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Theorem appdivnq 7394
Description: Approximate division for positive rationals. Proposition 12.7 of [BauerTaylor], p. 55 (a special case where 𝐴 and 𝐵 are positive, as well as 𝐶). Our proof is simpler than the one in BauerTaylor because we have reciprocals. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
appdivnq ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → ∃𝑚Q (𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝐵,𝑚   𝐶,𝑚

Proof of Theorem appdivnq
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . . 4 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → 𝐴 <Q 𝐵)
2 ltrelnq 7196 . . . . . . . 8 <Q ⊆ (Q × Q)
32brel 4598 . . . . . . 7 (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴Q𝐵Q))
43adantr 274 . . . . . 6 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → (𝐴Q𝐵Q))
54simpld 111 . . . . 5 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → 𝐴Q)
64simprd 113 . . . . 5 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → 𝐵Q)
7 recclnq 7223 . . . . . 6 (𝐶Q → (*Q𝐶) ∈ Q)
87adantl 275 . . . . 5 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → (*Q𝐶) ∈ Q)
9 ltmnqg 7232 . . . . 5 ((𝐴Q𝐵Q ∧ (*Q𝐶) ∈ Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)))
105, 6, 8, 9syl3anc 1217 . . . 4 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)))
111, 10mpbid 146 . . 3 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → ((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵))
12 ltbtwnnqq 7246 . . 3 (((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵) ↔ ∃𝑚Q (((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)))
1311, 12sylib 121 . 2 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → ∃𝑚Q (((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)))
148adantr 274 . . . . . . . . 9 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (*Q𝐶) ∈ Q)
155adantr 274 . . . . . . . . 9 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → 𝐴Q)
16 mulclnq 7207 . . . . . . . . 9 (((*Q𝐶) ∈ Q𝐴Q) → ((*Q𝐶) ·Q 𝐴) ∈ Q)
1714, 15, 16syl2anc 409 . . . . . . . 8 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((*Q𝐶) ·Q 𝐴) ∈ Q)
18 simpr 109 . . . . . . . 8 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → 𝑚Q)
19 simplr 520 . . . . . . . 8 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → 𝐶Q)
20 ltmnqg 7232 . . . . . . . 8 ((((*Q𝐶) ·Q 𝐴) ∈ Q𝑚Q𝐶Q) → (((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚 ↔ (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐴)) <Q (𝐶 ·Q 𝑚)))
2117, 18, 19, 20syl3anc 1217 . . . . . . 7 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚 ↔ (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐴)) <Q (𝐶 ·Q 𝑚)))
22 recidnq 7224 . . . . . . . . . . 11 (𝐶Q → (𝐶 ·Q (*Q𝐶)) = 1Q)
2322oveq1d 5796 . . . . . . . . . 10 (𝐶Q → ((𝐶 ·Q (*Q𝐶)) ·Q 𝐴) = (1Q ·Q 𝐴))
2423ad2antlr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((𝐶 ·Q (*Q𝐶)) ·Q 𝐴) = (1Q ·Q 𝐴))
25 mulassnqg 7215 . . . . . . . . . 10 ((𝐶Q ∧ (*Q𝐶) ∈ Q𝐴Q) → ((𝐶 ·Q (*Q𝐶)) ·Q 𝐴) = (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐴)))
2619, 14, 15, 25syl3anc 1217 . . . . . . . . 9 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((𝐶 ·Q (*Q𝐶)) ·Q 𝐴) = (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐴)))
27 1nq 7197 . . . . . . . . . . . 12 1QQ
28 mulcomnqg 7214 . . . . . . . . . . . 12 ((1QQ𝐴Q) → (1Q ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q 1Q))
2927, 28mpan 421 . . . . . . . . . . 11 (𝐴Q → (1Q ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q 1Q))
30 mulidnq 7220 . . . . . . . . . . 11 (𝐴Q → (𝐴 ·Q 1Q) = 𝐴)
3129, 30eqtrd 2173 . . . . . . . . . 10 (𝐴Q → (1Q ·Q 𝐴) = 𝐴)
3215, 31syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (1Q ·Q 𝐴) = 𝐴)
3324, 26, 323eqtr3d 2181 . . . . . . . 8 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐴)) = 𝐴)
3433breq1d 3946 . . . . . . 7 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐴)) <Q (𝐶 ·Q 𝑚) ↔ 𝐴 <Q (𝐶 ·Q 𝑚)))
3521, 34bitrd 187 . . . . . 6 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚𝐴 <Q (𝐶 ·Q 𝑚)))
