Theorem hashunsng 10954

Description: The size of the union of a finite set with a disjoint singleton is one more than the size of the set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
hashunsng	|- ( B e. V -> ( ( A e. Fin /\ -. B e. A ) -> (♯ ` ( A u. { B } ) ) = ( (♯ ` A ) + 1 ) ) )

Proof of Theorem hashunsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A ) /\ B e. V ) -> A e. Fin )
2		snfig 6908	. . . . 5 |- ( B e. V -> { B } e. Fin )
3	2	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A ) /\ B e. V ) -> { B } e. Fin )
4		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A ) /\ B e. V ) -> -. B e. A )
5		disjsn 3695	. . . . 5 |- ( ( A i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. A )
6	4, 5	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A ) /\ B e. V ) -> ( A i^i { B } ) = (/) )
7		hashun 10952	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ { B } e. Fin /\ ( A i^i { B } ) = (/) ) -> (♯ ` ( A u. { B } ) ) = ( (♯ ` A ) + (♯ ` { B } ) ) )
8	1, 3, 6, 7	syl3anc 1250	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A ) /\ B e. V ) -> (♯ ` ( A u. { B } ) ) = ( (♯ ` A ) + (♯ ` { B } ) ) )
9		hashsng 10945	. . . . 5 |- ( B e. V -> (♯ ` { B } ) = 1 )
10	9	oveq2d 5962	. . . 4 |- ( B e. V -> ( (♯ ` A ) + (♯ ` { B } ) ) = ( (♯ ` A ) + 1 ) )
11	10	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A ) /\ B e. V ) -> ( (♯ ` A ) + (♯ ` { B } ) ) = ( (♯ ` A ) + 1 ) )
12	8, 11	eqtrd 2238	. 2 |- ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A ) /\ B e. V ) -> (♯ ` ( A u. { B } ) ) = ( (♯ ` A ) + 1 ) )
13	12	expcom 116	1 |- ( B e. V -> ( ( A e. Fin /\ -. B e. A ) -> (♯ ` ( A u. { B } ) ) = ( (♯ ` A ) + 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   u. cun 3164   i^i cin 3165   (/)c0 3460   {csn 3633   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   Fincfn 6829   1c1 7928   + caddc 7930  ♯chash 10922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-irdg 6458  df-frec 6479  df-1o 6504  df-oadd 6508  df-er 6622  df-en 6830  df-dom 6831  df-fin 6832  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-fz 10133  df-ihash 10923

This theorem is referenced by:  hashprg  10955  hashp1i  10957  hashxp  10973  fprodconst  11964