Theorem appdivnq 7874

Description: Approximate division for positive rationals. Proposition 12.7 of [BauerTaylor], p. 55 (a special case where 𝐴 and 𝐵 are positive, as well as 𝐶). Our proof is simpler than the one in BauerTaylor because we have reciprocals. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
appdivnq	⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) → ∃𝑚 ∈ Q (𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝐵,𝑚   𝐶,𝑚

Proof of Theorem appdivnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) → 𝐴 <Q 𝐵)
2		ltrelnq 7676	. . . . . . . 8 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
3	2	brel 4801	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
4	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
5	4	simpld 112	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) → 𝐴 ∈ Q)
6	4	simprd 114	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) → 𝐵 ∈ Q)
7		recclnq 7703	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Q → (*Q‘𝐶) ∈ Q)
8	7	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) → (*Q‘𝐶) ∈ Q)
9		ltmnqg 7712	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ (*Q‘𝐶) ∈ Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴) <Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵)))
10	5, 6, 8, 9	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴) <Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵)))
11	1, 10	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) → ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴) <Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵))
12		ltbtwnnqq 7726	. . 3 ⊢ (((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴) <Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵) ↔ ∃𝑚 ∈ Q (((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚 ∧ 𝑚 <Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵)))
13	11, 12	sylib 122	. 2 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) → ∃𝑚 ∈ Q (((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚 ∧ 𝑚 <Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵)))
14	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → (*Q‘𝐶) ∈ Q)
15	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → 𝐴 ∈ Q)
16		mulclnq 7687	. . . . . . . . 9 ⊢ (((*Q‘𝐶) ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴) ∈ Q)
17	14, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴) ∈ Q)
18		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → 𝑚 ∈ Q)
19		simplr 529	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → 𝐶 ∈ Q)
20		ltmnqg 7712	. . . . . . . 8 ⊢ ((((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴) ∈ Q ∧ 𝑚 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → (((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚 ↔ (𝐶 ·Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴)) <Q (𝐶 ·Q 𝑚)))
21	17, 18, 19, 20	syl3anc 1274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → (((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚 ↔ (𝐶 ·Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴)) <Q (𝐶 ·Q 𝑚)))
22		recidnq 7704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ Q → (𝐶 ·Q (*Q‘𝐶)) = 1Q)
23	22	oveq1d 6064	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Q → ((𝐶 ·Q (*Q‘𝐶)) ·Q 𝐴) = (1Q ·Q 𝐴))
24	23	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → ((𝐶 ·Q (*Q‘𝐶)) ·Q 𝐴) = (1Q ·Q 𝐴))
25		mulassnqg 7695	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ (*Q‘𝐶) ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → ((𝐶 ·Q (*Q‘𝐶)) ·Q 𝐴) = (𝐶 ·Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴)))
26	19, 14, 15, 25	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → ((𝐶 ·Q (*Q‘𝐶)) ·Q 𝐴) = (𝐶 ·Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴)))
27		1nq 7677	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1Q ∈ Q
28		mulcomnqg 7694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1Q ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → (1Q ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q 1Q))
29	27, 28	mpan 424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (1Q ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q 1Q))
30		mulidnq 7700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (𝐴 ·Q 1Q) = 𝐴)
31	29, 30	eqtrd 2265	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (1Q ·Q 𝐴) = 𝐴)
32	15, 31	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → (1Q ·Q 𝐴) = 𝐴)
33	24, 26, 32	3eqtr3d 2273	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → (𝐶 ·Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴)) = 𝐴)
34	33	breq1d 4118	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → ((𝐶 ·Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴)) <Q (𝐶 ·Q 𝑚) ↔ 𝐴 <Q (𝐶 ·Q 𝑚)))
35	21, 34	bitrd 188	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → (((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚 ↔ 𝐴 <Q (𝐶 ·Q 𝑚)))
