MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mettri2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mettri2 22950
Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
mettri2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) + (𝐶𝐷𝐵)))

Proof of Theorem mettri2
StepHypRef Expression
1 metxmet 22943 . . 3 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 xmettri2 22949 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))
31, 2sylan 582 . 2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))
4 metcl 22941 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐶𝑋𝐴𝑋) → (𝐶𝐷𝐴) ∈ ℝ)
543adant3r3 1180 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐶𝐷𝐴) ∈ ℝ)
6 metcl 22941 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐶𝑋𝐵𝑋) → (𝐶𝐷𝐵) ∈ ℝ)
763adant3r2 1179 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐶𝐷𝐵) ∈ ℝ)
85, 7rexaddd 12626 . 2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)) = ((𝐶𝐷𝐴) + (𝐶𝐷𝐵)))
93, 8breqtrd 5091 1 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) + (𝐶𝐷𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1083  wcel 2110   class class class wbr 5065  cfv 6354  (class class class)co 7155  cr 10535   + caddc 10539  cle 10675   +𝑒 cxad 12504  ∞Metcxmet 20529  Metcmet 20530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-mulcl 10598  ax-i2m1 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-xadd 12507  df-xmet 20537  df-met 20538
This theorem is referenced by:  mettri  22961  mstri2  23076  metf1o  35029  isbnd3  35061  heibor1lem  35086  bfplem2  35100
  Copyright terms: Public domain W3C validator