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Theorem appdivnq 7553
Description: Approximate division for positive rationals. Proposition 12.7 of [BauerTaylor], p. 55 (a special case where 𝐴 and 𝐵 are positive, as well as 𝐶). Our proof is simpler than the one in BauerTaylor because we have reciprocals. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
appdivnq ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → ∃𝑚Q (𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝐵,𝑚   𝐶,𝑚

Proof of Theorem appdivnq
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . . 4 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → 𝐴 <Q 𝐵)
2 ltrelnq 7355 . . . . . . . 8 <Q ⊆ (Q × Q)
32brel 4675 . . . . . . 7 (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴Q𝐵Q))
43adantr 276 . . . . . 6 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → (𝐴Q𝐵Q))
54simpld 112 . . . . 5 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → 𝐴Q)
64simprd 114 . . . . 5 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → 𝐵Q)
7 recclnq 7382 . . . . . 6 (𝐶Q → (*Q𝐶) ∈ Q)
87adantl 277 . . . . 5 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → (*Q𝐶) ∈ Q)
9 ltmnqg 7391 . . . . 5 ((𝐴Q𝐵Q ∧ (*Q𝐶) ∈ Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)))
105, 6, 8, 9syl3anc 1238 . . . 4 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)))
111, 10mpbid 147 . . 3 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → ((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵))
12 ltbtwnnqq 7405 . . 3 (((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵) ↔ ∃𝑚Q (((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)))
1311, 12sylib 122 . 2 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → ∃𝑚Q (((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)))
148adantr 276 . . . . . . . . 9 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (*Q𝐶) ∈ Q)
155adantr 276 . . . . . . . . 9 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → 𝐴Q)
16 mulclnq 7366 . . . . . . . . 9 (((*Q𝐶) ∈ Q𝐴Q) → ((*Q𝐶) ·Q 𝐴) ∈ Q)
1714, 15, 16syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((*Q𝐶) ·Q 𝐴) ∈ Q)
18 simpr 110 . . . . . . . 8 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → 𝑚Q)
19 simplr 528 . . . . . . . 8 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → 𝐶Q)
20 ltmnqg 7391 . . . . . . . 8 ((((*Q𝐶) ·Q 𝐴) ∈ Q𝑚Q𝐶Q) → (((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚 ↔ (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐴)) <Q (𝐶 ·Q 𝑚)))
2117, 18, 19, 20syl3anc 1238 . . . . . . 7 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚 ↔ (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐴)) <Q (𝐶 ·Q 𝑚)))
22 recidnq 7383 . . . . . . . . . . 11 (𝐶Q → (𝐶 ·Q (*Q𝐶)) = 1Q)
2322oveq1d 5884 . . . . . . . . . 10 (𝐶Q → ((𝐶 ·Q (*Q𝐶)) ·Q 𝐴) = (1Q ·Q 𝐴))
2423ad2antlr 489 . . . . . . . . 9 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((𝐶 ·Q (*Q𝐶)) ·Q 𝐴) = (1Q ·Q 𝐴))
25 mulassnqg 7374 . . . . . . . . . 10 ((𝐶Q ∧ (*Q𝐶) ∈ Q𝐴Q) → ((𝐶 ·Q (*Q𝐶)) ·Q 𝐴) = (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐴)))
2619, 14, 15, 25syl3anc 1238 . . . . . . . . 9 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((𝐶 ·Q (*Q𝐶)) ·Q 𝐴) = (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐴)))
27 1nq 7356 . . . . . . . . . . . 12 1QQ
28 mulcomnqg 7373 . . . . . . . . . . . 12 ((1QQ𝐴Q) → (1Q ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q 1Q))
2927, 28mpan 424 . . . . . . . . . . 11 (𝐴Q → (1Q ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q 1Q))
30 mulidnq 7379 . . . . . . . . . . 11 (𝐴Q → (𝐴 ·Q 1Q) = 𝐴)
3129, 30eqtrd 2210 . . . . . . . . . 10 (𝐴Q → (1Q ·Q 𝐴) = 𝐴)
3215, 31syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (1Q ·Q 𝐴) = 𝐴)
3324, 26, 323eqtr3d 2218 . . . . . . . 8 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐴)) = 𝐴)
3433breq1d 4010 . . . . . . 7 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐴)) <Q (𝐶 ·Q 𝑚) ↔ 𝐴 <Q (𝐶 ·Q 𝑚)))
3521, 34bitrd 188 . . . . . 6 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚𝐴 <Q (𝐶 ·Q 𝑚)))
