv 25840  df-log 26535  df-omnd 32869  df-ogrp 32870  df-orng 33111  df-ofld 33112  df-qqh 33705  df-rrh 33727  df-rrext 33731  df-esum 33778  df-siga 33859  df-sigagen 33889  df-meas 33946  df-mbfm 34000  df-sitg 34081  df-sitm 34082
This theorem is referenced by:  sitmf  34103
  Copyright terms: Public domain W3C validator