Theorem nnnn0d 9158

Description: A positive integer is a nonnegative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnnn0d.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnnn0d	|- ( ph -> A e. NN0 )

Proof of Theorem nnnn0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssnn0 9108	. 2 |- NN C_ NN0
2		nnnn0d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
3	1, 2	sseldi 3135	1 |- ( ph -> A e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2135   NNcn 8848   NN0cn0 9105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-ext 2146

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-v 2723  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-n0 9106

This theorem is referenced by:  nn0ge2m1nn0  9166  nnzd  9303  eluzge2nn0  9498  modsumfzodifsn  10321  addmodlteq  10323  expnnval  10448  expgt1  10483  expaddzaplem  10488  expaddzap  10489  expmulzap  10491  expnbnd  10567  facwordi  10642  faclbnd  10643  facavg  10648  bcm1k  10662  bcval5  10665  1elfz0hash  10708  resqrexlemnm  10946  resqrexlemcvg  10947  summodc  11310  zsumdc  11311  bcxmas  11416  geo2sum  11441  geo2lim  11443  geoisum1  11446  geoisum1c  11447  cvgratnnlembern  11450  cvgratnnlemsumlt  11455  cvgratnnlemfm  11456  mertenslemi1  11462  prodmodclem3  11502  prodmodclem2a  11503  zproddc  11506  fprodseq  11510  eftabs  11583  efcllemp  11585  eftlub  11617  eirraplem  11703  dvdsfac  11783  divalglemnqt  11842  divalglemeunn  11843  gcdval  11877  gcdcl  11884  dvdsgcdidd  11912  mulgcd  11934  rplpwr  11945  rppwr  11946  lcmcl  11983  lcmgcdnn  11993  nprmdvds1  12051  rpexp  12062  pw2dvdslemn  12074  sqpweven  12084  2sqpwodd  12085  nn0sqrtelqelz  12115  phiprmpw  12131  crth  12133  eulerthlema  12139  eulerthlemth  12141  eulerth  12142  fermltl  12143  odzcllem  12151  odzdvds  12154  odzphi  12155  modprm0  12163  prm23lt5  12172  pythagtriplem6  12179  pythagtriplem7  12180  pcprmpw2  12241  dvdsprmpweqle  12245  pcprod  12253  pcfac  12257  pcbc  12258  expnprm  12260  logbgcd1irraplemexp  13427  cvgcmp2nlemabs  13745  trilpolemlt1  13754  redcwlpolemeq1  13767  nconstwlpolem0  13775