ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addgt0sr GIF version

Theorem addgt0sr 7752
Description: The sum of two positive signed reals is positive. (Contributed by NM, 14-May-1996.)
Assertion
Ref Expression
addgt0sr ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 0R <R (𝐴 +R 𝐵))

Proof of Theorem addgt0sr
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . . 4 ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 0R <R 𝐵)
2 ltrelsr 7715 . . . . . . 7 <R ⊆ (R × R)
32brel 4674 . . . . . 6 (0R <R 𝐵 → (0RR𝐵R))
43simprd 114 . . . . 5 (0R <R 𝐵𝐵R)
52brel 4674 . . . . . 6 (0R <R 𝐴 → (0RR𝐴R))
65simprd 114 . . . . 5 (0R <R 𝐴𝐴R)
7 0r 7727 . . . . . 6 0RR
8 ltasrg 7747 . . . . . 6 ((0RR𝐵R𝐴R) → (0R <R 𝐵 ↔ (𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵)))
97, 8mp3an1 1324 . . . . 5 ((𝐵R𝐴R) → (0R <R 𝐵 ↔ (𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵)))
104, 6, 9syl2anr 290 . . . 4 ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → (0R <R 𝐵 ↔ (𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵)))
111, 10mpbid 147 . . 3 ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → (𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵))
126adantr 276 . . . 4 ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 𝐴R)
13 0idsr 7744 . . . . 5 (𝐴R → (𝐴 +R 0R) = 𝐴)
1413breq1d 4010 . . . 4 (𝐴R → ((𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵) ↔ 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)))
1512, 14syl 14 . . 3 ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → ((𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵) ↔ 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)))
1611, 15mpbid 147 . 2 ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵))
17 ltsosr 7741 . . 3 <R Or R
1817, 2sotri 5019 . 2 ((0R <R 𝐴𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)) → 0R <R (𝐴 +R 𝐵))
1916, 18syldan 282 1 ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 0R <R (𝐴 +R 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5868  Rcnr 7274  0Rc0r 7275   +R cplr 7278   <R cltr 7280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-eprel 4285  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-iord 4362  df-on 4364  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-irdg 6364  df-1o 6410  df-2o 6411  df-oadd 6414  df-omul 6415  df-er 6528  df-ec 6530  df-qs 6534  df-ni 7281  df-pli 7282  df-mi 7283  df-lti 7284  df-plpq 7321  df-mpq 7322  df-enq 7324  df-nqqs 7325  df-plqqs 7326  df-mqqs 7327  df-1nqqs 7328  df-rq 7329  df-ltnqqs 7330  df-enq0 7401  df-nq0 7402  df-0nq0 7403  df-plq0 7404  df-mq0 7405  df-inp 7443  df-i1p 7444  df-iplp 7445  df-iltp 7447  df-enr 7703  df-nr 7704  df-plr 7705  df-ltr 7707  df-0r 7708
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator