MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mettri2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mettri2 24267
Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
mettri2 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ≀ ((𝐢𝐷𝐴) + (𝐢𝐷𝐡)))

Proof of Theorem mettri2
StepHypRef Expression
1 metxmet 24260 . . 3 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2 xmettri2 24266 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ≀ ((𝐢𝐷𝐴) +𝑒 (𝐢𝐷𝐡)))
31, 2sylan 578 . 2 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ≀ ((𝐢𝐷𝐴) +𝑒 (𝐢𝐷𝐡)))
4 metcl 24258 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐢𝐷𝐴) ∈ ℝ)
543adant3r3 1181 . . 3 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐢𝐷𝐴) ∈ ℝ)
6 metcl 24258 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐢𝐷𝐡) ∈ ℝ)
763adant3r2 1180 . . 3 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐢𝐷𝐡) ∈ ℝ)
85, 7rexaddd 13253 . 2 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐢𝐷𝐴) +𝑒 (𝐢𝐷𝐡)) = ((𝐢𝐷𝐴) + (𝐢𝐷𝐡)))
93, 8breqtrd 5178 1 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ≀ ((𝐢𝐷𝐴) + (𝐢𝐷𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„cr 11145   + caddc 11149   ≀ cle 11287   +𝑒 cxad 13130  βˆžMetcxmet 21271  Metcmet 21272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-mulcl 11208  ax-i2m1 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-xadd 13133  df-xmet 21279  df-met 21280
This theorem is referenced by:  mettri  24278  mstri2  24393  metf1o  37261  isbnd3  37290  heibor1lem  37315  bfplem2  37329
  Copyright terms: Public domain W3C validator