ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1elfz0hash Unicode version

Theorem 1elfz0hash 10438
Description: 1 is an element of the finite set of sequential nonnegative integers bounded by the size of a nonempty finite set. (Contributed by AV, 9-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
1elfz0hash  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  1  e.  ( 0 ... ( `  A ) ) )

Proof of Theorem 1elfz0hash
StepHypRef Expression
1 1nn0 8890 . . 3  |-  1  e.  NN0
21a1i 9 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  1  e.  NN0 )
3 hashnncl 10428 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( `  A )  e.  NN  <->  A  =/=  (/) ) )
43biimpar 293 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( `  A )  e.  NN )
54nnnn0d 8927 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( `  A )  e.  NN0 )
64nnge1d 8666 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  1  <_  ( `  A )
)
7 elfz2nn0 9778 . 2  |-  ( 1  e.  ( 0 ... ( `  A )
)  <->  ( 1  e. 
NN0  /\  ( `  A
)  e.  NN0  /\  1  <_  ( `  A )
) )
82, 5, 6, 7syl3anbrc 1146 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  1  e.  ( 0 ... ( `  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1461    =/= wne 2280   (/)c0 3327   class class class wbr 3893   ` cfv 5079  (class class class)co 5726   Fincfn 6585   0cc0 7540   1c1 7541    <_ cle 7718   NNcn 8623   NN0cn0 8874   ...cfz 9676  ♯chash 10407
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460  ax-cnex 7629  ax-resscn 7630  ax-1cn 7631  ax-1re 7632  ax-icn 7633  ax-addcl 7634  ax-addrcl 7635  ax-mulcl 7636  ax-addcom 7638  ax-addass 7640  ax-distr 7642  ax-i2m1 7643  ax-0lt1 7644  ax-0id 7646  ax-rnegex 7647  ax-cnre 7649  ax-pre-ltirr 7650  ax-pre-ltwlin 7651  ax-pre-lttrn 7652  ax-pre-apti 7653  ax-pre-ltadd 7654
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-iord 4246  df-on 4248  df-ilim 4249  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-recs 6153  df-frec 6239  df-1o 6264  df-er 6380  df-en 6586  df-dom 6587  df-fin 6588  df-pnf 7719  df-mnf 7720  df-xr 7721  df-ltxr 7722  df-le 7723  df-sub 7851  df-neg 7852  df-inn 8624  df-n0 8875  df-z 8952  df-uz 9222  df-fz 9677  df-ihash 10408
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator