Theorem inex 4106

Description: The intersection of two sets is a set. (Contributed by SF, 12-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
boolex.1	⊢ A ∈ V
boolex.2	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
inex	⊢ (A ∩ B) ∈ V

Proof of Theorem inex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		boolex.1	. 2 ⊢ A ∈ V
2		boolex.2	. 2 ⊢ B ∈ V
3		inexg 4101	. 2 ⊢ ((A ∈ V ∧ B ∈ V) → (A ∩ B) ∈ V)
4	1, 2, 3	mp2an 653	1 ⊢ (A ∩ B) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 1710  Vcvv 2860   ∩ cin 3209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-v 2862  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214

This theorem is referenced by:  cnvkexg  4287  ssetkex  4295  sikexg  4297  ins2kexg  4306  ins3kexg  4307  idkex  4315  addcexlem  4383  nnsucelrlem1  4425  nndisjeq  4430  preaddccan2lem1  4455  ltfinex  4465  ssfin  4471  ncfinraiselem2  4481  ncfinlowerlem1  4483  tfinrelkex  4488  evenfinex  4504  oddfinex  4505  evenodddisjlem1  4516  nnadjoinlem1  4520  nnpweqlem1  4523  srelkex  4526  sfintfinlem1  4532  tfinnnlem1  4534  spfinex  4538  phiexg  4572  opexg  4588  proj1exg  4592  proj2exg  4593  phialllem1  4617  phialllem2  4618  setconslem5  4736  1stex  4740  swapex  4743  ssetex  4745  imaexg  4747  coexg  4750  siexg  4753  idex  5505  mptexlem  5811  composeex  5821  addcfnex  5825  funsex  5829  fnsex  5833  crossex  5851  domfnex  5871  ranfnex  5872  clos1ex  5877  transex  5911  refex  5912  antisymex  5913  connexex  5914  foundex  5915  extex  5916  symex  5917  partialex  5918  strictex  5919  weex  5920  erex  5921  mapexi  6004  fnpm  6009  enpw1lem1  6062  enmap2lem1  6064  enmap1lem1  6070  nenpw1pwlem1  6085  ovmuc  6131  mucex  6134  ovcelem1  6172  ceex  6175  sbthlem1  6204  tcfnex  6245  nmembers1lem1  6269  nncdiv3lem2  6277  nnc3n3p1  6279  spacvallem1  6282  nchoicelem11  6300  nchoicelem18  6307