Theorem dvdssq 12064

Description: Two numbers are divisible iff their squares are. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdssq	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem dvdssq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9294	. . . 4 |- 0 e. ZZ
2		zdceq 9358	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID M = 0 )
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 |- ( M e. ZZ -> DECID M = 0 )
4		exmiddc 837	. . 3 |- (DECID M = 0 -> ( M = 0 \/ -. M = 0 ) )
5		0dvds 11850	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> N = 0 ) )
6		zcn 9288	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
7		sqeq0 10614	. . . . . . . . 9 |- ( N e. CC -> ( ( N ^ 2 ) = 0 <-> N = 0 ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( ( N ^ 2 ) = 0 <-> N = 0 ) )
9	5, 8	bitr4d 191	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> ( N ^ 2 ) = 0 ) )
10		zsqcl 10622	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( N ^ 2 ) e. ZZ )
11		0dvds 11850	. . . . . . . 8 |- ( ( N ^ 2 ) e. ZZ -> ( 0 || ( N ^ 2 ) <-> ( N ^ 2 ) = 0 ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || ( N ^ 2 ) <-> ( N ^ 2 ) = 0 ) )
13	9, 12	bitr4d 191	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> 0 || ( N ^ 2 ) ) )
14	13	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 || N <-> 0 || ( N ^ 2 ) ) )
15		breq1 4021	. . . . . 6 |- ( M = 0 -> ( M || N <-> 0 || N ) )
16		sq0i 10643	. . . . . . 7 |- ( M = 0 -> ( M ^ 2 ) = 0 )
17	16	breq1d 4028	. . . . . 6 |- ( M = 0 -> ( ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) <-> 0 || ( N ^ 2 ) ) )
18	15, 17	bibi12d 235	. . . . 5 |- ( M = 0 -> ( ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) <-> ( 0 || N <-> 0 || ( N ^ 2 ) ) ) )
19	14, 18	imbitrrid 156	. . . 4 |- ( M = 0 -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
20		df-ne 2361	. . . . 5 |- ( M =/= 0 <-> -. M = 0 )
21		nnabscl 11141	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) -> ( abs ` M ) e. NN )
22		zdceq 9358	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
23	1, 22	mpan2 425	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> DECID N = 0 )
24		exmiddc 837	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID N = 0 -> ( N = 0 \/ -. N = 0 ) )
25		nnz 9302	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( abs ` M ) e. NN -> ( abs ` M ) e. ZZ )
26		dvds0 11845	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( abs ` M ) e. ZZ -> ( abs ` M ) || 0 )
27		zsqcl 10622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( abs ` M ) e. ZZ -> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) e. ZZ )
28		dvds0 11845	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( abs ` M ) ^ 2 ) e. ZZ -> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || 0 )
29	27, 28	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( abs ` M ) e. ZZ -> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || 0 )
30	26, 29	2thd 175	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( abs ` M ) e. ZZ -> ( ( abs ` M ) || 0 <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || 0 ) )
31	25, 30	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( abs ` M ) e. NN -> ( ( abs ` M ) || 0 <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || 0 ) )
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || 0 <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || 0 ) )
33		breq2 4022	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N = 0 -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( abs ` M ) || 0 ) )
34		sq0i 10643	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N = 0 -> ( N ^ 2 ) = 0 )
35	34	breq2d 4030	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N = 0 -> ( ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || 0 ) )
36	33, 35	bibi12d 235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N = 0 -> ( ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) <-> ( ( abs ` M ) || 0 <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || 0 ) ) )
37	32, 36	imbitrrid 156	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N = 0 -> ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
38		df-ne 2361	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N =/= 0 <-> -. N = 0 )
39		nnabscl 11141	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( abs ` N ) e. NN )
40		dvdssqlem 12063	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ ( abs ` N ) e. NN ) -> ( ( abs ` M ) || ( abs ` N ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( ( abs ` N ) ^ 2 ) ) )
41	39, 40	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( abs ` M ) || ( abs ` N ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( ( abs ` N ) ^ 2 ) ) )
42		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> N e. ZZ )
43		dvdsabsb 11849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( abs ` M ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( abs ` M ) || ( abs ` N ) ) )
44	25, 42, 43	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( abs ` M ) || ( abs ` N ) ) )
