Theorem dvds0 12366

Description: Any integer divides 0. Theorem 1.1(g) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvds0	|- ( N e. ZZ -> N || 0 )

Proof of Theorem dvds0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9483	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
2	1	mul02d 8570	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( 0 x. N ) = 0 )
3		0z 9489	. . 3 |- 0 e. ZZ
4		dvds0lem 12361	. . . 4 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) /\ ( 0 x. N ) = 0 ) -> N || 0 )
5	4	ex 115	. . 3 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( 0 x. N ) = 0 -> N || 0 ) )
6	3, 3, 5	mp3an13 1364	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( ( 0 x. N ) = 0 -> N || 0 ) )
7	2, 6	mpd 13	1 |- ( N e. ZZ -> N || 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017   0cc0 8031   x. cmul 8036   ZZcz 9478   || cdvds 12347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-sub 8351  df-neg 8352  df-z 9479  df-dvds 12348

This theorem is referenced by:  0dvds  12371  fsumdvds  12402  alzdvds  12414  fzo0dvdseq  12417  z0even  12471  gcddvds  12533  gcd0id  12549  bezoutlemmain  12568  dfgcd3  12580  dfgcd2  12584  dvdssq  12601  dvdslcm  12640  lcmdvds  12650  mulgcddvds  12665  odzdvds  12817  pcdvdsb  12892  pcz  12904  lgsne0  15766