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Theorem dvdssq 10886
Description: Two numbers are divisible iff their squares are. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdssq  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  ( M ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) )

Proof of Theorem dvdssq
StepHypRef Expression
1 0z 8686 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
2 zdceq 8747 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  M  =  0 )
31, 2mpan2 416 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  -> DECID  M  =  0
)
4 exmiddc 780 . . 3  |-  (DECID  M  =  0  ->  ( M  =  0  \/  -.  M  =  0 ) )
5 0dvds 10682 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  ||  N  <->  N  = 
0 ) )
6 zcn 8680 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
7 sqeq0 9908 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( N ^ 2 )  =  0  <->  N  =  0 ) )
86, 7syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N ^ 2 )  =  0  <->  N  =  0 ) )
95, 8bitr4d 189 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  ||  N  <->  ( N ^ 2 )  =  0 ) )
10 zsqcl 9915 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N ^ 2 )  e.  ZZ )
11 0dvds 10682 . . . . . . . 8  |-  ( ( N ^ 2 )  e.  ZZ  ->  (
0  ||  ( N ^ 2 )  <->  ( N ^ 2 )  =  0 ) )
1210, 11syl 14 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  ||  ( N ^ 2 )  <->  ( N ^ 2 )  =  0 ) )
139, 12bitr4d 189 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  ||  N  <->  0  ||  ( N ^ 2 ) ) )
1413adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  ||  N  <->  0 
||  ( N ^
2 ) ) )
15 breq1 3822 . . . . . 6  |-  ( M  =  0  ->  ( M  ||  N  <->  0  ||  N ) )
16 sq0i 9936 . . . . . . 7  |-  ( M  =  0  ->  ( M ^ 2 )  =  0 )
1716breq1d 3829 . . . . . 6  |-  ( M  =  0  ->  (
( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 )  <->  0  ||  ( N ^ 2 ) ) )
1815, 17bibi12d 233 . . . . 5  |-  ( M  =  0  ->  (
( M  ||  N  <->  ( M ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) )  <->  ( 0 
||  N  <->  0  ||  ( N ^ 2 ) ) ) )
1914, 18syl5ibr 154 . . . 4  |-  ( M  =  0  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N 
<->  ( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) ) )
20 df-ne 2252 . . . . 5  |-  ( M  =/=  0  <->  -.  M  =  0 )
21 nnabscl 10420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  -> 
( abs `  M
)  e.  NN )
22 zdceq 8747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  N  =  0 )
231, 22mpan2 416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  -> DECID  N  =  0
)
24 exmiddc 780 . . . . . . . . . . 11  |-  (DECID  N  =  0  ->  ( N  =  0  \/  -.  N  =  0 ) )
25 nnz 8694 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( abs `  M )  e.  NN  ->  ( abs `  M )  e.  ZZ )
26 dvds0 10677 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( abs `  M )  e.  ZZ  ->  ( abs `  M )  ||  0 )
27 zsqcl 9915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( abs `  M )  e.  ZZ  ->  (
( abs `  M
) ^ 2 )  e.  ZZ )
28 dvds0 10677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs `  M
) ^ 2 )  e.  ZZ  ->  (
( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  0 )
2927, 28syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( abs `  M )  e.  ZZ  ->  (
( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  0 )
3026, 292thd 173 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( abs `  M )  e.  ZZ  ->  (
( abs `  M
)  ||  0  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  0
) )
3125, 30syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( abs `  M )  e.  NN  ->  (
( abs `  M
)  ||  0  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  0
) )
3231adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M
)  ||  0  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  0
) )
33 breq2 3823 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  =  0  ->  (
( abs `  M
)  ||  N  <->  ( abs `  M )  ||  0
) )
34 sq0i 9936 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  =  0  ->  ( N ^ 2 )  =  0 )
3534breq2d 3831 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  =  0  ->  (
( ( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 )  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  0
) )
3633, 35bibi12d 233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  0  ->  (
( ( abs `  M
)  ||  N  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) )  <-> 
( ( abs `  M
)  ||  0  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  0
) ) )
3732, 36syl5ibr 154 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  =  0  ->  (
( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M
)  ||  N  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) ) )
38 df-ne 2252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =/=  0  <->  -.  N  =  0 )
39 nnabscl 10420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  -> 
( abs `  N
)  e.  NN )
40 dvdssqlem 10885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  ( abs `  N )  e.  NN )  -> 
( ( abs `  M
)  ||  ( abs `  N )  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  (
( abs `  N
) ^ 2 ) ) )
4139, 40sylan2 280 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( ( abs `  M )  ||  ( abs `  N )  <-> 
( ( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( ( abs `  N ) ^ 2 ) ) )
42 simpl 107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  N  e.  ZZ )
43 dvdsabsb 10681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs `  M
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M
)  ||  N  <->  ( abs `  M )  ||  ( abs `  N ) ) )
4425, 42, 43syl2an 283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( ( abs `  M )  ||  N 
<->  ( abs `  M
)  ||  ( abs `  N ) ) )
45 nnsqcl 9914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( abs `  M )  e.  NN  ->  (
( abs `  M
) ^ 2 )  e.  NN )
4645nnzd 8792 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( abs `  M )  e.  NN  ->  (
( abs `  M
) ^ 2 )  e.  ZZ )
4710adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  -> 
( N ^ 2 )  e.  ZZ )
48 dvdsabsb 10681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( abs `  M
) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( N ^ 2 )  e.  ZZ )  ->  (
( ( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 )  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( abs `  ( N ^
2 ) ) ) )
4946, 47, 48syl2an 283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( (
( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 )  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( abs `  ( N ^
2 ) ) ) )
506adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  N  e.  CC )
51 abssq 10401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( abs `  N
) ^ 2 )  =  ( abs `  ( N ^ 2 ) ) )
5250, 51syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  N
) ^ 2 )  =  ( abs `  ( N ^ 2 ) ) )
5352breq2d 3831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  -> 
( ( ( abs `  M ) ^ 2 )  ||  ( ( abs `  N ) ^ 2 )  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( abs `  ( N ^
2 ) ) ) )
5453adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( (
( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( ( abs `  N ) ^ 2 )  <->  ( ( abs `  M ) ^ 2 )  ||  ( abs `  ( N ^ 2 ) ) ) )
5549, 54bitr4d 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( (
( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 )  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  (
( abs `  N
) ^ 2 ) ) )
5641, 44, 553bitr4d 218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( ( abs `  M )  ||  N 
<->  ( ( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) )
5756anassrs 392 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =/=  0
)  ->  ( ( abs `  M )  ||  N 
<->  ( ( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) )
5857expcom 114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =/=  0  ->  (
( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M
)  ||  N  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) ) )
5938, 58sylbir 133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  N  =  0  -> 
( ( ( abs `  M )  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M )  ||  N  <->  ( ( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) ) )
6037, 59jaoi 669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  =  0  \/ 
-.  N  =  0 )  ->  ( (
( abs `  M
)  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M
)  ||  N  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) ) )
6123, 24, 603syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M
)  ||  N  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) ) )
6261anabsi7 546 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M
)  ||  N  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) )
6321, 62sylan 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M )  ||  N  <->  ( ( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) )
64 absdvdsb 10680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  ( abs `  M ) 
||  N ) )
6564adantlr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N 
