Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sitmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sitmcl 30795
Description: Closure of the integral distance between two simple functions, for an extended metric space. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitmcl.0 (𝜑𝑊 ∈ Mnd)
sitmcl.1 (𝜑𝑊 ∈ ∞MetSp)
sitmcl.2 (𝜑𝑀 ran measures)
sitmcl.3 (𝜑𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
sitmcl.4 (𝜑𝐺 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
Assertion
Ref Expression
sitmcl (𝜑 → (𝐹(𝑊sitm𝑀)𝐺) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem sitmcl
Dummy variables 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2765 . . 3 (dist‘𝑊) = (dist‘𝑊)
2 sitmcl.1 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ ∞MetSp)
3 sitmcl.2 . . 3 (𝜑𝑀 ran measures)
4 sitmcl.3 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
5 sitmcl.4 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
61, 2, 3, 4, 5sitmfval 30794 . 2 (𝜑 → (𝐹(𝑊sitm𝑀)𝐺) = (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝐹𝑓 (dist‘𝑊)𝐺)))
7 xrge0base 30067 . . 3 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
8 xrge0topn 30371 . . . 4 (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
98eqcomi 2774 . . 3 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
10 eqid 2765 . . 3 (sigaGen‘((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))) = (sigaGen‘((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
11 xrge00 30068 . . 3 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
12 ovex 6874 . . . 4 (0[,]+∞) ∈ V
13 eqid 2765 . . . . 5 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
14 ax-xrsvsca 30056 . . . . 5 ·e = ( ·𝑠 ‘ℝ*𝑠)
1513, 14ressvsca 16306 . . . 4 ((0[,]+∞) ∈ V → ·e = ( ·𝑠 ‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))
1612, 15ax-mp 5 . . 3 ·e = ( ·𝑠 ‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
17 ax-xrssca 30055 . . . . . 6 fld = (Scalar‘ℝ*𝑠)
1813, 17resssca 16305 . . . . 5 ((0[,]+∞) ∈ V → ℝfld = (Scalar‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))
1912, 18ax-mp 5 . . . 4 fld = (Scalar‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
2019fveq2i 6378 . . 3 (ℝHom‘ℝfld) = (ℝHom‘(Scalar‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))
21 ovexd 6876 . . 3 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ V)
22 eqid 2765 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
23 eqid 2765 . . . . . . 7 (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊)
24 eqid 2765 . . . . . . 7 (sigaGen‘(TopOpen‘𝑊)) = (sigaGen‘(TopOpen‘𝑊))
25 eqid 2765 . . . . . . 7 (0g𝑊) = (0g𝑊)
26 eqid 2765 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
27 eqid 2765 . . . . . . 7 (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)) = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
2822, 23, 24, 25, 26, 27, 2, 3, 4sibff 30780 . . . . . 6 (𝜑𝐹: dom 𝑀 (TopOpen‘𝑊))
29 xmstps 22537 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ∞MetSp → 𝑊 ∈ TopSp)
3022, 23tpsuni 21020 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ TopSp → (Base‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊))
312, 29, 303syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊))
32 feq3 6206 . . . . . . 7 ((Base‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊) → (𝐹: dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐹: dom 𝑀 (TopOpen‘𝑊)))
3331, 32syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹: dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐹: dom 𝑀 (TopOpen‘𝑊)))
3428, 33mpbird 248 . . . . 5 (𝜑𝐹: dom 𝑀⟶(Base‘𝑊))
3522, 23, 24, 25, 26, 27, 2, 3, 5sibff 30780 . . . . . 6 (𝜑𝐺: dom 𝑀 (TopOpen‘𝑊))
36 feq3 6206 . . . . . . 7 ((Base‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊) → (𝐺: dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐺: dom 𝑀 (TopOpen‘𝑊)))
3731, 36syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺: dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐺: dom 𝑀 (TopOpen‘𝑊)))
3835, 37mpbird 248 . . . . 5 (𝜑𝐺: dom 𝑀⟶(Base‘𝑊))
39 dmexg 7295 . . . . . 6 (𝑀 ran measures → dom 𝑀 ∈ V)
40 uniexg 7153 . . . . . 6 (dom 𝑀 ∈ V → dom 𝑀 ∈ V)
413, 39, 403syl 18 . . . . 5 (𝜑 dom 𝑀 ∈ V)
4234, 38, 41ofresid 29829 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑓 (dist‘𝑊)𝐺) = (𝐹𝑓 ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝐺))
432, 29syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
