Theorem mullocpr 7130

Description: Locatedness of multiplication on positive reals. Lemma 12.9 in [BauerTaylor], p. 56 (but where both A and B are positive, not just A). (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mullocpr	|- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, q, r   B, q, r

Proof of Theorem mullocpr

Dummy variables d e t u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prop 7034	. . . . . . . 8 |- ( A e. P. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. )
2		prmuloc 7125	. . . . . . . 8 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ q <Q r ) -> E. d e. Q. E. u e. Q. ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) )
3	1, 2	sylan 277	. . . . . . 7 |- ( ( A e. P. /\ q <Q r ) -> E. d e. Q. E. u e. Q. ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) )
4		r2ex 2398	. . . . . . 7 |- ( E. d e. Q. E. u e. Q. ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) <-> E. d E. u ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) )
5	3, 4	sylib 120	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ q <Q r ) -> E. d E. u ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) )
6	5	adantlr 461	. . . . 5 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ q <Q r ) -> E. d E. u ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) )
7	6	adantlr 461	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) -> E. d E. u ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) )
8		simprr3 993	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) )
9		simprl 498	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( d e. Q. /\ u e. Q. ) )
10		mulclnq 6935	. . . . . . . . 9 |- ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) -> ( d .Q u ) e. Q. )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( d .Q u ) e. Q. )
12		appdivnq 7122	. . . . . . . 8 |- ( ( ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) /\ ( d .Q u ) e. Q. ) -> E. e e. Q. ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) )
13	8, 11, 12	syl2anc 403	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> E. e e. Q. ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) )
14		simprrr 507	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) )
15	11	adantr 270	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( d .Q u ) e. Q. )
16		appdivnq 7122	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) /\ ( d .Q u ) e. Q. ) -> E. t e. Q. ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) )
17	14, 15, 16	syl2anc 403	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> E. t e. Q. ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) )
18		simplll 500	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( A e. P. /\ B e. P. ) )
19	18	ad2antrr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( A e. P. /\ B e. P. ) )
20		simprl 498	. . . . . . . . . 10 |- ( ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) -> ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) )
21	20	ad2antlr 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) )
22		simprrl 506	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) )
23		simprrr 507	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) )
24		simpllr 501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( q e. Q. /\ r e. Q. ) )
25	24	ad2antrr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( q e. Q. /\ r e. Q. ) )
26	9	ad2antrr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( d e. Q. /\ u e. Q. ) )
27		3simpa 940	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) -> ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) ) )
28	27	ad2antll 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) ) )
29	28	ad2antrr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) ) )
30		simplrl 502	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> e e. Q. )
31		simprl 498	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> t e. Q. )
32	30, 31	jca 300	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( e e. Q. /\ t e. Q. ) )
33	19, 21, 22, 23, 25, 26, 29, 32	mullocprlem 7129	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) )
34	17, 33	rexlimddv 2493	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) )
35	13, 34	rexlimddv 2493	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) )
36	35	ex 113	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) -> ( ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) ) )
37	36	exlimdvv 1825	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) -> ( E. d E. u ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) ) )
38	7, 37	mpd 13	. . 3 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) )
39	38	ex 113	. 2 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) -> ( q <Q r -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) ) )
40	39	ralrimivva 2455	1 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   \/ wo 664   /\ w3a 924   E.wex 1426   e. wcel 1438   A.wral 2359   E.wrex 2360   <.cop 3449   class class class wbr 3845   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   1stc1st 5909   2ndc2nd 5910   Q.cnq 6839   .Q cmq 6842   <Q cltq 6844   P.cnp 6850   .P. cmp 6853

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-eprel 4116  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-1o 6181  df-2o 6182  df-oadd 6185  df-omul 6186  df-er 6292  df-ec 6294  df-qs 6298  df-ni 6863  df-pli 6864  df-mi 6865  df-lti 6866  df-plpq 6903  df-mpq 6904  df-enq 6906  df-nqqs 6907  df-plqqs 6908  df-mqqs 6909  df-1nqqs 6910  df-rq 6911  df-ltnqqs 6912  df-enq0 6983  df-nq0 6984  df-0nq0 6985  df-plq0 6986  df-mq0 6987  df-inp 7025  df-imp 7028

This theorem is referenced by:  mulclpr  7131