ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvds0 Unicode version

Theorem dvds0 11515
Description: Any integer divides 0. Theorem 1.1(g) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvds0  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  ||  0 )

Proof of Theorem dvds0
StepHypRef Expression
1 zcn 9066 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
21mul02d 8161 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  x.  N )  =  0 )
3 0z 9072 . . 3  |-  0  e.  ZZ
4 dvds0lem 11510 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  /\  ( 0  x.  N
)  =  0 )  ->  N  ||  0
)
54ex 114 . . 3  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  (
( 0  x.  N
)  =  0  ->  N  ||  0 ) )
63, 3, 5mp3an13 1306 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( 0  x.  N
)  =  0  ->  N  ||  0 ) )
72, 6mpd 13 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  ||  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   0cc0 7627    x. cmul 7632   ZZcz 9061    || cdvds 11500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7942  df-neg 7943  df-z 9062  df-dvds 11501
This theorem is referenced by:  0dvds  11520  alzdvds  11559  fzo0dvdseq  11562  z0even  11615  gcddvds  11659  gcd0id  11674  bezoutlemmain  11693  dfgcd3  11705  dfgcd2  11709  dvdssq  11726  dvdslcm  11757  lcmdvds  11767  mulgcddvds  11782
  Copyright terms: Public domain W3C validator