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Theorem mullocpr 7130
Description: Locatedness of multiplication on positive reals. Lemma 12.9 in [BauerTaylor], p. 56 (but where both  A and  B are positive, not just  A). (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
mullocpr  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  (
q  <Q  r  ->  (
q  e.  ( 1st `  ( A  .P.  B
) )  \/  r  e.  ( 2nd `  ( A  .P.  B ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, q, r    B, q, r

Proof of Theorem mullocpr
Dummy variables  d  e  t  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prop 7034 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  P.  ->  <. ( 1st `  A ) ,  ( 2nd `  A
) >.  e.  P. )
2 prmuloc 7125 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >.  e.  P.  /\  q  <Q  r )  ->  E. d  e.  Q.  E. u  e.  Q.  (
d  e.  ( 1st `  A )  /\  u  e.  ( 2nd `  A
)  /\  ( u  .Q  q )  <Q  (
d  .Q  r ) ) )
31, 2sylan 277 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  P.  /\  q  <Q  r )  ->  E. d  e.  Q.  E. u  e.  Q.  (
d  e.  ( 1st `  A )  /\  u  e.  ( 2nd `  A
)  /\  ( u  .Q  q )  <Q  (
d  .Q  r ) ) )
4 r2ex 2398 . . . . . . 7  |-  ( E. d  e.  Q.  E. u  e.  Q.  (
d  e.  ( 1st `  A )  /\  u  e.  ( 2nd `  A
)  /\  ( u  .Q  q )  <Q  (
d  .Q  r ) )  <->  E. d E. u
( ( d  e. 
Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  (
d  e.  ( 1st `  A )  /\  u  e.  ( 2nd `  A
)  /\  ( u  .Q  q )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )
53, 4sylib 120 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  q  <Q  r )  ->  E. d E. u ( ( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  ( d  e.  ( 1st `  A )  /\  u  e.  ( 2nd `  A )  /\  ( u  .Q  q )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )
65adantlr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  q  <Q  r )  ->  E. d E. u
( ( d  e. 
Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  (
d  e.  ( 1st `  A )  /\  u  e.  ( 2nd `  A
)  /\  ( u  .Q  q )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )
76adantlr 461 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  (
q  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  q  <Q  r )  ->  E. d E. u ( ( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  (
d  e.  ( 1st `  A )  /\  u  e.  ( 2nd `  A
)  /\  ( u  .Q  q )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )
8 simprr3 993 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  (
q  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  q  <Q  r )  /\  ( ( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  ( d  e.  ( 1st `  A )  /\  u  e.  ( 2nd `  A )  /\  ( u  .Q  q )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  -> 
( u  .Q  q
)  <Q  ( d  .Q  r ) )
9 simprl 498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  (
q  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  q  <Q  r )  /\  ( ( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  ( d  e.  ( 1st `  A )  /\  u  e.  ( 2nd `  A )  /\  ( u  .Q  q )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  -> 
( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )
)
10 mulclnq 6935 . . . . . . . . 9  |-  ( ( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  ->  ( d  .Q  u
)  e.  Q. )
119, 10syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  (
q  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  q  <Q  r )  /\  ( ( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  ( d  e.  ( 1st `  A )  /\  u  e.  ( 2nd `  A )  /\  ( u  .Q  q )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  -> 
( d  .Q  u
)  e.  Q. )
12 appdivnq 7122 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( u  .Q  q
)  <Q  ( d  .Q  r )  /\  (
d  .Q  u )  e.  Q. )  ->  E. e  e.  Q.  ( ( u  .Q  q )  <Q  (
e  .Q  ( d  .Q  u ) )  /\  ( e  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
d  .Q  r ) ) )
138, 11, 12syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  (
q  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  q  <Q  r )  /\  ( ( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  ( d  e.  ( 1st `  A )  /\  u  e.  ( 2nd `  A )  /\  ( u  .Q  q )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  ->  E. e  e.  Q.  ( ( u  .Q  q )  <Q  (
e  .Q  ( d  .Q  u ) )  /\  ( e  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
d  .Q  r ) ) )
14 simprrr 507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( q  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  q  <Q  r )  /\  ( ( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  ( d  e.  ( 1st `  A )  /\  u  e.  ( 2nd `  A )  /\  ( u  .Q  q )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  /\  ( e  e.  Q.  /\  ( ( u  .Q  q )  <Q  (
