Theorem dvdssq 11719

Description: Two numbers are divisible iff their squares are. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdssq	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem dvdssq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9065	. . . 4 |- 0 e. ZZ
2		zdceq 9126	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID M = 0 )
3	1, 2	mpan2 421	. . 3 |- ( M e. ZZ -> DECID M = 0 )
4		exmiddc 821	. . 3 |- (DECID M = 0 -> ( M = 0 \/ -. M = 0 ) )
5		0dvds 11513	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> N = 0 ) )
6		zcn 9059	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
7		sqeq0 10356	. . . . . . . . 9 |- ( N e. CC -> ( ( N ^ 2 ) = 0 <-> N = 0 ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( ( N ^ 2 ) = 0 <-> N = 0 ) )
9	5, 8	bitr4d 190	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> ( N ^ 2 ) = 0 ) )
10		zsqcl 10363	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( N ^ 2 ) e. ZZ )
11		0dvds 11513	. . . . . . . 8 |- ( ( N ^ 2 ) e. ZZ -> ( 0 || ( N ^ 2 ) <-> ( N ^ 2 ) = 0 ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || ( N ^ 2 ) <-> ( N ^ 2 ) = 0 ) )
13	9, 12	bitr4d 190	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> 0 || ( N ^ 2 ) ) )
14	13	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 || N <-> 0 || ( N ^ 2 ) ) )
15		breq1 3932	. . . . . 6 |- ( M = 0 -> ( M || N <-> 0 || N ) )
16		sq0i 10384	. . . . . . 7 |- ( M = 0 -> ( M ^ 2 ) = 0 )
17	16	breq1d 3939	. . . . . 6 |- ( M = 0 -> ( ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) <-> 0 || ( N ^ 2 ) ) )
18	15, 17	bibi12d 234	. . . . 5 |- ( M = 0 -> ( ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) <-> ( 0 || N <-> 0 || ( N ^ 2 ) ) ) )
19	14, 18	syl5ibr 155	. . . 4 |- ( M = 0 -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
20		df-ne 2309	. . . . 5 |- ( M =/= 0 <-> -. M = 0 )
21		nnabscl 10872	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) -> ( abs ` M ) e. NN )
22		zdceq 9126	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
23	1, 22	mpan2 421	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> DECID N = 0 )
24		exmiddc 821	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID N = 0 -> ( N = 0 \/ -. N = 0 ) )
25		nnz 9073	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( abs ` M ) e. NN -> ( abs ` M ) e. ZZ )
26		dvds0 11508	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( abs ` M ) e. ZZ -> ( abs ` M ) || 0 )
27		zsqcl 10363	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( abs ` M ) e. ZZ -> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) e. ZZ )
28		dvds0 11508	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( abs ` M ) ^ 2 ) e. ZZ -> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || 0 )
29	27, 28	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( abs ` M ) e. ZZ -> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || 0 )
30	26, 29	2thd 174	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( abs ` M ) e. ZZ -> ( ( abs ` M ) || 0 <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || 0 ) )
31	25, 30	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( abs ` M ) e. NN -> ( ( abs ` M ) || 0 <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || 0 ) )
32	31	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || 0 <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || 0 ) )
33		breq2 3933	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N = 0 -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( abs ` M ) || 0 ) )
34		sq0i 10384	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N = 0 -> ( N ^ 2 ) = 0 )
35	34	breq2d 3941	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N = 0 -> ( ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || 0 ) )
36	33, 35	bibi12d 234	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N = 0 -> ( ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) <-> ( ( abs ` M ) || 0 <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || 0 ) ) )
37	32, 36	syl5ibr 155	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N = 0 -> ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
38		df-ne 2309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N =/= 0 <-> -. N = 0 )
39		nnabscl 10872	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( abs ` N ) e. NN )
40		dvdssqlem 11718	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ ( abs ` N ) e. NN ) -> ( ( abs ` M ) || ( abs ` N ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( ( abs ` N ) ^ 2 ) ) )
41	39, 40	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( abs ` M ) || ( abs ` N ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( ( abs ` N ) ^ 2 ) ) )
42		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> N e. ZZ )
43		dvdsabsb 11512	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( abs ` M ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( abs ` M ) || ( abs ` N ) ) )
44	25, 42, 43	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( abs ` M ) || ( abs ` N ) ) )
