Theorem dvds0 12312

Description: Any integer divides 0. Theorem 1.1(g) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvds0	|- ( N e. ZZ -> N || 0 )

Proof of Theorem dvds0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9447	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
2	1	mul02d 8534	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( 0 x. N ) = 0 )
3		0z 9453	. . 3 |- 0 e. ZZ
4		dvds0lem 12307	. . . 4 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) /\ ( 0 x. N ) = 0 ) -> N || 0 )
5	4	ex 115	. . 3 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( 0 x. N ) = 0 -> N || 0 ) )
6	3, 3, 5	mp3an13 1362	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( ( 0 x. N ) = 0 -> N || 0 ) )
7	2, 6	mpd 13	1 |- ( N e. ZZ -> N || 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4082  (class class class)co 6000   0cc0 7995   x. cmul 8000   ZZcz 9442   || cdvds 12293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-setind 4628  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-sub 8315  df-neg 8316  df-z 9443  df-dvds 12294

This theorem is referenced by:  0dvds  12317  fsumdvds  12348  alzdvds  12360  fzo0dvdseq  12363  z0even  12417  gcddvds  12479  gcd0id  12495  bezoutlemmain  12514  dfgcd3  12526  dfgcd2  12530  dvdssq  12547  dvdslcm  12586  lcmdvds  12596  mulgcddvds  12611  odzdvds  12763  pcdvdsb  12838  pcz  12850  lgsne0  15711