Theorem sitmcl 33339

Description: Closure of the integral distance between two simple functions, for an extended metric space. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Feb-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
sitmcl.0	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Mnd)
sitmcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ∞MetSp)
sitmcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
sitmcl.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
sitmcl.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))

Assertion

Ref	Expression
sitmcl	⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑊sitm𝑀)𝐺) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem sitmcl

Dummy variables 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ (dist‘𝑊) = (dist‘𝑊)
2		sitmcl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ∞MetSp)
3		sitmcl.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
4		sitmcl.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
5		sitmcl.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
6	1, 2, 3, 4, 5	sitmfval 33338	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑊sitm𝑀)𝐺) = (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝐹 ∘f (dist‘𝑊)𝐺)))
7		xrge0base 32174	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
8		xrge0topn 32912	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
9	8	eqcomi 2742	. . 3 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
10		eqid 2733	. . 3 ⊢ (sigaGen‘((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))) = (sigaGen‘((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
11		xrge00 32175	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
12		ovex 7439	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
13		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
14		ax-xrsvsca 32163	. . . . 5 ⊢ ·e = ( ·𝑠 ‘ℝ*𝑠)
15	13, 14	ressvsca 17286	. . . 4 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ V → ·e = ( ·𝑠 ‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
16	12, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ·e = ( ·𝑠 ‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
17		ax-xrssca 32162	. . . . . 6 ⊢ ℝfld = (Scalar‘ℝ*𝑠)
18	13, 17	resssca 17285	. . . . 5 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ V → ℝfld = (Scalar‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
19	12, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℝfld = (Scalar‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
20	19	fveq2i 6892	. . 3 ⊢ (ℝHom‘ℝfld) = (ℝHom‘(Scalar‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
21		ovexd 7441	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ V)
22		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
23		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊)
24		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (sigaGen‘(TopOpen‘𝑊)) = (sigaGen‘(TopOpen‘𝑊))
25		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
26		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
27		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)) = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
28	22, 23, 24, 25, 26, 27, 2, 3, 4	sibff 33324	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ dom 𝑀⟶∪ (TopOpen‘𝑊))
29		xmstps 23951	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ∞MetSp → 𝑊 ∈ TopSp)
30	22, 23	tpsuni 22430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ TopSp → (Base‘𝑊) = ∪ (TopOpen‘𝑊))
31	2, 29, 30	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = ∪ (TopOpen‘𝑊))
32		feq3 6698	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘𝑊) = ∪ (TopOpen‘𝑊) → (𝐹:∪ dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐹:∪ dom 𝑀⟶∪ (TopOpen‘𝑊)))
33	31, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:∪ dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐹:∪ dom 𝑀⟶∪ (TopOpen‘𝑊)))
34	28, 33	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ dom 𝑀⟶(Base‘𝑊))
35	22, 23, 24, 25, 26, 27, 2, 3, 5	sibff 33324	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:∪ dom 𝑀⟶∪ (TopOpen‘𝑊))
36		feq3 6698	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘𝑊) = ∪ (TopOpen‘𝑊) → (𝐺:∪ dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐺:∪ dom 𝑀⟶∪ (TopOpen‘𝑊)))
37	31, 36	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺:∪ dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐺:∪ dom 𝑀⟶∪ (TopOpen‘𝑊)))
38	35, 37	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:∪ dom 𝑀⟶(Base‘𝑊))
39		dmexg 7891	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ∪ ran measures → dom 𝑀 ∈ V)
40		uniexg 7727	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑀 ∈ V → ∪ dom 𝑀 ∈ V)
41	3, 39, 40	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑀 ∈ V)
42	34, 38, 41	ofresid 31855	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f (dist‘𝑊)𝐺) = (𝐹 ∘f ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝐺))
43	2, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ TopSp)
44		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) = ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))
45	22, 44	xmsxmet 23954	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ∞MetSp → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)))
46		xmetpsmet 23846	. . . . . . 7 ⊢ (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)) → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (PsMet‘(Base‘𝑊)))
47	2, 45, 46	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (PsMet‘(Base‘𝑊)))
48		psmetxrge0 23811	. . . . . 6 ⊢ (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (PsMet‘(Base‘𝑊)) → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))):((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))⟶(0[,]+∞))
49	47, 48	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))):((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))⟶(0[,]+∞))
50		xrge0tps 32911	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
51	50	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
52	23, 22, 44	xmstopn 23949	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ∞MetSp → (TopOpen‘𝑊) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))
53	2, 52	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝑊) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))
54		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))
55	54	methaus 24021	. . . . . . . 8 ⊢ (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)) → (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) ∈ Haus)
56	2, 45, 55	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) ∈ Haus)
57	53, 56	eqeltrd 2834	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝑊) ∈ Haus)
58		haust1 22848	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘𝑊) ∈ Haus → (TopOpen‘𝑊) ∈ Fre)
59	57, 58	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝑊) ∈ Fre)
60	2, 45	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)))
61		sitmcl.0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Mnd)
62	22, 25	mndidcl 18637	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Mnd → (0g‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
63	61, 62	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
64		xmet0 23840	. . . . . . 7 ⊢ ((((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)) ∧ (0g‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊)) → ((0g‘𝑊)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(0g‘𝑊)) = 0)
65	60, 63, 64	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑊)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(0g‘𝑊)) = 0)
66	65, 11	eqtrdi 2789	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑊)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(0g‘𝑊)) = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
67	22, 23, 24, 25, 26, 27, 2, 3, 4, 7, 43, 49, 5, 51, 59, 66	sibfof 33328	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝐺) ∈ dom ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))sitg𝑀))
68	42, 67	eqeltrd 2834	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f (dist‘𝑊)𝐺) ∈ dom ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))sitg𝑀))
69		rebase 21151	. . . . 5 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
70	69, 69	xpeq12i 5704	. . . 4 ⊢ (ℝ × ℝ) = ((Base‘ℝfld) × (Base‘ℝfld))
71	70	reseq2i 5977	. . 3 ⊢ ((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘ℝfld) ↾ ((Base‘ℝfld) × (Base‘ℝfld)))
72		xrge0cmn 20980	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
73	72	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
74		rerrext 32978	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ ℝExt
75	19, 74	eqeltrri 2831	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) ∈ ℝExt
76	75	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) ∈ ℝExt )
77		rrhre 32990	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℝ)
78	77	imaeq1i 6055	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) = (( I ↾ ℝ) “ (0[,)+∞))
79		0re 11213	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
80		pnfxr 11265	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
81		icossre 13402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (0[,)+∞) ⊆ ℝ)
82	79, 80, 81	mp2an 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
83		resiima 6073	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℝ → (( I ↾ ℝ) “ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞))
84	82, 83	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ ℝ) “ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞)
85	78, 84	eqtri 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞)
86		icossicc 13410	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
87	85, 86	eqsstri 4016	. . . . . 6 ⊢ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ⊆ (0[,]+∞)
88	87	sseli 3978	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) → 𝑚 ∈ (0[,]+∞))
89	88	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑚 ∈ (0[,]+∞))
90		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
91		ge0xmulcl 13437	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑚 ·e 𝑥) ∈ (0[,]+∞))
92	89, 90, 91	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑚 ·e 𝑥) ∈ (0[,]+∞))
93	7, 9, 10, 11, 16, 20, 21, 3, 68, 19, 71, 51, 73, 76, 92	sitgclg 33330	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝐹 ∘f (dist‘𝑊)𝐺)) ∈ (0[,]+∞))
94	6, 93	eqeltrd 2834	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑊sitm𝑀)𝐺) ∈ (0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ⊆ wss 3948  ∪ cuni 4908   I cid 5573   × cxp 5674  dom cdm 5676  ran crn 5677   ↾ cres 5678   “ cima 5679  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406   ∘_f cof 7665  ℝcr 11106  0cc0 11107  +∞cpnf 11242  ℝ^*cxr 11244   ≤ cle 11246   ·_e cxmu 13088  [,)cico 13323  [,]cicc 13324  Basecbs 17141   ↾_s cress 17170  Scalarcsca 17197   ·_𝑠 cvsca 17198  distcds 17203   ↾_t crest 17363  TopOpenctopn 17364  0_gc0g 17382  ordTopcordt 17442  ℝ^*_𝑠cxrs 17443  Mndcmnd 18622  CMndccmn 19643  PsMetcpsmet 20921  ∞Metcxmet 20922  MetOpencmopn 20927  ℝ_fldcrefld 21149  TopSpctps 22426  Frect1 22803  Hauscha 22804  ∞MetSpcxms 23815  ℝHomcrrh 32962   ℝExt crrext 32963  sigaGencsigagen 33125  measurescmeas 33182  sitmcsitm 33316  sitgcsitg 33317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-ac2 10455  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187  ax-xrssca 32162  ax-xrsvsca 32163

