Theorem xpen 9068

Description: Equinumerosity law for Cartesian product. Proposition 4.22(b) of [Mendelson] p. 254. (Contributed by NM, 24-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpen	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐵 × 𝐷))

Proof of Theorem xpen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 8888	. . . . 5 ⊢ Rel ≈
2	1	brrelex1i 5674	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐶 ∈ V)
3		endom 8916	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
4		xpdom1g 9002	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶))
5	2, 3, 4	syl2anr 603	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶))
6	1	brrelex2i 5675	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
7		endom 8916	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐶 ≼ 𝐷)
8		xpdom2g 9001	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) → (𝐵 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷))
9	6, 7, 8	syl2an 602	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐵 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷))
10		domtr 8944	. . 3 ⊢ (((𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶) ∧ (𝐵 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷)) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷))
11	5, 9, 10	syl2anc 590	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷))
12	1	brrelex2i 5675	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐷 ∈ V)
13		ensym 8940	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
14		endom 8916	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴)
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴)
16		xpdom1g 9002	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐷))
17	12, 15, 16	syl2anr 603	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐷))
18	1	brrelex1i 5674	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
19		ensym 8940	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐷 ≈ 𝐶)
20		endom 8916	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ≈ 𝐶 → 𝐷 ≼ 𝐶)
21	19, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐷 ≼ 𝐶)
22		xpdom2g 9001	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐷 ≼ 𝐶) → (𝐴 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶))
23	18, 21, 22	syl2an 602	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐴 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶))
24		domtr 8944	. . 3 ⊢ (((𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐷) ∧ (𝐴 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶)) → (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶))
25	17, 23, 24	syl2anc 590	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶))
26		sbth 9025	. 2 ⊢ (((𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷) ∧ (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶)) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐵 × 𝐷))
27	11, 25, 26	syl2anc 590	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐵 × 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   class class class wbr 5072   × cxp 5616   ≈ cen 8880   ≼ cdom 8881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885

This theorem is referenced by:  map2xp  9075  unxpdom2  9160  sucxpdom  9161  xpnum  9866  infxpenlem  9926  infxpidm2  9930  xpdjuen  10093  mapdjuen  10094  pwdjuen  10095  djuxpdom  10099  ackbij1lem5  10136  canthp1lem1  10566  xpnnen  16169  qnnen  16171  rexpen  16186  met2ndci  24505  re2ndc  24784  dyadmbl  25585  opnmblALT  25588  mbfimaopnlem  25640  mblfinlem1  38024