45		nnsqcl 10621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( abs ` M ) e. NN -> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) e. NN )
46	45	nnzd 9404	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( abs ` M ) e. NN -> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) e. ZZ )
47	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( N ^ 2 ) e. ZZ )
48		dvdsabsb 11849	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( abs ` M ) ^ 2 ) e. ZZ /\ ( N ^ 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( abs ` ( N ^ 2 ) ) ) )
49	46, 47, 48	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( abs ` ( N ^ 2 ) ) ) )
50	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> N e. CC )
51		abssq 11122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. CC -> ( ( abs ` N ) ^ 2 ) = ( abs ` ( N ^ 2 ) ) )
52	50, 51	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( ( abs ` N ) ^ 2 ) = ( abs ` ( N ^ 2 ) ) )
53	52	breq2d 4030	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( ( abs ` N ) ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( abs ` ( N ^ 2 ) ) ) )
54	53	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( ( abs ` N ) ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( abs ` ( N ^ 2 ) ) ) )
55	49, 54	bitr4d 191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( ( abs ` N ) ^ 2 ) ) )
56	41, 44, 55	3bitr4d 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
57	56	anassrs 400	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ N e. ZZ ) /\ N =/= 0 ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
58	57	expcom 116	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N =/= 0 -> ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
59	38, 58	sylbir 135	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. N = 0 -> ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
60	37, 59	jaoi 717	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N = 0 \/ -. N = 0 ) -> ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
61	23, 24, 60	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
62	61	anabsi7 581	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
63	21, 62	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
64		absdvdsb 11848	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( abs ` M ) || N ) )
65	64	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( abs ` M ) || N ) )
66		zsqcl 10622	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( M ^ 2 ) e. ZZ )
67	66	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) -> ( M ^ 2 ) e. ZZ )
68		absdvdsb 11848	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M ^ 2 ) e. ZZ /\ ( N ^ 2 ) e. ZZ ) -> ( ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) <-> ( abs ` ( M ^ 2 ) ) || ( N ^ 2 ) ) )
69	67, 10, 68	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) <-> ( abs ` ( M ^ 2 ) ) || ( N ^ 2 ) ) )
70		zcn 9288	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
71		abssq 11122	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. CC -> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) = ( abs ` ( M ^ 2 ) ) )
72	70, 71	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ZZ -> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) = ( abs ` ( M ^ 2 ) ) )
73	72	eqcomd 2195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> ( abs ` ( M ^ 2 ) ) = ( ( abs ` M ) ^ 2 ) )
74	73	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) -> ( abs ` ( M ^ 2 ) ) = ( ( abs ` M ) ^ 2 ) )
75	74	breq1d 4028	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) -> ( ( abs ` ( M ^ 2 ) ) || ( N ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
76	75	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( M ^ 2 ) ) || ( N ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
77	69, 76	bitrd 188	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
78	63, 65, 77	3bitr4d 220	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
79	78	an32s 568	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
80	79	expcom 116	. . . . 5 |- ( M =/= 0 -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
81	20, 80	sylbir 135	. . . 4 |- ( -. M = 0 -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
82	19, 81	jaoi 717	. . 3 |- ( ( M = 0 \/ -. M = 0 ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
83	3, 4, 82	3syl 17	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
84	83	anabsi5 579	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2160   =/= wne 2360   class class class wbr 4018   ` cfv 5235  (class class class)co 5896   CCcc 7839   0cc0 7841   NNcn 8949   2c2 9000   ZZcz 9283   ^cexp 10550   abscabs 11038   || cdvds 11826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-frec 6416  df-sup 7013  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-fz 10039  df-fzo 10173  df-fl 10301  df-mod 10354  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040  df-dvds 11827  df-gcd 11976

This theorem is referenced by:  pythagtriplem19  12314  4sqlem9  12418  4sqlem10  12419  lgsdir  14894  2sqlem8a  14927