MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnct 10474
Description: If the domain of a function is countable, the function is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
fnct ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ 𝐹 β‰Ό Ο‰)

Proof of Theorem fnct
StepHypRef Expression
1 ctex 8904 . . . . 5 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ 𝐴 ∈ V)
21adantl 483 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ 𝐴 ∈ V)
3 fndm 6606 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
43eleq1d 2823 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ (dom 𝐹 ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V))
54adantr 482 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ (dom 𝐹 ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V))
62, 5mpbird 257 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ dom 𝐹 ∈ V)
7 fnfun 6603 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ Fun 𝐹)
87adantr 482 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ Fun 𝐹)
9 funrnex 7887 . . . . 5 (dom 𝐹 ∈ V β†’ (Fun 𝐹 β†’ ran 𝐹 ∈ V))
106, 8, 9sylc 65 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ ran 𝐹 ∈ V)
112, 10xpexd 7686 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ (𝐴 Γ— ran 𝐹) ∈ V)
12 simpl 484 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
13 dffn3 6682 . . . . 5 (𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹:𝐴⟢ran 𝐹)
1412, 13sylib 217 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ 𝐹:𝐴⟢ran 𝐹)
15 fssxp 6697 . . . 4 (𝐹:𝐴⟢ran 𝐹 β†’ 𝐹 βŠ† (𝐴 Γ— ran 𝐹))
1614, 15syl 17 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ 𝐹 βŠ† (𝐴 Γ— ran 𝐹))
17 ssdomg 8941 . . 3 ((𝐴 Γ— ran 𝐹) ∈ V β†’ (𝐹 βŠ† (𝐴 Γ— ran 𝐹) β†’ 𝐹 β‰Ό (𝐴 Γ— ran 𝐹)))
1811, 16, 17sylc 65 . 2 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ 𝐹 β‰Ό (𝐴 Γ— ran 𝐹))
19 xpdom1g 9014 . . . . 5 ((ran 𝐹 ∈ V ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ (𝐴 Γ— ran 𝐹) β‰Ό (Ο‰ Γ— ran 𝐹))
2010, 19sylancom 589 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ (𝐴 Γ— ran 𝐹) β‰Ό (Ο‰ Γ— ran 𝐹))
21 omex 9580 . . . . 5 Ο‰ ∈ V
22 fnrndomg 10473 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V β†’ (𝐹 Fn 𝐴 β†’ ran 𝐹 β‰Ό 𝐴))
232, 12, 22sylc 65 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ ran 𝐹 β‰Ό 𝐴)
24 domtr 8948 . . . . . 6 ((ran 𝐹 β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ ran 𝐹 β‰Ό Ο‰)
2523, 24sylancom 589 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ ran 𝐹 β‰Ό Ο‰)
26 xpdom2g 9013 . . . . 5 ((Ο‰ ∈ V ∧ ran 𝐹 β‰Ό Ο‰) β†’ (Ο‰ Γ— ran 𝐹) β‰Ό (Ο‰ Γ— Ο‰))
2721, 25, 26sylancr 588 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ (Ο‰ Γ— ran 𝐹) β‰Ό (Ο‰ Γ— Ο‰))
28 domtr 8948 . . . 4 (((𝐴 Γ— ran 𝐹) β‰Ό (Ο‰ Γ— ran 𝐹) ∧ (Ο‰ Γ— ran 𝐹) β‰Ό (Ο‰ Γ— Ο‰)) β†’ (𝐴 Γ— ran 𝐹) β‰Ό (Ο‰ Γ— Ο‰))
2920, 27, 28syl2anc 585 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ (𝐴 Γ— ran 𝐹) β‰Ό (Ο‰ Γ— Ο‰))
30 xpomen 9952 . . 3 (Ο‰ Γ— Ο‰) β‰ˆ Ο‰
31 domentr 8954 . . 3 (((𝐴 Γ— ran 𝐹) β‰Ό (Ο‰ Γ— Ο‰) ∧ (Ο‰ Γ— Ο‰) β‰ˆ Ο‰) β†’ (𝐴 Γ— ran 𝐹) β‰Ό Ο‰)
3229, 30, 31sylancl 587 . 2 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ (𝐴 Γ— ran 𝐹) β‰Ό Ο‰)
33 domtr 8948 . 2 ((𝐹 β‰Ό (𝐴 Γ— ran 𝐹) ∧ (𝐴 Γ— ran 𝐹) β‰Ό Ο‰) β†’ 𝐹 β‰Ό Ο‰)
3418, 32, 33syl2anc 585 1 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ 𝐹 β‰Ό Ο‰)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  Vcvv 3446   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106   Γ— cxp 5632  dom cdm 5634  ran crn 5635  Fun wfun 6491   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  Ο‰com 7803   β‰ˆ cen 8881   β‰Ό cdom 8882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-ac2 10400
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-oi 9447  df-card 9876  df-acn 9879  df-ac 10053
This theorem is referenced by:  mptct  10475  mpocti  31635  mptctf  31637  omssubadd  32903
  Copyright terms: Public domain W3C validator