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Theorem appdivnq 7512
Description: Approximate division for positive rationals. Proposition 12.7 of [BauerTaylor], p. 55 (a special case where 𝐴 and 𝐵 are positive, as well as 𝐶). Our proof is simpler than the one in BauerTaylor because we have reciprocals. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
appdivnq ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → ∃𝑚Q (𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝐵,𝑚   𝐶,𝑚

Proof of Theorem appdivnq
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . . 4 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → 𝐴 <Q 𝐵)
2 ltrelnq 7314 . . . . . . . 8 <Q ⊆ (Q × Q)
32brel 4661 . . . . . . 7 (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴Q𝐵Q))
43adantr 274 . . . . . 6 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → (𝐴Q𝐵Q))
54simpld 111 . . . . 5 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → 𝐴Q)
64simprd 113 . . . . 5 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → 𝐵Q)
7 recclnq 7341 . . . . . 6 (𝐶Q → (*Q𝐶) ∈ Q)
87adantl 275 . . . . 5 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → (*Q𝐶) ∈ Q)
9 ltmnqg 7350 . . . . 5 ((𝐴Q𝐵Q ∧ (*Q𝐶) ∈ Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)))
105, 6, 8, 9syl3anc 1233 . . . 4 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)))
111, 10mpbid 146 . . 3 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → ((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵))
12 ltbtwnnqq 7364 . . 3 (((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵) ↔ ∃𝑚Q (((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)))
1311, 12sylib 121 . 2 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → ∃𝑚Q (((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)))
148adantr 274 . . . . . . . . 9 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (*Q𝐶) ∈ Q)
155adantr 274 . . . . . . . . 9 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → 𝐴Q)
16 mulclnq 7325 . . . . . . . . 9 (((*Q𝐶) ∈ Q𝐴Q) → ((*Q𝐶) ·Q 𝐴) ∈ Q)
1714, 15, 16syl2anc 409 . . . . . . . 8 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((*Q𝐶) ·Q 𝐴) ∈ Q)
18 simpr 109 . . . . . . . 8 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → 𝑚Q)
19 simplr 525 . . . . . . . 8 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → 𝐶Q)
20 ltmnqg 7350 . . . . . . . 8 ((((*Q𝐶) ·Q 𝐴) ∈ Q𝑚Q𝐶Q) → (((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚 ↔ (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐴)) <Q (𝐶 ·Q 𝑚)))
2117, 18, 19, 20syl3anc 1233 . . . . . . 7 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚 ↔ (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐴)) <Q (𝐶 ·Q 𝑚)))
22 recidnq 7342 . . . . . . . . . . 11 (𝐶Q → (𝐶 ·Q (*Q𝐶)) = 1Q)
2322oveq1d 5865 . . . . . . . . . 10 (𝐶Q → ((𝐶 ·Q (*Q𝐶)) ·Q 𝐴) = (1Q ·Q 𝐴))
2423ad2antlr 486 . . . . . . . . 9 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((𝐶 ·Q (*Q𝐶)) ·Q 𝐴) = (1Q ·Q 𝐴))
25 mulassnqg 7333 . . . . . . . . . 10 ((𝐶Q ∧ (*Q𝐶) ∈ Q𝐴Q) → ((𝐶 ·Q (*Q𝐶)) ·Q 𝐴) = (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐴)))
2619, 14, 15, 25syl3anc 1233 . . . . . . . . 9 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((𝐶 ·Q (*Q𝐶)) ·Q 𝐴) = (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐴)))
27 1nq 7315 . . . . . . . . . . . 12 1QQ
28 mulcomnqg 7332 . . . . . . . . . . . 12 ((1QQ𝐴Q) → (1Q ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q 1Q))
2927, 28mpan 422 . . . . . . . . . . 11 (𝐴Q → (1Q ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q 1Q))
30 mulidnq 7338 . . . . . . . . . . 11 (𝐴Q → (𝐴 ·Q 1Q) = 𝐴)
3129, 30eqtrd 2203 . . . . . . . . . 10 (𝐴Q → (1Q ·Q 𝐴) = 𝐴)
3215, 31syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (1Q ·Q 𝐴) = 𝐴)
3324, 26, 323eqtr3d 2211 . . . . . . . 8 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐴)) = 𝐴)
3433breq1d 3997 . . . . . . 7 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐴)) <Q (𝐶 ·Q 𝑚) ↔ 𝐴 <Q (𝐶 ·Q 𝑚)))
3521, 34bitrd 187 . . . . . 6 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚𝐴 <Q (𝐶 ·Q 𝑚)))
366adantr 274 . . . . . . . . 9 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → 𝐵Q)
37 mulclnq 7325 . . . . . . . . 9 (((*Q𝐶) ∈ Q𝐵Q) → ((*Q𝐶) ·Q 𝐵) ∈ Q)
3814, 36, 37syl2anc 409 . . . . . . . 8 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((*Q𝐶) ·Q 𝐵) ∈ Q)
39 ltmnqg 7350 . . . . . . . 8 ((𝑚Q ∧ ((*Q𝐶) ·Q 𝐵) ∈ Q𝐶Q) → (𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵) ↔ (𝐶 ·Q 𝑚) <Q (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵))))
4018, 38, 19, 39syl3anc 1233 . . . . . . 7 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵) ↔ (𝐶 ·Q 𝑚) <Q (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵))))
4122oveq1d 5865 . . . . . . . . . 10 (𝐶Q → ((𝐶 ·Q (*Q𝐶)) ·Q 𝐵) = (1Q ·Q 𝐵))
4241ad2antlr 486 . . . . . . . . 9 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((𝐶 ·Q (*Q𝐶)) ·Q 𝐵) = (1Q ·Q 𝐵))
43 mulassnqg 7333 . . . . . . . . . 10 ((𝐶Q ∧ (*Q𝐶) ∈ Q𝐵Q) → ((𝐶 ·Q (*Q𝐶)) ·Q 𝐵) = (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)))
4419, 14, 36, 43syl3anc 1233 . . . . . . . . 9 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((𝐶 ·Q (*Q𝐶)) ·Q 𝐵) = (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)))
45 mulcomnqg 7332 . . . . . . . . . . . 12 ((1QQ𝐵Q) → (1Q ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 1Q))
4627, 45mpan 422 . . . . . . . . . . 11 (𝐵Q → (1Q ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 1Q))
47 mulidnq 7338 . . . . . . . . . . 11 (𝐵Q → (𝐵 ·Q 1Q) = 𝐵)
4846, 47eqtrd 2203 . . . . . . . . . 10 (𝐵Q → (1Q ·Q 𝐵) = 𝐵)
4936, 48syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (1Q ·Q 𝐵) = 𝐵)
5042, 44, 493eqtr3d 2211 . . . . . . . 8 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)) = 𝐵)
5150breq2d 3999 . . . . . . 7 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((𝐶 ·Q 𝑚) <Q (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)) ↔ (𝐶 ·Q 𝑚) <Q 𝐵))
5240, 51bitrd 187 . . . . . 6 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵) ↔ (𝐶 ·Q 𝑚) <Q 𝐵))
5335, 52anbi12d 470 . . . . 5 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)) ↔ (𝐴 <Q (𝐶 ·Q 𝑚) ∧ (𝐶 ·Q 𝑚) <Q 𝐵)))
54 mulcomnqg 7332 . . . . . . . 8 ((𝐶Q𝑚Q) → (𝐶 ·Q 𝑚) = (𝑚 ·Q 𝐶))
5519, 18, 54syl2anc 409 . . . . . . 7 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (𝐶 ·Q 𝑚) = (𝑚 ·Q 𝐶))
5655breq2d 3999 . . . . . 6 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (𝐴 <Q (𝐶 ·Q 𝑚) ↔ 𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶)))
5755breq1d 3997 . . . . . 6 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((𝐶 ·Q 𝑚) <Q 𝐵 ↔ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵))
5856, 57anbi12d 470 . . . . 5 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((𝐴 <Q (𝐶 ·Q 𝑚) ∧ (𝐶 ·Q 𝑚) <Q 𝐵) ↔ (𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵)))
5953, 58bitrd 187 . . . 4 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)) ↔ (𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵)))
6059biimpd 143 . . 3 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)) → (𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵)))
6160reximdva 2572 . 2 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → (∃𝑚Q (((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)) → ∃𝑚Q (𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵)))
6213, 61mpd 13 1 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → ∃𝑚Q (𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1348  wcel 2141  wrex 2449   class class class wbr 3987  cfv 5196  (class class class)co 5850  Qcnq 7229  1Qc1q 7230   ·Q cmq 7232  *Qcrq 7233   <Q cltq 7234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-eprel 4272  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-irdg 6346  df-1o 6392  df-oadd 6396  df-omul 6397  df-er 6509  df-ec 6511  df-qs 6515  df-ni 7253  df-pli 7254  df-mi 7255  df-lti 7256  df-plpq 7293  df-mpq 7294  df-enq 7296  df-nqqs 7297  df-plqqs 7298  df-mqqs 7299  df-1nqqs 7300  df-rq 7301  df-ltnqqs 7302
This theorem is referenced by:  appdiv0nq  7513  mullocpr  7520
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