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-acn 9934  df-ac 10108  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-pi 16013  df-dvds 16195  df-gcd 16433  df-numer 16668  df-denom 16669  df-gz 16860  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-ordt 17444  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-proset 18245  df-poset 18263  df-plt 18280  df-toset 18367  df-ps 18516  df-tsr 18517  df-plusf 18557  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-mhm 18668  df-submnd 18669  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-sbg 18821  df-mulg 18946  df-subg 18998  df-ghm 19085  df-cntz 19176  df-od 19391  df-cmn 19645  df-abl 19646  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-cring 20053  df-oppr 20143  df-dvdsr 20164  df-unit 20165  df-invr 20195  df-dvr 20208  df-rnghom 20244  df-nzr 20285  df-drng 20310  df-field 20311  df-subrg 20354  df-abv 20418  df-lmod 20466  df-scaf 20467  df-sra 20778  df-rgmod 20779  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-fbas 20934  df-fg 20935  df-metu 20936  df-cnfld 20938  df-zring 21011  df-zrh 21045  df-zlm 21046  df-chr 21047  df-refld 21150  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-nei 22594  df-lp 22632  df-perf 22633  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-t1 22810  df-haus 22811  df-reg 22812  df-cmp 22883  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-fil 23342  df-fm 23434  df-flim 23435  df-flf 23436  df-fcls 23437  df-cnext 23556  df-tmd 23568  df-tgp 23569  df-tsms 23623  df-trg 23656  df-ust 23697  df-utop 23728  df-uss 23753  df-usp 23754  df-ucn 23773  df-cfilu 23784  df-cusp 23795  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-nm 24083  df-ngp 24084  df-nrg 24086  df-nlm 24087  df-ii 24385  df-cncf 24386  df-cfil 24764  df-cmet 24766  df-cms 24844  df-limc 25375  df-dv 25376  df-log 26057  df-omnd 32205  df-ogrp 32206  df-orng 32404  df-ofld 32405  df-qqh 32942  df-rrh 32964  df-rrext 32968  df-esum 33015  df-siga 33096  df-sigagen 33126  df-meas 33183  df-mbfm 33237  df-sitg 33318  df-sitm 33319

This theorem is referenced by:  sitmf  33340