Theorem dvdssq 11964

Description: Two numbers are divisible iff their squares are. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdssq	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem dvdssq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9202	. . . 4 |- 0 e. ZZ
2		zdceq 9266	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID M = 0 )
3	1, 2	mpan2 422	. . 3 |- ( M e. ZZ -> DECID M = 0 )
4		exmiddc 826	. . 3 |- (DECID M = 0 -> ( M = 0 \/ -. M = 0 ) )
5		0dvds 11751	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> N = 0 ) )
6		zcn 9196	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
7		sqeq0 10518	. . . . . . . . 9 |- ( N e. CC -> ( ( N ^ 2 ) = 0 <-> N = 0 ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( ( N ^ 2 ) = 0 <-> N = 0 ) )
9	5, 8	bitr4d 190	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> ( N ^ 2 ) = 0 ) )
10		zsqcl 10525	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( N ^ 2 ) e. ZZ )
11		0dvds 11751	. . . . . . . 8 |- ( ( N ^ 2 ) e. ZZ -> ( 0 || ( N ^ 2 ) <-> ( N ^ 2 ) = 0 ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || ( N ^ 2 ) <-> ( N ^ 2 ) = 0 ) )
13	9, 12	bitr4d 190	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> 0 || ( N ^ 2 ) ) )
14	13	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 || N <-> 0 || ( N ^ 2 ) ) )
15		breq1 3985	. . . . . 6 |- ( M = 0 -> ( M || N <-> 0 || N ) )
16		sq0i 10546	. . . . . . 7 |- ( M = 0 -> ( M ^ 2 ) = 0 )
17	16	breq1d 3992	. . . . . 6 |- ( M = 0 -> ( ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) <-> 0 || ( N ^ 2 ) ) )
18	15, 17	bibi12d 234	. . . . 5 |- ( M = 0 -> ( ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) <-> ( 0 || N <-> 0 || ( N ^ 2 ) ) ) )
19	14, 18	syl5ibr 155	. . . 4 |- ( M = 0 -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
20		df-ne 2337	. . . . 5 |- ( M =/= 0 <-> -. M = 0 )
21		nnabscl 11042	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) -> ( abs ` M ) e. NN )
22		zdceq 9266	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
23	1, 22	mpan2 422	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> DECID N = 0 )
24		exmiddc 826	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID N = 0 -> ( N = 0 \/ -. N = 0 ) )
25		nnz 9210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( abs ` M ) e. NN -> ( abs ` M ) e. ZZ )
26		dvds0 11746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( abs ` M ) e. ZZ -> ( abs ` M ) || 0 )
27		zsqcl 10525	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( abs ` M ) e. ZZ -> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) e. ZZ )
28		dvds0 11746	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( abs ` M ) ^ 2 ) e. ZZ -> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || 0 )
29	27, 28	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( abs ` M ) e. ZZ -> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || 0 )
30	26, 29	2thd 174	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( abs ` M ) e. ZZ -> ( ( abs ` M ) || 0 <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || 0 ) )
31	25, 30	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( abs ` M ) e. NN -> ( ( abs ` M ) || 0 <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || 0 ) )
32	31	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || 0 <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || 0 ) )
33		breq2 3986	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N = 0 -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( abs ` M ) || 0 ) )
34		sq0i 10546	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N = 0 -> ( N ^ 2 ) = 0 )
35	34	breq2d 3994	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N = 0 -> ( ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || 0 ) )
36	33, 35	bibi12d 234	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N = 0 -> ( ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) <-> ( ( abs ` M ) || 0 <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || 0 ) ) )
37	32, 36	syl5ibr 155	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N = 0 -> ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
38		df-ne 2337	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N =/= 0 <-> -. N = 0 )
39		nnabscl 11042	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( abs ` N ) e. NN )
40		dvdssqlem 11963	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ ( abs ` N ) e. NN ) -> ( ( abs ` M ) || ( abs ` N ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( ( abs ` N ) ^ 2 ) ) )
41	39, 40	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( abs ` M ) || ( abs ` N ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( ( abs ` N ) ^ 2 ) ) )
42		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> N e. ZZ )
43		dvdsabsb 11750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( abs ` M ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( abs ` M ) || ( abs ` N ) ) )
44	25, 42, 43	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( abs ` M ) || ( abs ` N ) ) )