44 eqid 2765 . . . . . . . 8 ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) = ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))
4522, 44xmsxmet 22540 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ∞MetSp → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)))
46 xmetpsmet 22432 . . . . . . 7 (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)) → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (PsMet‘(Base‘𝑊)))
472, 45, 463syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (PsMet‘(Base‘𝑊)))
48 psmetxrge0 22397 . . . . . 6 (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (PsMet‘(Base‘𝑊)) → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))):((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))⟶(0[,]+∞))
4947, 48syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))):((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))⟶(0[,]+∞))
50 xrge0tps 30370 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
5150a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
5223, 22, 44xmstopn 22535 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ∞MetSp → (TopOpen‘𝑊) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))
532, 52syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (TopOpen‘𝑊) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))
54 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))
5554methaus 22604 . . . . . . . 8 (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)) → (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) ∈ Haus)
562, 45, 553syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) ∈ Haus)
5753, 56eqeltrd 2844 . . . . . 6 (𝜑 → (TopOpen‘𝑊) ∈ Haus)
58 haust1 21436 . . . . . 6 ((TopOpen‘𝑊) ∈ Haus → (TopOpen‘𝑊) ∈ Fre)
5957, 58syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (TopOpen‘𝑊) ∈ Fre)
602, 45syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)))
61 sitmcl.0 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ Mnd)
6222, 25mndidcl 17576 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Mnd → (0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
6361, 62syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
64 xmet0 22426 . . . . . . 7 ((((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)) ∧ (0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊)) → ((0g𝑊)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(0g𝑊)) = 0)
6560, 63, 64syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑 → ((0g𝑊)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(0g𝑊)) = 0)
6665, 11syl6eq 2815 . . . . 5 (𝜑 → ((0g𝑊)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(0g𝑊)) = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))
6722, 23, 24, 25, 26, 27, 2, 3, 4, 7, 43, 49, 5, 51, 59, 66sibfof 30784 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑓 ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝐺) ∈ dom ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞))sitg𝑀))
6842, 67eqeltrd 2844 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑓 (dist‘𝑊)𝐺) ∈ dom ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞))sitg𝑀))
69 rebase 20226 . . . . 5 ℝ = (Base‘ℝfld)
7069, 69xpeq12i 5305 . . . 4 (ℝ × ℝ) = ((Base‘ℝfld) × (Base‘ℝfld))
7170reseq2i 5562 . . 3 ((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘ℝfld) ↾ ((Base‘ℝfld) × (Base‘ℝfld)))
72 xrge0cmn 20061 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
7372a1i 11 . . 3 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
74 rerrext 30435 . . . . 5 fld ∈ ℝExt
7519, 74eqeltrri 2841 . . . 4 (Scalar‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) ∈ ℝExt
7675a1i 11 . . 3 (𝜑 → (Scalar‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) ∈ ℝExt )
77 rrhre 30447 . . . . . . . . 9 (ℝHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℝ)
7877imaeq1i 5645 . . . . . . . 8 ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) = (( I ↾ ℝ) “ (0[,)+∞))
79 0re 10295 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
80 pnfxr 10346 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
81 icossre 12456 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (0[,)+∞) ⊆ ℝ)
8279, 80, 81mp2an 683 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
83 resiima 5662 . . . . . . . . 9 ((0[,)+∞) ⊆ ℝ → (( I ↾ ℝ) “ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞))
8482, 83ax-mp 5 . . . . . . . 8 (( I ↾ ℝ) “ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞)
