MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpen 8474
Description: Equinumerosity law for Cartesian product. Proposition 4.22(b) of [Mendelson] p. 254. (Contributed by NM, 24-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpen ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐵 × 𝐷))

Proof of Theorem xpen
StepHypRef Expression
1 relen 8309 . . . . 5 Rel ≈
21brrelex1i 5454 . . . 4 (𝐶𝐷𝐶 ∈ V)
3 endom 8331 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
4 xpdom1g 8408 . . . 4 ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶))
52, 3, 4syl2anr 587 . . 3 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶))
61brrelex2i 5455 . . . 4 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
7 endom 8331 . . . 4 (𝐶𝐷𝐶𝐷)
8 xpdom2g 8407 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶𝐷) → (𝐵 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷))
96, 7, 8syl2an 586 . . 3 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐵 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷))
10 domtr 8357 . . 3 (((𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶) ∧ (𝐵 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷)) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷))
115, 9, 10syl2anc 576 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷))
121brrelex2i 5455 . . . 4 (𝐶𝐷𝐷 ∈ V)
13 ensym 8353 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
14 endom 8331 . . . . 5 (𝐵𝐴𝐵𝐴)
1513, 14syl 17 . . . 4 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
16 xpdom1g 8408 . . . 4 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐵𝐴) → (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐷))
1712, 15, 16syl2anr 587 . . 3 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐷))
181brrelex1i 5454 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
19 ensym 8353 . . . . 5 (𝐶𝐷𝐷𝐶)
20 endom 8331 . . . . 5 (𝐷𝐶𝐷𝐶)
2119, 20syl 17 . . . 4 (𝐶𝐷𝐷𝐶)
22 xpdom2g 8407 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐷𝐶) → (𝐴 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶))
2318, 21, 22syl2an 586 . . 3 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶))
24 domtr 8357 . . 3 (((𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐷) ∧ (𝐴 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶)) → (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶))
2517, 23, 24syl2anc 576 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶))
26 sbth 8431 . 2 (((𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷) ∧ (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶)) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐵 × 𝐷))
2711, 25, 26syl2anc 576 1 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐵 × 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  wcel 2050  Vcvv 3409   class class class wbr 4925   × cxp 5401  cen 8301  cdom 8302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306
This theorem is referenced by:  map2xp  8481  unxpdom2  8519  sucxpdom  8520  xpnum  9172  infxpenlem  9231  infxpidm2  9235  xpdjuen  9401  mapdjuen  9402  pwdjuen  9403  djuxpdom  9407  ackbij1lem5  9442  canthp1lem1  9870  xpnnen  15422  qnnen  15424  rexpen  15439  met2ndci  22847  re2ndc  23124  dyadmbl  23916  opnmblALT  23919  mbfimaopnlem  23971  mblfinlem1  34399
  Copyright terms: Public domain W3C validator