Theorem addgt0sr 8038

Description: The sum of two positive signed reals is positive. (Contributed by NM, 14-May-1996.)

Assertion

Ref	Expression
addgt0sr	⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 0R <R (𝐴 +R 𝐵))

Proof of Theorem addgt0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 0R <R 𝐵)
2		ltrelsr 8001	. . . . . . 7 ⊢ <R ⊆ (R × R)
3	2	brel 4784	. . . . . 6 ⊢ (0R <R 𝐵 → (0R ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R))
4	3	simprd 114	. . . . 5 ⊢ (0R <R 𝐵 → 𝐵 ∈ R)
5	2	brel 4784	. . . . . 6 ⊢ (0R <R 𝐴 → (0R ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R))
6	5	simprd 114	. . . . 5 ⊢ (0R <R 𝐴 → 𝐴 ∈ R)
7		0r 8013	. . . . . 6 ⊢ 0R ∈ R
8		ltasrg 8033	. . . . . 6 ⊢ ((0R ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (0R <R 𝐵 ↔ (𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵)))
9	7, 8	mp3an1 1361	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (0R <R 𝐵 ↔ (𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵)))
10	4, 6, 9	syl2anr 290	. . . 4 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → (0R <R 𝐵 ↔ (𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵)))
11	1, 10	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → (𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵))
12	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 𝐴 ∈ R)
13		0idsr 8030	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R 0R) = 𝐴)
14	13	breq1d 4103	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵) ↔ 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)))
15	12, 14	syl 14	. . 3 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → ((𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵) ↔ 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)))
16	11, 15	mpbid 147	. 2 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵))
17		ltsosr 8027	. . 3 ⊢ <R Or R
18	17, 2	sotri 5139	. 2 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)) → 0R <R (𝐴 +R 𝐵))
19	16, 18	syldan 282	1 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 0R <R (𝐴 +R 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028  Rcnr 7560  0_Rc0r 7561   +_R cplr 7564   <_R cltr 7566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-eprel 4392  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-1o 6625  df-2o 6626  df-oadd 6629  df-omul 6630  df-er 6745  df-ec 6747  df-qs 6751  df-ni 7567  df-pli 7568  df-mi 7569  df-lti 7570  df-plpq 7607  df-mpq 7608  df-enq 7610  df-nqqs 7611  df-plqqs 7612  df-mqqs 7613  df-1nqqs 7614  df-rq 7615  df-ltnqqs 7616  df-enq0 7687  df-nq0 7688  df-0nq0 7689  df-plq0 7690  df-mq0 7691  df-inp 7729  df-i1p 7730  df-iplp 7731  df-iltp 7733  df-enr 7989  df-nr 7990  df-plr 7991  df-ltr 7993  df-0r 7994

This theorem is referenced by: (None)