Theorem dvdssq 12786

Description: Two numbers are divisible iff their squares are. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdssq	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem dvdssq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9634	. . . 4 |- 0 e. ZZ
2		zdceq 9699	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID M = 0 )
3	1, 2	mpan2 429	. . 3 |- ( M e. ZZ -> DECID M = 0 )
4		exmiddc 848	. . 3 |- (DECID M = 0 -> ( M = 0 \/ -. M = 0 ) )
5		0dvds 12556	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> N = 0 ) )
6		zcn 9628	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
7		sqeq0 11017	. . . . . . . . 9 |- ( N e. CC -> ( ( N ^ 2 ) = 0 <-> N = 0 ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( ( N ^ 2 ) = 0 <-> N = 0 ) )
9	5, 8	bitr4d 191	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> ( N ^ 2 ) = 0 ) )
10		zsqcl 11025	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( N ^ 2 ) e. ZZ )
11		0dvds 12556	. . . . . . . 8 |- ( ( N ^ 2 ) e. ZZ -> ( 0 || ( N ^ 2 ) <-> ( N ^ 2 ) = 0 ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || ( N ^ 2 ) <-> ( N ^ 2 ) = 0 ) )
13	9, 12	bitr4d 191	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> 0 || ( N ^ 2 ) ) )
14	13	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 || N <-> 0 || ( N ^ 2 ) ) )
15		breq1 4128	. . . . . 6 |- ( M = 0 -> ( M || N <-> 0 || N ) )
16		sq0i 11046	. . . . . . 7 |- ( M = 0 -> ( M ^ 2 ) = 0 )
17	16	breq1d 4135	. . . . . 6 |- ( M = 0 -> ( ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) <-> 0 || ( N ^ 2 ) ) )
18	15, 17	bibi12d 235	. . . . 5 |- ( M = 0 -> ( ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) <-> ( 0 || N <-> 0 || ( N ^ 2 ) ) ) )
19	14, 18	imbitrrid 156	. . . 4 |- ( M = 0 -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
20		df-ne 2421	. . . . 5 |- ( M =/= 0 <-> -. M = 0 )
21		nnabscl 11844	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) -> ( abs ` M ) e. NN )
22		zdceq 9699	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
23	1, 22	mpan2 429	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> DECID N = 0 )
24		exmiddc 848	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID N = 0 -> ( N = 0 \/ -. N = 0 ) )
25		nnz 9642	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( abs ` M ) e. NN -> ( abs ` M ) e. ZZ )
26		dvds0 12551	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( abs ` M ) e. ZZ -> ( abs ` M ) || 0 )
27		zsqcl 11025	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( abs ` M ) e. ZZ -> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) e. ZZ )
28		dvds0 12551	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( abs ` M ) ^ 2 ) e. ZZ -> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || 0 )
29	27, 28	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( abs ` M ) e. ZZ -> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || 0 )
30	26, 29	2thd 175	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( abs ` M ) e. ZZ -> ( ( abs ` M ) || 0 <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || 0 ) )
31	25, 30	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( abs ` M ) e. NN -> ( ( abs ` M ) || 0 <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || 0 ) )
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || 0 <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || 0 ) )
33		breq2 4129	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N = 0 -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( abs ` M ) || 0 ) )
34		sq0i 11046	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N = 0 -> ( N ^ 2 ) = 0 )
35	34	breq2d 4137	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N = 0 -> ( ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || 0 ) )
36	33, 35	bibi12d 235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N = 0 -> ( ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) <-> ( ( abs ` M ) || 0 <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || 0 ) ) )
37	32, 36	imbitrrid 156	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N = 0 -> ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
38		df-ne 2421	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N =/= 0 <-> -. N = 0 )
39		nnabscl 11844	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( abs ` N ) e. NN )
40		dvdssqlem 12785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ ( abs ` N ) e. NN ) -> ( ( abs ` M ) || ( abs ` N ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( ( abs ` N ) ^ 2 ) ) )
41	39, 40	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( abs ` M ) || ( abs ` N ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( ( abs ` N ) ^ 2 ) ) )
42		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> N e. ZZ )
43		dvdsabsb 12555	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( abs ` M ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( abs ` M ) || ( abs ` N ) ) )
