Theorem sitmcl 34332

Description: Closure of the integral distance between two simple functions, for an extended metric space. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Feb-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
sitmcl.0	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Mnd)
sitmcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ∞MetSp)
sitmcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
sitmcl.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
sitmcl.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))

Assertion

Ref	Expression
sitmcl	⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑊sitm𝑀)𝐺) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem sitmcl

Dummy variables 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . 3 ⊢ (dist‘𝑊) = (dist‘𝑊)
2		sitmcl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ∞MetSp)
3		sitmcl.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
4		sitmcl.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
5		sitmcl.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
6	1, 2, 3, 4, 5	sitmfval 34331	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑊sitm𝑀)𝐺) = (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝐹 ∘f (dist‘𝑊)𝐺)))
7		xrge0base 32998	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
8		xrge0topn 33903	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
9	8	eqcomi 2743	. . 3 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
10		eqid 2734	. . 3 ⊢ (sigaGen‘((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))) = (sigaGen‘((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
11		xrge00 32999	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
12		ovex 7463	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
13		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
14		ax-xrsvsca 32989	. . . . 5 ⊢ ·e = ( ·𝑠 ‘ℝ*𝑠)
15	13, 14	ressvsca 17389	. . . 4 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ V → ·e = ( ·𝑠 ‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
16	12, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ·e = ( ·𝑠 ‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
17		ax-xrssca 32988	. . . . . 6 ⊢ ℝfld = (Scalar‘ℝ*𝑠)
18	13, 17	resssca 17388	. . . . 5 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ V → ℝfld = (Scalar‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
19	12, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℝfld = (Scalar‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
20	19	fveq2i 6909	. . 3 ⊢ (ℝHom‘ℝfld) = (ℝHom‘(Scalar‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
21		ovexd 7465	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ V)
22		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
23		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊)
24		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (sigaGen‘(TopOpen‘𝑊)) = (sigaGen‘(TopOpen‘𝑊))
25		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
26		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
27		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)) = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
28	22, 23, 24, 25, 26, 27, 2, 3, 4	sibff 34317	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ dom 𝑀⟶∪ (TopOpen‘𝑊))
29		xmstps 24478	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ∞MetSp → 𝑊 ∈ TopSp)
30	22, 23	tpsuni 22957	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ TopSp → (Base‘𝑊) = ∪ (TopOpen‘𝑊))
31	2, 29, 30	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = ∪ (TopOpen‘𝑊))
32		feq3 6718	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘𝑊) = ∪ (TopOpen‘𝑊) → (𝐹:∪ dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐹:∪ dom 𝑀⟶∪ (TopOpen‘𝑊)))
33	31, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:∪ dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐹:∪ dom 𝑀⟶∪ (TopOpen‘𝑊)))
34	28, 33	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ dom 𝑀⟶(Base‘𝑊))
35	22, 23, 24, 25, 26, 27, 2, 3, 5	sibff 34317	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:∪ dom 𝑀⟶∪ (TopOpen‘𝑊))
36		feq3 6718	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘𝑊) = ∪ (TopOpen‘𝑊) → (𝐺:∪ dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐺:∪ dom 𝑀⟶∪ (TopOpen‘𝑊)))
37	31, 36	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺:∪ dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐺:∪ dom 𝑀⟶∪ (TopOpen‘𝑊)))
38	35, 37	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:∪ dom 𝑀⟶(Base‘𝑊))
39		dmexg 7923	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ∪ ran measures → dom 𝑀 ∈ V)
40		uniexg 7758	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑀 ∈ V → ∪ dom 𝑀 ∈ V)
41	3, 39, 40	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑀 ∈ V)
42	34, 38, 41	ofresid 32658	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f (dist‘𝑊)𝐺) = (𝐹 ∘f ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝐺))
43	2, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ TopSp)
44		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) = ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))
45	22, 44	xmsxmet 24481	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ∞MetSp → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)))
46		xmetpsmet 24373	. . . . . . 7 ⊢ (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)) → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (PsMet‘(Base‘𝑊)))
47	2, 45, 46	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (PsMet‘(Base‘𝑊)))
48		psmetxrge0 24338	. . . . . 6 ⊢ (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (PsMet‘(Base‘𝑊)) → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))):((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))⟶(0[,]+∞))
49	47, 48	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))):((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))⟶(0[,]+∞))
50		xrge0tps 33902	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
51	50	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
52	23, 22, 44	xmstopn 24476	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ∞MetSp → (TopOpen‘𝑊) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))
53	2, 52	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝑊) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))
54		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))
55	54	methaus 24548	. . . . . . . 8 ⊢ (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)) → (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) ∈ Haus)
56	2, 45, 55	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) ∈ Haus)
57	53, 56	eqeltrd 2838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝑊) ∈ Haus)
58		haust1 23375	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘𝑊) ∈ Haus → (TopOpen‘𝑊) ∈ Fre)
59	57, 58	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝑊) ∈ Fre)
60	2, 45	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)))
61		sitmcl.0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Mnd)
62	22, 25	mndidcl 18774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Mnd → (0g‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
63	61, 62	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
64		xmet0 24367	. . . . . . 7 ⊢ ((((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)) ∧ (0g‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊)) → ((0g‘𝑊)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(0g‘𝑊)) = 0)
65	60, 63, 64	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑊)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(0g‘𝑊)) = 0)
66	65, 11	eqtrdi 2790	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑊)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(0g‘𝑊)) = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
67	22, 23, 24, 25, 26, 27, 2, 3, 4, 7, 43, 49, 5, 51, 59, 66	sibfof 34321	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝐺) ∈ dom ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))sitg𝑀))
68	42, 67	eqeltrd 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f (dist‘𝑊)𝐺) ∈ dom ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))sitg𝑀))
69		rebase 21641	. . . . 5 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
70	69, 69	xpeq12i 5716	. . . 4 ⊢ (ℝ × ℝ) = ((Base‘ℝfld) × (Base‘ℝfld))
71	70	reseq2i 5996	. . 3 ⊢ ((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘ℝfld) ↾ ((Base‘ℝfld) × (Base‘ℝfld)))
72		xrge0cmn 21443	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
73	72	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
74		rerrext 33971	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ ℝExt
75	19, 74	eqeltrri 2835	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) ∈ ℝExt
76	75	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) ∈ ℝExt )
77		rrhre 33983	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℝ)
78	77	imaeq1i 6076	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) = (( I ↾ ℝ) “ (0[,)+∞))
79		0re 11260	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
80		pnfxr 11312	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
81		icossre 13464	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (0[,)+∞) ⊆ ℝ)
82	79, 80, 81	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
83		resiima 6095	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℝ → (( I ↾ ℝ) “ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞))
84	82, 83	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ ℝ) “ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞)
85	78, 84	eqtri 2762	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞)
86		icossicc 13472	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
87	85, 86	eqsstri 4029	. . . . . 6 ⊢ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ⊆ (0[,]+∞)
88	87	sseli 3990	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) → 𝑚 ∈ (0[,]+∞))
89	88	3ad2ant2 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑚 ∈ (0[,]+∞))
90		simp3 1137	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
91		ge0xmulcl 13499	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑚 ·e 𝑥) ∈ (0[,]+∞))
92	89, 90, 91	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑚 ·e 𝑥) ∈ (0[,]+∞))
93	7, 9, 10, 11, 16, 20, 21, 3, 68, 19, 71, 51, 73, 76, 92	sitgclg 34323	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝐹 ∘f (dist‘𝑊)𝐺)) ∈ (0[,]+∞))
94	6, 93	eqeltrd 2838	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑊sitm𝑀)𝐺) ∈ (0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  Vcvv 3477   ⊆ wss 3962  ∪ cuni 4911   I cid 5581   × cxp 5686  dom cdm 5688  ran crn 5689   ↾ cres 5690   “ cima 5691  ⟶wf 6558  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430   ∘_f cof 7694  ℝcr 11151  0cc0 11152  +∞cpnf 11289  ℝ^*cxr 11291   ≤ cle 11293   ·_e cxmu 13150  [,)cico 13385  [,]cicc 13386  Basecbs 17244   ↾_s cress 17273  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  distcds 17306   ↾_t crest 17466  TopOpenctopn 17467  0_gc0g 17485  ordTopcordt 17545  ℝ^*_𝑠cxrs 17546  Mndcmnd 18759  CMndccmn 19812  PsMetcpsmet 21365  ∞Metcxmet 21366  MetOpencmopn 21371  ℝ_fldcrefld 21639  TopSpctps 22953  Frect1 23330  Hauscha 23331  ∞MetSpcxms 24342  ℝHomcrrh 33955   ℝExt crrext 33956  sigaGencsigagen 34118  measurescmeas 34175  sitmcsitm 34309  sitgcsitg 34310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-ac2 10500  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232  ax-xrssca 32988  ax-xrsvsca 32989

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-acn 9979  df-ac 10153  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-numer 16768  df-denom 16769  df-gz 16963  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-ordt 17547  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18387  df-toset 18474  df-ps 18623  df-tsr 18624  df-plusf 18664  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-ghm 19243  df-cntz 19347  df-od 19560  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-dvr 20417  df-rhm 20488  df-nzr 20529  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-drng 20747  df-field 20748  df-abv 20826  df-lmod 20876  df-scaf 20877  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-metu 21380  df-cnfld 21382  df-zring 21475  df-zrh 21531  df-zlm 21532  df-chr 21533  df-refld 21640  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-t1 23337  df-haus 23338  df-reg 23339  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-fcls 23964  df-cnext 24083  df-tmd 24095  df-tgp 24096  df-tsms 24150  df-trg 24183  df-ust 24224  df-utop 24255  df-uss 24280  df-usp 24281  df-ucn 24300  df-cfilu 24311  df-cusp 24322  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-nm 24610  df-ngp 24611  df-nrg 24613  df-nlm 24614  df-ii 24916  df-cncf 24917  df-cfil 25302  df-cmet 25304  df-cms 25382  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26612  df-omnd 33058  df-ogrp 33059  df-orng 33306  df-ofld 33307  df-qqh 33933  df-rrh 33957  df-rrext 33961  df-esum 34008  df-siga 34089  df-sigagen 34119  df-meas 34176  df-mbfm 34230  df-sitg 34311  df-sitm 34312

This theorem is referenced by:  sitmf  34333