Theorem appdivnq 7894

Description: Approximate division for positive rationals. Proposition 12.7 of [BauerTaylor], p. 55 (a special case where 𝐴 and 𝐵 are positive, as well as 𝐶). Our proof is simpler than the one in BauerTaylor because we have reciprocals. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
appdivnq	⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) → ∃𝑚 ∈ Q (𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝐵,𝑚   𝐶,𝑚

Proof of Theorem appdivnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) → 𝐴 <Q 𝐵)
2		ltrelnq 7696	. . . . . . . 8 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
3	2	brel 4807	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
4	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
5	4	simpld 112	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) → 𝐴 ∈ Q)
6	4	simprd 114	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) → 𝐵 ∈ Q)
7		recclnq 7723	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Q → (*Q‘𝐶) ∈ Q)
8	7	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) → (*Q‘𝐶) ∈ Q)
9		ltmnqg 7732	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ (*Q‘𝐶) ∈ Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴) <Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵)))
10	5, 6, 8, 9	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴) <Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵)))
11	1, 10	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) → ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴) <Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵))
12		ltbtwnnqq 7746	. . 3 ⊢ (((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴) <Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵) ↔ ∃𝑚 ∈ Q (((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚 ∧ 𝑚 <Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵)))
13	11, 12	sylib 122	. 2 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) → ∃𝑚 ∈ Q (((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚 ∧ 𝑚 <Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵)))
14	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → (*Q‘𝐶) ∈ Q)
15	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → 𝐴 ∈ Q)
16		mulclnq 7707	. . . . . . . . 9 ⊢ (((*Q‘𝐶) ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴) ∈ Q)
17	14, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴) ∈ Q)
18		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → 𝑚 ∈ Q)
19		simplr 529	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → 𝐶 ∈ Q)
20		ltmnqg 7732	. . . . . . . 8 ⊢ ((((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴) ∈ Q ∧ 𝑚 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → (((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚 ↔ (𝐶 ·Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴)) <Q (𝐶 ·Q 𝑚)))
21	17, 18, 19, 20	syl3anc 1274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → (((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚 ↔ (𝐶 ·Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴)) <Q (𝐶 ·Q 𝑚)))
22		recidnq 7724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ Q → (𝐶 ·Q (*Q‘𝐶)) = 1Q)
23	22	oveq1d 6073	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Q → ((𝐶 ·Q (*Q‘𝐶)) ·Q 𝐴) = (1Q ·Q 𝐴))
24	23	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → ((𝐶 ·Q (*Q‘𝐶)) ·Q 𝐴) = (1Q ·Q 𝐴))
25		mulassnqg 7715	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ (*Q‘𝐶) ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → ((𝐶 ·Q (*Q‘𝐶)) ·Q 𝐴) = (𝐶 ·Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴)))
26	19, 14, 15, 25	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → ((𝐶 ·Q (*Q‘𝐶)) ·Q 𝐴) = (𝐶 ·Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴)))
27		1nq 7697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1Q ∈ Q
28		mulcomnqg 7714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1Q ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → (1Q ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q 1Q))
29	27, 28	mpan 424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (1Q ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q 1Q))
30		mulidnq 7720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (𝐴 ·Q 1Q) = 𝐴)
31	29, 30	eqtrd 2267	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (1Q ·Q 𝐴) = 𝐴)
32	15, 31	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → (1Q ·Q 𝐴) = 𝐴)
33	24, 26, 32	3eqtr3d 2275	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → (𝐶 ·Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴)) = 𝐴)
34	33	breq1d 4124	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → ((𝐶 ·Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴)) <Q (𝐶 ·Q 𝑚) ↔ 𝐴 <Q (𝐶 ·Q 𝑚)))
35	21, 34	bitrd 188	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → (((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚 ↔ 𝐴 <Q (𝐶 ·Q 𝑚)))
