MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpdom1g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpdom1g 9100
Description: Dominance law for Cartesian product. Theorem 6L(c) of [Enderton] p. 149. (Contributed by NM, 25-Mar-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpdom1g ((𝐶𝑉𝐴𝐵) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶))

Proof of Theorem xpdom1g
StepHypRef Expression
1 reldom 8976 . . . 4 Rel ≼
21brrelex1i 5738 . . 3 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
3 xpcomeng 9095 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶𝑉) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐶 × 𝐴))
43ancoms 457 . . 3 ((𝐶𝑉𝐴 ∈ V) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐶 × 𝐴))
52, 4sylan2 591 . 2 ((𝐶𝑉𝐴𝐵) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐶 × 𝐴))
6 xpdom2g 9099 . . 3 ((𝐶𝑉𝐴𝐵) → (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐶 × 𝐵))
71brrelex2i 5739 . . . 4 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
8 xpcomeng 9095 . . . 4 ((𝐶𝑉𝐵 ∈ V) → (𝐶 × 𝐵) ≈ (𝐵 × 𝐶))
97, 8sylan2 591 . . 3 ((𝐶𝑉𝐴𝐵) → (𝐶 × 𝐵) ≈ (𝐵 × 𝐶))
10 domentr 9040 . . 3 (((𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐶 × 𝐵) ∧ (𝐶 × 𝐵) ≈ (𝐵 × 𝐶)) → (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐵 × 𝐶))
116, 9, 10syl2anc 582 . 2 ((𝐶𝑉𝐴𝐵) → (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐵 × 𝐶))
12 endomtr 9039 . 2 (((𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐶 × 𝐴) ∧ (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐵 × 𝐶)) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶))
135, 11, 12syl2anc 582 1 ((𝐶𝑉𝐴𝐵) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wcel 2098  Vcvv 3473   class class class wbr 5152   × cxp 5680  cen 8967  cdom 8968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-en 8971  df-dom 8972
This theorem is referenced by:  xpdom1  9102  xpen  9171  xpct  10047  infpwfien  10093  infdjuabs  10237  fin56  10424  fnct  10568  iunctb  10605  canthp1lem1  10683  pwdjundom  10698  gchxpidm  10700
  Copyright terms: Public domain W3C validator