44	25, 42, 43	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( abs ` M ) || ( abs ` N ) ) )
45		nnsqcl 11024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( abs ` M ) e. NN -> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) e. NN )
46	45	nnzd 9746	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( abs ` M ) e. NN -> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) e. ZZ )
47	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( N ^ 2 ) e. ZZ )
48		dvdsabsb 12555	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( abs ` M ) ^ 2 ) e. ZZ /\ ( N ^ 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( abs ` ( N ^ 2 ) ) ) )
49	46, 47, 48	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( abs ` ( N ^ 2 ) ) ) )
50	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> N e. CC )
51		abssq 11825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. CC -> ( ( abs ` N ) ^ 2 ) = ( abs ` ( N ^ 2 ) ) )
52	50, 51	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( ( abs ` N ) ^ 2 ) = ( abs ` ( N ^ 2 ) ) )
53	52	breq2d 4137	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( ( abs ` N ) ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( abs ` ( N ^ 2 ) ) ) )
54	53	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( ( abs ` N ) ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( abs ` ( N ^ 2 ) ) ) )
55	49, 54	bitr4d 191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( ( abs ` N ) ^ 2 ) ) )
56	41, 44, 55	3bitr4d 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
57	56	anassrs 404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ N e. ZZ ) /\ N =/= 0 ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
58	57	expcom 116	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N =/= 0 -> ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
59	38, 58	sylbir 135	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. N = 0 -> ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
60	37, 59	jaoi 728	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N = 0 \/ -. N = 0 ) -> ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
61	23, 24, 60	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
62	61	anabsi7 587	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
63	21, 62	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
64		absdvdsb 12554	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( abs ` M ) || N ) )
65	64	adantlr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( abs ` M ) || N ) )
66		zsqcl 11025	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( M ^ 2 ) e. ZZ )
67	66	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) -> ( M ^ 2 ) e. ZZ )
68		absdvdsb 12554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M ^ 2 ) e. ZZ /\ ( N ^ 2 ) e. ZZ ) -> ( ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) <-> ( abs ` ( M ^ 2 ) ) || ( N ^ 2 ) ) )
69	67, 10, 68	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) <-> ( abs ` ( M ^ 2 ) ) || ( N ^ 2 ) ) )
70		zcn 9628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
71		abssq 11825	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. CC -> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) = ( abs ` ( M ^ 2 ) ) )
72	70, 71	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ZZ -> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) = ( abs ` ( M ^ 2 ) ) )
73	72	eqcomd 2244	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> ( abs ` ( M ^ 2 ) ) = ( ( abs ` M ) ^ 2 ) )
74	73	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) -> ( abs ` ( M ^ 2 ) ) = ( ( abs ` M ) ^ 2 ) )
75	74	breq1d 4135	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) -> ( ( abs ` ( M ^ 2 ) ) || ( N ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
76	75	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( M ^ 2 ) ) || ( N ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
77	69, 76	bitrd 188	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
78	63, 65, 77	3bitr4d 220	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
79	78	an32s 574	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
80	79	expcom 116	. . . . 5 |- ( M =/= 0 -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
81	20, 80	sylbir 135	. . . 4 |- ( -. M = 0 -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
82	19, 81	jaoi 728	. . 3 |- ( ( M = 0 \/ -. M = 0 ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
83	3, 4, 82	3syl 17	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
84	83	anabsi5 585	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   CCcc 8167   0cc0 8169   NNcn 9283   2c2 9334   ZZcz 9623   ^cexp 10953   abscabs 11741   || cdvds 12532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-sup 7314  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-fl 10683  df-mod 10738  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-dvds 12533  df-gcd 12709

This theorem is referenced by:  pythagtriplem19  13039  4sqlem9  13143  4sqlem10  13144  lgsdir  16068  2sqlem8a  16155