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Theorem dvdssq 12064
Description: Two numbers are divisible iff their squares are. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdssq  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  ( M ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) )

Proof of Theorem dvdssq
StepHypRef Expression
1 0z 9294 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
2 zdceq 9358 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  M  =  0 )
31, 2mpan2 425 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  -> DECID  M  =  0
)
4 exmiddc 837 . . 3  |-  (DECID  M  =  0  ->  ( M  =  0  \/  -.  M  =  0 ) )
5 0dvds 11850 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  ||  N  <->  N  = 
0 ) )
6 zcn 9288 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
7 sqeq0 10614 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( N ^ 2 )  =  0  <->  N  =  0 ) )
86, 7syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N ^ 2 )  =  0  <->  N  =  0 ) )
95, 8bitr4d 191 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  ||  N  <->  ( N ^ 2 )  =  0 ) )
10 zsqcl 10622 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N ^ 2 )  e.  ZZ )
11 0dvds 11850 . . . . . . . 8  |-  ( ( N ^ 2 )  e.  ZZ  ->  (
0  ||  ( N ^ 2 )  <->  ( N ^ 2 )  =  0 ) )
1210, 11syl 14 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  ||  ( N ^ 2 )  <->  ( N ^ 2 )  =  0 ) )
139, 12bitr4d 191 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  ||  N  <->  0  ||  ( N ^ 2 ) ) )
1413adantl 277 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  ||  N  <->  0 
||  ( N ^
2 ) ) )
15 breq1 4021 . . . . . 6  |-  ( M  =  0  ->  ( M  ||  N  <->  0  ||  N ) )
16 sq0i 10643 . . . . . . 7  |-  ( M  =  0  ->  ( M ^ 2 )  =  0 )
1716breq1d 4028 . . . . . 6  |-  ( M  =  0  ->  (
( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 )  <->  0  ||  ( N ^ 2 ) ) )
1815, 17bibi12d 235 . . . . 5  |-  ( M  =  0  ->  (
( M  ||  N  <->  ( M ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) )  <->  ( 0 
||  N  <->  0  ||  ( N ^ 2 ) ) ) )
1914, 18imbitrrid 156 . . . 4  |-  ( M  =  0  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N 
<->  ( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) ) )
20 df-ne 2361 . . . . 5  |-  ( M  =/=  0  <->  -.  M  =  0 )
21 nnabscl 11141 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  -> 
( abs `  M
)  e.  NN )
22 zdceq 9358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  N  =  0 )
231, 22mpan2 425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  -> DECID  N  =  0
)
24 exmiddc 837 . . . . . . . . . . 11  |-  (DECID  N  =  0  ->  ( N  =  0  \/  -.  N  =  0 ) )
25 nnz 9302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( abs `  M )  e.  NN  ->  ( abs `  M )  e.  ZZ )
26 dvds0 11845 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( abs `  M )  e.  ZZ  ->  ( abs `  M )  ||  0 )
27 zsqcl 10622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( abs `  M )  e.  ZZ  ->  (
( abs `  M
) ^ 2 )  e.  ZZ )
28 dvds0 11845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs `  M
) ^ 2 )  e.  ZZ  ->  (
( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  0 )
2927, 28syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( abs `  M )  e.  ZZ  ->  (
( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  0 )
3026, 292thd 175 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( abs `  M )  e.  ZZ  ->  (
( abs `  M
)  ||  0  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  0
) )
3125, 30syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( abs `  M )  e.  NN  ->  (
( abs `  M
)  ||  0  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  0
) )
3231adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M
)  ||  0  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  0
) )
33 breq2 4022 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  =  0  ->  (
( abs `  M
)  ||  N  <->  ( abs `  M )  ||  0
) )
34 sq0i 10643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  =  0  ->  ( N ^ 2 )  =  0 )
3534breq2d 4030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  =  0  ->  (
( ( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 )  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  0
) )
3633, 35bibi12d 235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  0  ->  (
( ( abs `  M
)  ||  N  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) )  <-> 
( ( abs `  M
)  ||  0  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  0
) ) )
3732, 36imbitrrid 156 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  =  0  ->  (
( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M
)  ||  N  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) ) )
38 df-ne 2361 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =/=  0  <->  -.  N  =  0 )
39 nnabscl 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  -> 
( abs `  N
)  e.  NN )
40 dvdssqlem 12063 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  ( abs `  N )  e.  NN )  -> 
( ( abs `  M
)  ||  ( abs `  N )  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  (
( abs `  N
) ^ 2 ) ) )
4139, 40sylan2 286 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( ( abs `  M )  ||  ( abs `  N )  <-> 
( ( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( ( abs `  N ) ^ 2 ) ) )
42 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  N  e.  ZZ )
43 dvdsabsb 11849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs `  M
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M
)  ||  N  <->  ( abs `  M )  ||  ( abs `  N ) ) )
4425, 42, 43syl2an 289 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( ( abs `  M )  ||  N 
<->  ( abs `  M
)  ||  ( abs `  N ) ) )
45 nnsqcl 10621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( abs `  M )  e.  NN  ->  (
( abs `  M
) ^ 2 )  e.  NN )
4645nnzd 9404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( abs `  M )  e.  NN  ->  (
( abs `  M
) ^ 2 )  e.  ZZ )
4710adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  -> 
( N ^ 2 )  e.  ZZ )
48 dvdsabsb 11849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( abs `  M
) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( N ^ 2 )  e.  ZZ )  ->  (
( ( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 )  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( abs `  ( N ^
2 ) ) ) )
4946, 47, 48syl2an 289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( (
( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 )  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( abs `  ( N ^
2 ) ) ) )
506adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  N  e.  CC )
51 abssq 11122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( abs `  N
) ^ 2 )  =  ( abs `  ( N ^ 2 ) ) )
5250, 51syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  N
) ^ 2 )  =  ( abs `  ( N ^ 2 ) ) )
5352breq2d 4030 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  -> 
( ( ( abs `  M ) ^ 2 )  ||  ( ( abs `  N ) ^ 2 )  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( abs `  ( N ^
2 ) ) ) )
5453adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( (
( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( ( abs `  N ) ^ 2 )  <->  ( ( abs `  M ) ^ 2 )  ||  ( abs `  ( N ^ 2 ) ) ) )
5549, 54bitr4d 191 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( (
( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 )  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  (
( abs `  N
) ^ 2 ) ) )
5641, 44, 553bitr4d 220 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( ( abs `  M )  ||  N 
<->  ( ( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) )
5756anassrs 400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =/=  0
)  ->  ( ( abs `  M )  ||  N 
<->  ( ( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) )
5857expcom 116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =/=  0  ->  (
( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M
)  ||  N  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) ) )
5938, 58sylbir 135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  N  =  0  -> 
( ( ( abs `  M )  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M )  ||  N  <->  ( ( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) ) )
6037, 59jaoi 717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  =  0  \/ 
-.  N  =  0 )  ->  ( (
( abs `  M
)  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M
)  ||  N  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) ) )
6123, 24, 603syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M
)  ||  N  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) ) )
6261anabsi7 581 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  M
)  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M
)  ||  N  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) )
6321, 62sylan 283 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M )  ||  N  <->  ( ( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) )
64 absdvdsb 11848 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  ( abs `  M ) 
||  N ) )
6564adantlr 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N 
<->  ( abs `  M
)  ||  N )
)
66 zsqcl 10622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ^ 2 )  e.  ZZ )
6766adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  -> 
( M ^ 2 )  e.  ZZ )
68 absdvdsb 11848 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( N ^ 2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( M ^
2 )  ||  ( N ^ 2 )  <->  ( abs `  ( M ^ 2 ) )  ||  ( N ^ 2 ) ) )
6967, 10, 68syl2an 289 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 )  <-> 
( abs `  ( M ^ 2 ) ) 
||  ( N ^
2 ) ) )
70 zcn 9288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
71 abssq 11122 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  CC  ->  (
( abs `  M
) ^ 2 )  =  ( abs `  ( M ^ 2 ) ) )
7270, 71syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( abs `  M
) ^ 2 )  =  ( abs `  ( M ^ 2 ) ) )
7372eqcomd 2195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( abs `  ( M ^
2 ) )  =  ( ( abs `  M
) ^ 2 ) )
7473adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  -> 
( abs `  ( M ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  M ) ^ 2 ) )
7574breq1d 4028 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  ( M ^ 2 ) ) 
||  ( N ^
2 )  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) )
7675adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( M ^ 2 ) )  ||  ( N ^ 2 )  <->  ( ( abs `  M ) ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) )
7769, 76bitrd 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 )  <-> 
( ( abs `  M
) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) )
7863, 65, 773bitr4d 220 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N 
<->  ( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) )
7978an32s 568 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  ->  ( M  ||  N  <->  ( M ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) )
8079expcom 116 . . . . 5  |-  ( M  =/=  0  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N 
<->  ( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) ) )
8120, 80sylbir 135 . . . 4  |-  ( -.  M  =  0  -> 
( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  ( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) ) )
8219, 81jaoi 717 . . 3  |-  ( ( M  =  0  \/ 
-.  M  =  0 )  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  ( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) ) )
833, 4, 823syl 17 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N 
<->  ( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) ) )
8483anabsi5 579 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  ( M ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709  DECID wdc 835    = wceq 1364    e. wcel 2160    =/= wne 2360   class class class wbr 4018   ` cfv 5235  (class class class)co 5896   CCcc 7839   0cc0 7841   NNcn 8949   2c2 9000   ZZcz 9283   ^cexp 10550   abscabs 11038    || cdvds 11826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-frec 6416  df-sup 7013  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-fz 10039  df-fzo 10173  df-fl 10301  df-mod 10354  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040  df-dvds 11827  df-gcd 11976
This theorem is referenced by:  pythagtriplem19  12314  4sqlem9  12418  4sqlem10  12419  lgsdir  14894  2sqlem8a  14927
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