Theorem mullocpr 7886

Description: Locatedness of multiplication on positive reals. Lemma 12.9 in [BauerTaylor], p. 56 (but where both A and B are positive, not just A). (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mullocpr	|- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, q, r   B, q, r

Proof of Theorem mullocpr

Dummy variables d e t u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prop 7790	. . . . . . . 8 |- ( A e. P. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. )
2		prmuloc 7881	. . . . . . . 8 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ q <Q r ) -> E. d e. Q. E. u e. Q. ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) )
3	1, 2	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( A e. P. /\ q <Q r ) -> E. d e. Q. E. u e. Q. ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) )
4		r2ex 2562	. . . . . . 7 |- ( E. d e. Q. E. u e. Q. ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) <-> E. d E. u ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) )
5	3, 4	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ q <Q r ) -> E. d E. u ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) )
6	5	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ q <Q r ) -> E. d E. u ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) )
7	6	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) -> E. d E. u ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) )
8		simprr3 1074	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) )
9		simprl 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( d e. Q. /\ u e. Q. ) )
10		mulclnq 7691	. . . . . . . . 9 |- ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) -> ( d .Q u ) e. Q. )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( d .Q u ) e. Q. )
12		appdivnq 7878	. . . . . . . 8 |- ( ( ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) /\ ( d .Q u ) e. Q. ) -> E. e e. Q. ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) )
13	8, 11, 12	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> E. e e. Q. ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) )
14		simprrr 542	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) )
15	11	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( d .Q u ) e. Q. )
16		appdivnq 7878	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) /\ ( d .Q u ) e. Q. ) -> E. t e. Q. ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) )
17	14, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> E. t e. Q. ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) )
18		simplll 535	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( A e. P. /\ B e. P. ) )
19	18	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( A e. P. /\ B e. P. ) )
20		simprl 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) -> ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) )
21	20	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) )
22		simprrl 541	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) )
23		simprrr 542	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) )
24		simpllr 536	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( q e. Q. /\ r e. Q. ) )
25	24	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( q e. Q. /\ r e. Q. ) )
26	9	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( d e. Q. /\ u e. Q. ) )
27		3simpa 1021	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) -> ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) ) )
28	27	ad2antll 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) ) )
29	28	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) ) )
30		simplrl 537	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> e e. Q. )
31		simprl 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> t e. Q. )
32	30, 31	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( e e. Q. /\ t e. Q. ) )
33	19, 21, 22, 23, 25, 26, 29, 32	mullocprlem 7885	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) )
34	17, 33	rexlimddv 2665	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) )
35	13, 34	rexlimddv 2665	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) )
36	35	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) -> ( ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) ) )
37	36	exlimdvv 1947	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) -> ( E. d E. u ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) ) )
38	7, 37	mpd 13	. . 3 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) )
39	38	ex 115	. 2 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) -> ( q <Q r -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) ) )
40	39	ralrimivva 2624	1 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716   /\ w3a 1005   E.wex 1541   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   <.cop 3692   class class class wbr 4109   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   1stc1st 6332   2ndc2nd 6333   Q.cnq 7595   .Q cmq 7598   <Q cltq 7600   P.cnp 7606   .P. cmp 7609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-eprel 4410  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-1o 6647  df-2o 6648  df-oadd 6651  df-omul 6652  df-er 6767  df-ec 6769  df-qs 6773  df-ni 7619  df-pli 7620  df-mi 7621  df-lti 7622  df-plpq 7659  df-mpq 7660  df-enq 7662  df-nqqs 7663  df-plqqs 7664  df-mqqs 7665  df-1nqqs 7666  df-rq 7667  df-ltnqqs 7668  df-enq0 7739  df-nq0 7740  df-0nq0 7741  df-plq0 7742  df-mq0 7743  df-inp 7781  df-imp 7784

This theorem is referenced by:  mulclpr  7887