MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnct 10529
Description: If the domain of a function is countable, the function is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
fnct ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ 𝐹 β‰Ό Ο‰)

Proof of Theorem fnct
StepHypRef Expression
1 ctex 8956 . . . . 5 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ 𝐴 ∈ V)
21adantl 481 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ 𝐴 ∈ V)
3 fndm 6643 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
43eleq1d 2810 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ (dom 𝐹 ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V))
54adantr 480 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ (dom 𝐹 ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V))
62, 5mpbird 257 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ dom 𝐹 ∈ V)
7 fnfun 6640 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ Fun 𝐹)
87adantr 480 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ Fun 𝐹)
9 funrnex 7934 . . . . 5 (dom 𝐹 ∈ V β†’ (Fun 𝐹 β†’ ran 𝐹 ∈ V))
106, 8, 9sylc 65 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ ran 𝐹 ∈ V)
112, 10xpexd 7732 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ (𝐴 Γ— ran 𝐹) ∈ V)
12 simpl 482 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
13 dffn3 6721 . . . . 5 (𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹:𝐴⟢ran 𝐹)
1412, 13sylib 217 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ 𝐹:𝐴⟢ran 𝐹)
15 fssxp 6736 . . . 4 (𝐹:𝐴⟢ran 𝐹 β†’ 𝐹 βŠ† (𝐴 Γ— ran 𝐹))
1614, 15syl 17 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ 𝐹 βŠ† (𝐴 Γ— ran 𝐹))
17 ssdomg 8993 . . 3 ((𝐴 Γ— ran 𝐹) ∈ V β†’ (𝐹 βŠ† (𝐴 Γ— ran 𝐹) β†’ 𝐹 β‰Ό (𝐴 Γ— ran 𝐹)))
1811, 16, 17sylc 65 . 2 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ 𝐹 β‰Ό (𝐴 Γ— ran 𝐹))
19 xpdom1g 9066 . . . . 5 ((ran 𝐹 ∈ V ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ (𝐴 Γ— ran 𝐹) β‰Ό (Ο‰ Γ— ran 𝐹))
2010, 19sylancom 587 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ (𝐴 Γ— ran 𝐹) β‰Ό (Ο‰ Γ— ran 𝐹))
21 omex 9635 . . . . 5 Ο‰ ∈ V
22 fnrndomg 10528 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V β†’ (𝐹 Fn 𝐴 β†’ ran 𝐹 β‰Ό 𝐴))
232, 12, 22sylc 65 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ ran 𝐹 β‰Ό 𝐴)
24 domtr 9000 . . . . . 6 ((ran 𝐹 β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ ran 𝐹 β‰Ό Ο‰)
2523, 24sylancom 587 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ ran 𝐹 β‰Ό Ο‰)
26 xpdom2g 9065 . . . . 5 ((Ο‰ ∈ V ∧ ran 𝐹 β‰Ό Ο‰) β†’ (Ο‰ Γ— ran 𝐹) β‰Ό (Ο‰ Γ— Ο‰))
2721, 25, 26sylancr 586 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ (Ο‰ Γ— ran 𝐹) β‰Ό (Ο‰ Γ— Ο‰))
28 domtr 9000 . . . 4 (((𝐴 Γ— ran 𝐹) β‰Ό (Ο‰ Γ— ran 𝐹) ∧ (Ο‰ Γ— ran 𝐹) β‰Ό (Ο‰ Γ— Ο‰)) β†’ (𝐴 Γ— ran 𝐹) β‰Ό (Ο‰ Γ— Ο‰))
2920, 27, 28syl2anc 583 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ (𝐴 Γ— ran 𝐹) β‰Ό (Ο‰ Γ— Ο‰))
30 xpomen 10007 . . 3 (Ο‰ Γ— Ο‰) β‰ˆ Ο‰
31 domentr 9006 . . 3 (((𝐴 Γ— ran 𝐹) β‰Ό (Ο‰ Γ— Ο‰) ∧ (Ο‰ Γ— Ο‰) β‰ˆ Ο‰) β†’ (𝐴 Γ— ran 𝐹) β‰Ό Ο‰)
3229, 30, 31sylancl 585 . 2 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ (𝐴 Γ— ran 𝐹) β‰Ό Ο‰)
33 domtr 9000 . 2 ((𝐹 β‰Ό (𝐴 Γ— ran 𝐹) ∧ (𝐴 Γ— ran 𝐹) β‰Ό Ο‰) β†’ 𝐹 β‰Ό Ο‰)
3418, 32, 33syl2anc 583 1 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ 𝐹 β‰Ό Ο‰)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   βŠ† wss 3941   class class class wbr 5139   Γ— cxp 5665  dom cdm 5667  ran crn 5668  Fun wfun 6528   Fn wfn 6529  βŸΆwf 6530  Ο‰com 7849   β‰ˆ cen 8933   β‰Ό cdom 8934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-ac2 10455
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-oi 9502  df-card 9931  df-acn 9934  df-ac 10108
This theorem is referenced by:  mptct  10530  mpocti  32412  mptctf  32414  omssubadd  33791
  Copyright terms: Public domain W3C validator