Theorem xpdom2g 9064

Description: Dominance law for Cartesian product. Theorem 6L(c) of [Enderton] p. 149. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpdom2g	⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐶 × 𝐵))

Proof of Theorem xpdom2g

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpeq1 5677	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 × 𝐴) = (𝐶 × 𝐴))
2		xpeq1 5677	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 × 𝐵) = (𝐶 × 𝐵))
3	1, 2	breq12d 5124	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝑥 × 𝐴) ≼ (𝑥 × 𝐵) ↔ (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐶 × 𝐵)))
4	3	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴 ≼ 𝐵 → (𝑥 × 𝐴) ≼ (𝑥 × 𝐵)) ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐶 × 𝐵))))
5		vex 3461	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
6	5	xpdom2 9063	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝑥 × 𝐴) ≼ (𝑥 × 𝐵))
7	4, 6	vtoclg 3524	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐶 × 𝐵)))
8	7	imp 412	1 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐶 × 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111   × cxp 5661   ≼ cdom 8943

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fv 6548  df-dom 8947

This theorem is used by:  xpdom1g  9065  xpen  9131  infxpdom  10205  fnct  10532  unirnfdomd  10563  gchxpidm  10665  gchhar  10675