MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mettri2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mettri2 22878
Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
mettri2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) + (𝐶𝐷𝐵)))

Proof of Theorem mettri2
StepHypRef Expression
1 metxmet 22871 . . 3 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 xmettri2 22877 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))
31, 2sylan 580 . 2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))
4 metcl 22869 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐶𝑋𝐴𝑋) → (𝐶𝐷𝐴) ∈ ℝ)
543adant3r3 1176 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐶𝐷𝐴) ∈ ℝ)
6 metcl 22869 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐶𝑋𝐵𝑋) → (𝐶𝐷𝐵) ∈ ℝ)
763adant3r2 1175 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐶𝐷𝐵) ∈ ℝ)
85, 7rexaddd 12615 . 2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)) = ((𝐶𝐷𝐴) + (𝐶𝐷𝐵)))
93, 8breqtrd 5083 1 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) + (𝐶𝐷𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524   + caddc 10528  cle 10664   +𝑒 cxad 12493  ∞Metcxmet 20458  Metcmet 20459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-mulcl 10587  ax-i2m1 10593
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-xadd 12496  df-xmet 20466  df-met 20467
This theorem is referenced by:  mettri  22889  mstri2  23004  metf1o  34911  isbnd3  34943  heibor1lem  34968  bfplem2  34982
  Copyright terms: Public domain W3C validator