Theorem imageexg 5801

Description: The image function of a set is a set. (Contributed by SF, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
imageexg	⊢ (A ∈ V → ImageA ∈ V)

Proof of Theorem imageexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-image 5755	. 2 ⊢ ImageA = ∼ (( Ins2 S ⊕ Ins3 ( S ∘ ◡ SI A)) “ 1c)
2		siexg 4753	. . . . 5 ⊢ (A ∈ V → SI A ∈ V)
3		cnvexg 5102	. . . . 5 ⊢ ( SI A ∈ V → ◡ SI A ∈ V)
4		ssetex 4745	. . . . . 6 ⊢ S ∈ V
5		coexg 4750	. . . . . 6 ⊢ (( S ∈ V ∧ ◡ SI A ∈ V) → ( S ∘ ◡ SI A) ∈ V)
6	4, 5	mpan 651	. . . . 5 ⊢ (◡ SI A ∈ V → ( S ∘ ◡ SI A) ∈ V)
7	2, 3, 6	3syl 18	. . . 4 ⊢ (A ∈ V → ( S ∘ ◡ SI A) ∈ V)
8		ins3exg 5797	. . . 4 ⊢ (( S ∘ ◡ SI A) ∈ V → Ins3 ( S ∘ ◡ SI A) ∈ V)
9	4	ins2ex 5798	. . . . 5 ⊢ Ins2 S ∈ V
10		symdifexg 4104	. . . . 5 ⊢ (( Ins2 S ∈ V ∧ Ins3 ( S ∘ ◡ SI A) ∈ V) → ( Ins2 S ⊕ Ins3 ( S ∘ ◡ SI A)) ∈ V)
11	9, 10	mpan 651	. . . 4 ⊢ ( Ins3 ( S ∘ ◡ SI A) ∈ V → ( Ins2 S ⊕ Ins3 ( S ∘ ◡ SI A)) ∈ V)
12	7, 8, 11	3syl 18	. . 3 ⊢ (A ∈ V → ( Ins2 S ⊕ Ins3 ( S ∘ ◡ SI A)) ∈ V)
13		1cex 4143	. . . 4 ⊢ 1c ∈ V
14		imaexg 4747	. . . 4 ⊢ ((( Ins2 S ⊕ Ins3 ( S ∘ ◡ SI A)) ∈ V ∧ 1c ∈ V) → (( Ins2 S ⊕ Ins3 ( S ∘ ◡ SI A)) “ 1c) ∈ V)
15	13, 14	mpan2 652	. . 3 ⊢ (( Ins2 S ⊕ Ins3 ( S ∘ ◡ SI A)) ∈ V → (( Ins2 S ⊕ Ins3 ( S ∘ ◡ SI A)) “ 1c) ∈ V)
16		complexg 4100	. . 3 ⊢ ((( Ins2 S ⊕ Ins3 ( S ∘ ◡ SI A)) “ 1c) ∈ V → ∼ (( Ins2 S ⊕ Ins3 ( S ∘ ◡ SI A)) “ 1c) ∈ V)
17	12, 15, 16	3syl 18	. 2 ⊢ (A ∈ V → ∼ (( Ins2 S ⊕ Ins3 ( S ∘ ◡ SI A)) “ 1c) ∈ V)
18	1, 17	syl5eqel 2437	1 ⊢ (A ∈ V → ImageA ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1710  Vcvv 2860   ∼ ccompl 3206   ⊕ csymdif 3210  1_cc1c 4135   S csset 4720   SI csi 4721   ∘ ccom 4722   “ cima 4723  ^◡ccnv 4772   Ins2 cins2 5750   Ins3 cins3 5752  Imagecimage 5754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-1st 4724  df-swap 4725  df-sset 4726  df-co 4727  df-ima 4728  df-si 4729  df-cnv 4786  df-2nd 4798  df-txp 5737  df-ins2 5751  df-ins3 5753  df-image 5755

This theorem is referenced by:  imageex  5802