8578, 84eqtri 2787 . . . . . . 7 ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞)
86 icossicc 12463 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
8785, 86eqsstri 3795 . . . . . 6 ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ⊆ (0[,]+∞)
8887sseli 3757 . . . . 5 (𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) → 𝑚 ∈ (0[,]+∞))
89883ad2ant2 1164 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑚 ∈ (0[,]+∞))
90 simp3 1168 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
91 ge0xmulcl 12491 . . . 4 ((𝑚 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑚 ·e 𝑥) ∈ (0[,]+∞))
9289, 90, 91syl2anc 579 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑚 ·e 𝑥) ∈ (0[,]+∞))
937, 9, 10, 11, 16, 20, 21, 3, 68, 19, 71, 51, 73, 76, 92sitgclg 30786 . 2 (𝜑 → (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝐹𝑓 (dist‘𝑊)𝐺)) ∈ (0[,]+∞))
946, 93eqeltrd 2844 1 (𝜑 → (𝐹(𝑊sitm𝑀)𝐺) ∈ (0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  Vcvv 3350  wss 3732   cuni 4594   I cid 5184   × cxp 5275  dom cdm 5277  ran crn 5278  cres 5279  cima 5280  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  𝑓 cof 7093  cr 10188  0cc0 10189  +∞cpnf 10325  *cxr 10327  cle 10329   ·e cxmu 12145  [,)cico 12379  [,]cicc 12380  Basecbs 16132  s cress 16133  Scalarcsca 16219   ·𝑠 cvsca 16220  distcds 16225  t crest 16349  TopOpenctopn 16350  0gc0g 16368  ordTopcordt 16427  *𝑠cxrs 16428  Mndcmnd 17562  CMndccmn 18459  PsMetcpsmet 20003  ∞Metcxmet 20004  MetOpencmopn 20009  fldcrefld 20224  TopSpctps 21016  Frect1 21391  Hauscha 21392  ∞MetSpcxms 22401  ℝHomcrrh 30419   ℝExt crrext 30420  sigaGencsigagen 30583  measurescmeas 30640  sitmcsitm 30772  sitgcsitg 30773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-ac2 9538  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269  ax-xrssca 30055  ax-xrsvsca 30056
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-disj 4778  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-tpos 7555  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-acn 9019  df-ac 9190  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14094  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-limsup 14489  df-clim 14506  df-rlim 14507  df-sum 14704  df-ef 15082  df-sin 15084  df-cos 15085  df-pi 15087  df-dvds 15268  df-gcd 15500  df-numer 15724  df-denom 15725  df-gz 15915  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-starv 16231  df-sca 16232  df-vsca 16233  df-ip 16234  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-unif 16239  df-hom 16240  df-cco 16241  df-rest 16351  df-topn 16352  df-0g 16370  df-gsum 16371  df-topgen 16372  df-pt 16373  df-prds 16376  df-ordt 16429  df-xrs 16430  df-qtop 16435  df-imas 16436  df-xps 16438  df-mre 16514  df-mrc 16515  df-acs 16517  df-proset 17196  df-poset 17214  df-plt 17226  df-toset 17302  df-ps 17468  df-tsr 17469  df-plusf 17509  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-mhm 17603  df-submnd 17604  df-grp 17694  df-minusg 17695  df-sbg 17696  df-mulg 17810  df-subg 17857  df-ghm 17924  df-cntz 18015  df-od 18214  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-cring 18817  df-oppr 18890  df-dvdsr 18908  df-unit 18909  df-invr 18939  df-dvr 18950  df-rnghom 18984  df-drng 19018  df-field 19019  df-subrg 19047  df-abv 19086  df-lmod 19134  df-scaf 19135  df-sra 19446  df-rgmod 19447  df-nzr 19532  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-metu 20018  df-cnfld 20020  df-zring 20092  df-zrh 20125  df-zlm 20126  df-chr 20127  df-refld 20225  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-t1 21398  df-haus 21399  df-reg 21400  df-cmp 21470  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-fcls 22024  df-cnext 22143  df-tmd 22155  df-tgp 22156  df-tsms 22209  df-trg 22242  df-ust 22283  df-utop 22314  df-uss 22339  df-usp 22340  df-ucn 22359  df-cfilu 22370  df-cusp 22381  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-nm 22666  df-ngp 22667  df-nrg 22669  df-nlm 22670  df-ii 22959  df-cncf 22960  df-cfil 23332  df-cmet 23334  df-cms 23412  df-limc 23921  df-dv 23922  df-log 24594  df-omnd 30081  df-ogrp 30082  df-orng 30179  df-ofld 30180  df-qqh 30399  df-rrh 30421  df-rrext 30425  df-esum 30472  df-siga 30553  df-sigagen 30584  df-meas 30641  df-mbfm 30695  df-sitg 30774  df-sitm 30775
This theorem is referenced by:  sitmf  30796
  Copyright terms: Public domain W3C validator