Theorem xmeter 24782

Description: The "finitely separated" relation is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xmeter.1	⊢ ∼ = (◡𝐷 “ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
xmeter	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∼ Er 𝑋)

Proof of Theorem xmeter

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmeter.1	. . . . 5 ⊢ ∼ = (◡𝐷 “ ℝ)
2		cnvimass 6211	. . . . 5 ⊢ (◡𝐷 “ ℝ) ⊆ dom 𝐷
3	1, 2	eqsstri 3959	. . . 4 ⊢ ∼ ⊆ dom 𝐷
4		xmetf 24678	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
5	3, 4	fssdm 6751	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∼ ⊆ (𝑋 × 𝑋))
6		relxp 5673	. . 3 ⊢ Rel (𝑋 × 𝑋)
7		relss 5763	. . 3 ⊢ ( ∼ ⊆ (𝑋 × 𝑋) → (Rel (𝑋 × 𝑋) → Rel ∼ ))
8	5, 6, 7	mpisyl 22	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → Rel ∼ )
9	1	xmeterval 24781	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∼ 𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)))
10	9	biimpa 482	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ))
11	10	simp2d 1161	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑋)
12	10	simp1d 1160	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝑋)
13		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
14		xmetsym 24696	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
15	13, 12, 11, 14	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
16	10	simp3d 1162	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
17	15, 16	eqeltrrd 2865	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → (𝑦𝐷𝑥) ∈ ℝ)
18	1	xmeterval 24781	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑦 ∼ 𝑥 ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
19	18	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → (𝑦 ∼ 𝑥 ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
20	11, 12, 17, 19	mpbir3and 1361	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → 𝑦 ∼ 𝑥)
21	12	adantrr 730	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
22	1	xmeterval 24781	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑦 ∼ 𝑧 ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ)))
23	22	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∼ 𝑧) → (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ))
24	23	adantrl 729	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ))
25	24	simp2d 1161	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝑋)
26		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
27	16	adantrr 730	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
28	24	simp3d 1162	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ)
29		rexadd 13389	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ) → ((𝑥𝐷𝑦) +e (𝑦𝐷𝑧)) = ((𝑥𝐷𝑦) + (𝑦𝐷𝑧)))
30		readdcl 11310	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ) → ((𝑥𝐷𝑦) + (𝑦𝐷𝑧)) ∈ ℝ)
31	29, 30	eqeltrd 2864	. . . . 5 ⊢ (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ) → ((𝑥𝐷𝑦) +e (𝑦𝐷𝑧)) ∈ ℝ)
32	27, 28, 31	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → ((𝑥𝐷𝑦) +e (𝑦𝐷𝑧)) ∈ ℝ)
33	11	adantrr 730	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
34		xmettri 24700	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐷𝑧) ≤ ((𝑥𝐷𝑦) +e (𝑦𝐷𝑧)))
35	26, 21, 25, 33, 34	syl13anc 1400	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) ≤ ((𝑥𝐷𝑦) +e (𝑦𝐷𝑧)))
36		xmetlecl 24695	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (((𝑥𝐷𝑦) +e (𝑦𝐷𝑧)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐷𝑧) ≤ ((𝑥𝐷𝑦) +e (𝑦𝐷𝑧)))) → (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ)
37	26, 21, 25, 32, 35, 36	syl122anc 1407	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ)
38	1	xmeterval 24781	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∼ 𝑧 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ)))
39	38	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → (𝑥 ∼ 𝑧 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ)))
40	21, 25, 37, 39	mpbir3and 1361	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → 𝑥 ∼ 𝑧)
41		xmet0 24691	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑥) = 0)
42		0re 11337	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
43	41, 42	eqeltrdi 2872	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ)
44	43	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 → (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ))
45	44	pm4.71rd 572	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ ((𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)))
46		df-3an 1105	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ))
47		anidm 575	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ↔ 𝑥 ∈ 𝑋)
48	47	anbi2ci 637	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ) ↔ ((𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
49	46, 48	bitri 278	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ) ↔ ((𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
50	45, 49	bitr4di 292	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
51	1	xmeterval 24781	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∼ 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
52	50, 51	bitr4d 285	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ 𝑥 ∼ 𝑥))
53	8, 20, 40, 52	iserd 8772	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∼ Er 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106   × cxp 5653  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655   “ cima 5658  Rel wrel 5660  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   Er wer 8742  ℝcr 11226  0cc0 11227   + caddc 11230  ℝ^*cxr 11369   ≤ cle 11371   +_e cxad 13266  ∞Metcxmet 21693

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-rp 13148  df-xneg 13268  df-xadd 13269  df-xmul 13270  df-xmet 21701

This theorem is used by:  blpnfctr  24785  xmetresbl  24786