MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmeter Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmeter 24459
Description: The "finitely separated" relation is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xmeter.1 = (𝐷 “ ℝ)
Assertion
Ref Expression
xmeter (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → Er 𝑋)

Proof of Theorem xmeter
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmeter.1 . . . . 5 = (𝐷 “ ℝ)
2 cnvimass 6102 . . . . 5 (𝐷 “ ℝ) ⊆ dom 𝐷
31, 2eqsstri 4030 . . . 4 ⊆ dom 𝐷
4 xmetf 24355 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
53, 4fssdm 6756 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ⊆ (𝑋 × 𝑋))
6 relxp 5707 . . 3 Rel (𝑋 × 𝑋)
7 relss 5794 . . 3 ( ⊆ (𝑋 × 𝑋) → (Rel (𝑋 × 𝑋) → Rel ))
85, 6, 7mpisyl 21 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → Rel )
91xmeterval 24458 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 𝑦 ↔ (𝑥𝑋𝑦𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)))
109biimpa 476 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝑦) → (𝑥𝑋𝑦𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ))
1110simp2d 1142 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝑦) → 𝑦𝑋)
1210simp1d 1141 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝑦) → 𝑥𝑋)
13 simpl 482 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝑦) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
14 xmetsym 24373 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
1513, 12, 11, 14syl3anc 1370 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
1610simp3d 1143 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
1715, 16eqeltrrd 2840 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝑦) → (𝑦𝐷𝑥) ∈ ℝ)
181xmeterval 24458 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑦 𝑥 ↔ (𝑦𝑋𝑥𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
1918adantr 480 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝑦) → (𝑦 𝑥 ↔ (𝑦𝑋𝑥𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
2011, 12, 17, 19mpbir3and 1341 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝑦) → 𝑦 𝑥)
2112adantrr 717 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → 𝑥𝑋)
221xmeterval 24458 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑦 𝑧 ↔ (𝑦𝑋𝑧𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ)))
2322biimpa 476 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 𝑧) → (𝑦𝑋𝑧𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ))
2423adantrl 716 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → (𝑦𝑋𝑧𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ))
2524simp2d 1142 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → 𝑧𝑋)
26 simpl 482 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2716adantrr 717 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
2824simp3d 1143 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ)
29 rexadd 13271 . . . . . 6 (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ) → ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) = ((𝑥𝐷𝑦) + (𝑦𝐷𝑧)))
30 readdcl 11236 . . . . . 6 (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ) → ((𝑥𝐷𝑦) + (𝑦𝐷𝑧)) ∈ ℝ)
3129, 30eqeltrd 2839 . . . . 5 (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ) → ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) ∈ ℝ)
3227, 28, 31syl2anc 584 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) ∈ ℝ)
3311adantrr 717 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → 𝑦𝑋)
34 xmettri 24377 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐷𝑧) ≤ ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)))
3526, 21, 25, 33, 34syl13anc 1371 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) ≤ ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)))
36 xmetlecl 24372 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋) ∧ (((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐷𝑧) ≤ ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)))) → (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ)
3726, 21, 25, 32, 35, 36syl122anc 1378 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ)
381xmeterval 24458 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 𝑧 ↔ (𝑥𝑋𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ)))
3938adantr 480 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → (𝑥 𝑧 ↔ (𝑥𝑋𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ)))
4021, 25, 37, 39mpbir3and 1341 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → 𝑥 𝑧)
41 xmet0 24368 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥𝐷𝑥) = 0)
42 0re 11261 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
4341, 42eqeltrdi 2847 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ)
4443ex 412 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥𝑋 → (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ))
4544pm4.71rd 562 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥𝑋 ↔ ((𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋)))
46 df-3an 1088 . . . . 5 ((𝑥𝑋𝑥𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ) ↔ ((𝑥𝑋𝑥𝑋) ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ))
47 anidm 564 . . . . . 6 ((𝑥𝑋𝑥𝑋) ↔ 𝑥𝑋)
4847anbi2ci 625 . . . . 5 (((𝑥𝑋𝑥𝑋) ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ) ↔ ((𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋))
4946, 48bitri 275 . . . 4 ((𝑥𝑋𝑥𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ) ↔ ((𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋))
5045, 49bitr4di 289 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥𝑋 ↔ (𝑥𝑋𝑥𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
511xmeterval 24458 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 𝑥 ↔ (𝑥𝑋𝑥𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
5250, 51bitr4d 282 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥𝑋𝑥 𝑥))
538, 20, 40, 52iserd 8770 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → Er 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963   class class class wbr 5148   × cxp 5687  ccnv 5688  dom cdm 5689  cima 5692  Rel wrel 5694  cfv 6563  (class class class)co 7431   Er wer 8741  cr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156  *cxr 11292  cle 11294   +𝑒 cxad 13150  ∞Metcxmet 21367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-2 12327  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-xmet 21375
This theorem is referenced by:  blpnfctr  24462  xmetresbl  24463
  Copyright terms: Public domain W3C validator