MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetsym Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmetsym 23500
Description: The distance function of an extended metric space is symmetric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetsym ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝐴))

Proof of Theorem xmetsym
StepHypRef Expression
1 xmetcl 23484 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
2 xmetcl 23484 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝐷𝐴) ∈ ℝ*)
323com23 1125 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐴) ∈ ℝ*)
4 simp1 1135 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5 simp3 1137 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
6 simp2 1136 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
7 xmettri2 23493 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐵𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 (𝐵𝐷𝐵)))
84, 5, 6, 5, 7syl13anc 1371 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 (𝐵𝐷𝐵)))
9 xmet0 23495 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐵) = 0)
1093adant2 1130 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐵) = 0)
1110oveq2d 7291 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 (𝐵𝐷𝐵)) = ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 0))
122xaddid1d 12977 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 0) = (𝐵𝐷𝐴))
13123com23 1125 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 0) = (𝐵𝐷𝐴))
1411, 13eqtrd 2778 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 (𝐵𝐷𝐵)) = (𝐵𝐷𝐴))
158, 14breqtrd 5100 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ (𝐵𝐷𝐴))
16 xmettri2 23493 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (𝐵𝐷𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐴)))
174, 6, 5, 6, 16syl13anc 1371 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐴)))
18 xmet0 23495 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐷𝐴) = 0)
19183adant3 1131 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐴) = 0)
2019oveq2d 7291 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐴)) = ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 0))
211xaddid1d 12977 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 0) = (𝐴𝐷𝐵))
2220, 21eqtrd 2778 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐴)) = (𝐴𝐷𝐵))
2317, 22breqtrd 5100 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐴) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
241, 3, 15, 23xrletrid 12889 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106   class class class wbr 5074  cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  *cxr 11008  cle 11010   +𝑒 cxad 12846  ∞Metcxmet 20582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-xadd 12849  df-xmet 20590
This theorem is referenced by:  xmettpos  23502  metsym  23503  xmettri  23504  xmettri3  23506  xmetrtri2  23509  elbl3  23545  blss  23578  xmeter  23586  xmssym  23618  metcnp2  23698  metdcnlem  23999  metdstri  24014  metdsle  24015  metdscn  24019  metnrmlem1  24022  metnrmlem3  24024  nmhmcn  24283  lmmbr2  24423  iscau2  24441  iscau3  24442  iscau4  24443  iscauf  24444  caucfil  24447  nglmle  24466  dvlip2  25159  ubthlem1  29232  ubthlem2  29233  heicant  35812
  Copyright terms: Public domain W3C validator