MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmeter Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmeter 22740
Description: The "finitely separated" relation is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xmeter.1 = (𝐷 “ ℝ)
Assertion
Ref Expression
xmeter (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → Er 𝑋)

Proof of Theorem xmeter
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmeter.1 . . . . 5 = (𝐷 “ ℝ)
2 cnvimass 5783 . . . . 5 (𝐷 “ ℝ) ⊆ dom 𝐷
31, 2eqsstri 3885 . . . 4 ⊆ dom 𝐷
4 xmetf 22636 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
53, 4fssdm 6354 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ⊆ (𝑋 × 𝑋))
6 relxp 5419 . . 3 Rel (𝑋 × 𝑋)
7 relss 5500 . . 3 ( ⊆ (𝑋 × 𝑋) → (Rel (𝑋 × 𝑋) → Rel ))
85, 6, 7mpisyl 21 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → Rel )
91xmeterval 22739 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 𝑦 ↔ (𝑥𝑋𝑦𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)))
109biimpa 469 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝑦) → (𝑥𝑋𝑦𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ))
1110simp2d 1123 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝑦) → 𝑦𝑋)
1210simp1d 1122 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝑦) → 𝑥𝑋)
13 simpl 475 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝑦) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
14 xmetsym 22654 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
1513, 12, 11, 14syl3anc 1351 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
1610simp3d 1124 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
1715, 16eqeltrrd 2861 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝑦) → (𝑦𝐷𝑥) ∈ ℝ)
181xmeterval 22739 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑦 𝑥 ↔ (𝑦𝑋𝑥𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
1918adantr 473 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝑦) → (𝑦 𝑥 ↔ (𝑦𝑋𝑥𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
2011, 12, 17, 19mpbir3and 1322 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝑦) → 𝑦 𝑥)
2112adantrr 704 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → 𝑥𝑋)
221xmeterval 22739 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑦 𝑧 ↔ (𝑦𝑋𝑧𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ)))
2322biimpa 469 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 𝑧) → (𝑦𝑋𝑧𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ))
2423adantrl 703 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → (𝑦𝑋𝑧𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ))
2524simp2d 1123 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → 𝑧𝑋)
26 simpl 475 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2716adantrr 704 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
2824simp3d 1124 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ)
29 rexadd 12436 . . . . . 6 (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ) → ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) = ((𝑥𝐷𝑦) + (𝑦𝐷𝑧)))
30 readdcl 10412 . . . . . 6 (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ) → ((𝑥𝐷𝑦) + (𝑦𝐷𝑧)) ∈ ℝ)
3129, 30eqeltrd 2860 . . . . 5 (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ) → ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) ∈ ℝ)
3227, 28, 31syl2anc 576 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) ∈ ℝ)
3311adantrr 704 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → 𝑦𝑋)
34 xmettri 22658 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐷𝑧) ≤ ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)))
3526, 21, 25, 33, 34syl13anc 1352 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) ≤ ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)))
36 xmetlecl 22653 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋) ∧ (((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐷𝑧) ≤ ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)))) → (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ)
3726, 21, 25, 32, 35, 36syl122anc 1359 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ)
381xmeterval 22739 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 𝑧 ↔ (𝑥𝑋𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ)))
3938adantr 473 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → (𝑥 𝑧 ↔ (𝑥𝑋𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ)))
4021, 25, 37, 39mpbir3and 1322 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → 𝑥 𝑧)
41 xmet0 22649 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥𝐷𝑥) = 0)
42 0re 10435 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
4341, 42syl6eqel 2868 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ)
4443ex 405 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥𝑋 → (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ))
4544pm4.71rd 555 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥𝑋 ↔ ((𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋)))
46 df-3an 1070 . . . . 5 ((𝑥𝑋𝑥𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ) ↔ ((𝑥𝑋𝑥𝑋) ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ))
47 anidm 557 . . . . . 6 ((𝑥𝑋𝑥𝑋) ↔ 𝑥𝑋)
4847anbi2ci 615 . . . . 5 (((𝑥𝑋𝑥𝑋) ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ) ↔ ((𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋))
4946, 48bitri 267 . . . 4 ((𝑥𝑋𝑥𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ) ↔ ((𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋))
5045, 49syl6bbr 281 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥𝑋 ↔ (𝑥𝑋𝑥𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
511xmeterval 22739 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 𝑥 ↔ (𝑥𝑋𝑥𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
5250, 51bitr4d 274 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥𝑋𝑥 𝑥))
538, 20, 40, 52iserd 8109 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → Er 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wss 3823   class class class wbr 4923   × cxp 5399  ccnv 5400  dom cdm 5401  cima 5404  Rel wrel 5406  cfv 6182  (class class class)co 6970   Er wer 8080  cr 10328  0cc0 10329   + caddc 10332  *cxr 10467  cle 10469   +𝑒 cxad 12316  ∞Metcxmet 20226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-id 5306  df-po 5320  df-so 5321  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-er 8083  df-map 8202  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-div 11093  df-2 11497  df-rp 12199  df-xneg 12318  df-xadd 12319  df-xmul 12320  df-xmet 20234
This theorem is referenced by:  blpnfctr  22743  xmetresbl  22744
  Copyright terms: Public domain W3C validator