MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpen 9165
Description: Equinumerosity law for Cartesian product. Proposition 4.22(b) of [Mendelson] p. 254. (Contributed by NM, 24-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpen ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐵 × 𝐷))

Proof of Theorem xpen
StepHypRef Expression
1 relen 8969 . . . . 5 Rel ≈
21brrelex1i 5734 . . . 4 (𝐶𝐷𝐶 ∈ V)
3 endom 9000 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
4 xpdom1g 9094 . . . 4 ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶))
52, 3, 4syl2anr 595 . . 3 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶))
61brrelex2i 5735 . . . 4 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
7 endom 9000 . . . 4 (𝐶𝐷𝐶𝐷)
8 xpdom2g 9093 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶𝐷) → (𝐵 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷))
96, 7, 8syl2an 594 . . 3 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐵 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷))
10 domtr 9028 . . 3 (((𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶) ∧ (𝐵 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷)) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷))
115, 9, 10syl2anc 582 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷))
121brrelex2i 5735 . . . 4 (𝐶𝐷𝐷 ∈ V)
13 ensym 9024 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
14 endom 9000 . . . . 5 (𝐵𝐴𝐵𝐴)
1513, 14syl 17 . . . 4 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
16 xpdom1g 9094 . . . 4 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐵𝐴) → (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐷))
1712, 15, 16syl2anr 595 . . 3 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐷))
181brrelex1i 5734 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
19 ensym 9024 . . . . 5 (𝐶𝐷𝐷𝐶)
20 endom 9000 . . . . 5 (𝐷𝐶𝐷𝐶)
2119, 20syl 17 . . . 4 (𝐶𝐷𝐷𝐶)
22 xpdom2g 9093 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐷𝐶) → (𝐴 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶))
2318, 21, 22syl2an 594 . . 3 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶))
24 domtr 9028 . . 3 (((𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐷) ∧ (𝐴 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶)) → (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶))
2517, 23, 24syl2anc 582 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶))
26 sbth 9118 . 2 (((𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷) ∧ (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶)) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐵 × 𝐷))
2711, 25, 26syl2anc 582 1 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐵 × 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wcel 2098  Vcvv 3461   class class class wbr 5149   × cxp 5676  cen 8961  cdom 8962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966
This theorem is referenced by:  map2xp  9172  unxpdom2  9279  sucxpdom  9280  xpnum  9976  infxpenlem  10038  infxpidm2  10042  xpdjuen  10204  mapdjuen  10205  pwdjuen  10206  djuxpdom  10210  ackbij1lem5  10249  canthp1lem1  10677  xpnnen  16191  qnnen  16193  rexpen  16208  met2ndci  24475  re2ndc  24761  dyadmbl  25573  opnmblALT  25576  mbfimaopnlem  25628  mblfinlem1  37258
  Copyright terms: Public domain W3C validator