366adantr 276 . . . . . . . . 9 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → 𝐵Q)
37 mulclnq 7366 . . . . . . . . 9 (((*Q𝐶) ∈ Q𝐵Q) → ((*Q𝐶) ·Q 𝐵) ∈ Q)
3814, 36, 37syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((*Q𝐶) ·Q 𝐵) ∈ Q)
39 ltmnqg 7391 . . . . . . . 8 ((𝑚Q ∧ ((*Q𝐶) ·Q 𝐵) ∈ Q𝐶Q) → (𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵) ↔ (𝐶 ·Q 𝑚) <Q (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵))))
4018, 38, 19, 39syl3anc 1238 . . . . . . 7 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵) ↔ (𝐶 ·Q 𝑚) <Q (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵))))
4122oveq1d 5884 . . . . . . . . . 10 (𝐶Q → ((𝐶 ·Q (*Q𝐶)) ·Q 𝐵) = (1Q ·Q 𝐵))
4241ad2antlr 489 . . . . . . . . 9 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((𝐶 ·Q (*Q𝐶)) ·Q 𝐵) = (1Q ·Q 𝐵))
43 mulassnqg 7374 . . . . . . . . . 10 ((𝐶Q ∧ (*Q𝐶) ∈ Q𝐵Q) → ((𝐶 ·Q (*Q𝐶)) ·Q 𝐵) = (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)))
4419, 14, 36, 43syl3anc 1238 . . . . . . . . 9 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((𝐶 ·Q (*Q𝐶)) ·Q 𝐵) = (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)))
45 mulcomnqg 7373 . . . . . . . . . . . 12 ((1QQ𝐵Q) → (1Q ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 1Q))
4627, 45mpan 424 . . . . . . . . . . 11 (𝐵Q → (1Q ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 1Q))
47 mulidnq 7379 . . . . . . . . . . 11 (𝐵Q → (𝐵 ·Q 1Q) = 𝐵)
4846, 47eqtrd 2210 . . . . . . . . . 10 (𝐵Q → (1Q ·Q 𝐵) = 𝐵)
4936, 48syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (1Q ·Q 𝐵) = 𝐵)
5042, 44, 493eqtr3d 2218 . . . . . . . 8 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)) = 𝐵)
5150breq2d 4012 . . . . . . 7 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((𝐶 ·Q 𝑚) <Q (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)) ↔ (𝐶 ·Q 𝑚) <Q 𝐵))
5240, 51bitrd 188 . . . . . 6 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵) ↔ (𝐶 ·Q 𝑚) <Q 𝐵))
5335, 52anbi12d 473 . . . . 5 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)) ↔ (𝐴 <Q (𝐶 ·Q 𝑚) ∧ (𝐶 ·Q 𝑚) <Q 𝐵)))
54 mulcomnqg 7373 . . . . . . . 8 ((𝐶Q𝑚Q) → (𝐶 ·Q 𝑚) = (𝑚 ·Q 𝐶))
5519, 18, 54syl2anc 411 . . . . . . 7 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (𝐶 ·Q 𝑚) = (𝑚 ·Q 𝐶))
5655breq2d 4012 . . . . . 6 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (𝐴 <Q (𝐶 ·Q 𝑚) ↔ 𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶)))
5755breq1d 4010 . . . . . 6 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((𝐶 ·Q 𝑚) <Q 𝐵 ↔ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵))
5856, 57anbi12d 473 . . . . 5 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((𝐴 <Q (𝐶 ·Q 𝑚) ∧ (𝐶 ·Q 𝑚) <Q 𝐵) ↔ (𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵)))
5953, 58bitrd 188 . . . 4 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)) ↔ (𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵)))
6059biimpd 144 . . 3 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)) → (𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵)))
6160reximdva 2579 . 2 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → (∃𝑚Q (((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)) → ∃𝑚Q (𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵)))
6213, 61mpd 13 1 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → ∃𝑚Q (𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  wrex 2456   class class class wbr 4000  cfv 5212  (class class class)co 5869  Qcnq 7270  1Qc1q 7271   ·Q cmq 7273  *Qcrq 7274   <Q cltq 7275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-eprel 4286  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-omul 6416  df-er 6529  df-ec 6531  df-qs 6535  df-ni 7294  df-pli 7295  df-mi 7296  df-lti 7297  df-plpq 7334  df-mpq 7335  df-enq 7337  df-nqqs 7338  df-plqqs 7339  df-mqqs 7340  df-1nqqs 7341  df-rq 7342  df-ltnqqs 7343
This theorem is referenced by:  appdiv0nq  7554  mullocpr  7561
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