Theorem 1elfz0hash 10789

Description: 1 is an element of the finite set of sequential nonnegative integers bounded by the size of a nonempty finite set. (Contributed by AV, 9-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
1elfz0hash	|- ( ( A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> 1 e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )

Proof of Theorem 1elfz0hash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9195	. . 3 |- 1 e. NN0
2	1	a1i 9	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> 1 e. NN0 )
3		hashnncl 10778	. . . 4 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) e. NN <-> A =/= (/) ) )
4	3	biimpar 297	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
5	4	nnnn0d 9232	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> (♯ ` A ) e. NN0 )
6	4	nnge1d 8965	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> 1 <_ (♯ ` A ) )
7		elfz2nn0 10115	. 2 |- ( 1 e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) <-> ( 1 e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` A ) ) )
8	2, 5, 6, 7	syl3anbrc 1181	1 |- ( ( A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> 1 e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   =/= wne 2347   (/)c0 3424   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5878   Fincfn 6743   0cc0 7814   1c1 7815   <_ cle 7996   NNcn 8922   NN0cn0 9179   ...cfz 10011  ♯chash 10758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-recs 6309  df-frec 6395  df-1o 6420  df-er 6538  df-en 6744  df-dom 6745  df-fin 6746  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-inn 8923  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-fz 10012  df-ihash 10759

This theorem is referenced by: (None)