Theorem sitmcl 34102

Description: Closure of the integral distance between two simple functions, for an extended metric space. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Feb-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
sitmcl.0	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Mnd)
sitmcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ∞MetSp)
sitmcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
sitmcl.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
sitmcl.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))

Assertion

Ref	Expression
sitmcl	⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑊sitm𝑀)𝐺) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem sitmcl

Dummy variables 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2725	. . 3 ⊢ (dist‘𝑊) = (dist‘𝑊)
2		sitmcl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ∞MetSp)
3		sitmcl.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
4		sitmcl.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
5		sitmcl.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
6	1, 2, 3, 4, 5	sitmfval 34101	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑊sitm𝑀)𝐺) = (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝐹 ∘f (dist‘𝑊)𝐺)))
7		xrge0base 32830	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
8		xrge0topn 33675	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
9	8	eqcomi 2734	. . 3 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
10		eqid 2725	. . 3 ⊢ (sigaGen‘((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))) = (sigaGen‘((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
11		xrge00 32831	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
12		ovex 7452	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
13		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
14		ax-xrsvsca 32821	. . . . 5 ⊢ ·e = ( ·𝑠 ‘ℝ*𝑠)
15	13, 14	ressvsca 17328	. . . 4 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ V → ·e = ( ·𝑠 ‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
16	12, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ·e = ( ·𝑠 ‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
17		ax-xrssca 32820	. . . . . 6 ⊢ ℝfld = (Scalar‘ℝ*𝑠)
18	13, 17	resssca 17327	. . . . 5 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ V → ℝfld = (Scalar‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
19	12, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℝfld = (Scalar‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
20	19	fveq2i 6899	. . 3 ⊢ (ℝHom‘ℝfld) = (ℝHom‘(Scalar‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
21		ovexd 7454	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ V)
22		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
23		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊)
24		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (sigaGen‘(TopOpen‘𝑊)) = (sigaGen‘(TopOpen‘𝑊))
25		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
26		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
27		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)) = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
28	22, 23, 24, 25, 26, 27, 2, 3, 4	sibff 34087	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ dom 𝑀⟶∪ (TopOpen‘𝑊))
29		xmstps 24403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ∞MetSp → 𝑊 ∈ TopSp)
30	22, 23	tpsuni 22882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ TopSp → (Base‘𝑊) = ∪ (TopOpen‘𝑊))
31	2, 29, 30	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = ∪ (TopOpen‘𝑊))
32		feq3 6706	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘𝑊) = ∪ (TopOpen‘𝑊) → (𝐹:∪ dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐹:∪ dom 𝑀⟶∪ (TopOpen‘𝑊)))
33	31, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:∪ dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐹:∪ dom 𝑀⟶∪ (TopOpen‘𝑊)))
34	28, 33	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ dom 𝑀⟶(Base‘𝑊))
35	22, 23, 24, 25, 26, 27, 2, 3, 5	sibff 34087	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:∪ dom 𝑀⟶∪ (TopOpen‘𝑊))
36		feq3 6706	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘𝑊) = ∪ (TopOpen‘𝑊) → (𝐺:∪ dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐺:∪ dom 𝑀⟶∪ (TopOpen‘𝑊)))
37	31, 36	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺:∪ dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐺:∪ dom 𝑀⟶∪ (TopOpen‘𝑊)))
38	35, 37	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:∪ dom 𝑀⟶(Base‘𝑊))
39		dmexg 7909	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ∪ ran measures → dom 𝑀 ∈ V)
40		uniexg 7746	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑀 ∈ V → ∪ dom 𝑀 ∈ V)
41	3, 39, 40	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑀 ∈ V)
42	34, 38, 41	ofresid 32509	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f (dist‘𝑊)𝐺) = (𝐹 ∘f ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝐺))
43	2, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ TopSp)
44		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) = ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))
45	22, 44	xmsxmet 24406	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ∞MetSp → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)))
46		xmetpsmet 24298	. . . . . . 7 ⊢ (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)) → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (PsMet‘(Base‘𝑊)))
47	2, 45, 46	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (PsMet‘(Base‘𝑊)))
48		psmetxrge0 24263	. . . . . 6 ⊢ (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (PsMet‘(Base‘𝑊)) → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))):((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))⟶(0[,]+∞))
