Theorem addgt0sr 7805

Description: The sum of two positive signed reals is positive. (Contributed by NM, 14-May-1996.)

Assertion

Ref	Expression
addgt0sr	⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 0R <R (𝐴 +R 𝐵))

Proof of Theorem addgt0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 0R <R 𝐵)
2		ltrelsr 7768	. . . . . . 7 ⊢ <R ⊆ (R × R)
3	2	brel 4696	. . . . . 6 ⊢ (0R <R 𝐵 → (0R ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R))
4	3	simprd 114	. . . . 5 ⊢ (0R <R 𝐵 → 𝐵 ∈ R)
5	2	brel 4696	. . . . . 6 ⊢ (0R <R 𝐴 → (0R ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R))
6	5	simprd 114	. . . . 5 ⊢ (0R <R 𝐴 → 𝐴 ∈ R)
7		0r 7780	. . . . . 6 ⊢ 0R ∈ R
8		ltasrg 7800	. . . . . 6 ⊢ ((0R ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (0R <R 𝐵 ↔ (𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵)))
9	7, 8	mp3an1 1335	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (0R <R 𝐵 ↔ (𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵)))
10	4, 6, 9	syl2anr 290	. . . 4 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → (0R <R 𝐵 ↔ (𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵)))
11	1, 10	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → (𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵))
12	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 𝐴 ∈ R)
13		0idsr 7797	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R 0R) = 𝐴)
14	13	breq1d 4028	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵) ↔ 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)))
15	12, 14	syl 14	. . 3 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → ((𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵) ↔ 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)))
16	11, 15	mpbid 147	. 2 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵))
17		ltsosr 7794	. . 3 ⊢ <R Or R
18	17, 2	sotri 5042	. 2 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)) → 0R <R (𝐴 +R 𝐵))
19	16, 18	syldan 282	1 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 0R <R (𝐴 +R 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897  Rcnr 7327  0_Rc0r 7328   +_R cplr 7331   <_R cltr 7333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-irdg 6396  df-1o 6442  df-2o 6443  df-oadd 6446  df-omul 6447  df-er 6560  df-ec 6562  df-qs 6566  df-ni 7334  df-pli 7335  df-mi 7336  df-lti 7337  df-plpq 7374  df-mpq 7375  df-enq 7377  df-nqqs 7378  df-plqqs 7379  df-mqqs 7380  df-1nqqs 7381  df-rq 7382  df-ltnqqs 7383  df-enq0 7454  df-nq0 7455  df-0nq0 7456  df-plq0 7457  df-mq0 7458  df-inp 7496  df-i1p 7497  df-iplp 7498  df-iltp 7500  df-enr 7756  df-nr 7757  df-plr 7758  df-ltr 7760  df-0r 7761

This theorem is referenced by: (None)