45		nnsqcl 10524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( abs ` M ) e. NN -> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) e. NN )
46	45	nnzd 9312	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( abs ` M ) e. NN -> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) e. ZZ )
47	10	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( N ^ 2 ) e. ZZ )
48		dvdsabsb 11750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( abs ` M ) ^ 2 ) e. ZZ /\ ( N ^ 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( abs ` ( N ^ 2 ) ) ) )
49	46, 47, 48	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( abs ` ( N ^ 2 ) ) ) )
50	6	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> N e. CC )
51		abssq 11023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. CC -> ( ( abs ` N ) ^ 2 ) = ( abs ` ( N ^ 2 ) ) )
52	50, 51	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( ( abs ` N ) ^ 2 ) = ( abs ` ( N ^ 2 ) ) )
53	52	breq2d 3994	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( ( abs ` N ) ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( abs ` ( N ^ 2 ) ) ) )
54	53	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( ( abs ` N ) ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( abs ` ( N ^ 2 ) ) ) )
55	49, 54	bitr4d 190	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( ( abs ` N ) ^ 2 ) ) )
56	41, 44, 55	3bitr4d 219	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
57	56	anassrs 398	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ N e. ZZ ) /\ N =/= 0 ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
58	57	expcom 115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N =/= 0 -> ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
59	38, 58	sylbir 134	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. N = 0 -> ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
60	37, 59	jaoi 706	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N = 0 \/ -. N = 0 ) -> ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
61	23, 24, 60	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
62	61	anabsi7 571	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
63	21, 62	sylan 281	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
64		absdvdsb 11749	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( abs ` M ) || N ) )
65	64	adantlr 469	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( abs ` M ) || N ) )
66		zsqcl 10525	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( M ^ 2 ) e. ZZ )
67	66	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) -> ( M ^ 2 ) e. ZZ )
68		absdvdsb 11749	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M ^ 2 ) e. ZZ /\ ( N ^ 2 ) e. ZZ ) -> ( ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) <-> ( abs ` ( M ^ 2 ) ) || ( N ^ 2 ) ) )
69	67, 10, 68	syl2an 287	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) <-> ( abs ` ( M ^ 2 ) ) || ( N ^ 2 ) ) )
70		zcn 9196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
71		abssq 11023	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. CC -> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) = ( abs ` ( M ^ 2 ) ) )
72	70, 71	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ZZ -> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) = ( abs ` ( M ^ 2 ) ) )
73	72	eqcomd 2171	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> ( abs ` ( M ^ 2 ) ) = ( ( abs ` M ) ^ 2 ) )
74	73	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) -> ( abs ` ( M ^ 2 ) ) = ( ( abs ` M ) ^ 2 ) )
75	74	breq1d 3992	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) -> ( ( abs ` ( M ^ 2 ) ) || ( N ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
76	75	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( M ^ 2 ) ) || ( N ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
77	69, 76	bitrd 187	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
78	63, 65, 77	3bitr4d 219	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
79	78	an32s 558	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
80	79	expcom 115	. . . . 5 |- ( M =/= 0 -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
81	20, 80	sylbir 134	. . . 4 |- ( -. M = 0 -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
82	19, 81	jaoi 706	. . 3 |- ( ( M = 0 \/ -. M = 0 ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
83	3, 4, 82	3syl 17	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
84	83	anabsi5 569	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 824   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2336   class class class wbr 3982   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   CCcc 7751   0cc0 7753   NNcn 8857   2c2 8908   ZZcz 9191   ^cexp 10454   abscabs 10939   || cdvds 11727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-sup 6949  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-fl 10205  df-mod 10258  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-dvds 11728  df-gcd 11876

This theorem is referenced by:  pythagtriplem19  12214  4sqlem9  12316  4sqlem10  12317  lgsdir  13576  2sqlem8a  13598