Theorem 0dvds 12435

Description: Only 0 is divisible by 0. Theorem 1.1(h) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
0dvds	|- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> N = 0 ) )

Proof of Theorem 0dvds

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9534	. . . 4 |- 0 e. ZZ
2		divides 12413	. . . 4 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 || N <-> E. n e. ZZ ( n x. 0 ) = N ) )
3	1, 2	mpan 424	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> E. n e. ZZ ( n x. 0 ) = N ) )
4		zcn 9528	. . . . . . 7 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
5	4	mul01d 8614	. . . . . 6 |- ( n e. ZZ -> ( n x. 0 ) = 0 )
6		eqtr2 2250	. . . . . 6 |- ( ( ( n x. 0 ) = N /\ ( n x. 0 ) = 0 ) -> N = 0 )
7	5, 6	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( ( n x. 0 ) = N /\ n e. ZZ ) -> N = 0 )
8	7	ancoms 268	. . . 4 |- ( ( n e. ZZ /\ ( n x. 0 ) = N ) -> N = 0 )
9	8	rexlimiva 2646	. . 3 |- ( E. n e. ZZ ( n x. 0 ) = N -> N = 0 )
10	3, 9	biimtrdi 163	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N -> N = 0 ) )
11		dvds0 12430	. . . 4 |- ( 0 e. ZZ -> 0 || 0 )
12	1, 11	ax-mp 5	. . 3 |- 0 || 0
13		breq2 4097	. . 3 |- ( N = 0 -> ( 0 || N <-> 0 || 0 ) )
14	12, 13	mpbiri 168	. 2 |- ( N = 0 -> 0 || N )
15	10, 14	impbid1 142	1 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> N = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   E.wrex 2512   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   0cc0 8075   x. cmul 8080   ZZcz 9523   || cdvds 12411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-setind 4641  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-sub 8394  df-neg 8395  df-z 9524  df-dvds 12412

This theorem is referenced by:  zdvdsdc  12436  fsumdvds  12466  dvdsabseq  12471  bezoutlemle  12642  dfgcd3  12644  dfgcd2  12648  dvdssq  12665  rpdvds  12734  pcdvdstr  12963  pc2dvds  12966  znf1o  14730