Theorem 1elfz0hash 10438

Description: 1 is an element of the finite set of sequential nonnegative integers bounded by the size of a nonempty finite set. (Contributed by AV, 9-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
1elfz0hash	|- ( ( A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> 1 e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )

Proof of Theorem 1elfz0hash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 8890	. . 3 |- 1 e. NN0
2	1	a1i 9	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> 1 e. NN0 )
3		hashnncl 10428	. . . 4 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) e. NN <-> A =/= (/) ) )
4	3	biimpar 293	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
5	4	nnnn0d 8927	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> (♯ ` A ) e. NN0 )
6	4	nnge1d 8666	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> 1 <_ (♯ ` A ) )
7		elfz2nn0 9778	. 2 |- ( 1 e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) <-> ( 1 e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` A ) ) )
8	2, 5, 6, 7	syl3anbrc 1146	1 |- ( ( A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> 1 e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1461   =/= wne 2280   (/)c0 3327   class class class wbr 3893   ` cfv 5079  (class class class)co 5726   Fincfn 6585   0cc0 7540   1c1 7541   <_ cle 7718   NNcn 8623   NN0cn0 8874   ...cfz 9676  ♯chash 10407

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460  ax-cnex 7629  ax-resscn 7630  ax-1cn 7631  ax-1re 7632  ax-icn 7633  ax-addcl 7634  ax-addrcl 7635  ax-mulcl 7636  ax-addcom 7638  ax-addass 7640  ax-distr 7642  ax-i2m1 7643  ax-0lt1 7644  ax-0id 7646  ax-rnegex 7647  ax-cnre 7649  ax-pre-ltirr 7650  ax-pre-ltwlin 7651  ax-pre-lttrn 7652  ax-pre-apti 7653  ax-pre-ltadd 7654

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-iord 4246  df-on 4248  df-ilim 4249  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-recs 6153  df-frec 6239  df-1o 6264  df-er 6380  df-en 6586  df-dom 6587  df-fin 6588  df-pnf 7719  df-mnf 7720  df-xr 7721  df-ltxr 7722  df-le 7723  df-sub 7851  df-neg 7852  df-inn 8624  df-n0 8875  df-z 8952  df-uz 9222  df-fz 9677  df-ihash 10408

This theorem is referenced by: (None)