Theorem dvdssq 10886

Description: Two numbers are divisible iff their squares are. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdssq	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem dvdssq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 8686	. . . 4 |- 0 e. ZZ
2		zdceq 8747	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID M = 0 )
3	1, 2	mpan2 416	. . 3 |- ( M e. ZZ -> DECID M = 0 )
4		exmiddc 780	. . 3 |- (DECID M = 0 -> ( M = 0 \/ -. M = 0 ) )
5		0dvds 10682	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> N = 0 ) )
6		zcn 8680	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
7		sqeq0 9908	. . . . . . . . 9 |- ( N e. CC -> ( ( N ^ 2 ) = 0 <-> N = 0 ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( ( N ^ 2 ) = 0 <-> N = 0 ) )
9	5, 8	bitr4d 189	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> ( N ^ 2 ) = 0 ) )
10		zsqcl 9915	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( N ^ 2 ) e. ZZ )
11		0dvds 10682	. . . . . . . 8 |- ( ( N ^ 2 ) e. ZZ -> ( 0 || ( N ^ 2 ) <-> ( N ^ 2 ) = 0 ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || ( N ^ 2 ) <-> ( N ^ 2 ) = 0 ) )
13	9, 12	bitr4d 189	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> 0 || ( N ^ 2 ) ) )
14	13	adantl 271	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 || N <-> 0 || ( N ^ 2 ) ) )
15		breq1 3822	. . . . . 6 |- ( M = 0 -> ( M || N <-> 0 || N ) )
16		sq0i 9936	. . . . . . 7 |- ( M = 0 -> ( M ^ 2 ) = 0 )
17	16	breq1d 3829	. . . . . 6 |- ( M = 0 -> ( ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) <-> 0 || ( N ^ 2 ) ) )
18	15, 17	bibi12d 233	. . . . 5 |- ( M = 0 -> ( ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) <-> ( 0 || N <-> 0 || ( N ^ 2 ) ) ) )
19	14, 18	syl5ibr 154	. . . 4 |- ( M = 0 -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
20		df-ne 2252	. . . . 5 |- ( M =/= 0 <-> -. M = 0 )
21		nnabscl 10420	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) -> ( abs ` M ) e. NN )
22		zdceq 8747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
23	1, 22	mpan2 416	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> DECID N = 0 )
24		exmiddc 780	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID N = 0 -> ( N = 0 \/ -. N = 0 ) )
25		nnz 8694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( abs ` M ) e. NN -> ( abs ` M ) e. ZZ )
26		dvds0 10677	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( abs ` M ) e. ZZ -> ( abs ` M ) || 0 )
27		zsqcl 9915	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( abs ` M ) e. ZZ -> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) e. ZZ )
28		dvds0 10677	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( abs ` M ) ^ 2 ) e. ZZ -> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || 0 )
29	27, 28	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( abs ` M ) e. ZZ -> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || 0 )
30	26, 29	2thd 173	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( abs ` M ) e. ZZ -> ( ( abs ` M ) || 0 <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || 0 ) )
31	25, 30	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( abs ` M ) e. NN -> ( ( abs ` M ) || 0 <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || 0 ) )
32	31	adantr 270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || 0 <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || 0 ) )
33		breq2 3823	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N = 0 -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( abs ` M ) || 0 ) )
34		sq0i 9936	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N = 0 -> ( N ^ 2 ) = 0 )
35	34	breq2d 3831	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N = 0 -> ( ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || 0 ) )
36	33, 35	bibi12d 233	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N = 0 -> ( ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) <-> ( ( abs ` M ) || 0 <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || 0 ) ) )
37	32, 36	syl5ibr 154	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N = 0 -> ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
38		df-ne 2252	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N =/= 0 <-> -. N = 0 )
39		nnabscl 10420	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( abs ` N ) e. NN )
40		dvdssqlem 10885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ ( abs ` N ) e. NN ) -> ( ( abs ` M ) || ( abs ` N ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( ( abs ` N ) ^ 2 ) ) )
41	39, 40	sylan2 280	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( abs ` M ) || ( abs ` N ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( ( abs ` N ) ^ 2 ) ) )
42		simpl 107	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> N e. ZZ )
43		dvdsabsb 10681	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( abs ` M ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( abs ` M ) || ( abs ` N ) ) )
44	25, 42, 43	syl2an 283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( abs ` M ) || ( abs ` N ) ) )
45		nnsqcl 9914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( abs ` M ) e. NN -> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) e. NN )
46	45	nnzd 8792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( abs ` M ) e. NN -> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) e. ZZ )
47	10	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( N ^ 2 ) e. ZZ )
48		dvdsabsb 10681	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( abs ` M ) ^ 2 ) e. ZZ /\ ( N ^ 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( abs ` ( N ^ 2 ) ) ) )
49	46, 47, 48	syl2an 283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( abs ` ( N ^ 2 ) ) ) )
50	6	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> N e. CC )
51		abssq 10401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. CC -> ( ( abs ` N ) ^ 2 ) = ( abs ` ( N ^ 2 ) ) )
52	50, 51	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( ( abs ` N ) ^ 2 ) = ( abs ` ( N ^ 2 ) ) )
53	52	breq2d 3831	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( ( abs ` N ) ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( abs ` ( N ^ 2 ) ) ) )
54	53	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( ( abs ` N ) ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( abs ` ( N ^ 2 ) ) ) )
55	49, 54	bitr4d 189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( ( abs ` N ) ^ 2 ) ) )
56	41, 44, 55	3bitr4d 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
57	56	anassrs 392	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ N e. ZZ ) /\ N =/= 0 ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
58	57	expcom 114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N =/= 0 -> ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
59	38, 58	sylbir 133	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. N = 0 -> ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
60	37, 59	jaoi 669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N = 0 \/ -. N = 0 ) -> ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
61	23, 24, 60	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
62	61	anabsi7 546	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
63	21, 62	sylan 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) || N <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
64		absdvdsb 10680	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( abs ` M ) || N ) )
65	64	adantlr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( abs ` M ) || N ) )
66		zsqcl 9915	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( M ^ 2 ) e. ZZ )
67	66	adantr 270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) -> ( M ^ 2 ) e. ZZ )
68		absdvdsb 10680	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M ^ 2 ) e. ZZ /\ ( N ^ 2 ) e. ZZ ) -> ( ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) <-> ( abs ` ( M ^ 2 ) ) || ( N ^ 2 ) ) )
69	67, 10, 68	syl2an 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) <-> ( abs ` ( M ^ 2 ) ) || ( N ^ 2 ) ) )
70		zcn 8680	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
71		abssq 10401	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. CC -> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) = ( abs ` ( M ^ 2 ) ) )
72	70, 71	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ZZ -> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) = ( abs ` ( M ^ 2 ) ) )
73	72	eqcomd 2090	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> ( abs ` ( M ^ 2 ) ) = ( ( abs ` M ) ^ 2 ) )
74	73	adantr 270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) -> ( abs ` ( M ^ 2 ) ) = ( ( abs ` M ) ^ 2 ) )
75	74	breq1d 3829	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) -> ( ( abs ` ( M ^ 2 ) ) || ( N ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
76	75	adantr 270	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( M ^ 2 ) ) || ( N ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
77	69, 76	bitrd 186	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) <-> ( ( abs ` M ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
78	63, 65, 77	3bitr4d 218	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
79	78	an32s 533	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
80	79	expcom 114	. . . . 5 |- ( M =/= 0 -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
81	20, 80	sylbir 133	. . . 4 |- ( -. M = 0 -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
82	19, 81	jaoi 669	. . 3 |- ( ( M = 0 \/ -. M = 0 ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
83	3, 4, 82	3syl 17	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) )
84	83	anabsi5 544	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 662  DECID wdc 778   = wceq 1287   e. wcel 1436   =/= wne 2251   class class class wbr 3819   ` cfv 4977  (class class class)co 5606   CCcc 7284   0cc0 7286   NNcn 8349   2c2 8399   ZZcz 8675   ^cexp 9844   abscabs 10317   || cdvds 10662

