Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sitmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sitmcl 34353
Description: Closure of the integral distance between two simple functions, for an extended metric space. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitmcl.0 (𝜑𝑊 ∈ Mnd)
sitmcl.1 (𝜑𝑊 ∈ ∞MetSp)
sitmcl.2 (𝜑𝑀 ran measures)
sitmcl.3 (𝜑𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
sitmcl.4 (𝜑𝐺 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
Assertion
Ref Expression
sitmcl (𝜑 → (𝐹(𝑊sitm𝑀)𝐺) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem sitmcl
Dummy variables 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 (dist‘𝑊) = (dist‘𝑊)
2 sitmcl.1 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ ∞MetSp)
3 sitmcl.2 . . 3 (𝜑𝑀 ran measures)
4 sitmcl.3 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
5 sitmcl.4 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
61, 2, 3, 4, 5sitmfval 34352 . 2 (𝜑 → (𝐹(𝑊sitm𝑀)𝐺) = (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝐹f (dist‘𝑊)𝐺)))
7 xrge0base 33016 . . 3 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
8 xrge0topn 33942 . . . 4 (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
98eqcomi 2746 . . 3 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
10 eqid 2737 . . 3 (sigaGen‘((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))) = (sigaGen‘((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
11 xrge00 33017 . . 3 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
12 ovex 7464 . . . 4 (0[,]+∞) ∈ V
13 eqid 2737 . . . . 5 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
14 ax-xrsvsca 33007 . . . . 5 ·e = ( ·𝑠 ‘ℝ*𝑠)
1513, 14ressvsca 17388 . . . 4 ((0[,]+∞) ∈ V → ·e = ( ·𝑠 ‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))
1612, 15ax-mp 5 . . 3 ·e = ( ·𝑠 ‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
17 ax-xrssca 33006 . . . . . 6 fld = (Scalar‘ℝ*𝑠)
1813, 17resssca 17387 . . . . 5 ((0[,]+∞) ∈ V → ℝfld = (Scalar‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))
1912, 18ax-mp 5 . . . 4 fld = (Scalar‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
2019fveq2i 6909 . . 3 (ℝHom‘ℝfld) = (ℝHom‘(Scalar‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))
21 ovexd 7466 . . 3 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ V)
22 eqid 2737 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
23 eqid 2737 . . . . . . 7 (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊)
24 eqid 2737 . . . . . . 7 (sigaGen‘(TopOpen‘𝑊)) = (sigaGen‘(TopOpen‘𝑊))
25 eqid 2737 . . . . . . 7 (0g𝑊) = (0g𝑊)
26 eqid 2737 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
27 eqid 2737 . . . . . . 7 (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)) = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
2822, 23, 24, 25, 26, 27, 2, 3, 4sibff 34338 . . . . . 6 (𝜑𝐹: dom 𝑀 (TopOpen‘𝑊))
29 xmstps 24463 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ∞MetSp → 𝑊 ∈ TopSp)
3022, 23tpsuni 22942 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ TopSp → (Base‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊))
312, 29, 303syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊))
32 feq3 6718 . . . . . . 7 ((Base‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊) → (𝐹: dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐹: dom 𝑀 (TopOpen‘𝑊)))
3331, 32syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹: dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐹: dom 𝑀 (TopOpen‘𝑊)))
3428, 33mpbird 257 . . . . 5 (𝜑𝐹: dom 𝑀⟶(Base‘𝑊))
3522, 23, 24, 25, 26, 27, 2, 3, 5sibff 34338 . . . . . 6 (𝜑𝐺: dom 𝑀 (TopOpen‘𝑊))
36 feq3 6718 . . . . . . 7 ((Base‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊) → (𝐺: dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐺: dom 𝑀 (TopOpen‘𝑊)))
3731, 36syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺: dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐺: dom 𝑀 (TopOpen‘𝑊)))
3835, 37mpbird 257 . . . . 5 (𝜑𝐺: dom 𝑀⟶(Base‘𝑊))
39 dmexg 7923 . . . . . 6 (𝑀 ran measures → dom 𝑀 ∈ V)
40 uniexg 7760 . . . . . 6 (dom 𝑀 ∈ V → dom 𝑀 ∈ V)
413, 39, 403syl 18 . . . . 5 (𝜑 dom 𝑀 ∈ V)
4234, 38, 41ofresid 32652 . . . 4 (𝜑 → (𝐹f (dist‘𝑊)𝐺) = (𝐹f ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝐺))
432, 29syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
44 eqid 2737 . . . . . . . 8 ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) = ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))
4522, 44xmsxmet 24466 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ∞MetSp → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)))
46 xmetpsmet 24358 . . . . . . 7 (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)) → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (PsMet‘(Base‘𝑊)))
472, 45, 463syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (PsMet‘(Base‘𝑊)))
48 psmetxrge0 24323 . . . . . 6 (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (PsMet‘(Base‘𝑊)) → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))):((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))⟶(0[,]+∞))
4947, 48syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))):((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))⟶(0[,]+∞))
50 xrge0tps 33941 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
5150a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
5223, 22, 44xmstopn 24461 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ∞MetSp → (TopOpen‘𝑊) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))
532, 52syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (TopOpen‘𝑊) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))
54 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))
5554methaus 24533 . . . . . . . 8 (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)) → (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) ∈ Haus)
562, 45, 553syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) ∈ Haus)
5753, 56eqeltrd 2841 . . . . . 6 (𝜑 → (TopOpen‘𝑊) ∈ Haus)
58 haust1 23360 . . . . . 6 ((TopOpen‘𝑊) ∈ Haus → (TopOpen‘𝑊) ∈ Fre)
5957, 58syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (TopOpen‘𝑊) ∈ Fre)
602, 45syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)))
61 sitmcl.0 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ Mnd)
6222, 25mndidcl 18762 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Mnd → (0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
6361, 62syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
64 xmet0 24352 . . . . . . 7 ((((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)) ∧ (0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊)) → ((0g𝑊)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(0g𝑊)) = 0)
6560, 63, 64syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((0g𝑊)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(0g𝑊)) = 0)
6665, 11eqtrdi 2793 . . . . 5 (𝜑 → ((0g𝑊)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(0g𝑊)) = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))
6722, 23, 24, 25, 26, 27, 2, 3, 4, 7, 43, 49, 5, 51, 59, 66sibfof 34342 . . . 4 (𝜑 → (𝐹f ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝐺) ∈ dom ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞))sitg𝑀))
6842, 67eqeltrd 2841 . . 3 (𝜑 → (𝐹f (dist‘𝑊)𝐺) ∈ dom ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞))sitg𝑀))
69 rebase 21624 . . . . 5 ℝ = (Base‘ℝfld)
7069, 69xpeq12i 5713 . . . 4 (ℝ × ℝ) = ((Base‘ℝfld) × (Base‘ℝfld))
7170reseq2i 5994 . . 3 ((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘ℝfld) ↾ ((Base‘ℝfld) × (Base‘ℝfld)))
72 xrge0cmn 21426 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
7372a1i 11 . . 3 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
74 rerrext 34010 . . . . 5 fld ∈ ℝExt
7519, 74eqeltrri 2838 . . . 4 (Scalar‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) ∈ ℝExt
7675a1i 11 . . 3 (𝜑 → (Scalar‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) ∈ ℝExt )
77 rrhre 34022 . . . . . . . . 9 (ℝHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℝ)
7877imaeq1i 6075 . . . . . . . 8 ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) = (( I ↾ ℝ) “ (0[,)+∞))
79 0re 11263 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
80 pnfxr 11315 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
81 icossre 13468 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (0[,)+∞) ⊆ ℝ)
8279, 80, 81mp2an 692 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
83 resiima 6094 . . . . . . . . 9 ((0[,)+∞) ⊆ ℝ → (( I ↾ ℝ) “ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞))
8482, 83ax-mp 5 . . . . . . . 8 (( I ↾ ℝ) “ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞)
8578, 84eqtri 2765 . . . . . . 7 ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞)
86 icossicc 13476 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
8785, 86eqsstri 4030 . . . . . 6 ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ⊆ (0[,]+∞)
8887sseli 3979 . . . . 5 (𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) → 𝑚 ∈ (0[,]+∞))
89883ad2ant2 1135 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑚 ∈ (0[,]+∞))
90 simp3 1139 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
91 ge0xmulcl 13503 . . . 4 ((𝑚 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑚 ·e 𝑥) ∈ (0[,]+∞))
9289, 90, 91syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑚 ·e 𝑥) ∈ (0[,]+∞))
937, 9, 10, 11, 16, 20, 21, 3, 68, 19, 71, 51, 73, 76, 92sitgclg 34344 . 2 (𝜑 → (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝐹f (dist‘𝑊)𝐺)) ∈ (0[,]+∞))
946, 93eqeltrd 2841 1 (𝜑 → (𝐹(𝑊sitm𝑀)𝐺) ∈ (0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  wss 3951   cuni 4907   I cid 5577   × cxp 5683  dom cdm 5685  ran crn 5686  cres 5687  cima 5688  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  cr 11154  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  *cxr 11294  cle 11296   ·e cxmu 13153  [,)cico 13389  [,]cicc 13390  Basecbs 17247  s cress 17274  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  distcds 17306  t crest 17465  TopOpenctopn 17466  0gc0g 17484  ordTopcordt 17544  *𝑠cxrs 17545  Mndcmnd 18747  CMndccmn 19798  PsMetcpsmet 21348  ∞Metcxmet 21349  MetOpencmopn 21354  fldcrefld 21622  TopSpctps 22938  Frect1 23315  Hauscha 23316  ∞MetSpcxms 24327  ℝHomcrrh 33994   ℝExt crrext 33995  sigaGencsigagen 34139  measurescmeas 34196  sitmcsitm 34330  sitgcsitg 34331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235  ax-xrssca 33006  ax-xrsvsca 33007
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-numer 16772  df-denom 16773  df-gz 16968  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-ordt 17546  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-toset 18462  df-ps 18611  df-tsr 18612  df-plusf 18652  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-od 19546  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-rhm 20472  df-nzr 20513  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-field 20732  df-abv 20810  df-lmod 20860  df-scaf 20861  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-metu 21363  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-zrh 21514  df-zlm 21515  df-chr 21516  df-refld 21623  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-t1 23322  df-haus 23323  df-reg 23324  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-fcls 23949  df-cnext 24068  df-tmd 24080  df-tgp 24081  df-tsms 24135  df-trg 24168  df-ust 24209  df-utop 24240  df-uss 24265  df-usp 24266  df-ucn 24285  df-cfilu 24296  df-cusp 24307  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-nrg 24598  df-nlm 24599  df-ii 24903  df-cncf 24904  df-cfil 25289  df-cmet 25291  df-cms 25369  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-omnd 33076  df-ogrp 33077  df-orng 33327  df-ofld 33328  df-qqh 33972  df-rrh 33996  df-rrext 34000  df-esum 34029  df-siga 34110  df-sigagen 34140  df-meas 34197  df-mbfm 34251  df-sitg 34332  df-sitm 34333
This theorem is referenced by:  sitmf  34354
  Copyright terms: Public domain W3C validator