Theorem xpen 9048

Description: Equinumerosity law for Cartesian product. Proposition 4.22(b) of [Mendelson] p. 254. (Contributed by NM, 24-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpen	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐵 × 𝐷))

Proof of Theorem xpen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 8869	. . . . 5 ⊢ Rel ≈
2	1	brrelex1i 5667	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐶 ∈ V)
3		endom 8896	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
4		xpdom1g 8982	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶))
5	2, 3, 4	syl2anr 597	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶))
6	1	brrelex2i 5668	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
7		endom 8896	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐶 ≼ 𝐷)
8		xpdom2g 8981	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) → (𝐵 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷))
9	6, 7, 8	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐵 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷))
10		domtr 8924	. . 3 ⊢ (((𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶) ∧ (𝐵 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷)) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷))
11	5, 9, 10	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷))
12	1	brrelex2i 5668	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐷 ∈ V)
13		ensym 8920	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
14		endom 8896	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴)
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴)
16		xpdom1g 8982	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐷))
17	12, 15, 16	syl2anr 597	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐷))
18	1	brrelex1i 5667	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
19		ensym 8920	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐷 ≈ 𝐶)
20		endom 8896	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ≈ 𝐶 → 𝐷 ≼ 𝐶)
21	19, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐷 ≼ 𝐶)
22		xpdom2g 8981	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐷 ≼ 𝐶) → (𝐴 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶))
23	18, 21, 22	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐴 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶))
24		domtr 8924	. . 3 ⊢ (((𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐷) ∧ (𝐴 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶)) → (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶))
25	17, 23, 24	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶))
26		sbth 9005	. 2 ⊢ (((𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷) ∧ (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶)) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐵 × 𝐷))
27	11, 25, 26	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐵 × 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   class class class wbr 5086   × cxp 5609   ≈ cen 8861   ≼ cdom 8862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866

This theorem is referenced by:  map2xp  9055  unxpdom2  9139  sucxpdom  9140  xpnum  9839  infxpenlem  9899  infxpidm2  9903  xpdjuen  10066  mapdjuen  10067  pwdjuen  10068  djuxpdom  10072  ackbij1lem5  10109  canthp1lem1  10538  xpnnen  16115  qnnen  16117  rexpen  16132  met2ndci  24432  re2ndc  24711  dyadmbl  25523  opnmblALT  25526  mbfimaopnlem  25578  mblfinlem1  37697