ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  appdivnq GIF version

Theorem appdivnq 7561
Description: Approximate division for positive rationals. Proposition 12.7 of [BauerTaylor], p. 55 (a special case where ๐ด and ๐ต are positive, as well as ๐ถ). Our proof is simpler than the one in BauerTaylor because we have reciprocals. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
appdivnq ((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ Q (๐ด <Q (๐‘š ยทQ ๐ถ) โˆง (๐‘š ยทQ ๐ถ) <Q ๐ต))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘š   ๐ต,๐‘š   ๐ถ,๐‘š

Proof of Theorem appdivnq
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . . 4 ((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ๐ด <Q ๐ต)
2 ltrelnq 7363 . . . . . . . 8 <Q โŠ† (Q ร— Q)
32brel 4678 . . . . . . 7 (๐ด <Q ๐ต โ†’ (๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q))
43adantr 276 . . . . . 6 ((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q))
54simpld 112 . . . . 5 ((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ๐ด โˆˆ Q)
64simprd 114 . . . . 5 ((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ๐ต โˆˆ Q)
7 recclnq 7390 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ Q โ†’ (*Qโ€˜๐ถ) โˆˆ Q)
87adantl 277 . . . . 5 ((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (*Qโ€˜๐ถ) โˆˆ Q)
9 ltmnqg 7399 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง (*Qโ€˜๐ถ) โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <Q ๐ต โ†” ((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ด) <Q ((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ต)))
105, 6, 8, 9syl3anc 1238 . . . 4 ((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <Q ๐ต โ†” ((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ด) <Q ((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ต)))
111, 10mpbid 147 . . 3 ((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ด) <Q ((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ต))
12 ltbtwnnqq 7413 . . 3 (((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ด) <Q ((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ Q (((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ด) <Q ๐‘š โˆง ๐‘š <Q ((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ต)))
1311, 12sylib 122 . 2 ((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ Q (((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ด) <Q ๐‘š โˆง ๐‘š <Q ((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ต)))
148adantr 276 . . . . . . . . 9 (((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โˆง ๐‘š โˆˆ Q) โ†’ (*Qโ€˜๐ถ) โˆˆ Q)
155adantr 276 . . . . . . . . 9 (((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โˆง ๐‘š โˆˆ Q) โ†’ ๐ด โˆˆ Q)
16 mulclnq 7374 . . . . . . . . 9 (((*Qโ€˜๐ถ) โˆˆ Q โˆง ๐ด โˆˆ Q) โ†’ ((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ด) โˆˆ Q)
1714, 15, 16syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โˆง ๐‘š โˆˆ Q) โ†’ ((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ด) โˆˆ Q)
18 simpr 110 . . . . . . . 8 (((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โˆง ๐‘š โˆˆ Q) โ†’ ๐‘š โˆˆ Q)
19 simplr 528 . . . . . . . 8 (((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โˆง ๐‘š โˆˆ Q) โ†’ ๐ถ โˆˆ Q)
20 ltmnqg 7399 . . . . . . . 8 ((((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ด) โˆˆ Q โˆง ๐‘š โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ด) <Q ๐‘š โ†” (๐ถ ยทQ ((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ด)) <Q (๐ถ ยทQ ๐‘š)))
2117, 18, 19, 20syl3anc 1238 . . . . . . 7 (((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โˆง ๐‘š โˆˆ Q) โ†’ (((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ด) <Q ๐‘š โ†” (๐ถ ยทQ ((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ด)) <Q (๐ถ ยทQ ๐‘š)))
22 recidnq 7391 . . . . . . . . . . 11 (๐ถ โˆˆ Q โ†’ (๐ถ ยทQ (*Qโ€˜๐ถ)) = 1Q)
2322oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ Q โ†’ ((๐ถ ยทQ (*Qโ€˜๐ถ)) ยทQ ๐ด) = (1Q ยทQ ๐ด))
2423ad2antlr 489 . . . . . . . . 9 (((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โˆง ๐‘š โˆˆ Q) โ†’ ((๐ถ ยทQ (*Qโ€˜๐ถ)) ยทQ ๐ด) = (1Q ยทQ ๐ด))
25 mulassnqg 7382 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โˆˆ Q โˆง (*Qโ€˜๐ถ) โˆˆ Q โˆง ๐ด โˆˆ Q) โ†’ ((๐ถ ยทQ (*Qโ€˜๐ถ)) ยทQ ๐ด) = (๐ถ ยทQ ((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ด)))
2619, 14, 15, 25syl3anc 1238 . . . . . . . . 9 (((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โˆง ๐‘š โˆˆ Q) โ†’ ((๐ถ ยทQ (*Qโ€˜๐ถ)) ยทQ ๐ด) = (๐ถ ยทQ ((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ด)))
27 1nq 7364 . . . . . . . . . . . 12 1Q โˆˆ Q
28 mulcomnqg 7381 . . . . . . . . . . . 12 ((1Q โˆˆ Q โˆง ๐ด โˆˆ Q) โ†’ (1Q ยทQ ๐ด) = (๐ด ยทQ 1Q))
2927, 28mpan 424 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (1Q ยทQ ๐ด) = (๐ด ยทQ 1Q))
30 mulidnq 7387 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (๐ด ยทQ 1Q) = ๐ด)
3129, 30eqtrd 2210 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (1Q ยทQ ๐ด) = ๐ด)
3215, 31syl 14 . . . . . . . . 9 (((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โˆง ๐‘š โˆˆ Q) โ†’ (1Q ยทQ ๐ด) = ๐ด)
3324, 26, 323eqtr3d 2218 . . . . . . . 8 (((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โˆง ๐‘š โˆˆ Q) โ†’ (๐ถ ยทQ ((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ด)) = ๐ด)
3433breq1d 4013 . . . . . . 7 (((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โˆง ๐‘š โˆˆ Q) โ†’ ((๐ถ ยทQ ((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ด)) <Q (๐ถ ยทQ ๐‘š) โ†” ๐ด <Q (๐ถ ยทQ ๐‘š)))
3521, 34bitrd 188 . . . . . 6 (((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โˆง ๐‘š โˆˆ Q) โ†’ (((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ด) <Q ๐‘š โ†” ๐ด <Q (๐ถ ยทQ ๐‘š)))
366adantr 276 . . . . . . . . 9 (((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โˆง ๐‘š โˆˆ Q) โ†’ ๐ต โˆˆ Q)
37 mulclnq 7374 . . . . . . . . 9 (((*Qโ€˜๐ถ) โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ ((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ต) โˆˆ Q)
3814, 36, 37syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โˆง ๐‘š โˆˆ Q) โ†’ ((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ต) โˆˆ Q)
39 ltmnqg 7399 . . . . . . . 8 ((๐‘š โˆˆ Q โˆง ((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ต) โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘š <Q ((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ต) โ†” (๐ถ ยทQ ๐‘š) <Q (๐ถ ยทQ ((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ต))))
4018, 38, 19, 39syl3anc 1238 . . . . . . 7 (((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โˆง ๐‘š โˆˆ Q) โ†’ (๐‘š <Q ((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ต) โ†” (๐ถ ยทQ ๐‘š) <Q (๐ถ ยทQ ((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ต))))
4122oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ Q โ†’ ((๐ถ ยทQ (*Qโ€˜๐ถ)) ยทQ ๐ต) = (1Q ยทQ ๐ต))
4241ad2antlr 489 . . . . . . . . 9 (((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โˆง ๐‘š โˆˆ Q) โ†’ ((๐ถ ยทQ (*Qโ€˜๐ถ)) ยทQ ๐ต) = (1Q ยทQ ๐ต))
43 mulassnqg 7382 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โˆˆ Q โˆง (*Qโ€˜๐ถ) โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ ((๐ถ ยทQ (*Qโ€˜๐ถ)) ยทQ ๐ต) = (๐ถ ยทQ ((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ต)))
4419, 14, 36, 43syl3anc 1238 . . . . . . . . 9 (((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โˆง ๐‘š โˆˆ Q) โ†’ ((๐ถ ยทQ (*Qโ€˜๐ถ)) ยทQ ๐ต) = (๐ถ ยทQ ((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ต)))
45 mulcomnqg 7381 . . . . . . . . . . . 12 ((1Q โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (1Q ยทQ ๐ต) = (๐ต ยทQ 1Q))
