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Theorem dvdssq 11979
Description: Two numbers are divisible iff their squares are. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdssq  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  ( M ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) )

Proof of Theorem dvdssq
StepHypRef Expression
1 0z 9216 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
2 zdceq 9280 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  M  =  0 )
31, 2mpan2 423 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  -> DECID  M  =  0
)
4 exmiddc 831 . . 3  |-  (DECID  M  =  0  ->  ( M  =  0  \/  -.  M  =  0 ) )
5 0dvds 11766 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  ||  N  <->  N  = 
0 ) )
6 zcn 9210 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
7 sqeq0 10532 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( N ^ 2 )  =  0  <->  N  =  0 ) )
86, 7syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N ^ 2 )  =  0  <->  N  =  0 ) )
95, 8bitr4d 190 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  ||  N  <->  ( N ^ 2 )  =  0 ) )
10 zsqcl 10539 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N ^ 2 )  e.  ZZ )
11 0dvds 11766 . . . . . . . 8  |-  ( ( N ^ 2 )  e.  ZZ  ->  (
0  ||  ( N ^ 2 )  <->  ( N ^ 2 )  =  0 ) )
1210, 11syl 14 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  ||  ( N ^ 2 )  <->  ( N ^ 2 )  =  0 ) )
139, 12bitr4d 190 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  ||  N  <->  0  ||  ( N ^ 2 ) ) )
1413adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  ||  N  <->  0 
||  ( N ^
2 ) ) )
15 breq1 3990 . . . . . 6  |-  ( M  =  0  ->  ( M  ||  N  <->  0  ||  N ) )
16 sq0i 10560 . . . . . . 7  |-  ( M  =  0  ->  ( M ^ 2 )  =  0 )
1716breq1d 3997 . . . . . 6  |-  ( M  =  0  ->  (
( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 )  <->  0  ||  ( N ^ 2 ) ) )
1815, 17bibi12d 234 . . . . 5  |-  ( M  =  0  ->  (
( M  ||  N  <->  ( M ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) )  <->  ( 0 
||  N  <->  0  ||  ( N ^ 2 ) ) ) )
1914, 18syl5ibr 155 . . . 4  |-  ( M  =  0  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N 
<->  ( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) ) )
20 df-ne 2341 . . . . 5  |-  ( M  =/=  0  <->  -.  M  =  0 )
21 nnabscl 11057 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  -> 
( abs `  M
)  e.  NN )
22 zdceq 9280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  N  =  0 )
231, 22mpan2 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  -> DECID  N  =  0
)
24 exmiddc 831 . . . . . . . . . . 11  |-  (DECID  N  =  0  ->  ( N  =  0  \/  -.  N  =  0 ) )
25 nnz 9224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( abs `  M )  e.  NN  ->  ( abs `  M )  e.  ZZ )
26 dvds0 11761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( abs `  M )  e.  ZZ  ->  ( abs `  M )  ||  0 )
27 zsqcl 10539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( abs `  M )  e.  ZZ  ->  (
( abs `  M
) ^ 2 )  e.  ZZ )
28 dvds0 11761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs `  M
) ^ 2 )  e.  ZZ  ->  (
( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  0 )
2927, 28syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( abs `  M )  e.  ZZ  ->  (
( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  0 )
3026, 292thd 174 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( abs `  M )  e.  ZZ  ->  (
( abs `  M
)  ||  0  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  0
) )
3125, 30syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( abs `  M )  e.  NN  ->  (
( abs `  M
)  ||  0  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  0
) )
3231adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M
)  ||  0  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  0
) )
33 breq2 3991 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  =  0  ->  (
( abs `  M
)  ||  N  <->  ( abs `  M )  ||  0
) )
34 sq0i 10560 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  =  0  ->  ( N ^ 2 )  =  0 )
3534breq2d 3999 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  =  0  ->  (
( ( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 )  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  0
) )
3633, 35bibi12d 234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  0  ->  (
( ( abs `  M
)  ||  N  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) )  <-> 
( ( abs `  M
)  ||  0  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  0
) ) )
3732, 36syl5ibr 155 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  =  0  ->  (
( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M
)  ||  N  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) ) )
38 df-ne 2341 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =/=  0  <->  -.  N  =  0 )
39 nnabscl 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  -> 
( abs `  N
)  e.  NN )
40 dvdssqlem 11978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  ( abs `  N )  e.  NN )  -> 
( ( abs `  M
)  ||  ( abs `  N )  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  (
( abs `  N
) ^ 2 ) ) )
4139, 40sylan2 284 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( ( abs `  M )  ||  ( abs `  N )  <-> 
( ( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( ( abs `  N ) ^ 2 ) ) )
42 simpl 108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  N  e.  ZZ )
43 dvdsabsb 11765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs `  M
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M
)  ||  N  <->  ( abs `  M )  ||  ( abs `  N ) ) )
4425, 42, 43syl2an 287 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( ( abs `  M )  ||  N 
<->  ( abs `  M
)  ||  ( abs `  N ) ) )
45 nnsqcl 10538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( abs `  M )  e.  NN  ->  (
( abs `  M
) ^ 2 )  e.  NN )
4645nnzd 9326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( abs `  M )  e.  NN  ->  (
( abs `  M
) ^ 2 )  e.  ZZ )
4710adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  -> 
( N ^ 2 )  e.  ZZ )
48 dvdsabsb 11765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( abs `  M
) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( N ^ 2 )  e.  ZZ )  ->  (
( ( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 )  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( abs `  ( N ^
2 ) ) ) )
4946, 47, 48syl2an 287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( (
( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 )  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( abs `  ( N ^
2 ) ) ) )
506adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  N  e.  CC )
51 abssq 11038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( abs `  N
) ^ 2 )  =  ( abs `  ( N ^ 2 ) ) )
5250, 51syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  N
) ^ 2 )  =  ( abs `  ( N ^ 2 ) ) )
5352breq2d 3999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  -> 
( ( ( abs `  M ) ^ 2 )  ||  ( ( abs `  N ) ^ 2 )  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( abs `  ( N ^
2 ) ) ) )
5453adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( (
( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( ( abs `  N ) ^ 2 )  <->  ( ( abs `  M ) ^ 2 )  ||  ( abs `  ( N ^ 2 ) ) ) )
5549, 54bitr4d 190 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( (
( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 )  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  (
( abs `  N
) ^ 2 ) ) )
5641, 44, 553bitr4d 219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( ( abs `  M )  ||  N 
<->  ( ( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) )
5756anassrs 398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =/=  0
)  ->  ( ( abs `  M )  ||  N 
<->  ( ( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) )
5857expcom 115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =/=  0  ->  (
( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M
)  ||  N  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) ) )
5938, 58sylbir 134 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  N  =  0  -> 
( ( ( abs `  M )  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M )  ||  N  <->  ( ( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) ) )
6037, 59jaoi 711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  =  0  \/ 
-.  N  =  0 )  ->  ( (
( abs `  M
)  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M
)  ||  N  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) ) )
6123, 24, 603syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M
)  ||  N  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) ) )
6261anabsi7 576 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M
)  ||  N  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) )
6321, 62sylan 281 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M )  ||  N  <->  ( ( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) )
64 absdvdsb 11764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  ( abs `  M ) 
||  N ) )
6564adantlr 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N 
<->  ( abs `  M
)  ||  N )
)
66 zsqcl 10539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ^ 2 )  e.  ZZ )
6766adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  -> 
( M ^ 2 )  e.  ZZ )
68 absdvdsb 11764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( N ^ 2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( M ^
2 )  ||  ( N ^ 2 )  <->  ( abs `  ( M ^ 2 ) )  ||  ( N ^ 2 ) ) )
6967, 10, 68syl2an 287 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 )  <-> 
( abs `  ( M ^ 2 ) ) 
||  ( N ^
2 ) ) )
70 zcn 9210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
71 abssq 11038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  CC  ->  (
( abs `  M
) ^ 2 )  =  ( abs `  ( M ^ 2 ) ) )
7270, 71syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( abs `  M
) ^ 2 )  =  ( abs `  ( M ^ 2 ) ) )
7372eqcomd 2176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( abs `  ( M ^
2 ) )  =  ( ( abs `  M
) ^ 2 ) )
7473adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  -> 
( abs `  ( M ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  M ) ^ 2 ) )
7574breq1d 3997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  ( M ^ 2 ) ) 
||  ( N ^
2 )  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) )
7675adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( M ^ 2 ) )  ||  ( N ^ 2 )  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) )
7769, 76bitrd 187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 )  <-> 
( ( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) )
7863, 65, 773bitr4d 219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N 
<->  ( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) )
7978an32s 563 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  ->  ( M  ||  N  <->  ( M ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) )
8079expcom 115 . . . . 5  |-  ( M  =/=  0  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N 
<->  ( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) ) )
8120, 80sylbir 134 . . . 4  |-  ( -.  M  =  0  -> 
( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  ( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) ) )
8219, 81jaoi 711 . . 3  |-  ( ( M  =  0  \/ 
-.  M  =  0 )  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  ( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) ) )
833, 4, 823syl 17 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N 
<->  ( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) ) )
8483anabsi5 574 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  ( M ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 703  DECID wdc 829    = wceq 1348    e. wcel 2141    =/= wne 2340   class class class wbr 3987   ` cfv 5196  (class class class)co 5851   CCcc 7765   0cc0 7767   NNcn 8871   2c2 8922   ZZcz 9205   ^cexp 10468   abscabs 10954    || cdvds 11742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-mulrcl 7866  ax-addcom 7867  ax-mulcom 7868  ax-addass 7869  ax-mulass 7870  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-1rid 7874  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-precex 7877  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-apti 7882  ax-pre-ltadd 7883  ax-pre-mulgt0 7884  ax-pre-mulext 7885  ax-arch 7886  ax-caucvg 7887
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-sup 6959  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-reap 8487  df-ap 8494  df-div 8583  df-inn 8872  df-2 8930  df-3 8931  df-4 8932  df-n0 9129  df-z 9206  df-uz 9481  df-q 9572  df-rp 9604  df-fz 9959  df-fzo 10092  df-fl 10219  df-mod 10272  df-seqfrec 10395  df-exp 10469  df-cj 10799  df-re 10800  df-im 10801  df-rsqrt 10955  df-abs 10956  df-dvds 11743  df-gcd 11891
This theorem is referenced by:  pythagtriplem19  12229  4sqlem9  12331  4sqlem10  12332  lgsdir  13695  2sqlem8a  13717
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