45		nnsqcl 10362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( abs ` M ) e. NN -> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) e. NN )
46	45	nnzd 9172	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( abs ` M ) e. NN -> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) e. ZZ )
47	10	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( N ^ 2 ) e. ZZ )
48		dvdsabsb 11512	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( abs ` M ) ^ 2 ) e. ZZ /\ ( N ^ 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( abs ` ( N ^ 2 ) ) ) )
49	46, 47, 48	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( abs ` ( N ^ 2 ) ) ) )
50	6	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> N e. CC )
51		abssq 10853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. CC -> ( ( abs ` N ) ^ 2 ) = ( abs ` ( N ^ 2 ) ) )
52	50, 51	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( ( abs ` N ) ^ 2 ) = ( abs ` ( N ^ 2 ) ) )
53	52	breq2d 3941	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( ( abs ` N ) ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( abs ` ( N ^ 2 ) ) ) )
54	53	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( ( abs ` N ) ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( abs ` ( N ^ 2 ) ) ) )
55	49, 54	bitr4d 190	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( ( abs ` N ) ^ 2 ) ) )
56	41, 44, 55	3bitr4d 219	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
57	56	anassrs 397	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ N e. ZZ ) /\ N =/= 0 ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
58	57	expcom 115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N =/= 0 -> ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
59	38, 58	sylbir 134	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. N = 0 -> ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
60	37, 59	jaoi 705	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N = 0 \/ -. N = 0 ) -> ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
61	23, 24, 60	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
62	61	anabsi7 570	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
63	21, 62	sylan 281	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
64		absdvdsb 11511	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( abs ` M ) || N ) )
65	64	adantlr 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( abs ` M ) || N ) )
66		zsqcl 10363	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( M ^ 2 ) e. ZZ )
67	66	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) -> ( M ^ 2 ) e. ZZ )
68		absdvdsb 11511	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M ^ 2 ) e. ZZ /\ ( N ^ 2 ) e. ZZ ) -> ( ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) <-> ( abs ` ( M ^ 2 ) ) || ( N ^ 2 ) ) )
69	67, 10, 68	syl2an 287	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) <-> ( abs ` ( M ^ 2 ) ) || ( N ^ 2 ) ) )
70		zcn 9059	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
71		abssq 10853	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. CC -> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) = ( abs ` ( M ^ 2 ) ) )
72	70, 71	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ZZ -> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) = ( abs ` ( M ^ 2 ) ) )
73	72	eqcomd 2145	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> ( abs ` ( M ^ 2 ) ) = ( ( abs ` M ) ^ 2 ) )
74	73	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) -> ( abs ` ( M ^ 2 ) ) = ( ( abs ` M ) ^ 2 ) )
75	74	breq1d 3939	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) -> ( ( abs ` ( M ^ 2 ) ) || ( N ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
76	75	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( M ^ 2 ) ) || ( N ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
77	69, 76	bitrd 187	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
78	63, 65, 77	3bitr4d 219	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
79	78	an32s 557	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
80	79	expcom 115	. . . . 5 |- ( M =/= 0 -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
81	20, 80	sylbir 134	. . . 4 |- ( -. M = 0 -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
82	19, 81	jaoi 705	. . 3 |- ( ( M = 0 \/ -. M = 0 ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
83	3, 4, 82	3syl 17	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
84	83	anabsi5 568	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697  DECID wdc 819   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2308   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7618   0cc0 7620   NNcn 8720   2c2 8771   ZZcz 9054   ^cexp 10292   abscabs 10769   || cdvds 11493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-sup 6871  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-fl 10043  df-mod 10096  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-dvds 11494  df-gcd 11636

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