ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashunsng Unicode version

Theorem hashunsng 10050
Description: The size of the union of a finite set with a disjoint singleton is one more than the size of the set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
hashunsng  |-  ( B  e.  V  ->  (
( A  e.  Fin  /\ 
-.  B  e.  A
)  ->  ( `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( ( `  A
)  +  1 ) ) )

Proof of Theorem hashunsng
StepHypRef Expression
1 simpll 496 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
-.  B  e.  A
)  /\  B  e.  V )  ->  A  e.  Fin )
2 snfig 6461 . . . . 5  |-  ( B  e.  V  ->  { B }  e.  Fin )
32adantl 271 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
-.  B  e.  A
)  /\  B  e.  V )  ->  { B }  e.  Fin )
4 simplr 497 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
-.  B  e.  A
)  /\  B  e.  V )  ->  -.  B  e.  A )
5 disjsn 3478 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  { B } )  =  (/)  <->  -.  B  e.  A )
64, 5sylibr 132 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
-.  B  e.  A
)  /\  B  e.  V )  ->  ( A  i^i  { B }
)  =  (/) )
7 hashun 10048 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { B }  e.  Fin  /\  ( A  i^i  { B } )  =  (/) )  ->  ( `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( ( `  A )  +  ( `  { B } ) ) )
81, 3, 6, 7syl3anc 1170 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
-.  B  e.  A
)  /\  B  e.  V )  ->  ( `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( ( `  A
)  +  ( `  { B } ) ) )
9 hashsng 10041 . . . . 5  |-  ( B  e.  V  ->  ( `  { B } )  =  1 )
109oveq2d 5607 . . . 4  |-  ( B  e.  V  ->  (
( `  A )  +  ( `  { B } ) )  =  ( ( `  A
)  +  1 ) )
1110adantl 271 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
-.  B  e.  A
)  /\  B  e.  V )  ->  (
( `  A )  +  ( `  { B } ) )  =  ( ( `  A
)  +  1 ) )
128, 11eqtrd 2115 . 2  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
-.  B  e.  A
)  /\  B  e.  V )  ->  ( `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( ( `  A
)  +  1 ) )
1312expcom 114 1  |-  ( B  e.  V  ->  (
( A  e.  Fin  /\ 
-.  B  e.  A
)  ->  ( `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( ( `  A
)  +  1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434    u. cun 2982    i^i cin 2983   (/)c0 3269   {csn 3422   ` cfv 4969  (class class class)co 5591   Fincfn 6387   1c1 7254    + caddc 7256  ♯chash 10018
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-addcom 7348  ax-addass 7350  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-apti 7363  ax-pre-ltadd 7364
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-if 3374  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4084  df-iord 4157  df-on 4159  df-ilim 4160  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-recs 6002  df-irdg 6067  df-frec 6088  df-1o 6113  df-oadd 6117  df-er 6222  df-en 6388  df-dom 6389  df-fin 6390  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-inn 8317  df-n0 8566  df-z 8647  df-uz 8915  df-fz 9320  df-ihash 10019
This theorem is referenced by:  hashprg  10051  hashp1i  10053  hashxp  10069
  Copyright terms: Public domain W3C validator