Theorem 0dvds 12317

Description: Only 0 is divisible by 0. Theorem 1.1(h) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
0dvds	|- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> N = 0 ) )

Proof of Theorem 0dvds

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9453	. . . 4 |- 0 e. ZZ
2		divides 12295	. . . 4 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 || N <-> E. n e. ZZ ( n x. 0 ) = N ) )
3	1, 2	mpan 424	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> E. n e. ZZ ( n x. 0 ) = N ) )
4		zcn 9447	. . . . . . 7 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
5	4	mul01d 8535	. . . . . 6 |- ( n e. ZZ -> ( n x. 0 ) = 0 )
6		eqtr2 2248	. . . . . 6 |- ( ( ( n x. 0 ) = N /\ ( n x. 0 ) = 0 ) -> N = 0 )
7	5, 6	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( ( n x. 0 ) = N /\ n e. ZZ ) -> N = 0 )
8	7	ancoms 268	. . . 4 |- ( ( n e. ZZ /\ ( n x. 0 ) = N ) -> N = 0 )
9	8	rexlimiva 2643	. . 3 |- ( E. n e. ZZ ( n x. 0 ) = N -> N = 0 )
10	3, 9	biimtrdi 163	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N -> N = 0 ) )
11		dvds0 12312	. . . 4 |- ( 0 e. ZZ -> 0 || 0 )
12	1, 11	ax-mp 5	. . 3 |- 0 || 0
13		breq2 4086	. . 3 |- ( N = 0 -> ( 0 || N <-> 0 || 0 ) )
14	12, 13	mpbiri 168	. 2 |- ( N = 0 -> 0 || N )
15	10, 14	impbid1 142	1 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> N = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   E.wrex 2509   class class class wbr 4082  (class class class)co 6000   0cc0 7995   x. cmul 8000   ZZcz 9442   || cdvds 12293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-setind 4628  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-sub 8315  df-neg 8316  df-z 9443  df-dvds 12294

This theorem is referenced by:  zdvdsdc  12318  fsumdvds  12348  dvdsabseq  12353  bezoutlemle  12524  dfgcd3  12526  dfgcd2  12530  dvdssq  12547  rpdvds  12616  pcdvdstr  12845  pc2dvds  12848  znf1o  14609