Theorem xmeter 24627

Description: The "finitely separated" relation is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xmeter.1	⊢ ∼ = (◡𝐷 “ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
xmeter	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∼ Er 𝑋)

Proof of Theorem xmeter

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmeter.1	. . . . 5 ⊢ ∼ = (◡𝐷 “ ℝ)
2		cnvimass 6089	. . . . 5 ⊢ (◡𝐷 “ ℝ) ⊆ dom 𝐷
3	1, 2	eqsstri 3986	. . . 4 ⊢ ∼ ⊆ dom 𝐷
4		xmetf 24523	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
5	3, 4	fssdm 6732	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∼ ⊆ (𝑋 × 𝑋))
6		relxp 5684	. . 3 ⊢ Rel (𝑋 × 𝑋)
7		relss 5773	. . 3 ⊢ ( ∼ ⊆ (𝑋 × 𝑋) → (Rel (𝑋 × 𝑋) → Rel ∼ ))
8	5, 6, 7	mpisyl 22	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → Rel ∼ )
9	1	xmeterval 24626	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∼ 𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)))
10	9	biimpa 482	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ))
11	10	simp2d 1161	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑋)
12	10	simp1d 1160	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝑋)
13		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
14		xmetsym 24541	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
15	13, 12, 11, 14	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
16	10	simp3d 1162	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
17	15, 16	eqeltrrd 2867	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → (𝑦𝐷𝑥) ∈ ℝ)
18	1	xmeterval 24626	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑦 ∼ 𝑥 ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
19	18	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → (𝑦 ∼ 𝑥 ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
20	11, 12, 17, 19	mpbir3and 1361	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → 𝑦 ∼ 𝑥)
21	12	adantrr 730	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
22	1	xmeterval 24626	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑦 ∼ 𝑧 ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ)))
23	22	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∼ 𝑧) → (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ))
24	23	adantrl 729	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ))
25	24	simp2d 1161	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝑋)
26		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
27	16	adantrr 730	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
28	24	simp3d 1162	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ)
29		rexadd 13276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ) → ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) = ((𝑥𝐷𝑦) + (𝑦𝐷𝑧)))
30		readdcl 11201	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ) → ((𝑥𝐷𝑦) + (𝑦𝐷𝑧)) ∈ ℝ)
31	29, 30	eqeltrd 2866	. . . . 5 ⊢ (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ) → ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) ∈ ℝ)
32	27, 28, 31	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) ∈ ℝ)
33	11	adantrr 730	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
34		xmettri 24545	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐷𝑧) ≤ ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)))
35	26, 21, 25, 33, 34	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) ≤ ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)))
36		xmetlecl 24540	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐷𝑧) ≤ ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)))) → (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ)
37	26, 21, 25, 32, 35, 36	syl122anc 1406	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ)
38	1	xmeterval 24626	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∼ 𝑧 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ)))
39	38	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → (𝑥 ∼ 𝑧 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ)))
40	21, 25, 37, 39	mpbir3and 1361	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → 𝑥 ∼ 𝑧)
41		xmet0 24536	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑥) = 0)
42		0re 11228	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
43	41, 42	eqeltrdi 2874	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ)
44	43	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 → (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ))
45	44	pm4.71rd 572	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ ((𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)))
46		df-3an 1105	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ))
47		anidm 575	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ↔ 𝑥 ∈ 𝑋)
48	47	anbi2ci 637	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ) ↔ ((𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
49	46, 48	bitri 278	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ) ↔ ((𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
50	45, 49	bitr4di 292	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
51	1	xmeterval 24626	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∼ 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
52	50, 51	bitr4d 285	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ 𝑥 ∼ 𝑥))
53	8, 20, 40, 52	iserd 8730	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∼ Er 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3908   class class class wbr 5114   × cxp 5664  ^◡ccnv 5665  dom cdm 5666   “ cima 5669  Rel wrel 5671  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   Er wer 8700  ℝcr 11117  0cc0 11118   + caddc 11121  ℝ^*cxr 11260   ≤ cle 11262   +_𝑒 cxad 13153  ∞Metcxmet 21544

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-xmet 21552

This theorem is used by:  blpnfctr  24630  xmetresbl  24631