Theorem mullocpr 7684

Description: Locatedness of multiplication on positive reals. Lemma 12.9 in [BauerTaylor], p. 56 (but where both A and B are positive, not just A). (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mullocpr	|- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, q, r   B, q, r

Proof of Theorem mullocpr

Dummy variables d e t u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prop 7588	. . . . . . . 8 |- ( A e. P. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. )
2		prmuloc 7679	. . . . . . . 8 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ q <Q r ) -> E. d e. Q. E. u e. Q. ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) )
3	1, 2	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( A e. P. /\ q <Q r ) -> E. d e. Q. E. u e. Q. ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) )
4		r2ex 2526	. . . . . . 7 |- ( E. d e. Q. E. u e. Q. ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) <-> E. d E. u ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) )
5	3, 4	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ q <Q r ) -> E. d E. u ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) )
6	5	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ q <Q r ) -> E. d E. u ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) )
7	6	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) -> E. d E. u ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) )
8		simprr3 1050	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) )
9		simprl 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( d e. Q. /\ u e. Q. ) )
10		mulclnq 7489	. . . . . . . . 9 |- ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) -> ( d .Q u ) e. Q. )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( d .Q u ) e. Q. )
12		appdivnq 7676	. . . . . . . 8 |- ( ( ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) /\ ( d .Q u ) e. Q. ) -> E. e e. Q. ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) )
13	8, 11, 12	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> E. e e. Q. ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) )
14		simprrr 540	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) )
15	11	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( d .Q u ) e. Q. )
16		appdivnq 7676	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) /\ ( d .Q u ) e. Q. ) -> E. t e. Q. ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) )
17	14, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> E. t e. Q. ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) )
18		simplll 533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( A e. P. /\ B e. P. ) )
19	18	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( A e. P. /\ B e. P. ) )
20		simprl 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) -> ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) )
21	20	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) )
22		simprrl 539	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) )
23		simprrr 540	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) )
24		simpllr 534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( q e. Q. /\ r e. Q. ) )
25	24	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( q e. Q. /\ r e. Q. ) )
26	9	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( d e. Q. /\ u e. Q. ) )
27		3simpa 997	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) -> ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) ) )
28	27	ad2antll 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) ) )
29	28	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) ) )
30		simplrl 535	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> e e. Q. )
31		simprl 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> t e. Q. )
32	30, 31	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( e e. Q. /\ t e. Q. ) )
33	19, 21, 22, 23, 25, 26, 29, 32	mullocprlem 7683	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) )
34	17, 33	rexlimddv 2628	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) )
35	13, 34	rexlimddv 2628	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) )
36	35	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) -> ( ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) ) )
37	36	exlimdvv 1921	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) -> ( E. d E. u ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) ) )
38	7, 37	mpd 13	. . 3 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) )
39	38	ex 115	. 2 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) -> ( q <Q r -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) ) )
40	39	ralrimivva 2588	1 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 710   /\ w3a 981   E.wex 1515   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   <.cop 3636   class class class wbr 4044   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   1stc1st 6224   2ndc2nd 6225   Q.cnq 7393   .Q cmq 7396   <Q cltq 7398   P.cnp 7404   .P. cmp 7407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-eprel 4336  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-irdg 6456  df-1o 6502  df-2o 6503  df-oadd 6506  df-omul 6507  df-er 6620  df-ec 6622  df-qs 6626  df-ni 7417  df-pli 7418  df-mi 7419  df-lti 7420  df-plpq 7457  df-mpq 7458  df-enq 7460  df-nqqs 7461  df-plqqs 7462  df-mqqs 7463  df-1nqqs 7464  df-rq 7465  df-ltnqqs 7466  df-enq0 7537  df-nq0 7538  df-0nq0 7539  df-plq0 7540  df-mq0 7541  df-inp 7579  df-imp 7582

This theorem is referenced by:  mulclpr  7685