366adantr 274 . . . . . . . . 9 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → 𝐵Q)
37 mulclnq 7207 . . . . . . . . 9 (((*Q𝐶) ∈ Q𝐵Q) → ((*Q𝐶) ·Q 𝐵) ∈ Q)
3814, 36, 37syl2anc 409 . . . . . . . 8 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((*Q𝐶) ·Q 𝐵) ∈ Q)
39 ltmnqg 7232 . . . . . . . 8 ((𝑚Q ∧ ((*Q𝐶) ·Q 𝐵) ∈ Q𝐶Q) → (𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵) ↔ (𝐶 ·Q 𝑚) <Q (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵))))
4018, 38, 19, 39syl3anc 1217 . . . . . . 7 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵) ↔ (𝐶 ·Q 𝑚) <Q (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵))))
4122oveq1d 5796 . . . . . . . . . 10 (𝐶Q → ((𝐶 ·Q (*Q𝐶)) ·Q 𝐵) = (1Q ·Q 𝐵))
4241ad2antlr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((𝐶 ·Q (*Q𝐶)) ·Q 𝐵) = (1Q ·Q 𝐵))
43 mulassnqg 7215 . . . . . . . . . 10 ((𝐶Q ∧ (*Q𝐶) ∈ Q𝐵Q) → ((𝐶 ·Q (*Q𝐶)) ·Q 𝐵) = (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)))
4419, 14, 36, 43syl3anc 1217 . . . . . . . . 9 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((𝐶 ·Q (*Q𝐶)) ·Q 𝐵) = (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)))
45 mulcomnqg 7214 . . . . . . . . . . . 12 ((1QQ𝐵Q) → (1Q ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 1Q))
4627, 45mpan 421 . . . . . . . . . . 11 (𝐵Q → (1Q ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 1Q))
47 mulidnq 7220 . . . . . . . . . . 11 (𝐵Q → (𝐵 ·Q 1Q) = 𝐵)
4846, 47eqtrd 2173 . . . . . . . . . 10 (𝐵Q → (1Q ·Q 𝐵) = 𝐵)
4936, 48syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (1Q ·Q 𝐵) = 𝐵)
5042, 44, 493eqtr3d 2181 . . . . . . . 8 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)) = 𝐵)
5150breq2d 3948 . . . . . . 7 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((𝐶 ·Q 𝑚) <Q (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)) ↔ (𝐶 ·Q 𝑚) <Q 𝐵))
5240, 51bitrd 187 . . . . . 6 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵) ↔ (𝐶 ·Q 𝑚) <Q 𝐵))
5335, 52anbi12d 465 . . . . 5 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)) ↔ (𝐴 <Q (𝐶 ·Q 𝑚) ∧ (𝐶 ·Q 𝑚) <Q 𝐵)))
54 mulcomnqg 7214 . . . . . . . 8 ((𝐶Q𝑚Q) → (𝐶 ·Q 𝑚) = (𝑚 ·Q 𝐶))
5519, 18, 54syl2anc 409 . . . . . . 7 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (𝐶 ·Q 𝑚) = (𝑚 ·Q 𝐶))
5655breq2d 3948 . . . . . 6 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (𝐴 <Q (𝐶 ·Q 𝑚) ↔ 𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶)))
5755breq1d 3946 . . . . . 6 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((𝐶 ·Q 𝑚) <Q 𝐵 ↔ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵))
5856, 57anbi12d 465 . . . . 5 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((𝐴 <Q (𝐶 ·Q 𝑚) ∧ (𝐶 ·Q 𝑚) <Q 𝐵) ↔ (𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵)))
5953, 58bitrd 187 . . . 4 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)) ↔ (𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵)))
6059biimpd 143 . . 3 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)) → (𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵)))
6160reximdva 2537 . 2 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → (∃𝑚Q (((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)) → ∃𝑚Q (𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵)))
6213, 61mpd 13 1 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → ∃𝑚Q (𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1332  wcel 1481  wrex 2418   class class class wbr 3936  cfv 5130  (class class class)co 5781  Qcnq 7111  1Qc1q 7112   ·Q cmq 7114  *Qcrq 7115   <Q cltq 7116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-eprel 4218  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-irdg 6274  df-1o 6320  df-oadd 6324  df-omul 6325  df-er 6436  df-ec 6438  df-qs 6442  df-ni 7135  df-pli 7136  df-mi 7137  df-lti 7138  df-plpq 7175  df-mpq 7176  df-enq 7178  df-nqqs 7179  df-plqqs 7180  df-mqqs 7181  df-1nqqs 7182  df-rq 7183  df-ltnqqs 7184
This theorem is referenced by:  appdiv0nq  7395  mullocpr  7402
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