Theorem sitmcl 34335

Description: Closure of the integral distance between two simple functions, for an extended metric space. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Feb-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
sitmcl.0	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Mnd)
sitmcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ∞MetSp)
sitmcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
sitmcl.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
sitmcl.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))

Assertion

Ref	Expression
sitmcl	⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑊sitm𝑀)𝐺) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem sitmcl

Dummy variables 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (dist‘𝑊) = (dist‘𝑊)
2		sitmcl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ∞MetSp)
3		sitmcl.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
4		sitmcl.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
5		sitmcl.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
6	1, 2, 3, 4, 5	sitmfval 34334	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑊sitm𝑀)𝐺) = (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝐹 ∘f (dist‘𝑊)𝐺)))
7		xrge0base 17546	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
8		xrge0topn 33926	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
9	8	eqcomi 2738	. . 3 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
10		eqid 2729	. . 3 ⊢ (sigaGen‘((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))) = (sigaGen‘((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
11		xrge00 32998	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
12		ovex 7402	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
13		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
14		ax-xrsvsca 32989	. . . . 5 ⊢ ·e = ( ·𝑠 ‘ℝ*𝑠)
15	13, 14	ressvsca 17283	. . . 4 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ V → ·e = ( ·𝑠 ‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
16	12, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ·e = ( ·𝑠 ‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
17		ax-xrssca 32988	. . . . . 6 ⊢ ℝfld = (Scalar‘ℝ*𝑠)
18	13, 17	resssca 17282	. . . . 5 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ V → ℝfld = (Scalar‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
19	12, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℝfld = (Scalar‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
20	19	fveq2i 6843	. . 3 ⊢ (ℝHom‘ℝfld) = (ℝHom‘(Scalar‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
21		ovexd 7404	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ V)
22		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
23		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊)
24		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (sigaGen‘(TopOpen‘𝑊)) = (sigaGen‘(TopOpen‘𝑊))
25		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
26		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
27		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)) = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
28	22, 23, 24, 25, 26, 27, 2, 3, 4	sibff 34320	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ dom 𝑀⟶∪ (TopOpen‘𝑊))
29		xmstps 24374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ∞MetSp → 𝑊 ∈ TopSp)
30	22, 23	tpsuni 22856	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ TopSp → (Base‘𝑊) = ∪ (TopOpen‘𝑊))
31	2, 29, 30	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = ∪ (TopOpen‘𝑊))
32		feq3 6650	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘𝑊) = ∪ (TopOpen‘𝑊) → (𝐹:∪ dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐹:∪ dom 𝑀⟶∪ (TopOpen‘𝑊)))
33	31, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:∪ dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐹:∪ dom 𝑀⟶∪ (TopOpen‘𝑊)))
34	28, 33	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ dom 𝑀⟶(Base‘𝑊))
35	22, 23, 24, 25, 26, 27, 2, 3, 5	sibff 34320	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:∪ dom 𝑀⟶∪ (TopOpen‘𝑊))
36		feq3 6650	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘𝑊) = ∪ (TopOpen‘𝑊) → (𝐺:∪ dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐺:∪ dom 𝑀⟶∪ (TopOpen‘𝑊)))
37	31, 36	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺:∪ dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐺:∪ dom 𝑀⟶∪ (TopOpen‘𝑊)))
38	35, 37	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:∪ dom 𝑀⟶(Base‘𝑊))
39		dmexg 7857	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ∪ ran measures → dom 𝑀 ∈ V)
40		uniexg 7696	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑀 ∈ V → ∪ dom 𝑀 ∈ V)
41	3, 39, 40	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑀 ∈ V)
42	34, 38, 41	ofresid 32616	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f (dist‘𝑊)𝐺) = (𝐹 ∘f ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝐺))
43	2, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ TopSp)
44		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) = ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))
45	22, 44	xmsxmet 24377	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ∞MetSp → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)))
46		xmetpsmet 24269	. . . . . . 7 ⊢ (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)) → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (PsMet‘(Base‘𝑊)))
47	2, 45, 46	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (PsMet‘(Base‘𝑊)))
48		psmetxrge0 24234	. . . . . 6 ⊢ (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (PsMet‘(Base‘𝑊)) → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))):((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))⟶(0[,]+∞))
49	47, 48	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))):((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))⟶(0[,]+∞))
50		xrge0tps 33925	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
51	50	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
52	23, 22, 44	xmstopn 24372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ∞MetSp → (TopOpen‘𝑊) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))
53	2, 52	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝑊) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))
54		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))
55	54	methaus 24441	. . . . . . . 8 ⊢ (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)) → (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) ∈ Haus)
56	2, 45, 55	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) ∈ Haus)
57	53, 56	eqeltrd 2828	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝑊) ∈ Haus)
58		haust1 23272	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘𝑊) ∈ Haus → (TopOpen‘𝑊) ∈ Fre)
59	57, 58	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝑊) ∈ Fre)
60	2, 45	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)))
61		sitmcl.0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Mnd)
62	22, 25	mndidcl 18658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Mnd → (0g‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
63	61, 62	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
64		xmet0 24263	. . . . . . 7 ⊢ ((((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)) ∧ (0g‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊)) → ((0g‘𝑊)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(0g‘𝑊)) = 0)
65	60, 63, 64	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑊)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(0g‘𝑊)) = 0)
66	65, 11	eqtrdi 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑊)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(0g‘𝑊)) = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
67	22, 23, 24, 25, 26, 27, 2, 3, 4, 7, 43, 49, 5, 51, 59, 66	sibfof 34324	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝐺) ∈ dom ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))sitg𝑀))
68	42, 67	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f (dist‘𝑊)𝐺) ∈ dom ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))sitg𝑀))
69		rebase 21548	. . . . 5 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
70	69, 69	xpeq12i 5659	. . . 4 ⊢ (ℝ × ℝ) = ((Base‘ℝfld) × (Base‘ℝfld))
71	70	reseq2i 5936	. . 3 ⊢ ((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘ℝfld) ↾ ((Base‘ℝfld) × (Base‘ℝfld)))
72		xrge0cmn 21386	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
73	72	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
74		rerrext 33992	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ ℝExt
75	19, 74	eqeltrri 2825	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) ∈ ℝExt
76	75	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) ∈ ℝExt )
77		rrhre 34004	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℝ)
78	77	imaeq1i 6017	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) = (( I ↾ ℝ) “ (0[,)+∞))
79		0re 11152	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
80		pnfxr 11204	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
81		icossre 13365	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (0[,)+∞) ⊆ ℝ)
82	79, 80, 81	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
83		resiima 6036	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℝ → (( I ↾ ℝ) “ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞))
84	82, 83	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ ℝ) “ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞)
85	78, 84	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞)
86		icossicc 13373	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
87	85, 86	eqsstri 3990	. . . . . 6 ⊢ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ⊆ (0[,]+∞)
88	87	sseli 3939	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) → 𝑚 ∈ (0[,]+∞))
89	88	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑚 ∈ (0[,]+∞))
90		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
91		ge0xmulcl 13400	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑚 ·e 𝑥) ∈ (0[,]+∞))
92	89, 90, 91	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑚 ·e 𝑥) ∈ (0[,]+∞))
93	7, 9, 10, 11, 16, 20, 21, 3, 68, 19, 71, 51, 73, 76, 92	sitgclg 34326	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝐹 ∘f (dist‘𝑊)𝐺)) ∈ (0[,]+∞))
94	6, 93	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑊sitm𝑀)𝐺) ∈ (0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   ⊆ wss 3911  ∪ cuni 4867   I cid 5525   × cxp 5629  dom cdm 5631  ran crn 5632   ↾ cres 5633   “ cima 5634  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∘_f cof 7631  ℝcr 11043  0cc0 11044  +∞cpnf 11181  ℝ^*cxr 11183   ≤ cle 11185   ·_e cxmu 13047  [,)cico 13284  [,]cicc 13285  Basecbs 17155   ↾_s cress 17176  Scalarcsca 17199   ·_𝑠 cvsca 17200  distcds 17205   ↾_t crest 17359  TopOpenctopn 17360  0_gc0g 17378  ordTopcordt 17438  ℝ^*_𝑠cxrs 17439  Mndcmnd 18643  CMndccmn 19694  PsMetcpsmet 21280  ∞Metcxmet 21281  MetOpencmopn 21286  ℝ_fldcrefld 21546  TopSpctps 22852  Frect1 23227  Hauscha 23228  ∞MetSpcxms 24238  ℝHomcrrh 33976   ℝExt crrext 33977  sigaGencsigagen 34121  measurescmeas 34178  sitmcsitm 34312  sitgcsitg 34313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-ac2 10392  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123  ax-mulf 11124  ax-xrssca 32988  ax-xrsvsca 32989

