Theorem sitmcl 33381

Description: Closure of the integral distance between two simple functions, for an extended metric space. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Feb-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
sitmcl.0	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Mnd)
sitmcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ∞MetSp)
sitmcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
sitmcl.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
sitmcl.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))

Assertion

Ref	Expression
sitmcl	⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑊sitm𝑀)𝐺) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem sitmcl

Dummy variables 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ (dist‘𝑊) = (dist‘𝑊)
2		sitmcl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ∞MetSp)
3		sitmcl.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
4		sitmcl.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
5		sitmcl.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
6	1, 2, 3, 4, 5	sitmfval 33380	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑊sitm𝑀)𝐺) = (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝐹 ∘f (dist‘𝑊)𝐺)))
7		xrge0base 32217	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
8		xrge0topn 32954	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
9	8	eqcomi 2742	. . 3 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
10		eqid 2733	. . 3 ⊢ (sigaGen‘((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))) = (sigaGen‘((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
11		xrge00 32218	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
12		ovex 7442	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
13		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
14		ax-xrsvsca 32206	. . . . 5 ⊢ ·e = ( ·𝑠 ‘ℝ*𝑠)
15	13, 14	ressvsca 17289	. . . 4 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ V → ·e = ( ·𝑠 ‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
16	12, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ·e = ( ·𝑠 ‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
17		ax-xrssca 32205	. . . . . 6 ⊢ ℝfld = (Scalar‘ℝ*𝑠)
18	13, 17	resssca 17288	. . . . 5 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ V → ℝfld = (Scalar‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
19	12, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℝfld = (Scalar‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
20	19	fveq2i 6895	. . 3 ⊢ (ℝHom‘ℝfld) = (ℝHom‘(Scalar‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
21		ovexd 7444	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ V)
22		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
23		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊)
24		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (sigaGen‘(TopOpen‘𝑊)) = (sigaGen‘(TopOpen‘𝑊))
25		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
26		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
27		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)) = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
28	22, 23, 24, 25, 26, 27, 2, 3, 4	sibff 33366	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ dom 𝑀⟶∪ (TopOpen‘𝑊))
29		xmstps 23959	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ∞MetSp → 𝑊 ∈ TopSp)
30	22, 23	tpsuni 22438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ TopSp → (Base‘𝑊) = ∪ (TopOpen‘𝑊))
31	2, 29, 30	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = ∪ (TopOpen‘𝑊))
32		feq3 6701	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘𝑊) = ∪ (TopOpen‘𝑊) → (𝐹:∪ dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐹:∪ dom 𝑀⟶∪ (TopOpen‘𝑊)))
33	31, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:∪ dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐹:∪ dom 𝑀⟶∪ (TopOpen‘𝑊)))
34	28, 33	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ dom 𝑀⟶(Base‘𝑊))
35	22, 23, 24, 25, 26, 27, 2, 3, 5	sibff 33366	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:∪ dom 𝑀⟶∪ (TopOpen‘𝑊))
36		feq3 6701	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘𝑊) = ∪ (TopOpen‘𝑊) → (𝐺:∪ dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐺:∪ dom 𝑀⟶∪ (TopOpen‘𝑊)))
37	31, 36	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺:∪ dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐺:∪ dom 𝑀⟶∪ (TopOpen‘𝑊)))
38	35, 37	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:∪ dom 𝑀⟶(Base‘𝑊))
39		dmexg 7894	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ∪ ran measures → dom 𝑀 ∈ V)
40		uniexg 7730	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑀 ∈ V → ∪ dom 𝑀 ∈ V)
41	3, 39, 40	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑀 ∈ V)
42	34, 38, 41	ofresid 31898	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f (dist‘𝑊)𝐺) = (𝐹 ∘f ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝐺))
43	2, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ TopSp)
44		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) = ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))
45	22, 44	xmsxmet 23962	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ∞MetSp → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)))
46		xmetpsmet 23854	. . . . . . 7 ⊢ (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)) → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (PsMet‘(Base‘𝑊)))
47	2, 45, 46	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (PsMet‘(Base‘𝑊)))
48		psmetxrge0 23819	. . . . . 6 ⊢ (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (PsMet‘(Base‘𝑊)) → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))):((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))⟶(0[,]+∞))
49	47, 48	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))):((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))⟶(0[,]+∞))
50		xrge0tps 32953	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
51	50	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
52	23, 22, 44	xmstopn 23957	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ∞MetSp → (TopOpen‘𝑊) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))
53	2, 52	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝑊) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))
54		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))
55	54	methaus 24029	. . . . . . . 8 ⊢ (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)) → (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) ∈ Haus)
56	2, 45, 55	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) ∈ Haus)
57	53, 56	eqeltrd 2834	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝑊) ∈ Haus)
58		haust1 22856	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘𝑊) ∈ Haus → (TopOpen‘𝑊) ∈ Fre)
59	57, 58	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝑊) ∈ Fre)
60	2, 45	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)))
61		sitmcl.0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Mnd)
62	22, 25	mndidcl 18640	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Mnd → (0g‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
63	61, 62	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
64		xmet0 23848	. . . . . . 7 ⊢ ((((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)) ∧ (0g‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊)) → ((0g‘𝑊)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(0g‘𝑊)) = 0)
65	60, 63, 64	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑊)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(0g‘𝑊)) = 0)
66	65, 11	eqtrdi 2789	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑊)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(0g‘𝑊)) = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
67	22, 23, 24, 25, 26, 27, 2, 3, 4, 7, 43, 49, 5, 51, 59, 66	sibfof 33370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝐺) ∈ dom ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))sitg𝑀))
68	42, 67	eqeltrd 2834	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f (dist‘𝑊)𝐺) ∈ dom ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))sitg𝑀))
69		rebase 21159	. . . . 5 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
70	69, 69	xpeq12i 5705	. . . 4 ⊢ (ℝ × ℝ) = ((Base‘ℝfld) × (Base‘ℝfld))
71	70	reseq2i 5979	. . 3 ⊢ ((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘ℝfld) ↾ ((Base‘ℝfld) × (Base‘ℝfld)))
72		xrge0cmn 20987	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
73	72	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
74		rerrext 33020	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ ℝExt
75	19, 74	eqeltrri 2831	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) ∈ ℝExt
76	75	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) ∈ ℝExt )
77		rrhre 33032	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℝ)
78	77	imaeq1i 6057	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) = (( I ↾ ℝ) “ (0[,)+∞))
79		0re 11216	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
80		pnfxr 11268	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
81		icossre 13405	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (0[,)+∞) ⊆ ℝ)
82	79, 80, 81	mp2an 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
83		resiima 6076	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℝ → (( I ↾ ℝ) “ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞))
84	82, 83	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ ℝ) “ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞)
85	78, 84	eqtri 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞)
86		icossicc 13413	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
87	85, 86	eqsstri 4017	. . . . . 6 ⊢ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ⊆ (0[,]+∞)
88	87	sseli 3979	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) → 𝑚 ∈ (0[,]+∞))
89	88	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑚 ∈ (0[,]+∞))
90		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
91		ge0xmulcl 13440	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑚 ·e 𝑥) ∈ (0[,]+∞))
92	89, 90, 91	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑚 ·e 𝑥) ∈ (0[,]+∞))
93	7, 9, 10, 11, 16, 20, 21, 3, 68, 19, 71, 51, 73, 76, 92	sitgclg 33372	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝐹 ∘f (dist‘𝑊)𝐺)) ∈ (0[,]+∞))
94	6, 93	eqeltrd 2834	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑊sitm𝑀)𝐺) ∈ (0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ⊆ wss 3949  ∪ cuni 4909   I cid 5574   × cxp 5675  dom cdm 5677  ran crn 5678   ↾ cres 5679   “ cima 5680  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘_f cof 7668  ℝcr 11109  0cc0 11110  +∞cpnf 11245  ℝ^*cxr 11247   ≤ cle 11249   ·_e cxmu 13091  [,)cico 13326  [,]cicc 13327  Basecbs 17144   ↾_s cress 17173  Scalarcsca 17200   ·_𝑠 cvsca 17201  distcds 17206   ↾_t crest 17366  TopOpenctopn 17367  0_gc0g 17385  ordTopcordt 17445  ℝ^*_𝑠cxrs 17446  Mndcmnd 18625  CMndccmn 19648  PsMetcpsmet 20928  ∞Metcxmet 20929  MetOpencmopn 20934  ℝ_fldcrefld 21157  TopSpctps 22434  Frect1 22811  Hauscha 22812  ∞MetSpcxms 23823  ℝHomcrrh 33004   ℝExt crrext 33005  sigaGencsigagen 33167  measurescmeas 33224  sitmcsitm 33358  sitgcsitg 33359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-ac2 10458  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190  ax-xrssca 32205  ax-xrsvsca 32206