49	47, 48	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))):((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))⟶(0[,]+∞))
50		xrge0tps 33674	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
51	50	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
52	23, 22, 44	xmstopn 24401	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ∞MetSp → (TopOpen‘𝑊) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))
53	2, 52	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝑊) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))
54		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))
55	54	methaus 24473	. . . . . . . 8 ⊢ (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)) → (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) ∈ Haus)
56	2, 45, 55	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) ∈ Haus)
57	53, 56	eqeltrd 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝑊) ∈ Haus)
58		haust1 23300	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘𝑊) ∈ Haus → (TopOpen‘𝑊) ∈ Fre)
59	57, 58	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝑊) ∈ Fre)
60	2, 45	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)))
61		sitmcl.0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Mnd)
62	22, 25	mndidcl 18712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Mnd → (0g‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
63	61, 62	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
64		xmet0 24292	. . . . . . 7 ⊢ ((((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)) ∧ (0g‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊)) → ((0g‘𝑊)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(0g‘𝑊)) = 0)
65	60, 63, 64	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑊)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(0g‘𝑊)) = 0)
66	65, 11	eqtrdi 2781	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑊)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(0g‘𝑊)) = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
67	22, 23, 24, 25, 26, 27, 2, 3, 4, 7, 43, 49, 5, 51, 59, 66	sibfof 34091	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝐺) ∈ dom ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))sitg𝑀))
68	42, 67	eqeltrd 2825	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f (dist‘𝑊)𝐺) ∈ dom ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))sitg𝑀))
69		rebase 21555	. . . . 5 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
70	69, 69	xpeq12i 5706	. . . 4 ⊢ (ℝ × ℝ) = ((Base‘ℝfld) × (Base‘ℝfld))
71	70	reseq2i 5982	. . 3 ⊢ ((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘ℝfld) ↾ ((Base‘ℝfld) × (Base‘ℝfld)))
72		xrge0cmn 21358	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
73	72	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
74		rerrext 33741	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ ℝExt
75	19, 74	eqeltrri 2822	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) ∈ ℝExt
76	75	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) ∈ ℝExt )
77		rrhre 33753	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℝ)
78	77	imaeq1i 6061	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) = (( I ↾ ℝ) “ (0[,)+∞))
79		0re 11248	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
80		pnfxr 11300	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
81		icossre 13440	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (0[,)+∞) ⊆ ℝ)
82	79, 80, 81	mp2an 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
83		resiima 6080	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℝ → (( I ↾ ℝ) “ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞))
84	82, 83	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ ℝ) “ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞)
85	78, 84	eqtri 2753	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞)
86		icossicc 13448	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
87	85, 86	eqsstri 4011	. . . . . 6 ⊢ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ⊆ (0[,]+∞)
88	87	sseli 3972	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) → 𝑚 ∈ (0[,]+∞))
89	88	3ad2ant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑚 ∈ (0[,]+∞))
90		simp3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
91		ge0xmulcl 13475	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑚 ·e 𝑥) ∈ (0[,]+∞))
92	89, 90, 91	syl2anc 582	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑚 ·e 𝑥) ∈ (0[,]+∞))
93	7, 9, 10, 11, 16, 20, 21, 3, 68, 19, 71, 51, 73, 76, 92	sitgclg 34093	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝐹 ∘f (dist‘𝑊)𝐺)) ∈ (0[,]+∞))
94	6, 93	eqeltrd 2825	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑊sitm𝑀)𝐺) ∈ (0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3461   ⊆ wss 3944  ∪ cuni 4909   I cid 5575   × cxp 5676  dom cdm 5678  ran crn 5679   ↾ cres 5680   “ cima 5681  ⟶wf 6545  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419   ∘_f cof 7683  ℝcr 11139  0cc0 11140  +∞cpnf 11277  ℝ^*cxr 11279   ≤ cle 11281   ·_e cxmu 13126  [,)cico 13361  [,]cicc 13362  Basecbs 17183   ↾_s cress 17212  Scalarcsca 17239   ·_𝑠 cvsca 17240  distcds 17245   ↾_t crest 17405  TopOpenctopn 17406  0_gc0g 17424  ordTopcordt 17484  ℝ^*_𝑠cxrs 17485  Mndcmnd 18697  CMndccmn 19747  PsMetcpsmet 21280  ∞Metcxmet 21281  MetOpencmopn 21286  ℝ_fldcrefld 21553  TopSpctps 22878  Frect1 23255  Hauscha 23256  ∞MetSpcxms 24267  ℝHomcrrh 33725   ℝExt crrext 33726  sigaGencsigagen 33888  measurescmeas 33945  sitmcsitm 34079  sitgcsitg 34080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-ac2 10488  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219  ax-mulf 11220  ax-xrssca 32820  ax-xrsvsca 32821

