Theorem xpen 9131

Description: Equinumerosity law for Cartesian product. Proposition 4.22(b) of [Mendelson] p. 254. (Contributed by NM, 24-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpen	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐵 × 𝐷))

Proof of Theorem xpen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 8950	. . . . 5 ⊢ Rel ≈
2	1	brrelex1i 5719	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐶 ∈ V)
3		endom 8978	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
4		xpdom1g 9065	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶))
5	2, 3, 4	syl2anr 609	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶))
6	1	brrelex2i 5720	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
7		endom 8978	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐶 ≼ 𝐷)
8		xpdom2g 9064	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) → (𝐵 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷))
9	6, 7, 8	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐵 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷))
10		domtr 9006	. . 3 ⊢ (((𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶) ∧ (𝐵 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷)) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷))
11	5, 9, 10	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷))
12	1	brrelex2i 5720	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐷 ∈ V)
13		ensym 9002	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
14		endom 8978	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴)
15	13, 14	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴)
16		xpdom1g 9065	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐷))
17	12, 15, 16	syl2anr 609	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐷))
18	1	brrelex1i 5719	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
19		ensym 9002	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐷 ≈ 𝐶)
20		endom 8978	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ≈ 𝐶 → 𝐷 ≼ 𝐶)
21	19, 20	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐷 ≼ 𝐶)
22		xpdom2g 9064	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐷 ≼ 𝐶) → (𝐴 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶))
23	18, 21, 22	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐴 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶))
24		domtr 9006	. . 3 ⊢ (((𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐷) ∧ (𝐴 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶)) → (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶))
25	17, 23, 24	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶))
26		sbth 9088	. 2 ⊢ (((𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷) ∧ (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶)) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐵 × 𝐷))
27	11, 25, 26	syl2anc 596	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐵 × 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   class class class wbr 5111   × cxp 5661   ≈ cen 8942   ≼ cdom 8943

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947

This theorem is used by:  map2xp  9138  unxpdom2  9223  sucxpdom  9224  xpnum  9949  infxpenlem  10009  infxpidm2  10013  xpdjuen  10175  mapdjuen  10176  pwdjuen  10177  djuxpdom  10181  ackbij1lem5  10218  canthp1lem1  10648  xpnnen  16285  qnnen  16287  rexpen  16302  met2ndci  24710  re2ndc  24989  dyadmbl  25790  opnmblALT  25793  mbfimaopnlem  25845  mblfinlem1  38341