Theorem hashunsng 10685

Description: The size of the union of a finite set with a disjoint singleton is one more than the size of the set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
hashunsng	|- ( B e. V -> ( ( A e. Fin /\ -. B e. A ) -> (♯ ` ( A u. { B } ) ) = ( (♯ ` A ) + 1 ) ) )

Proof of Theorem hashunsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 519	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A ) /\ B e. V ) -> A e. Fin )
2		snfig 6760	. . . . 5 |- ( B e. V -> { B } e. Fin )
3	2	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A ) /\ B e. V ) -> { B } e. Fin )
4		simplr 520	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A ) /\ B e. V ) -> -. B e. A )
5		disjsn 3622	. . . . 5 |- ( ( A i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. A )
6	4, 5	sylibr 133	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A ) /\ B e. V ) -> ( A i^i { B } ) = (/) )
7		hashun 10683	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ { B } e. Fin /\ ( A i^i { B } ) = (/) ) -> (♯ ` ( A u. { B } ) ) = ( (♯ ` A ) + (♯ ` { B } ) ) )
8	1, 3, 6, 7	syl3anc 1220	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A ) /\ B e. V ) -> (♯ ` ( A u. { B } ) ) = ( (♯ ` A ) + (♯ ` { B } ) ) )
9		hashsng 10676	. . . . 5 |- ( B e. V -> (♯ ` { B } ) = 1 )
10	9	oveq2d 5841	. . . 4 |- ( B e. V -> ( (♯ ` A ) + (♯ ` { B } ) ) = ( (♯ ` A ) + 1 ) )
11	10	adantl 275	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A ) /\ B e. V ) -> ( (♯ ` A ) + (♯ ` { B } ) ) = ( (♯ ` A ) + 1 ) )
12	8, 11	eqtrd 2190	. 2 |- ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A ) /\ B e. V ) -> (♯ ` ( A u. { B } ) ) = ( (♯ ` A ) + 1 ) )
13	12	expcom 115	1 |- ( B e. V -> ( ( A e. Fin /\ -. B e. A ) -> (♯ ` ( A u. { B } ) ) = ( (♯ ` A ) + 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   e. wcel 2128   u. cun 3100   i^i cin 3101   (/)c0 3394   {csn 3560   ` cfv 5171  (class class class)co 5825   Fincfn 6686   1c1 7734   + caddc 7736  ♯chash 10653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-addcom 7833  ax-addass 7835  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-apti 7848  ax-pre-ltadd 7849

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-iord 4327  df-on 4329  df-ilim 4330  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-recs 6253  df-irdg 6318  df-frec 6339  df-1o 6364  df-oadd 6368  df-er 6481  df-en 6687  df-dom 6688  df-fin 6689  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-sub 8049  df-neg 8050  df-inn 8835  df-n0 9092  df-z 9169  df-uz 9441  df-fz 9914  df-ihash 10654

This theorem is referenced by:  hashprg  10686  hashp1i  10688  hashxp  10704  fprodconst  11521