Theorem mettri2 24236

Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mettri2	⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) + (𝐶𝐷𝐵)))

Proof of Theorem mettri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metxmet 24229	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		xmettri2 24235	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))
3	1, 2	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))
4		metcl 24227	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐶𝐷𝐴) ∈ ℝ)
5	4	3adant3r3 1185	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐶𝐷𝐴) ∈ ℝ)
6		metcl 24227	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐶𝐷𝐵) ∈ ℝ)
7	6	3adant3r2 1184	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐶𝐷𝐵) ∈ ℝ)
8	5, 7	rexaddd 13201	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)) = ((𝐶𝐷𝐴) + (𝐶𝐷𝐵)))
9	3, 8	breqtrd 5136	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) + (𝐶𝐷𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074   + caddc 11078   ≤ cle 11216   +_𝑒 cxad 13077  ∞Metcxmet 21256  Metcmet 21257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-mulcl 11137  ax-i2m1 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-xadd 13080  df-xmet 21264  df-met 21265

This theorem is referenced by:  mettri  24247  mstri2  24362  metf1o  37756  isbnd3  37785  heibor1lem  37810  bfplem2  37824