MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmetge0 22881
Description: The distance function of a metric space is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetge0 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem xmetge0
StepHypRef Expression
1 simp1 1128 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 simp2 1129 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
3 simp3 1130 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
4 xmettri2 22877 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐵𝑋)) → (𝐵𝐷𝐵) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)))
51, 2, 3, 3, 4syl13anc 1364 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐵) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)))
6 xmet0 22879 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐵) = 0)
763adant2 1123 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐵) = 0)
8 2re 11699 . . . . 5 2 ∈ ℝ
9 rexr 10675 . . . . 5 (2 ∈ ℝ → 2 ∈ ℝ*)
10 xmul01 12648 . . . . 5 (2 ∈ ℝ* → (2 ·e 0) = 0)
118, 9, 10mp2b 10 . . . 4 (2 ·e 0) = 0
127, 11syl6reqr 2872 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (2 ·e 0) = (𝐵𝐷𝐵))
13 xmetcl 22868 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
14 x2times 12680 . . . 4 ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* → (2 ·e (𝐴𝐷𝐵)) = ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)))
1513, 14syl 17 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (2 ·e (𝐴𝐷𝐵)) = ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)))
165, 12, 153brtr4d 5089 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (2 ·e 0) ≤ (2 ·e (𝐴𝐷𝐵)))
17 0xr 10676 . . 3 0 ∈ ℝ*
18 2rp 12382 . . . 4 2 ∈ ℝ+
1918a1i 11 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 2 ∈ ℝ+)
20 xlemul2 12672 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (2 ·e 0) ≤ (2 ·e (𝐴𝐷𝐵))))
2117, 13, 19, 20mp3an2i 1457 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (0 ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (2 ·e 0) ≤ (2 ·e (𝐴𝐷𝐵))))
2216, 21mpbird 258 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  *cxr 10662  cle 10664  2c2 11680  +crp 12377   +𝑒 cxad 12493   ·e cxmu 12494  ∞Metcxmet 20458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-2 11688  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-xmet 20466
This theorem is referenced by:  metge0  22882  xmetlecl  22883  xmetrtri  22892  xmetgt0  22895  prdsxmetlem  22905  imasdsf1olem  22910  xpsdsval  22918  xblpnf  22933  blgt0  22936  xblss2  22939  xbln0  22951  xmsge0  23000  comet  23050  stdbdxmet  23052  stdbdmet  23053  xrsmopn  23347  metdsf  23383  metdstri  23386  metdscnlem  23390  iscfil2  23796  heicant  34808
  Copyright terms: Public domain W3C validator