ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addgt0sr GIF version

Theorem addgt0sr 7602
Description: The sum of two positive signed reals is positive. (Contributed by NM, 14-May-1996.)
Assertion
Ref Expression
addgt0sr ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 0R <R (𝐴 +R 𝐵))

Proof of Theorem addgt0sr
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . 4 ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 0R <R 𝐵)
2 ltrelsr 7565 . . . . . . 7 <R ⊆ (R × R)
32brel 4594 . . . . . 6 (0R <R 𝐵 → (0RR𝐵R))
43simprd 113 . . . . 5 (0R <R 𝐵𝐵R)
52brel 4594 . . . . . 6 (0R <R 𝐴 → (0RR𝐴R))
65simprd 113 . . . . 5 (0R <R 𝐴𝐴R)
7 0r 7577 . . . . . 6 0RR
8 ltasrg 7597 . . . . . 6 ((0RR𝐵R𝐴R) → (0R <R 𝐵 ↔ (𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵)))
97, 8mp3an1 1302 . . . . 5 ((𝐵R𝐴R) → (0R <R 𝐵 ↔ (𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵)))
104, 6, 9syl2anr 288 . . . 4 ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → (0R <R 𝐵 ↔ (𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵)))
111, 10mpbid 146 . . 3 ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → (𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵))
126adantr 274 . . . 4 ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 𝐴R)
13 0idsr 7594 . . . . 5 (𝐴R → (𝐴 +R 0R) = 𝐴)
1413breq1d 3942 . . . 4 (𝐴R → ((𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵) ↔ 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)))
1512, 14syl 14 . . 3 ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → ((𝐴 +R 0R) <R (𝐴 +R 𝐵) ↔ 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)))
1611, 15mpbid 146 . 2 ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵))
17 ltsosr 7591 . . 3 <R Or R
1817, 2sotri 4937 . 2 ((0R <R 𝐴𝐴 <R (𝐴 +R 𝐵)) → 0R <R (𝐴 +R 𝐵))
1916, 18syldan 280 1 ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐵) → 0R <R (𝐴 +R 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 1480   class class class wbr 3932  (class class class)co 5777  Rcnr 7124  0Rc0r 7125   +R cplr 7128   <R cltr 7130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4046  ax-sep 4049  ax-nul 4057  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-iinf 4505
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-int 3775  df-iun 3818  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-tr 4030  df-eprel 4214  df-id 4218  df-po 4221  df-iso 4222  df-iord 4291  df-on 4293  df-suc 4296  df-iom 4508  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-f1 5131  df-fo 5132  df-f1o 5133  df-fv 5134  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-1st 6041  df-2nd 6042  df-recs 6205  df-irdg 6270  df-1o 6316  df-2o 6317  df-oadd 6320  df-omul 6321  df-er 6432  df-ec 6434  df-qs 6438  df-ni 7131  df-pli 7132  df-mi 7133  df-lti 7134  df-plpq 7171  df-mpq 7172  df-enq 7174  df-nqqs 7175  df-plqqs 7176  df-mqqs 7177  df-1nqqs 7178  df-rq 7179  df-ltnqqs 7180  df-enq0 7251  df-nq0 7252  df-0nq0 7253  df-plq0 7254  df-mq0 7255  df-inp 7293  df-i1p 7294  df-iplp 7295  df-iltp 7297  df-enr 7553  df-nr 7554  df-plr 7555  df-ltr 7557  df-0r 7558
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator