Theorem addgt0sr 7888

Description: The sum of two positive signed reals is positive. (Contributed by NM, 14-May-1996.)

Assertion

Ref	Expression
addgt0sr	⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 0R <R (𝐴 +R 𝐵))

Proof of Theorem addgt0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 0R <R 𝐵)
2		ltrelsr 7851	. . . . . . 7 ⊢ <R ⊆ (R × R)
3	2	brel 4727	. . . . . 6 ⊢ (0R <R 𝐵 → (0R ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R))
4	3	simprd 114	. . . . 5 ⊢ (0R <R 𝐵 → 𝐵 ∈ R)
5	2	brel 4727	. . . . . 6 ⊢ (0R <R 𝐴 → (0R ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R))
6	5	simprd 114	. . . . 5 ⊢ (0R <R 𝐴 → 𝐴 ∈ R)
7		0r 7863	. . . . . 6 ⊢ 0R ∈ R
8		ltasrg 7883	. . . . . 6 ⊢ ((0R ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (0R <R 𝐵 ↔ (𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵)))
9	7, 8	mp3an1 1337	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (0R <R 𝐵 ↔ (𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵)))
10	4, 6, 9	syl2anr 290	. . . 4 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → (0R <R 𝐵 ↔ (𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵)))
11	1, 10	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → (𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵))
12	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 𝐴 ∈ R)
13		0idsr 7880	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R 0R) = 𝐴)
14	13	breq1d 4054	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵) ↔ 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)))
15	12, 14	syl 14	. . 3 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → ((𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵) ↔ 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)))
16	11, 15	mpbid 147	. 2 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵))
17		ltsosr 7877	. . 3 ⊢ <R Or R
18	17, 2	sotri 5078	. 2 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)) → 0R <R (𝐴 +R 𝐵))
19	16, 18	syldan 282	1 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 0R <R (𝐴 +R 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2176   class class class wbr 4044  (class class class)co 5944  Rcnr 7410  0_Rc0r 7411   +_R cplr 7414   <_R cltr 7416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-eprel 4336  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-irdg 6456  df-1o 6502  df-2o 6503  df-oadd 6506  df-omul 6507  df-er 6620  df-ec 6622  df-qs 6626  df-ni 7417  df-pli 7418  df-mi 7419  df-lti 7420  df-plpq 7457  df-mpq 7458  df-enq 7460  df-nqqs 7461  df-plqqs 7462  df-mqqs 7463  df-1nqqs 7464  df-rq 7465  df-ltnqqs 7466  df-enq0 7537  df-nq0 7538  df-0nq0 7539  df-plq0 7540  df-mq0 7541  df-inp 7579  df-i1p 7580  df-iplp 7581  df-iltp 7583  df-enr 7839  df-nr 7840  df-plr 7841  df-ltr 7843  df-0r 7844

This theorem is referenced by: (None)