Theorem xpen 9104

Description: Equinumerosity law for Cartesian product. Proposition 4.22(b) of [Mendelson] p. 254. (Contributed by NM, 24-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpen	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐵 × 𝐷))

Proof of Theorem xpen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 8923	. . . . 5 ⊢ Rel ≈
2	1	brrelex1i 5694	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐶 ∈ V)
3		endom 8950	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
4		xpdom1g 9038	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶))
5	2, 3, 4	syl2anr 597	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶))
6	1	brrelex2i 5695	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
7		endom 8950	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐶 ≼ 𝐷)
8		xpdom2g 9037	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) → (𝐵 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷))
9	6, 7, 8	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐵 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷))
10		domtr 8978	. . 3 ⊢ (((𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶) ∧ (𝐵 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷)) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷))
11	5, 9, 10	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷))
12	1	brrelex2i 5695	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐷 ∈ V)
13		ensym 8974	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
14		endom 8950	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴)
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴)
16		xpdom1g 9038	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐷))
17	12, 15, 16	syl2anr 597	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐷))
18	1	brrelex1i 5694	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
19		ensym 8974	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐷 ≈ 𝐶)
20		endom 8950	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ≈ 𝐶 → 𝐷 ≼ 𝐶)
21	19, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐷 ≼ 𝐶)
22		xpdom2g 9037	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐷 ≼ 𝐶) → (𝐴 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶))
23	18, 21, 22	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐴 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶))
24		domtr 8978	. . 3 ⊢ (((𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐷) ∧ (𝐴 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶)) → (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶))
25	17, 23, 24	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶))
26		sbth 9061	. 2 ⊢ (((𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷) ∧ (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶)) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐵 × 𝐷))
27	11, 25, 26	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐵 × 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   class class class wbr 5107   × cxp 5636   ≈ cen 8915   ≼ cdom 8916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920

This theorem is referenced by:  map2xp  9111  unxpdom2  9201  sucxpdom  9202  xpnum  9904  infxpenlem  9966  infxpidm2  9970  xpdjuen  10133  mapdjuen  10134  pwdjuen  10135  djuxpdom  10139  ackbij1lem5  10176  canthp1lem1  10605  xpnnen  16179  qnnen  16181  rexpen  16196  met2ndci  24410  re2ndc  24689  dyadmbl  25501  opnmblALT  25504  mbfimaopnlem  25556  mblfinlem1  37651