MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetsym Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmetsym 23100
Description: The distance function of an extended metric space is symmetric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetsym ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝐴))

Proof of Theorem xmetsym
StepHypRef Expression
1 xmetcl 23084 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
2 xmetcl 23084 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝐷𝐴) ∈ ℝ*)
323com23 1127 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐴) ∈ ℝ*)
4 simp1 1137 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5 simp3 1139 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
6 simp2 1138 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
7 xmettri2 23093 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐵𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 (𝐵𝐷𝐵)))
84, 5, 6, 5, 7syl13anc 1373 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 (𝐵𝐷𝐵)))
9 xmet0 23095 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐵) = 0)
1093adant2 1132 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐵) = 0)
1110oveq2d 7186 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 (𝐵𝐷𝐵)) = ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 0))
122xaddid1d 12719 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 0) = (𝐵𝐷𝐴))
13123com23 1127 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 0) = (𝐵𝐷𝐴))
1411, 13eqtrd 2773 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 (𝐵𝐷𝐵)) = (𝐵𝐷𝐴))
158, 14breqtrd 5056 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ (𝐵𝐷𝐴))
16 xmettri2 23093 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (𝐵𝐷𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐴)))
174, 6, 5, 6, 16syl13anc 1373 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐴)))
18 xmet0 23095 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐷𝐴) = 0)
19183adant3 1133 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐴) = 0)
2019oveq2d 7186 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐴)) = ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 0))
211xaddid1d 12719 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 0) = (𝐴𝐷𝐵))
2220, 21eqtrd 2773 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐴)) = (𝐴𝐷𝐵))
2317, 22breqtrd 5056 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐴) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
241, 3, 15, 23xrletrid 12631 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114   class class class wbr 5030  cfv 6339  (class class class)co 7170  0cc0 10615  *cxr 10752  cle 10754   +𝑒 cxad 12588  ∞Metcxmet 20202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-xadd 12591  df-xmet 20210
This theorem is referenced by:  xmettpos  23102  metsym  23103  xmettri  23104  xmettri3  23106  xmetrtri2  23109  elbl3  23145  blss  23178  xmeter  23186  xmssym  23218  metcnp2  23295  metdcnlem  23588  metdstri  23603  metdsle  23604  metdscn  23608  metnrmlem1  23611  metnrmlem3  23613  nmhmcn  23872  lmmbr2  24011  iscau2  24029  iscau3  24030  iscau4  24031  iscauf  24032  caucfil  24035  nglmle  24054  dvlip2  24747  ubthlem1  28805  ubthlem2  28806  heicant  35435
  Copyright terms: Public domain W3C validator