MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xblcntr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xblcntr 24337
Description: A ball contains its center. (Contributed by NM, 2-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
xblcntr ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) β†’ 𝑃 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅))

Proof of Theorem xblcntr
StepHypRef Expression
1 simp2 1134 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
2 xmet0 24268 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷𝑃) = 0)
323adant3 1129 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) β†’ (𝑃𝐷𝑃) = 0)
4 simp3r 1199 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) β†’ 0 < 𝑅)
53, 4eqbrtrd 5174 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) β†’ (𝑃𝐷𝑃) < 𝑅)
6 elbl 24314 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝑃 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑃) < 𝑅)))
763adant3r 1178 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) β†’ (𝑃 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑃) < 𝑅)))
81, 5, 7mpbir2and 711 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) β†’ 𝑃 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146  β„*cxr 11285   < clt 11286  βˆžMetcxmet 21271  ballcbl 21273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-map 8853  df-xr 11290  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-bl 21281
This theorem is referenced by:  blcntr  24339  xbln0  24340  blcld  24434  metds0  24786  metdseq0  24790  heicant  37161  qndenserrnbl  45712
  Copyright terms: Public domain W3C validator