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-dju 9830  df-card 9868  df-acn 9871  df-ac 10045  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-ioc 13287  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-fac 14215  df-bc 14244  df-hash 14272  df-shft 15009  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-limsup 15413  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629  df-ef 16009  df-sin 16011  df-cos 16012  df-pi 16014  df-dvds 16199  df-gcd 16441  df-numer 16681  df-denom 16682  df-gz 16877  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17361  df-topn 17362  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-topgen 17382  df-pt 17383  df-prds 17386  df-ordt 17440  df-xrs 17441  df-qtop 17446  df-imas 17447  df-xps 17449  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-proset 18235  df-poset 18254  df-plt 18269  df-toset 18356  df-ps 18507  df-tsr 18508  df-plusf 18548  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-mhm 18692  df-submnd 18693  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-mulg 18982  df-subg 19037  df-ghm 19127  df-cntz 19231  df-od 19442  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-omnd 20035  df-ogrp 20036  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-cring 20156  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-invr 20308  df-dvr 20321  df-rhm 20392  df-nzr 20433  df-subrng 20466  df-subrg 20490  df-drng 20651  df-field 20652  df-abv 20729  df-orng 20779  df-ofld 20780  df-lmod 20800  df-scaf 20801  df-sra 21112  df-rgmod 21113  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-metu 21295  df-cnfld 21297  df-zring 21389  df-zrh 21445  df-zlm 21446  df-chr 21447  df-refld 21547  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22866  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-lp 23056  df-perf 23057  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-t1 23234  df-haus 23235  df-reg 23236  df-cmp 23307  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-fcls 23861  df-cnext 23980  df-tmd 23992  df-tgp 23993  df-tsms 24047  df-trg 24080  df-ust 24121  df-utop 24152  df-uss 24177  df-usp 24178  df-ucn 24196  df-cfilu 24207  df-cusp 24218  df-xms 24241  df-ms 24242  df-tms 24243  df-nm 24503  df-ngp 24504  df-nrg 24506  df-nlm 24507  df-ii 24803  df-cncf 24804  df-cfil 25188  df-cmet 25190  df-cms 25268  df-limc 25800  df-dv 25801  df-log 26498  df-qqh 33954  df-rrh 33978  df-rrext 33982  df-esum 34011  df-siga 34092  df-sigagen 34122  df-meas 34179  df-mbfm 34233  df-sitg 34314  df-sitm 34315

This theorem is referenced by:  sitmf  34336