e  .Q  ( d  .Q  u ) )  /\  ( e  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  -> 
( e  .Q  (
d  .Q  u ) )  <Q  ( d  .Q  r ) )
1511adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( q  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  q  <Q  r )  /\  ( ( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  ( d  e.  ( 1st `  A )  /\  u  e.  ( 2nd `  A )  /\  ( u  .Q  q )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  /\  ( e  e.  Q.  /\  ( ( u  .Q  q )  <Q  (
e  .Q  ( d  .Q  u ) )  /\  ( e  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  -> 
( d  .Q  u
)  e.  Q. )
16 appdivnq 7122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( e  .Q  (
d  .Q  u ) )  <Q  ( d  .Q  r )  /\  (
d  .Q  u )  e.  Q. )  ->  E. t  e.  Q.  ( ( e  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
t  .Q  ( d  .Q  u ) )  /\  ( t  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
d  .Q  r ) ) )
1714, 15, 16syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( q  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  q  <Q  r )  /\  ( ( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  ( d  e.  ( 1st `  A )  /\  u  e.  ( 2nd `  A )  /\  ( u  .Q  q )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  /\  ( e  e.  Q.  /\  ( ( u  .Q  q )  <Q  (
e  .Q  ( d  .Q  u ) )  /\  ( e  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  ->  E. t  e.  Q.  ( ( e  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
t  .Q  ( d  .Q  u ) )  /\  ( t  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
d  .Q  r ) ) )
18 simplll 500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  (
q  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  q  <Q  r )  /\  ( ( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  ( d  e.  ( 1st `  A )  /\  u  e.  ( 2nd `  A )  /\  ( u  .Q  q )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  -> 
( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )
)
1918ad2antrr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( q  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  q  <Q  r )  /\  ( ( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  ( d  e.  ( 1st `  A )  /\  u  e.  ( 2nd `  A )  /\  ( u  .Q  q )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  /\  ( e  e.  Q.  /\  ( ( u  .Q  q )  <Q  (
e  .Q  ( d  .Q  u ) )  /\  ( e  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  /\  ( t  e.  Q.  /\  ( ( e  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
t  .Q  ( d  .Q  u ) )  /\  ( t  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  -> 
( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )
)
20 simprl 498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( e  e.  Q.  /\  ( ( u  .Q  q )  <Q  (
e  .Q  ( d  .Q  u ) )  /\  ( e  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
d  .Q  r ) ) )  ->  (
u  .Q  q ) 
<Q  ( e  .Q  (
d  .Q  u ) ) )
2120ad2antlr 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( q  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  q  <Q  r )  /\  ( ( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  ( d  e.  ( 1st `  A )  /\  u  e.  ( 2nd `  A )  /\  ( u  .Q  q )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  /\  ( e  e.  Q.  /\  ( ( u  .Q  q )  <Q  (
e  .Q  ( d  .Q  u ) )  /\  ( e  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  /\  ( t  e.  Q.  /\  ( ( e  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
t  .Q  ( d  .Q  u ) )  /\  ( t  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  -> 
( u  .Q  q
)  <Q  ( e  .Q  ( d  .Q  u
) ) )
22 simprrl 506 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( q  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  q  <Q  r )  /\  ( ( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  ( d  e.  ( 1st `  A )  /\  u  e.  ( 2nd `  A )  /\  ( u  .Q  q )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  /\  ( e  e.  Q.  /\  ( ( u  .Q  q )  <Q  (
e  .Q  ( d  .Q  u ) )  /\  ( e  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  /\  ( t  e.  Q.  /\  ( ( e  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
t  .Q  ( d  .Q  u ) )  /\  ( t  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  -> 
( e  .Q  (
d  .Q  u ) )  <Q  ( t  .Q  ( d  .Q  u
) ) )
23 simprrr 507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( q  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  q  <Q  r )  /\  ( ( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  ( d  e.  ( 1st `  A )  /\  u  e.  ( 2nd `  A )  /\  ( u  .Q  q )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  /\  ( e  e.  Q.  /\  ( ( u  .Q  q )  <Q  (
