Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmeter Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmeter 23040
 Description: The "finitely separated" relation is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xmeter.1 = (𝐷 “ ℝ)
Assertion
Ref Expression
xmeter (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → Er 𝑋)

Proof of Theorem xmeter
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmeter.1 . . . . 5 = (𝐷 “ ℝ)
2 cnvimass 5916 . . . . 5 (𝐷 “ ℝ) ⊆ dom 𝐷
31, 2eqsstri 3949 . . . 4 ⊆ dom 𝐷
4 xmetf 22936 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
53, 4fssdm 6504 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ⊆ (𝑋 × 𝑋))
6 relxp 5537 . . 3 Rel (𝑋 × 𝑋)
7 relss 5620 . . 3 ( ⊆ (𝑋 × 𝑋) → (Rel (𝑋 × 𝑋) → Rel ))
85, 6, 7mpisyl 21 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → Rel )
91xmeterval 23039 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 𝑦 ↔ (𝑥𝑋𝑦𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)))
109biimpa 480 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝑦) → (𝑥𝑋𝑦𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ))
1110simp2d 1140 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝑦) → 𝑦𝑋)
1210simp1d 1139 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝑦) → 𝑥𝑋)
13 simpl 486 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝑦) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
14 xmetsym 22954 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
1513, 12, 11, 14syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
1610simp3d 1141 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
1715, 16eqeltrrd 2891 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝑦) → (𝑦𝐷𝑥) ∈ ℝ)
181xmeterval 23039 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑦 𝑥 ↔ (𝑦𝑋𝑥𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
1918adantr 484 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝑦) → (𝑦 𝑥 ↔ (𝑦𝑋𝑥𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
2011, 12, 17, 19mpbir3and 1339 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝑦) → 𝑦 𝑥)
2112adantrr 716 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → 𝑥𝑋)
221xmeterval 23039 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑦 𝑧 ↔ (𝑦𝑋𝑧𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ)))
2322biimpa 480 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 𝑧) → (𝑦𝑋𝑧𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ))
2423adantrl 715 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → (𝑦𝑋𝑧𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ))
2524simp2d 1140 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → 𝑧𝑋)
26 simpl 486 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2716adantrr 716 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
2824simp3d 1141 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ)
29 rexadd 12613 . . . . . 6 (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ) → ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) = ((𝑥𝐷𝑦) + (𝑦𝐷𝑧)))
30 readdcl 10609 . . . . . 6 (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ) → ((𝑥𝐷𝑦) + (𝑦𝐷𝑧)) ∈ ℝ)
3129, 30eqeltrd 2890 . . . . 5 (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ) → ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) ∈ ℝ)
3227, 28, 31syl2anc 587 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) ∈ ℝ)
3311adantrr 716 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → 𝑦𝑋)
34 xmettri 22958 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐷𝑧) ≤ ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)))
3526, 21, 25, 33, 34syl13anc 1369 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) ≤ ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)))
36 xmetlecl 22953 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋) ∧ (((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐷𝑧) ≤ ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)))) → (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ)
3726, 21, 25, 32, 35, 36syl122anc 1376 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ)
381xmeterval 23039 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 𝑧 ↔ (𝑥𝑋𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ)))
3938adantr 484 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → (𝑥 𝑧 ↔ (𝑥𝑋𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ)))
4021, 25, 37, 39mpbir3and 1339 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → 𝑥 𝑧)
41 xmet0 22949 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥𝐷𝑥) = 0)
42 0re 10632 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
4341, 42eqeltrdi 2898 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ)
4443ex 416 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥𝑋 → (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ))
4544pm4.71rd 566 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥𝑋 ↔ ((𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋)))
46 df-3an 1086 . . . . 5 ((𝑥𝑋𝑥𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ) ↔ ((𝑥𝑋𝑥𝑋) ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ))
47 anidm 568 . . . . . 6 ((𝑥𝑋𝑥𝑋) ↔ 𝑥𝑋)
4847anbi2ci 627 . . . . 5 (((𝑥𝑋𝑥𝑋) ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ) ↔ ((𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋))
4946, 48bitri 278 . . . 4 ((𝑥𝑋𝑥𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ) ↔ ((𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋))
5045, 49syl6bbr 292 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥𝑋 ↔ (𝑥𝑋𝑥𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
511xmeterval 23039 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 𝑥 ↔ (𝑥𝑋𝑥𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
5250, 51bitr4d 285 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥𝑋𝑥 𝑥))
538, 20, 40, 52iserd 8298 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → Er 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030   × cxp 5517  ◡ccnv 5518  dom cdm 5519   “ cima 5522  Rel wrel 5524  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   Er wer 8269  ℝcr 10525  0cc0 10526   + caddc 10529  ℝ*cxr 10663   ≤ cle 10665   +𝑒 cxad 12493  ∞Metcxmet 20076 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-2 11688  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-xmet 20084 This theorem is referenced by:  blpnfctr  23043  xmetresbl  23044
 Copyright terms: Public domain W3C validator