MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnct 10554
Description: If the domain of a function is countable, the function is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
fnct ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ 𝐹 β‰Ό Ο‰)

Proof of Theorem fnct
StepHypRef Expression
1 ctex 8977 . . . . 5 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ 𝐴 ∈ V)
21adantl 481 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ 𝐴 ∈ V)
3 fndm 6651 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
43eleq1d 2814 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ (dom 𝐹 ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V))
54adantr 480 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ (dom 𝐹 ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V))
62, 5mpbird 257 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ dom 𝐹 ∈ V)
7 fnfun 6648 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ Fun 𝐹)
87adantr 480 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ Fun 𝐹)
9 funrnex 7951 . . . . 5 (dom 𝐹 ∈ V β†’ (Fun 𝐹 β†’ ran 𝐹 ∈ V))
106, 8, 9sylc 65 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ ran 𝐹 ∈ V)
112, 10xpexd 7747 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ (𝐴 Γ— ran 𝐹) ∈ V)
12 simpl 482 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
13 dffn3 6729 . . . . 5 (𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹:𝐴⟢ran 𝐹)
1412, 13sylib 217 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ 𝐹:𝐴⟢ran 𝐹)
15 fssxp 6745 . . . 4 (𝐹:𝐴⟢ran 𝐹 β†’ 𝐹 βŠ† (𝐴 Γ— ran 𝐹))
1614, 15syl 17 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ 𝐹 βŠ† (𝐴 Γ— ran 𝐹))
17 ssdomg 9014 . . 3 ((𝐴 Γ— ran 𝐹) ∈ V β†’ (𝐹 βŠ† (𝐴 Γ— ran 𝐹) β†’ 𝐹 β‰Ό (𝐴 Γ— ran 𝐹)))
1811, 16, 17sylc 65 . 2 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ 𝐹 β‰Ό (𝐴 Γ— ran 𝐹))
19 xpdom1g 9087 . . . . 5 ((ran 𝐹 ∈ V ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ (𝐴 Γ— ran 𝐹) β‰Ό (Ο‰ Γ— ran 𝐹))
2010, 19sylancom 587 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ (𝐴 Γ— ran 𝐹) β‰Ό (Ο‰ Γ— ran 𝐹))
21 omex 9660 . . . . 5 Ο‰ ∈ V
22 fnrndomg 10553 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V β†’ (𝐹 Fn 𝐴 β†’ ran 𝐹 β‰Ό 𝐴))
232, 12, 22sylc 65 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ ran 𝐹 β‰Ό 𝐴)
24 domtr 9021 . . . . . 6 ((ran 𝐹 β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ ran 𝐹 β‰Ό Ο‰)
2523, 24sylancom 587 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ ran 𝐹 β‰Ό Ο‰)
26 xpdom2g 9086 . . . . 5 ((Ο‰ ∈ V ∧ ran 𝐹 β‰Ό Ο‰) β†’ (Ο‰ Γ— ran 𝐹) β‰Ό (Ο‰ Γ— Ο‰))
2721, 25, 26sylancr 586 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ (Ο‰ Γ— ran 𝐹) β‰Ό (Ο‰ Γ— Ο‰))
28 domtr 9021 . . . 4 (((𝐴 Γ— ran 𝐹) β‰Ό (Ο‰ Γ— ran 𝐹) ∧ (Ο‰ Γ— ran 𝐹) β‰Ό (Ο‰ Γ— Ο‰)) β†’ (𝐴 Γ— ran 𝐹) β‰Ό (Ο‰ Γ— Ο‰))
2920, 27, 28syl2anc 583 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ (𝐴 Γ— ran 𝐹) β‰Ό (Ο‰ Γ— Ο‰))
30 xpomen 10032 . . 3 (Ο‰ Γ— Ο‰) β‰ˆ Ο‰
31 domentr 9027 . . 3 (((𝐴 Γ— ran 𝐹) β‰Ό (Ο‰ Γ— Ο‰) ∧ (Ο‰ Γ— Ο‰) β‰ˆ Ο‰) β†’ (𝐴 Γ— ran 𝐹) β‰Ό Ο‰)
3229, 30, 31sylancl 585 . 2 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ (𝐴 Γ— ran 𝐹) β‰Ό Ο‰)
33 domtr 9021 . 2 ((𝐹 β‰Ό (𝐴 Γ— ran 𝐹) ∧ (𝐴 Γ— ran 𝐹) β‰Ό Ο‰) β†’ 𝐹 β‰Ό Ο‰)
3418, 32, 33syl2anc 583 1 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ 𝐹 β‰Ό Ο‰)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099  Vcvv 3470   βŠ† wss 3945   class class class wbr 5142   Γ— cxp 5670  dom cdm 5672  ran crn 5673  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  Ο‰com 7864   β‰ˆ cen 8954   β‰Ό cdom 8955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-ac2 10480
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-oi 9527  df-card 9956  df-acn 9959  df-ac 10133
This theorem is referenced by:  mptct  10555  mpocti  32491  mptctf  32493  omssubadd  33914
  Copyright terms: Public domain W3C validator