e  .Q  ( d  .Q  u ) )  /\  ( e  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  /\  ( t  e.  Q.  /\  ( ( e  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
t  .Q  ( d  .Q  u ) )  /\  ( t  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  -> 
( t  .Q  (
d  .Q  u ) )  <Q  ( d  .Q  r ) )
24 simpllr 501 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  (
q  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  q  <Q  r )  /\  ( ( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  ( d  e.  ( 1st `  A )  /\  u  e.  ( 2nd `  A )  /\  ( u  .Q  q )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  -> 
( q  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)
2524ad2antrr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( q  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  q  <Q  r )  /\  ( ( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  ( d  e.  ( 1st `  A )  /\  u  e.  ( 2nd `  A )  /\  ( u  .Q  q )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  /\  ( e  e.  Q.  /\  ( ( u  .Q  q )  <Q  (
e  .Q  ( d  .Q  u ) )  /\  ( e  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  /\  ( t  e.  Q.  /\  ( ( e  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
t  .Q  ( d  .Q  u ) )  /\  ( t  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  -> 
( q  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)
269ad2antrr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( q  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  q  <Q  r )  /\  ( ( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  ( d  e.  ( 1st `  A )  /\  u  e.  ( 2nd `  A )  /\  ( u  .Q  q )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  /\  ( e  e.  Q.  /\  ( ( u  .Q  q )  <Q  (
e  .Q  ( d  .Q  u ) )  /\  ( e  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  /\  ( t  e.  Q.  /\  ( ( e  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
t  .Q  ( d  .Q  u ) )  /\  ( t  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  -> 
( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )
)
27 3simpa 940 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( d  e.  ( 1st `  A )  /\  u  e.  ( 2nd `  A
)  /\  ( u  .Q  q )  <Q  (
d  .Q  r ) )  ->  ( d  e.  ( 1st `  A
)  /\  u  e.  ( 2nd `  A ) ) )
2827ad2antll 475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  (
q  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  q  <Q  r )  /\  ( ( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  ( d  e.  ( 1st `  A )  /\  u  e.  ( 2nd `  A )  /\  ( u  .Q  q )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  -> 
( d  e.  ( 1st `  A )  /\  u  e.  ( 2nd `  A ) ) )
2928ad2antrr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( q  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  q  <Q  r )  /\  ( ( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  ( d  e.  ( 1st `  A )  /\  u  e.  ( 2nd `  A )  /\  ( u  .Q  q )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  /\  ( e  e.  Q.  /\  ( ( u  .Q  q )  <Q  (
e  .Q  ( d  .Q  u ) )  /\  ( e  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  /\  ( t  e.  Q.  /\  ( ( e  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
t  .Q  ( d  .Q  u ) )  /\  ( t  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  -> 
( d  e.  ( 1st `  A )  /\  u  e.  ( 2nd `  A ) ) )
30 simplrl 502 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( q  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  q  <Q  r )  /\  ( ( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  ( d  e.  ( 1st `  A )  /\  u  e.  ( 2nd `  A )  /\  ( u  .Q  q )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  /\  ( e  e.  Q.  /\  ( ( u  .Q  q )  <Q  (
e  .Q  ( d  .Q  u ) )  /\  ( e  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  /\  ( t  e.  Q.  /\  ( ( e  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
t  .Q  ( d  .Q  u ) )  /\  ( t  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  -> 
e  e.  Q. )
31 simprl 498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( q  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  q  <Q  r )  /\  ( ( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  ( d  e.  ( 1st `  A )  /\  u  e.  ( 2nd `  A )  /\  ( u  .Q  q )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  /\  ( e  e.  Q.  /\  ( ( u  .Q  q )  <Q  (
e  .Q  ( d  .Q  u ) )  /\  ( e  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  /\  ( t  e.  Q.  /\  ( ( e  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
t  .Q  ( d  .Q  u ) )  /\  ( t  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  -> 
