Theorem nnnn0d 9620

Description: A positive integer is a nonnegative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnnn0d.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnnn0d	|- ( ph -> A e. NN0 )

Proof of Theorem nnnn0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssnn0 9566	. 2 |- NN C_ NN0
2		nnnn0d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
3	1, 2	sselid 3246	1 |- ( ph -> A e. NN0 )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   NNcn 9304   NN0cn0 9563

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-n0 9564

This theorem is used by:  nn0ge2m1nn0  9628  nnzd  9767  eluzge2nn0  9970  modsumfzodifsn  10833  addmodlteq  10835  expnnval  10979  expgt1  11014  expaddzaplem  11019  expaddzap  11020  expmulzap  11022  expnbnd  11101  facwordi  11178  faclbnd  11179  facavg  11184  bcm1k  11198  bcval5  11201  bcm1n  11207  1elfz0hash  11247  pfxfvlsw  11467  wrdeqs1cat  11492  resqrexlemnm  11784  resqrexlemcvg  11785  summodc  12150  zsumdc  12151  bcxmas  12256  geo2sum  12281  geo2lim  12283  geoisum1  12286  geoisum1c  12287  cvgratnnlembern  12290  cvgratnnlemsumlt  12295  cvgratnnlemfm  12296  mertenslemi1  12302  prodmodclem3  12342  prodmodclem2a  12343  zproddc  12346  fprodseq  12350  eftabs  12423  efcllemp  12425  eftlub  12457  eirraplem  12544  dvdsfac  12627  divalglemnqt  12687  divalglemeunn  12688  bitsfzo  12722  bitsfi  12724  gcdval  12736  gcdcl  12743  dvdsgcdidd  12771  mulgcd  12793  rplpwr  12804  rppwr  12805  lcmcl  12850  lcmgcdnn  12860  nprmdvds1  12918  isprm5lem  12919  rpexp  12931  pw2dvdslemn  12943  sqpweven  12953  2sqpwodd  12954  nn0sqrtelqelz  12984  phiprmpw  13000  crth  13002  eulerthlema  13008  eulerthlemth  13010  eulerth  13011  fermltl  13012  odzcllem  13021  odzdvds  13024  odzphi  13025  modprm0  13033  prm23lt5  13042  pythagtriplem6  13049  pythagtriplem7  13050  pcprmpw2  13112  dvdsprmpweqle  13116  pcprod  13125  pcfac  13129  pcbc  13130  expnprm  13132  pockthlem  13135  pockthg  13136  prmunb  13141  mul4sqlem  13172  4sqlem11  13180  4sqlem13m  13182  4sqlem14  13183  4sqlem17  13186  4sqlem18  13187  2expltfac  13218  znf1o  14986  dvply1  15866  logbgcd1irraplemexp  16070  pellexlem2  16092  wilthlem1  16094  mpodvdsmulf1o  16104  mersenne  16111  perfect1  16112  perfectlem1  16113  perfectlem2  16114  perfect  16115  lgslem1  16119  lgsval  16123  lgsfvalg  16124  lgsval2lem  16129  lgsvalmod  16138  lgsmod  16145  lgsdirprm  16153  lgsne0  16157  gausslemma2dlem0b  16169  gausslemma2dlem0c  16170  gausslemma2dlem1  16180  gausslemma2dlem7  16187  gausslemma2d  16188  lgseisenlem1  16189  lgseisenlem2  16190  lgseisenlem3  16191  lgseisenlem4  16192  lgseisen  16193  lgsquadlem2  16197  lgsquadlem3  16198  m1lgs  16204  2lgslem1a  16207  2sqlem3  16236  isclwwlkn  16654  clwwlknccat  16664  clwwlknon  16670  depindlem1  16747  cvgcmp2nlemabs  17081  trilpolemlt1  17090  redcwlpolemeq1  17104  nconstwlpolem0  17113