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3927  ax-sep 3930  ax-nul 3938  ax-pow 3982  ax-pr 4008  ax-un 4232  ax-setind 4324  ax-iinf 4374  ax-cnex 7372  ax-resscn 7373  ax-1cn 7374  ax-1re 7375  ax-icn 7376  ax-addcl 7377  ax-addrcl 7378  ax-mulcl 7379  ax-mulrcl 7380  ax-addcom 7381  ax-mulcom 7382  ax-addass 7383  ax-mulass 7384  ax-distr 7385  ax-i2m1 7386  ax-0lt1 7387  ax-1rid 7388  ax-0id 7389  ax-rnegex 7390  ax-precex 7391  ax-cnre 7392  ax-pre-ltirr 7393  ax-pre-ltwlin 7394  ax-pre-lttrn 7395  ax-pre-apti 7396  ax-pre-ltadd 7397  ax-pre-mulgt0 7398  ax-pre-mulext 7399  ax-arch 7400  ax-caucvg 7401

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3416  df-sn 3436  df-pr 3437  df-op 3439  df-uni 3636  df-int 3671  df-iun 3714  df-br 3820  df-opab 3874  df-mpt 3875  df-tr 3910  df-id 4092  df-po 4095  df-iso 4096  df-iord 4165  df-on 4167  df-ilim 4168  df-suc 4170  df-iom 4377  df-xp 4415  df-rel 4416  df-cnv 4417  df-co 4418  df-dm 4419  df-rn 4420  df-res 4421  df-ima 4422  df-iota 4942  df-fun 4979  df-fn 4980  df-f 4981  df-f1 4982  df-fo 4983  df-f1o 4984  df-fv 4985  df-riota 5562  df-ov 5609  df-oprab 5610  df-mpt2 5611  df-1st 5861  df-2nd 5862  df-recs 6017  df-frec 6103  df-sup 6615  df-pnf 7460  df-mnf 7461  df-xr 7462  df-ltxr 7463  df-le 7464  df-sub 7591  df-neg 7592  df-reap 7985  df-ap 7992  df-div 8071  df-inn 8350  df-2 8408  df-3 8409  df-4 8410  df-n0 8599  df-z 8676  df-uz 8944  df-q 9029  df-rp 9059  df-fz 9349  df-fzo 9474  df-fl 9597  df-mod 9650  df-iseq 9772  df-iexp 9845  df-cj 10163  df-re 10164  df-im 10165  df-rsqrt 10318  df-abs 10319  df-dvds 10663  df-gcd 10805

This theorem is referenced by: (None)