4627, 45mpan 424 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ Q โ†’ (1Q ยทQ ๐ต) = (๐ต ยทQ 1Q))
47 mulidnq 7387 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ Q โ†’ (๐ต ยทQ 1Q) = ๐ต)
4846, 47eqtrd 2210 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ Q โ†’ (1Q ยทQ ๐ต) = ๐ต)
4936, 48syl 14 . . . . . . . . 9 (((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โˆง ๐‘š โˆˆ Q) โ†’ (1Q ยทQ ๐ต) = ๐ต)
5042, 44, 493eqtr3d 2218 . . . . . . . 8 (((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โˆง ๐‘š โˆˆ Q) โ†’ (๐ถ ยทQ ((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ต)) = ๐ต)
5150breq2d 4015 . . . . . . 7 (((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โˆง ๐‘š โˆˆ Q) โ†’ ((๐ถ ยทQ ๐‘š) <Q (๐ถ ยทQ ((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ต)) โ†” (๐ถ ยทQ ๐‘š) <Q ๐ต))
5240, 51bitrd 188 . . . . . 6 (((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โˆง ๐‘š โˆˆ Q) โ†’ (๐‘š <Q ((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ต) โ†” (๐ถ ยทQ ๐‘š) <Q ๐ต))
5335, 52anbi12d 473 . . . . 5 (((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โˆง ๐‘š โˆˆ Q) โ†’ ((((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ด) <Q ๐‘š โˆง ๐‘š <Q ((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ต)) โ†” (๐ด <Q (๐ถ ยทQ ๐‘š) โˆง (๐ถ ยทQ ๐‘š) <Q ๐ต)))
54 mulcomnqg 7381 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ Q โˆง ๐‘š โˆˆ Q) โ†’ (๐ถ ยทQ ๐‘š) = (๐‘š ยทQ ๐ถ))
5519, 18, 54syl2anc 411 . . . . . . 7 (((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โˆง ๐‘š โˆˆ Q) โ†’ (๐ถ ยทQ ๐‘š) = (๐‘š ยทQ ๐ถ))
5655breq2d 4015 . . . . . 6 (((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โˆง ๐‘š โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <Q (๐ถ ยทQ ๐‘š) โ†” ๐ด <Q (๐‘š ยทQ ๐ถ)))
5755breq1d 4013 . . . . . 6 (((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โˆง ๐‘š โˆˆ Q) โ†’ ((๐ถ ยทQ ๐‘š) <Q ๐ต โ†” (๐‘š ยทQ ๐ถ) <Q ๐ต))
5856, 57anbi12d 473 . . . . 5 (((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โˆง ๐‘š โˆˆ Q) โ†’ ((๐ด <Q (๐ถ ยทQ ๐‘š) โˆง (๐ถ ยทQ ๐‘š) <Q ๐ต) โ†” (๐ด <Q (๐‘š ยทQ ๐ถ) โˆง (๐‘š ยทQ ๐ถ) <Q ๐ต)))
5953, 58bitrd 188 . . . 4 (((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โˆง ๐‘š โˆˆ Q) โ†’ ((((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ด) <Q ๐‘š โˆง ๐‘š <Q ((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ต)) โ†” (๐ด <Q (๐‘š ยทQ ๐ถ) โˆง (๐‘š ยทQ ๐ถ) <Q ๐ต)))
6059biimpd 144 . . 3 (((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โˆง ๐‘š โˆˆ Q) โ†’ ((((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ด) <Q ๐‘š โˆง ๐‘š <Q ((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ต)) โ†’ (๐ด <Q (๐‘š ยทQ ๐ถ) โˆง (๐‘š ยทQ ๐ถ) <Q ๐ต)))
6160reximdva 2579 . 2 ((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ Q (((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ด) <Q ๐‘š โˆง ๐‘š <Q ((*Qโ€˜๐ถ) ยทQ ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ Q (๐ด <Q (๐‘š ยทQ ๐ถ) โˆง (๐‘š ยทQ ๐ถ) <Q ๐ต)))
6213, 61mpd 13 1 ((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ Q (๐ด <Q (๐‘š ยทQ ๐ถ) โˆง (๐‘š ยทQ ๐ถ) <Q ๐ต))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456   class class class wbr 4003  โ€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  Qcnq 7278  1Qc1q 7279   ยทQ cmq 7281  *Qcrq 7282   <Q cltq 7283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-eprel 4289  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-omul 6421  df-er 6534  df-ec 6536  df-qs 6540  df-ni 7302  df-pli 7303  df-mi 7304  df-lti 7305  df-plpq 7342  df-mpq 7343  df-enq 7345  df-nqqs 7346  df-plqqs 7347  df-mqqs 7348  df-1nqqs 7349  df-rq 7350  df-ltnqqs 7351
This theorem is referenced by:  appdiv0nq  7562  mullocpr  7569
  Copyright terms: Public domain W3C validator