Theorem addgt0sr 8132

Description: The sum of two positive signed reals is positive. (Contributed by NM, 14-May-1996.)

Assertion

Ref	Expression
addgt0sr	⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 0R <R (𝐴 +R 𝐵))

Proof of Theorem addgt0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 0R <R 𝐵)
2		ltrelsr 8095	. . . . . . 7 ⊢ <R ⊆ (R × R)
3	2	brel 4822	. . . . . 6 ⊢ (0R <R 𝐵 → (0R ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R))
4	3	simprd 114	. . . . 5 ⊢ (0R <R 𝐵 → 𝐵 ∈ R)
5	2	brel 4822	. . . . . 6 ⊢ (0R <R 𝐴 → (0R ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R))
6	5	simprd 114	. . . . 5 ⊢ (0R <R 𝐴 → 𝐴 ∈ R)
7		0r 8107	. . . . . 6 ⊢ 0R ∈ R
8		ltasrg 8127	. . . . . 6 ⊢ ((0R ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (0R <R 𝐵 ↔ (𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵)))
9	7, 8	mp3an1 1365	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (0R <R 𝐵 ↔ (𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵)))
10	4, 6, 9	syl2anr 290	. . . 4 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → (0R <R 𝐵 ↔ (𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵)))
11	1, 10	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → (𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵))
12	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 𝐴 ∈ R)
13		0idsr 8124	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R 0R) = 𝐴)
14	13	breq1d 4135	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵) ↔ 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)))
15	12, 14	syl 14	. . 3 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → ((𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵) ↔ 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)))
16	11, 15	mpbid 147	. 2 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵))
17		ltsosr 8121	. . 3 ⊢ <R Or R
18	17, 2	sotri 5178	. 2 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)) → 0R <R (𝐴 +R 𝐵))
19	16, 18	syldan 282	1 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 0R <R (𝐴 +R 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075  Rcnr 7654  0_Rc0r 7655   +_R cplr 7658   <_R cltr 7660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-1o 6677  df-2o 6678  df-oadd 6681  df-omul 6682  df-er 6797  df-ec 6799  df-qs 6803  df-ni 7661  df-pli 7662  df-mi 7663  df-lti 7664  df-plpq 7701  df-mpq 7702  df-enq 7704  df-nqqs 7705  df-plqqs 7706  df-mqqs 7707  df-1nqqs 7708  df-rq 7709  df-ltnqqs 7710  df-enq0 7781  df-nq0 7782  df-0nq0 7783  df-plq0 7784  df-mq0 7785  df-inp 7823  df-i1p 7824  df-iplp 7825  df-iltp 7827  df-enr 8083  df-nr 8084  df-plr 8085  df-ltr 8087  df-0r 8088

This theorem is referenced by: (None)