Theorem xpdom1g 8996

Description: Dominance law for Cartesian product. Theorem 6L(c) of [Enderton] p. 149. (Contributed by NM, 25-Mar-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpdom1g	⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶))

Proof of Theorem xpdom1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8883	. . . 4 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex1i 5677	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3		xpcomeng 8991	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐶 × 𝐴))
4	3	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐶 × 𝐴))
5	2, 4	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐶 × 𝐴))
6		xpdom2g 8995	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐶 × 𝐵))
7	1	brrelex2i 5678	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
8		xpcomeng 8991	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐶 × 𝐵) ≈ (𝐵 × 𝐶))
9	7, 8	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐶 × 𝐵) ≈ (𝐵 × 𝐶))
10		domentr 8944	. . 3 ⊢ (((𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐶 × 𝐵) ∧ (𝐶 × 𝐵) ≈ (𝐵 × 𝐶)) → (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐵 × 𝐶))
11	6, 9, 10	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐵 × 𝐶))
12		endomtr 8943	. 2 ⊢ (((𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐶 × 𝐴) ∧ (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐵 × 𝐶)) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶))
13	5, 11, 12	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   class class class wbr 5095   × cxp 5619   ≈ cen 8874   ≼ cdom 8875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-en 8878  df-dom 8879

This theorem is referenced by:  xpdom1  8998  xpen  9062  xpct  9916  infpwfien  9962  infdjuabs  10105  fin56  10293  fnct  10437  iunctb  10474  canthp1lem1  10552  pwdjundom  10567  gchxpidm  10569