MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpdom1g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpdom1g 9068
Description: Dominance law for Cartesian product. Theorem 6L(c) of [Enderton] p. 149. (Contributed by NM, 25-Mar-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpdom1g ((𝐶𝑉𝐴𝐵) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶))

Proof of Theorem xpdom1g
StepHypRef Expression
1 reldom 8944 . . . 4 Rel ≼
21brrelex1i 5725 . . 3 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
3 xpcomeng 9063 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶𝑉) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐶 × 𝐴))
43ancoms 458 . . 3 ((𝐶𝑉𝐴 ∈ V) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐶 × 𝐴))
52, 4sylan2 592 . 2 ((𝐶𝑉𝐴𝐵) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐶 × 𝐴))
6 xpdom2g 9067 . . 3 ((𝐶𝑉𝐴𝐵) → (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐶 × 𝐵))
71brrelex2i 5726 . . . 4 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
8 xpcomeng 9063 . . . 4 ((𝐶𝑉𝐵 ∈ V) → (𝐶 × 𝐵) ≈ (𝐵 × 𝐶))
97, 8sylan2 592 . . 3 ((𝐶𝑉𝐴𝐵) → (𝐶 × 𝐵) ≈ (𝐵 × 𝐶))
10 domentr 9008 . . 3 (((𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐶 × 𝐵) ∧ (𝐶 × 𝐵) ≈ (𝐵 × 𝐶)) → (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐵 × 𝐶))
116, 9, 10syl2anc 583 . 2 ((𝐶𝑉𝐴𝐵) → (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐵 × 𝐶))
12 endomtr 9007 . 2 (((𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐶 × 𝐴) ∧ (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐵 × 𝐶)) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶))
135, 11, 12syl2anc 583 1 ((𝐶𝑉𝐴𝐵) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2098  Vcvv 3468   class class class wbr 5141   × cxp 5667  cen 8935  cdom 8936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-en 8939  df-dom 8940
This theorem is referenced by:  xpdom1  9070  xpen  9139  xpct  10010  infpwfien  10056  infdjuabs  10200  fin56  10387  fnct  10531  iunctb  10568  canthp1lem1  10646  pwdjundom  10661  gchxpidm  10663
  Copyright terms: Public domain W3C validator