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-ac 10111  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-numer 16671  df-denom 16672  df-gz 16863  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-ordt 17447  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-toset 18370  df-ps 18519  df-tsr 18520  df-plusf 18560  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-od 19396  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-rnghom 20251  df-nzr 20292  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-field 20360  df-abv 20425  df-lmod 20473  df-scaf 20474  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-metu 20943  df-cnfld 20945  df-zring 21018  df-zrh 21053  df-zlm 21054  df-chr 21055  df-refld 21158  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-t1 22818  df-haus 22819  df-reg 22820  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-fcls 23445  df-cnext 23564  df-tmd 23576  df-tgp 23577  df-tsms 23631  df-trg 23664  df-ust 23705  df-utop 23736  df-uss 23761  df-usp 23762  df-ucn 23781  df-cfilu 23792  df-cusp 23803  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-nm 24091  df-ngp 24092  df-nrg 24094  df-nlm 24095  df-ii 24393  df-cncf 24394  df-cfil 24772  df-cmet 24774  df-cms 24852  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-omnd 32248  df-ogrp 32249  df-orng 32446  df-ofld 32447  df-qqh 32984  df-rrh 33006  df-rrext 33010  df-esum 33057  df-siga 33138  df-sigagen 33168  df-meas 33225  df-mbfm 33279  df-sitg 33360  df-sitm 33361

This theorem is referenced by:  sitmf  33382