36	6	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → 𝐵 ∈ Q)
37		mulclnq 7687	. . . . . . . . 9 ⊢ (((*Q‘𝐶) ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵) ∈ Q)
38	14, 36, 37	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵) ∈ Q)
39		ltmnqg 7712	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ Q ∧ ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵) ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → (𝑚 <Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵) ↔ (𝐶 ·Q 𝑚) <Q (𝐶 ·Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵))))
40	18, 38, 19, 39	syl3anc 1274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → (𝑚 <Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵) ↔ (𝐶 ·Q 𝑚) <Q (𝐶 ·Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵))))
41	22	oveq1d 6064	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Q → ((𝐶 ·Q (*Q‘𝐶)) ·Q 𝐵) = (1Q ·Q 𝐵))
42	41	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → ((𝐶 ·Q (*Q‘𝐶)) ·Q 𝐵) = (1Q ·Q 𝐵))
43		mulassnqg 7695	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ (*Q‘𝐶) ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ((𝐶 ·Q (*Q‘𝐶)) ·Q 𝐵) = (𝐶 ·Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵)))
44	19, 14, 36, 43	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → ((𝐶 ·Q (*Q‘𝐶)) ·Q 𝐵) = (𝐶 ·Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵)))
45		mulcomnqg 7694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1Q ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (1Q ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 1Q))
46	27, 45	mpan 424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (1Q ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 1Q))
47		mulidnq 7700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (𝐵 ·Q 1Q) = 𝐵)
48	46, 47	eqtrd 2265	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (1Q ·Q 𝐵) = 𝐵)
49	36, 48	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → (1Q ·Q 𝐵) = 𝐵)
50	42, 44, 49	3eqtr3d 2273	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → (𝐶 ·Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵)) = 𝐵)
51	50	breq2d 4120	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → ((𝐶 ·Q 𝑚) <Q (𝐶 ·Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵)) ↔ (𝐶 ·Q 𝑚) <Q 𝐵))
52	40, 51	bitrd 188	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → (𝑚 <Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵) ↔ (𝐶 ·Q 𝑚) <Q 𝐵))
53	35, 52	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → ((((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚 ∧ 𝑚 <Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵)) ↔ (𝐴 <Q (𝐶 ·Q 𝑚) ∧ (𝐶 ·Q 𝑚) <Q 𝐵)))
54		mulcomnqg 7694	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ 𝑚 ∈ Q) → (𝐶 ·Q 𝑚) = (𝑚 ·Q 𝐶))
55	19, 18, 54	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → (𝐶 ·Q 𝑚) = (𝑚 ·Q 𝐶))
56	55	breq2d 4120	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → (𝐴 <Q (𝐶 ·Q 𝑚) ↔ 𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶)))
57	55	breq1d 4118	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → ((𝐶 ·Q 𝑚) <Q 𝐵 ↔ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵))
58	56, 57	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → ((𝐴 <Q (𝐶 ·Q 𝑚) ∧ (𝐶 ·Q 𝑚) <Q 𝐵) ↔ (𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵)))
59	53, 58	bitrd 188	. . . 4 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → ((((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚 ∧ 𝑚 <Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵)) ↔ (𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵)))
60	59	biimpd 144	. . 3 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → ((((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚 ∧ 𝑚 <Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵)) → (𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵)))
61	60	reximdva 2644	. 2 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) → (∃𝑚 ∈ Q (((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚 ∧ 𝑚 <Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵)) → ∃𝑚 ∈ Q (𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵)))
62	13, 61	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) → ∃𝑚 ∈ Q (𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∃wrex 2521   class class class wbr 4108  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  Qcnq 7591  1_Qc1q 7592   ·_Q cmq 7594  *_Qcrq 7595   <_Q cltq 7596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-eprel 4409  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-1o 6646  df-oadd 6650  df-omul 6651  df-er 6766  df-ec 6768  df-qs 6772  df-ni 7615  df-pli 7616  df-mi 7617  df-lti 7618  df-plpq 7655  df-mpq 7656  df-enq 7658  df-nqqs 7659  df-plqqs 7660  df-mqqs 7661  df-1nqqs 7662  df-rq 7663  df-ltnqqs 7664

This theorem is referenced by:  appdiv0nq  7875  mullocpr  7882