ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltadd1sr Unicode version

Theorem ltadd1sr 7789
Description: Adding one to a signed real yields a larger signed real. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
ltadd1sr  |-  ( A  e.  R.  ->  A  <R  ( A  +R  1R ) )

Proof of Theorem ltadd1sr
StepHypRef Expression
1 0idsr 7780 . 2  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  +R  0R )  =  A )
2 0lt1sr 7778 . . 3  |-  0R  <R  1R
3 0r 7763 . . . 4  |-  0R  e.  R.
4 1sr 7764 . . . 4  |-  1R  e.  R.
5 ltasrg 7783 . . . 4  |-  ( ( 0R  e.  R.  /\  1R  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( 0R  <R  1R  <->  ( A  +R  0R )  <R  ( A  +R  1R ) ) )
63, 4, 5mp3an12 1337 . . 3  |-  ( A  e.  R.  ->  ( 0R  <R  1R  <->  ( A  +R  0R )  <R  ( A  +R  1R ) ) )
72, 6mpbii 148 . 2  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  +R  0R )  <R 
( A  +R  1R ) )
81, 7eqbrtrrd 4039 1  |-  ( A  e.  R.  ->  A  <R  ( A  +R  1R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 105    e. wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888   R.cnr 7310   0Rc0r 7311   1Rc1r 7312    +R cplr 7314    <R cltr 7316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-eprel 4301  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-1o 6431  df-2o 6432  df-oadd 6435  df-omul 6436  df-er 6549  df-ec 6551  df-qs 6555  df-ni 7317  df-pli 7318  df-mi 7319  df-lti 7320  df-plpq 7357  df-mpq 7358  df-enq 7360  df-nqqs 7361  df-plqqs 7362  df-mqqs 7363  df-1nqqs 7364  df-rq 7365  df-ltnqqs 7366  df-enq0 7437  df-nq0 7438  df-0nq0 7439  df-plq0 7440  df-mq0 7441  df-inp 7479  df-i1p 7480  df-iplp 7481  df-iltp 7483  df-enr 7739  df-nr 7740  df-plr 7741  df-ltr 7743  df-0r 7744  df-1r 7745
This theorem is referenced by:  ltm1sr  7790  caucvgsr  7815
  Copyright terms: Public domain W3C validator