<->  ( abs `  M
)  ||  N )
)
66 zsqcl 9915 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ^ 2 )  e.  ZZ )
6766adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  -> 
( M ^ 2 )  e.  ZZ )
68 absdvdsb 10680 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( N ^ 2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( M ^
2 )  ||  ( N ^ 2 )  <->  ( abs `  ( M ^ 2 ) )  ||  ( N ^ 2 ) ) )
6967, 10, 68syl2an 283 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 )  <-> 
( abs `  ( M ^ 2 ) ) 
||  ( N ^
2 ) ) )
70 zcn 8680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
71 abssq 10401 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  CC  ->  (
( abs `  M
) ^ 2 )  =  ( abs `  ( M ^ 2 ) ) )
7270, 71syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( abs `  M
) ^ 2 )  =  ( abs `  ( M ^ 2 ) ) )
7372eqcomd 2090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( abs `  ( M ^
2 ) )  =  ( ( abs `  M
) ^ 2 ) )
7473adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  -> 
( abs `  ( M ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  M ) ^ 2 ) )
7574breq1d 3829 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  ( M ^ 2 ) ) 
||  ( N ^
2 )  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) )
7675adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( M ^ 2 ) )  ||  ( N ^ 2 )  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) )
7769, 76bitrd 186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 )  <-> 
( ( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) )
7863, 65, 773bitr4d 218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N 
<->  ( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) )
7978an32s 533 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  ->  ( M  ||  N  <->  ( M ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) )
8079expcom 114 . . . . 5  |-  ( M  =/=  0  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N 
<->  ( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) ) )
8120, 80sylbir 133 . . . 4  |-  ( -.  M  =  0  -> 
( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  ( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) ) )
8219, 81jaoi 669 . . 3  |-  ( ( M  =  0  \/ 
-.  M  =  0 )  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  ( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) ) )
833, 4, 823syl 17 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N 
<->  ( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) ) )
8483anabsi5 544 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  ( M ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662  DECID wdc 778    = wceq 1287    e. wcel 1436    =/= wne 2251   class class class wbr 3819   ` cfv 4977  (class class class)co 5606   CCcc 7284   0cc0 7286   NNcn 8349   2c2 8399   ZZcz 8675   ^cexp 9844   abscabs 10317    || cdvds 10662
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3927  ax-sep 3930  ax-nul 3938  ax-pow 3982  ax-pr 4008  ax-un 4232  ax-setind 4324  ax-iinf 4374  ax-cnex 7372  ax-resscn 7373  ax-1cn 7374  ax-1re 7375  ax-icn 7376  ax-addcl 7377  ax-addrcl 7378  ax-mulcl 7379  ax-mulrcl 7380  ax-addcom 7381  ax-mulcom 7382  ax-addass 7383  ax-mulass 7384  ax-distr 7385  ax-i2m1 7386  ax-0lt1 7387  ax-1rid 7388  ax-0id 7389  ax-rnegex 7390  ax-precex 7391  ax-cnre 7392  ax-pre-ltirr 7393  ax-pre-ltwlin 7394  ax-pre-lttrn 7395  ax-pre-apti 7396  ax-pre-ltadd 7397  ax-pre-mulgt0 7398  ax-pre-mulext 7399  ax-arch 7400  ax-caucvg 7401
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3416  df-sn 3436  df-pr 3437  df-op 3439  df-uni 3636  df-int 3671  df-iun 3714  df-br 3820  df-opab 3874  df-mpt 3875  df-tr 3910  df-id 4092  df-po 4095  df-iso 4096  df-iord 4165  df-on 4167  df-ilim 4168  df-suc 4170  df-iom 4377  df-xp 4415  df-rel 4416  df-cnv 4417  df-co 4418  df-dm 4419  df-rn 4420  df-res 4421  df-ima 4422  df-iota 4942  df-fun 4979  df-fn 4980  df-f 4981  df-f1 4982  df-fo 4983  df-f1o 4984  df-fv 4985  df-riota 5562  df-ov 5609  df-oprab 5610  df-mpt2 5611  df-1st 5861  df-2nd 5862  df-recs 6017  df-frec 6103  df-sup 6615  df-pnf 7460  df-mnf 7461  df-xr 7462  df-ltxr 7463  df-le 7464  df-sub 7591  df-neg 7592  df-reap 7985  df-ap 7992  df-div 8071  df-inn 8350  df-2 8408  df-3 8409  df-4 8410  df-n0 8599  df-z 8676  df-uz 8944  df-q 9029  df-rp 9059  df-fz 9349  df-fzo 9474  df-fl 9597  df-mod 9650  df-iseq 9772  df-iexp 9845  df-cj 10163  df-re 10164  df-im 10165  df-rsqrt 10318  df-abs 10319  df-dvds 10663  df-gcd 10805
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