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-dju 9926  df-card 9964  df-acn 9967  df-ac 10141  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ioo 13363  df-ioc 13364  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-mod 13871  df-seq 14003  df-exp 14063  df-fac 14269  df-bc 14298  df-hash 14326  df-shft 15050  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-limsup 15451  df-clim 15468  df-rlim 15469  df-sum 15669  df-ef 16047  df-sin 16049  df-cos 16050  df-pi 16052  df-dvds 16235  df-gcd 16473  df-numer 16710  df-denom 16711  df-gz 16902  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-hom 17260  df-cco 17261  df-rest 17407  df-topn 17408  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-topgen 17428  df-pt 17429  df-prds 17432  df-ordt 17486  df-xrs 17487  df-qtop 17492  df-imas 17493  df-xps 17495  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-proset 18290  df-poset 18308  df-plt 18325  df-toset 18412  df-ps 18561  df-tsr 18562  df-plusf 18602  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-mulg 19032  df-subg 19086  df-ghm 19176  df-cntz 19280  df-od 19495  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-oppr 20285  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-dvr 20352  df-rhm 20423  df-nzr 20464  df-subrng 20495  df-subrg 20520  df-drng 20638  df-field 20639  df-abv 20709  df-lmod 20757  df-scaf 20758  df-sra 21070  df-rgmod 21071  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-metu 21295  df-cnfld 21297  df-zring 21390  df-zrh 21446  df-zlm 21447  df-chr 21448  df-refld 21554  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-lp 23084  df-perf 23085  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-t1 23262  df-haus 23263  df-reg 23264  df-cmp 23335  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-fcls 23889  df-cnext 24008  df-tmd 24020  df-tgp 24021  df-tsms 24075  df-trg 24108  df-ust 24149  df-utop 24180  df-uss 24205  df-usp 24206  df-ucn 24225  df-cfilu 24236  df-cusp 24247  df-xms 24270  df-ms 24271  df-tms 24272  df-nm 24535  df-ngp 24536  df-nrg 24538  df-nlm 24539  df-ii 24841  df-cncf 24842  df-cfil 25227  df-cmet 25229  df-cms 25307  df-limc 25839  df-dv 25840  df-log 26535  df-omnd 32869  df-ogrp 32870  df-orng 33111  df-ofld 33112  df-qqh 33705  df-rrh 33727  df-rrext 33731  df-esum 33778  df-siga 33859  df-sigagen 33889  df-meas 33946  df-mbfm 34000  df-sitg 34081  df-sitm 34082

This theorem is referenced by:  sitmf  34103