Theorem 0dvds 12522

Description: Only 0 is divisible by 0. Theorem 1.1(h) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
0dvds	|- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> N = 0 ) )

Proof of Theorem 0dvds

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9605	. . . 4 |- 0 e. ZZ
2		divides 12500	. . . 4 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 || N <-> E. n e. ZZ ( n x. 0 ) = N ) )
3	1, 2	mpan 424	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> E. n e. ZZ ( n x. 0 ) = N ) )
4		zcn 9599	. . . . . . 7 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
5	4	mul01d 8683	. . . . . 6 |- ( n e. ZZ -> ( n x. 0 ) = 0 )
6		eqtr2 2253	. . . . . 6 |- ( ( ( n x. 0 ) = N /\ ( n x. 0 ) = 0 ) -> N = 0 )
7	5, 6	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( ( n x. 0 ) = N /\ n e. ZZ ) -> N = 0 )
8	7	ancoms 268	. . . 4 |- ( ( n e. ZZ /\ ( n x. 0 ) = N ) -> N = 0 )
9	8	rexlimiva 2657	. . 3 |- ( E. n e. ZZ ( n x. 0 ) = N -> N = 0 )
10	3, 9	biimtrdi 163	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N -> N = 0 ) )
11		dvds0 12517	. . . 4 |- ( 0 e. ZZ -> 0 || 0 )
12	1, 11	ax-mp 5	. . 3 |- 0 || 0
13		breq2 4118	. . 3 |- ( N = 0 -> ( 0 || N <-> 0 || 0 ) )
14	12, 13	mpbiri 168	. 2 |- ( N = 0 -> 0 || N )
15	10, 14	impbid1 142	1 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> N = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   E.wrex 2523   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   0cc0 8143   x. cmul 8148   ZZcz 9594   || cdvds 12498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-setind 4664  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-sub 8462  df-neg 8463  df-z 9595  df-dvds 12499

This theorem is referenced by:  zdvdsdc  12523  fsumdvds  12553  dvdsabseq  12558  bezoutlemle  12729  dfgcd3  12731  dfgcd2  12735  dvdssq  12752  rpdvds  12821  pcdvdstr  13050  pc2dvds  13053  znf1o  14925