Theorem hashunsng 11248

Description: The size of the union of a finite set with a disjoint singleton is one more than the size of the set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
hashunsng	|- ( B e. V -> ( ( A e. Fin /\ -. B e. A ) -> (♯ ` ( A u. { B } ) ) = ( (♯ ` A ) + 1 ) ) )

Proof of Theorem hashunsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 531	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A ) /\ B e. V ) -> A e. Fin )
2		snfig 7103	. . . . 5 |- ( B e. V -> { B } e. Fin )
3	2	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A ) /\ B e. V ) -> { B } e. Fin )
4		simplr 533	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A ) /\ B e. V ) -> -. B e. A )
5		disjsn 3771	. . . . 5 |- ( ( A i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. A )
6	4, 5	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A ) /\ B e. V ) -> ( A i^i { B } ) = (/) )
7		hashun 11245	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ { B } e. Fin /\ ( A i^i { B } ) = (/) ) -> (♯ ` ( A u. { B } ) ) = ( (♯ ` A ) + (♯ ` { B } ) ) )
8	1, 3, 6, 7	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A ) /\ B e. V ) -> (♯ ` ( A u. { B } ) ) = ( (♯ ` A ) + (♯ ` { B } ) ) )
9		hashsng 11237	. . . . 5 |- ( B e. V -> (♯ ` { B } ) = 1 )
10	9	oveq2d 6101	. . . 4 |- ( B e. V -> ( (♯ ` A ) + (♯ ` { B } ) ) = ( (♯ ` A ) + 1 ) )
11	10	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A ) /\ B e. V ) -> ( (♯ ` A ) + (♯ ` { B } ) ) = ( (♯ ` A ) + 1 ) )
12	8, 11	eqtrd 2271	. 2 |- ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A ) /\ B e. V ) -> (♯ ` ( A u. { B } ) ) = ( (♯ ` A ) + 1 ) )
13	12	expcom 116	1 |- ( B e. V -> ( ( A e. Fin /\ -. B e. A ) -> (♯ ` ( A u. { B } ) ) = ( (♯ ` A ) + 1 ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   u. cun 3218   i^i cin 3219   (/)c0 3520   {csn 3709   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Fincfn 7022   1c1 8180   + caddc 8182  ♯chash 11214

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-ihash 11215

This theorem is used by:  hashprg  11249  hashp1i  11251  hashxp  11267  hashmap  11268  hashf1lem2  11286  hashf1  11287  fprodconst  12387  ballotfilemfp1  13231  gsump1  14157  gsumconstcmn  14166