MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpen 9180
Description: Equinumerosity law for Cartesian product. Proposition 4.22(b) of [Mendelson] p. 254. (Contributed by NM, 24-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpen ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐵 × 𝐷))

Proof of Theorem xpen
StepHypRef Expression
1 relen 8990 . . . . 5 Rel ≈
21brrelex1i 5741 . . . 4 (𝐶𝐷𝐶 ∈ V)
3 endom 9019 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
4 xpdom1g 9109 . . . 4 ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶))
52, 3, 4syl2anr 597 . . 3 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶))
61brrelex2i 5742 . . . 4 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
7 endom 9019 . . . 4 (𝐶𝐷𝐶𝐷)
8 xpdom2g 9108 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶𝐷) → (𝐵 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷))
96, 7, 8syl2an 596 . . 3 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐵 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷))
10 domtr 9047 . . 3 (((𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶) ∧ (𝐵 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷)) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷))
115, 9, 10syl2anc 584 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷))
121brrelex2i 5742 . . . 4 (𝐶𝐷𝐷 ∈ V)
13 ensym 9043 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
14 endom 9019 . . . . 5 (𝐵𝐴𝐵𝐴)
1513, 14syl 17 . . . 4 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
16 xpdom1g 9109 . . . 4 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐵𝐴) → (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐷))
1712, 15, 16syl2anr 597 . . 3 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐷))
181brrelex1i 5741 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
19 ensym 9043 . . . . 5 (𝐶𝐷𝐷𝐶)
20 endom 9019 . . . . 5 (𝐷𝐶𝐷𝐶)
2119, 20syl 17 . . . 4 (𝐶𝐷𝐷𝐶)
22 xpdom2g 9108 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐷𝐶) → (𝐴 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶))
2318, 21, 22syl2an 596 . . 3 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶))
24 domtr 9047 . . 3 (((𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐷) ∧ (𝐴 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶)) → (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶))
2517, 23, 24syl2anc 584 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶))
26 sbth 9133 . 2 (((𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷) ∧ (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶)) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐵 × 𝐷))
2711, 25, 26syl2anc 584 1 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐵 × 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2108  Vcvv 3480   class class class wbr 5143   × cxp 5683  cen 8982  cdom 8983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987
This theorem is referenced by:  map2xp  9187  unxpdom2  9290  sucxpdom  9291  xpnum  9991  infxpenlem  10053  infxpidm2  10057  xpdjuen  10220  mapdjuen  10221  pwdjuen  10222  djuxpdom  10226  ackbij1lem5  10263  canthp1lem1  10692  xpnnen  16247  qnnen  16249  rexpen  16264  met2ndci  24535  re2ndc  24822  dyadmbl  25635  opnmblALT  25638  mbfimaopnlem  25690  mblfinlem1  37664
  Copyright terms: Public domain W3C validator