Theorem dvds0 12036

Description: Any integer divides 0. Theorem 1.1(g) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvds0	|- ( N e. ZZ -> N || 0 )

Proof of Theorem dvds0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9359	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
2	1	mul02d 8446	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( 0 x. N ) = 0 )
3		0z 9365	. . 3 |- 0 e. ZZ
4		dvds0lem 12031	. . . 4 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) /\ ( 0 x. N ) = 0 ) -> N || 0 )
5	4	ex 115	. . 3 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( 0 x. N ) = 0 -> N || 0 ) )
6	3, 3, 5	mp3an13 1340	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( ( 0 x. N ) = 0 -> N || 0 ) )
7	2, 6	mpd 13	1 |- ( N e. ZZ -> N || 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   = wceq 1372   e. wcel 2175   class class class wbr 4043  (class class class)co 5934   0cc0 7907   x. cmul 7912   ZZcz 9354   || cdvds 12017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-setind 4583  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-addcom 8007  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-cnre 8018

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-sub 8227  df-neg 8228  df-z 9355  df-dvds 12018

This theorem is referenced by:  0dvds  12041  fsumdvds  12072  alzdvds  12084  fzo0dvdseq  12087  z0even  12141  gcddvds  12203  gcd0id  12219  bezoutlemmain  12238  dfgcd3  12250  dfgcd2  12254  dvdssq  12271  dvdslcm  12310  lcmdvds  12320  mulgcddvds  12335  odzdvds  12487  pcdvdsb  12562  pcz  12574  lgsne0  15433