Theorem mullocpr 7631

Description: Locatedness of multiplication on positive reals. Lemma 12.9 in [BauerTaylor], p. 56 (but where both A and B are positive, not just A). (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mullocpr	|- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, q, r   B, q, r

Proof of Theorem mullocpr

Dummy variables d e t u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prop 7535	. . . . . . . 8 |- ( A e. P. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. )
2		prmuloc 7626	. . . . . . . 8 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ q <Q r ) -> E. d e. Q. E. u e. Q. ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) )
3	1, 2	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( A e. P. /\ q <Q r ) -> E. d e. Q. E. u e. Q. ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) )
4		r2ex 2514	. . . . . . 7 |- ( E. d e. Q. E. u e. Q. ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) <-> E. d E. u ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) )
5	3, 4	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ q <Q r ) -> E. d E. u ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) )
6	5	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ q <Q r ) -> E. d E. u ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) )
7	6	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) -> E. d E. u ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) )
8		simprr3 1049	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) )
9		simprl 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( d e. Q. /\ u e. Q. ) )
10		mulclnq 7436	. . . . . . . . 9 |- ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) -> ( d .Q u ) e. Q. )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( d .Q u ) e. Q. )
12		appdivnq 7623	. . . . . . . 8 |- ( ( ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) /\ ( d .Q u ) e. Q. ) -> E. e e. Q. ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) )
13	8, 11, 12	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> E. e e. Q. ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) )
14		simprrr 540	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) )
15	11	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( d .Q u ) e. Q. )
16		appdivnq 7623	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) /\ ( d .Q u ) e. Q. ) -> E. t e. Q. ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) )
17	14, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> E. t e. Q. ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) )
18		simplll 533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( A e. P. /\ B e. P. ) )
19	18	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( A e. P. /\ B e. P. ) )
20		simprl 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) -> ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) )
21	20	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) )
22		simprrl 539	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) )
23		simprrr 540	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) )
24		simpllr 534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( q e. Q. /\ r e. Q. ) )
25	24	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( q e. Q. /\ r e. Q. ) )
26	9	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( d e. Q. /\ u e. Q. ) )
27		3simpa 996	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) -> ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) ) )
28	27	ad2antll 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) ) )
29	28	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) ) )
30		simplrl 535	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> e e. Q. )
31		simprl 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> t e. Q. )
32	30, 31	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( e e. Q. /\ t e. Q. ) )
33	19, 21, 22, 23, 25, 26, 29, 32	mullocprlem 7630	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) )
34	17, 33	rexlimddv 2616	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) )
35	13, 34	rexlimddv 2616	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) )
36	35	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) -> ( ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) ) )
37	36	exlimdvv 1909	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) -> ( E. d E. u ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) ) )
38	7, 37	mpd 13	. . 3 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) )
39	38	ex 115	. 2 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) -> ( q <Q r -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) ) )
40	39	ralrimivva 2576	1 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   /\ w3a 980   E.wex 1503   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   <.cop 3621   class class class wbr 4029   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   1stc1st 6191   2ndc2nd 6192   Q.cnq 7340   .Q cmq 7343   <Q cltq 7345   P.cnp 7351   .P. cmp 7354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-eprel 4320  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-1o 6469  df-2o 6470  df-oadd 6473  df-omul 6474  df-er 6587  df-ec 6589  df-qs 6593  df-ni 7364  df-pli 7365  df-mi 7366  df-lti 7367  df-plpq 7404  df-mpq 7405  df-enq 7407  df-nqqs 7408  df-plqqs 7409  df-mqqs 7410  df-1nqqs 7411  df-rq 7412  df-ltnqqs 7413  df-enq0 7484  df-nq0 7485  df-0nq0 7486  df-plq0 7487  df-mq0 7488  df-inp 7526  df-imp 7529

This theorem is referenced by:  mulclpr  7632