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Theorem dvdssq 11753
Description: Two numbers are divisible iff their squares are. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdssq  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  ( M ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) )

Proof of Theorem dvdssq
StepHypRef Expression
1 0z 9088 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
2 zdceq 9149 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  M  =  0 )
31, 2mpan2 422 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  -> DECID  M  =  0
)
4 exmiddc 822 . . 3  |-  (DECID  M  =  0  ->  ( M  =  0  \/  -.  M  =  0 ) )
5 0dvds 11547 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  ||  N  <->  N  = 
0 ) )
6 zcn 9082 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
7 sqeq0 10386 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( N ^ 2 )  =  0  <->  N  =  0 ) )
86, 7syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N ^ 2 )  =  0  <->  N  =  0 ) )
95, 8bitr4d 190 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  ||  N  <->  ( N ^ 2 )  =  0 ) )
10 zsqcl 10393 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N ^ 2 )  e.  ZZ )
11 0dvds 11547 . . . . . . . 8  |-  ( ( N ^ 2 )  e.  ZZ  ->  (
0  ||  ( N ^ 2 )  <->  ( N ^ 2 )  =  0 ) )
1210, 11syl 14 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  ||  ( N ^ 2 )  <->  ( N ^ 2 )  =  0 ) )
139, 12bitr4d 190 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  ||  N  <->  0  ||  ( N ^ 2 ) ) )
1413adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  ||  N  <->  0 
||  ( N ^
2 ) ) )
15 breq1 3939 . . . . . 6  |-  ( M  =  0  ->  ( M  ||  N  <->  0  ||  N ) )
16 sq0i 10414 . . . . . . 7  |-  ( M  =  0  ->  ( M ^ 2 )  =  0 )
1716breq1d 3946 . . . . . 6  |-  ( M  =  0  ->  (
( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 )  <->  0  ||  ( N ^ 2 ) ) )
1815, 17bibi12d 234 . . . . 5  |-  ( M  =  0  ->  (
( M  ||  N  <->  ( M ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) )  <->  ( 0 
||  N  <->  0  ||  ( N ^ 2 ) ) ) )
1914, 18syl5ibr 155 . . . 4  |-  ( M  =  0  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N 
<->  ( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) ) )
20 df-ne 2310 . . . . 5  |-  ( M  =/=  0  <->  -.  M  =  0 )
21 nnabscl 10903 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  -> 
( abs `  M
)  e.  NN )
22 zdceq 9149 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  N  =  0 )
231, 22mpan2 422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  -> DECID  N  =  0
)
24 exmiddc 822 . . . . . . . . . . 11  |-  (DECID  N  =  0  ->  ( N  =  0  \/  -.  N  =  0 ) )
25 nnz 9096 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( abs `  M )  e.  NN  ->  ( abs `  M )  e.  ZZ )
26 dvds0 11542 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( abs `  M )  e.  ZZ  ->  ( abs `  M )  ||  0 )
27 zsqcl 10393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( abs `  M )  e.  ZZ  ->  (
( abs `  M
) ^ 2 )  e.  ZZ )
28 dvds0 11542 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs `  M
) ^ 2 )  e.  ZZ  ->  (
( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  0 )
2927, 28syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( abs `  M )  e.  ZZ  ->  (
( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  0 )
3026, 292thd 174 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( abs `  M )  e.  ZZ  ->  (
( abs `  M
)  ||  0  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  0
) )
3125, 30syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( abs `  M )  e.  NN  ->  (
( abs `  M
)  ||  0  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  0
) )
3231adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M
)  ||  0  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  0
) )
33 breq2 3940 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  =  0  ->  (
( abs `  M
)  ||  N  <->  ( abs `  M )  ||  0
) )
34 sq0i 10414 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  =  0  ->  ( N ^ 2 )  =  0 )
3534breq2d 3948 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  =  0  ->  (
( ( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 )  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  0
) )
3633, 35bibi12d 234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  0  ->  (
( ( abs `  M
)  ||  N  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) )  <-> 
( ( abs `  M
)  ||  0  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  0
) ) )
3732, 36syl5ibr 155 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  =  0  ->  (
( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M
)  ||  N  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) ) )
38 df-ne 2310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =/=  0  <->  -.  N  =  0 )
39 nnabscl 10903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  -> 
( abs `  N
)  e.  NN )
40 dvdssqlem 11752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  ( abs `  N )  e.  NN )  -> 
( ( abs `  M
)  ||  ( abs `  N )  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  (
( abs `  N
) ^ 2 ) ) )
4139, 40sylan2 284 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( ( abs `  M )  ||  ( abs `  N )  <-> 
( ( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( ( abs `  N ) ^ 2 ) ) )
42 simpl 108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  N  e.  ZZ )
43 dvdsabsb 11546 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs `  M
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M
)  ||  N  <->  ( abs `  M )  ||  ( abs `  N ) ) )
4425, 42, 43syl2an 287 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( ( abs `  M )  ||  N 
<->  ( abs `  M
)  ||  ( abs `  N ) ) )
45 nnsqcl 10392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( abs `  M )  e.  NN  ->  (
( abs `  M
) ^ 2 )  e.  NN )
4645nnzd 9195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( abs `  M )  e.  NN  ->  (
( abs `  M
) ^ 2 )  e.  ZZ )
4710adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  -> 
( N ^ 2 )  e.  ZZ )
48 dvdsabsb 11546 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( abs `  M
) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( N ^ 2 )  e.  ZZ )  ->  (
( ( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 )  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( abs `  ( N ^
2 ) ) ) )
4946, 47, 48syl2an 287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( (
( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 )  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( abs `  ( N ^
2 ) ) ) )
506adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  N  e.  CC )
51 abssq 10884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( abs `  N
) ^ 2 )  =  ( abs `  ( N ^ 2 ) ) )
5250, 51syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  N
) ^ 2 )  =  ( abs `  ( N ^ 2 ) ) )
5352breq2d 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  -> 
( ( ( abs `  M ) ^ 2 )  ||  ( ( abs `  N ) ^ 2 )  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( abs `  ( N ^
2 ) ) ) )
5453adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( (
( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( ( abs `  N ) ^ 2 )  <->  ( ( abs `  M ) ^ 2 )  ||  ( abs `  ( N ^ 2 ) ) ) )
5549, 54bitr4d 190 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( (
( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 )  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  (
( abs `  N
) ^ 2 ) ) )
5641, 44, 553bitr4d 219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( ( abs `  M )  ||  N 
<->  ( ( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) )
5756anassrs 398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =/=  0
)  ->  ( ( abs `  M )  ||  N 
<->  ( ( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) )
5857expcom 115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =/=  0  ->  (
( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M
)  ||  N  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) ) )
5938, 58sylbir 134 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  N  =  0  -> 
( ( ( abs `  M )  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M )  ||  N  <->  ( ( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) ) )
6037, 59jaoi 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  =  0  \/ 
-.  N  =  0 )  ->  ( (
( abs `  M
)  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M
)  ||  N  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) ) )
6123, 24, 603syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M
)  ||  N  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) ) )
6261anabsi7 571 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M
)  ||  N  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) )
6321, 62sylan 281 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M )  ||  N  <->  ( ( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) )
64 absdvdsb 11545 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  ( abs `  M ) 
||  N ) )
6564adantlr 469 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N 
<->  ( abs `  M
)  ||  N )
)
66 zsqcl 10393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ^ 2 )  e.  ZZ )
6766adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  -> 
( M ^ 2 )  e.  ZZ )
68 absdvdsb 11545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( N ^ 2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( M ^
2 )  ||  ( N ^ 2 )  <->  ( abs `  ( M ^ 2 ) )  ||  ( N ^ 2 ) ) )
6967, 10, 68syl2an 287 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 )  <-> 
( abs `  ( M ^ 2 ) ) 
||  ( N ^
2 ) ) )
70 zcn 9082 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
71 abssq 10884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  CC  ->  (
( abs `  M
) ^ 2 )  =  ( abs `  ( M ^ 2 ) ) )
7270, 71syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( abs `  M
) ^ 2 )  =  ( abs `  ( M ^ 2 ) ) )
7372eqcomd 2146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( abs `  ( M ^
2 ) )  =  ( ( abs `  M
) ^ 2 ) )
7473adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  -> 
( abs `  ( M ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  M ) ^ 2 ) )
7574breq1d 3946 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  ( M ^ 2 ) ) 
||  ( N ^
2 )  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) )
7675adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( M ^ 2 ) )  ||  ( N ^ 2 )  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) )
7769, 76bitrd 187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 )  <-> 
( ( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) )
7863, 65, 773bitr4d 219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N 
<->  ( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) )
7978an32s 558 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  ->  ( M  ||  N  <->  ( M ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) )
8079expcom 115 . . . . 5  |-  ( M  =/=  0  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N 
<->  ( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) ) )
8120, 80sylbir 134 . . . 4  |-  ( -.  M  =  0  -> 
( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  ( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) ) )
8219, 81jaoi 706 . . 3  |-  ( ( M  =  0  \/ 
-.  M  =  0 )  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  ( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) ) )
833, 4, 823syl 17 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N 
<->  ( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) ) )
8483anabsi5 569 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  ( M ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 698  DECID wdc 820    = wceq 1332    e. wcel 1481    =/= wne 2309   class class class wbr 3936   ` cfv 5130  (class class class)co 5781   CCcc 7641   0cc0 7643   NNcn 8743   2c2 8794   ZZcz 9077   ^cexp 10322   abscabs 10800    || cdvds 11527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761  ax-arch 7762  ax-caucvg 7763
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-sup 6878  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-3 8803  df-4 8804  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-q 9438  df-rp 9470  df-fz 9821  df-fzo 9950  df-fl 10073  df-mod 10126  df-seqfrec 10249  df-exp 10323  df-cj 10645  df-re 10646  df-im 10647  df-rsqrt 10801  df-abs 10802  df-dvds 11528  df-gcd 11670
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