Theorem mettri2 24276

Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mettri2	⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) + (𝐶𝐷𝐵)))

Proof of Theorem mettri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metxmet 24269	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		xmettri2 24275	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))
3	1, 2	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))
4		metcl 24267	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐶𝐷𝐴) ∈ ℝ)
5	4	3adant3r3 1185	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐶𝐷𝐴) ∈ ℝ)
6		metcl 24267	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐶𝐷𝐵) ∈ ℝ)
7	6	3adant3r2 1184	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐶𝐷𝐵) ∈ ℝ)
8	5, 7	rexaddd 13140	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)) = ((𝐶𝐷𝐴) + (𝐶𝐷𝐵)))
9	3, 8	breqtrd 5121	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) + (𝐶𝐷𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℝcr 11016   + caddc 11020   ≤ cle 11158   +_𝑒 cxad 13015  ∞Metcxmet 21285  Metcmet 21286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-mulcl 11079  ax-i2m1 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-xadd 13018  df-xmet 21293  df-met 21294

This theorem is referenced by:  mettri  24287  mstri2  24402  metf1o  37868  isbnd3  37897  heibor1lem  37922  bfplem2  37936