Theorem dvds0 12332

Description: Any integer divides 0. Theorem 1.1(g) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvds0	|- ( N e. ZZ -> N || 0 )

Proof of Theorem dvds0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9462	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
2	1	mul02d 8549	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( 0 x. N ) = 0 )
3		0z 9468	. . 3 |- 0 e. ZZ
4		dvds0lem 12327	. . . 4 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) /\ ( 0 x. N ) = 0 ) -> N || 0 )
5	4	ex 115	. . 3 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( 0 x. N ) = 0 -> N || 0 ) )
6	3, 3, 5	mp3an13 1362	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( ( 0 x. N ) = 0 -> N || 0 ) )
7	2, 6	mpd 13	1 |- ( N e. ZZ -> N || 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007   0cc0 8010   x. cmul 8015   ZZcz 9457   || cdvds 12313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-sub 8330  df-neg 8331  df-z 9458  df-dvds 12314

This theorem is referenced by:  0dvds  12337  fsumdvds  12368  alzdvds  12380  fzo0dvdseq  12383  z0even  12437  gcddvds  12499  gcd0id  12515  bezoutlemmain  12534  dfgcd3  12546  dfgcd2  12550  dvdssq  12567  dvdslcm  12606  lcmdvds  12616  mulgcddvds  12631  odzdvds  12783  pcdvdsb  12858  pcz  12870  lgsne0  15732