Theorem 0dvds 11773

Description: Only 0 is divisible by 0. Theorem 1.1(h) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
0dvds	|- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> N = 0 ) )

Proof of Theorem 0dvds

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9223	. . . 4 |- 0 e. ZZ
2		divides 11751	. . . 4 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 || N <-> E. n e. ZZ ( n x. 0 ) = N ) )
3	1, 2	mpan 422	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> E. n e. ZZ ( n x. 0 ) = N ) )
4		zcn 9217	. . . . . . 7 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
5	4	mul01d 8312	. . . . . 6 |- ( n e. ZZ -> ( n x. 0 ) = 0 )
6		eqtr2 2189	. . . . . 6 |- ( ( ( n x. 0 ) = N /\ ( n x. 0 ) = 0 ) -> N = 0 )
7	5, 6	sylan2 284	. . . . 5 |- ( ( ( n x. 0 ) = N /\ n e. ZZ ) -> N = 0 )
8	7	ancoms 266	. . . 4 |- ( ( n e. ZZ /\ ( n x. 0 ) = N ) -> N = 0 )
9	8	rexlimiva 2582	. . 3 |- ( E. n e. ZZ ( n x. 0 ) = N -> N = 0 )
10	3, 9	syl6bi 162	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N -> N = 0 ) )
11		dvds0 11768	. . . 4 |- ( 0 e. ZZ -> 0 || 0 )
12	1, 11	ax-mp 5	. . 3 |- 0 || 0
13		breq2 3993	. . 3 |- ( N = 0 -> ( 0 || N <-> 0 || 0 ) )
14	12, 13	mpbiri 167	. 2 |- ( N = 0 -> 0 || N )
15	10, 14	impbid1 141	1 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> N = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   E.wrex 2449   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   0cc0 7774   x. cmul 7779   ZZcz 9212   || cdvds 11749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-setind 4521  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-sub 8092  df-neg 8093  df-z 9213  df-dvds 11750

This theorem is referenced by:  zdvdsdc  11774  dvdsabseq  11807  bezoutlemle  11963  dfgcd3  11965  dfgcd2  11969  dvdssq  11986  rpdvds  12053  pcdvdstr  12280  pc2dvds  12283