36	6	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → 𝐵 ∈ Q)
37		mulclnq 7707	. . . . . . . . 9 ⊢ (((*Q‘𝐶) ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵) ∈ Q)
38	14, 36, 37	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵) ∈ Q)
39		ltmnqg 7732	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ Q ∧ ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵) ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → (𝑚 <Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵) ↔ (𝐶 ·Q 𝑚) <Q (𝐶 ·Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵))))
40	18, 38, 19, 39	syl3anc 1274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → (𝑚 <Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵) ↔ (𝐶 ·Q 𝑚) <Q (𝐶 ·Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵))))
41	22	oveq1d 6073	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Q → ((𝐶 ·Q (*Q‘𝐶)) ·Q 𝐵) = (1Q ·Q 𝐵))
42	41	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → ((𝐶 ·Q (*Q‘𝐶)) ·Q 𝐵) = (1Q ·Q 𝐵))
43		mulassnqg 7715	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ (*Q‘𝐶) ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ((𝐶 ·Q (*Q‘𝐶)) ·Q 𝐵) = (𝐶 ·Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵)))
44	19, 14, 36, 43	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → ((𝐶 ·Q (*Q‘𝐶)) ·Q 𝐵) = (𝐶 ·Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵)))
45		mulcomnqg 7714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1Q ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (1Q ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 1Q))
46	27, 45	mpan 424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (1Q ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 1Q))
47		mulidnq 7720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (𝐵 ·Q 1Q) = 𝐵)
48	46, 47	eqtrd 2267	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (1Q ·Q 𝐵) = 𝐵)
49	36, 48	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → (1Q ·Q 𝐵) = 𝐵)
50	42, 44, 49	3eqtr3d 2275	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → (𝐶 ·Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵)) = 𝐵)
51	50	breq2d 4126	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → ((𝐶 ·Q 𝑚) <Q (𝐶 ·Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵)) ↔ (𝐶 ·Q 𝑚) <Q 𝐵))
52	40, 51	bitrd 188	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → (𝑚 <Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵) ↔ (𝐶 ·Q 𝑚) <Q 𝐵))
53	35, 52	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → ((((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚 ∧ 𝑚 <Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵)) ↔ (𝐴 <Q (𝐶 ·Q 𝑚) ∧ (𝐶 ·Q 𝑚) <Q 𝐵)))
54		mulcomnqg 7714	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ 𝑚 ∈ Q) → (𝐶 ·Q 𝑚) = (𝑚 ·Q 𝐶))
55	19, 18, 54	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → (𝐶 ·Q 𝑚) = (𝑚 ·Q 𝐶))
56	55	breq2d 4126	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → (𝐴 <Q (𝐶 ·Q 𝑚) ↔ 𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶)))
57	55	breq1d 4124	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → ((𝐶 ·Q 𝑚) <Q 𝐵 ↔ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵))
58	56, 57	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → ((𝐴 <Q (𝐶 ·Q 𝑚) ∧ (𝐶 ·Q 𝑚) <Q 𝐵) ↔ (𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵)))
59	53, 58	bitrd 188	. . . 4 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → ((((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚 ∧ 𝑚 <Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵)) ↔ (𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵)))
60	59	biimpd 144	. . 3 ⊢ (((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑚 ∈ Q) → ((((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚 ∧ 𝑚 <Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵)) → (𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵)))
61	60	reximdva 2646	. 2 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) → (∃𝑚 ∈ Q (((*Q‘𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚 ∧ 𝑚 <Q ((*Q‘𝐶) ·Q 𝐵)) → ∃𝑚 ∈ Q (𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵)))
62	13, 61	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) → ∃𝑚 ∈ Q (𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∃wrex 2523   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  Qcnq 7611  1_Qc1q 7612   ·_Q cmq 7614  *_Qcrq 7615   <_Q cltq 7616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-eprel 4415  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-omul 6665  df-er 6780  df-ec 6782  df-qs 6786  df-ni 7635  df-pli 7636  df-mi 7637  df-lti 7638  df-plpq 7675  df-mpq 7676  df-enq 7678  df-nqqs 7679  df-plqqs 7680  df-mqqs 7681  df-1nqqs 7682  df-rq 7683  df-ltnqqs 7684

This theorem is referenced by:  appdiv0nq  7895  mullocpr  7902