t  e.  Q. )
3230, 31jca 300 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( q  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  q  <Q  r )  /\  ( ( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  ( d  e.  ( 1st `  A )  /\  u  e.  ( 2nd `  A )  /\  ( u  .Q  q )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  /\  ( e  e.  Q.  /\  ( ( u  .Q  q )  <Q  (
e  .Q  ( d  .Q  u ) )  /\  ( e  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  /\  ( t  e.  Q.  /\  ( ( e  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
t  .Q  ( d  .Q  u ) )  /\  ( t  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  -> 
( e  e.  Q.  /\  t  e.  Q. )
)
3319, 21, 22, 23, 25, 26, 29, 32mullocprlem 7129 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( q  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  q  <Q  r )  /\  ( ( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  ( d  e.  ( 1st `  A )  /\  u  e.  ( 2nd `  A )  /\  ( u  .Q  q )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  /\  ( e  e.  Q.  /\  ( ( u  .Q  q )  <Q  (
e  .Q  ( d  .Q  u ) )  /\  ( e  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  /\  ( t  e.  Q.  /\  ( ( e  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
t  .Q  ( d  .Q  u ) )  /\  ( t  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  -> 
( q  e.  ( 1st `  ( A  .P.  B ) )  \/  r  e.  ( 2nd `  ( A  .P.  B ) ) ) )
3417, 33rexlimddv 2493 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( q  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  q  <Q  r )  /\  ( ( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  ( d  e.  ( 1st `  A )  /\  u  e.  ( 2nd `  A )  /\  ( u  .Q  q )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  /\  ( e  e.  Q.  /\  ( ( u  .Q  q )  <Q  (
e  .Q  ( d  .Q  u ) )  /\  ( e  .Q  ( d  .Q  u
) )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  -> 
( q  e.  ( 1st `  ( A  .P.  B ) )  \/  r  e.  ( 2nd `  ( A  .P.  B ) ) ) )
3513, 34rexlimddv 2493 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  (
q  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  q  <Q  r )  /\  ( ( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  ( d  e.  ( 1st `  A )  /\  u  e.  ( 2nd `  A )  /\  ( u  .Q  q )  <Q  (
d  .Q  r ) ) ) )  -> 
( q  e.  ( 1st `  ( A  .P.  B ) )  \/  r  e.  ( 2nd `  ( A  .P.  B ) ) ) )
3635ex 113 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  (
q  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  q  <Q  r )  ->  ( (
( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  ( d  e.  ( 1st `  A )  /\  u  e.  ( 2nd `  A )  /\  ( u  .Q  q )  <Q  (
d  .Q  r ) ) )  ->  (
q  e.  ( 1st `  ( A  .P.  B
) )  \/  r  e.  ( 2nd `  ( A  .P.  B ) ) ) ) )
3736exlimdvv 1825 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  (
q  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  q  <Q  r )  ->  ( E. d E. u ( ( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  ( d  e.  ( 1st `  A )  /\  u  e.  ( 2nd `  A )  /\  ( u  .Q  q )  <Q  (
d  .Q  r ) ) )  ->  (
q  e.  ( 1st `  ( A  .P.  B
) )  \/  r  e.  ( 2nd `  ( A  .P.  B ) ) ) ) )
387, 37mpd 13 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  (
q  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  q  <Q  r )  ->  ( q  e.  ( 1st `  ( A  .P.  B ) )  \/  r  e.  ( 2nd `  ( A  .P.  B ) ) ) )
3938ex 113 . 2  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( q  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  ->  ( q  <Q  r  ->  ( q  e.  ( 1st `  ( A  .P.  B ) )  \/  r  e.  ( 2nd `  ( A  .P.  B ) ) ) ) )
4039ralrimivva 2455 1  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  (
q  <Q  r  ->  (
q  e.  ( 1st `  ( A  .P.  B
) )  \/  r  e.  ( 2nd `  ( A  .P.  B ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 664    /\ w3a 924   E.wex 1426    e. wcel 1438   A.wral 2359   E.wrex 2360   <.cop 3449   class class class wbr 3845   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   1stc1st 5909   2ndc2nd 5910   Q.cnq 6839    .Q cmq 6842    <Q cltq 6844   P.cnp 6850    .P. cmp 6853
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-eprel 4116  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-1o 6181  df-2o 6182  df-oadd 6185  df-omul 6186  df-er 6292  df-ec 6294  df-qs 6298  df-ni 6863  df-pli 6864  df-mi 6865  df-lti 6866  df-plpq 6903  df-mpq 6904  df-enq 6906  df-nqqs 6907  df-plqqs 6908  df-mqqs 6909  df-1nqqs 6910  df-rq 6911  df-ltnqqs 6912  df-enq0 6983  df-nq0 6984  df-0nq0 6985  df-plq0 6986  df-mq0 6987  df-inp 7025  df-imp 7028
This theorem is referenced by:  mulclpr  7131
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