Theorem zdvdsdc 11818

Description: Divisibility of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
zdvdsdc	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID M || N )

Proof of Theorem zdvdsdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M < 0 ) -> M e. ZZ )
2	1	znegcld 9376	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M < 0 ) -> -u M e. ZZ )
3		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M < 0 ) -> M < 0 )
4	1	zred 9374	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M < 0 ) -> M e. RR )
5	4	lt0neg1d 8471	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M < 0 ) -> ( M < 0 <-> 0 < -u M ) )
6	3, 5	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M < 0 ) -> 0 < -u M )
7		elnnz 9262	. . . . 5 |- ( -u M e. NN <-> ( -u M e. ZZ /\ 0 < -u M ) )
8	2, 6, 7	sylanbrc 417	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M < 0 ) -> -u M e. NN )
9		simplr 528	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M < 0 ) -> N e. ZZ )
10		dvdsdc 11804	. . . 4 |- ( ( -u M e. NN /\ N e. ZZ ) -> DECID -u M || N )
11	8, 9, 10	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M < 0 ) -> DECID -u M || N )
12		negdvdsb 11813	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> -u M || N ) )
13	12	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M < 0 ) -> ( M || N <-> -u M || N ) )
14	13	dcbid 838	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M < 0 ) -> (DECID M || N <-> DECID -u M || N ) )
15	11, 14	mpbird 167	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M < 0 ) -> DECID M || N )
16		0z 9263	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
17		zdceq 9327	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
18	16, 17	mpan2 425	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> DECID N = 0 )
19	18	ad2antlr 489	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M = 0 ) -> DECID N = 0 )
20		breq1 4006	. . . . . 6 |- ( M = 0 -> ( M || N <-> 0 || N ) )
21	20	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M = 0 ) -> ( M || N <-> 0 || N ) )
22		0dvds 11817	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> N = 0 ) )
23	22	ad2antlr 489	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M = 0 ) -> ( 0 || N <-> N = 0 ) )
24	21, 23	bitrd 188	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M = 0 ) -> ( M || N <-> N = 0 ) )
25	24	dcbid 838	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M = 0 ) -> (DECID M || N <-> DECID N = 0 ) )
26	19, 25	mpbird 167	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M = 0 ) -> DECID M || N )
27		simpll 527	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 0 < M ) -> M e. ZZ )
28		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 0 < M ) -> 0 < M )
29		elnnz 9262	. . . 4 |- ( M e. NN <-> ( M e. ZZ /\ 0 < M ) )
30	27, 28, 29	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 0 < M ) -> M e. NN )
31		simplr 528	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 0 < M ) -> N e. ZZ )
32		dvdsdc 11804	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. ZZ ) -> DECID M || N )
33	30, 31, 32	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 0 < M ) -> DECID M || N )
34		ztri3or0 9294	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( M < 0 \/ M = 0 \/ 0 < M ) )
35	34	adantr 276	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < 0 \/ M = 0 \/ 0 < M ) )
36	15, 26, 33, 35	mpjao3dan 1307	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID M || N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 834   \/ w3o 977   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4003   0cc0 7810   < clt 7991   -ucneg 8128   NNcn 8918   ZZcz 9252   || cdvds 11793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-q 9619  df-rp 9653  df-fl 10269  df-mod 10322  df-dvds 11794

This theorem is referenced by:  lcmval  12062  lcmcllem  12066  lcmledvds  12069  phiprmpw  12221  pclemdc  12287  pc2dvds  12328  unennn  12397