Theorem 0dvds 11549

Description: Only 0 is divisible by 0. Theorem 1.1(h) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
0dvds	|- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> N = 0 ) )

Proof of Theorem 0dvds

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9089	. . . 4 |- 0 e. ZZ
2		divides 11531	. . . 4 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 || N <-> E. n e. ZZ ( n x. 0 ) = N ) )
3	1, 2	mpan 421	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> E. n e. ZZ ( n x. 0 ) = N ) )
4		zcn 9083	. . . . . . 7 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
5	4	mul01d 8179	. . . . . 6 |- ( n e. ZZ -> ( n x. 0 ) = 0 )
6		eqtr2 2159	. . . . . 6 |- ( ( ( n x. 0 ) = N /\ ( n x. 0 ) = 0 ) -> N = 0 )
7	5, 6	sylan2 284	. . . . 5 |- ( ( ( n x. 0 ) = N /\ n e. ZZ ) -> N = 0 )
8	7	ancoms 266	. . . 4 |- ( ( n e. ZZ /\ ( n x. 0 ) = N ) -> N = 0 )
9	8	rexlimiva 2547	. . 3 |- ( E. n e. ZZ ( n x. 0 ) = N -> N = 0 )
10	3, 9	syl6bi 162	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N -> N = 0 ) )
11		dvds0 11544	. . . 4 |- ( 0 e. ZZ -> 0 || 0 )
12	1, 11	ax-mp 5	. . 3 |- 0 || 0
13		breq2 3941	. . 3 |- ( N = 0 -> ( 0 || N <-> 0 || 0 ) )
14	12, 13	mpbiri 167	. 2 |- ( N = 0 -> 0 || N )
15	10, 14	impbid1 141	1 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> N = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   E.wrex 2418   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   0cc0 7644   x. cmul 7649   ZZcz 9078   || cdvds 11529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-setind 4460  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-sub 7959  df-neg 7960  df-z 9079  df-dvds 11530

This theorem is referenced by:  zdvdsdc  11550  dvdsabseq  11581  bezoutlemle  11732  dfgcd3  11734  dfgcd2  11738  dvdssq  11755  rpdvds  11816