Theorem mulg0 13648

Description: Group multiple (exponentiation) operation at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulg0.b	|- B = ( Base ` G )
mulg0.o	|- .0. = ( 0g ` G )
mulg0.t	|- .x. = (.g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulg0	|- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = .0. )

Proof of Theorem mulg0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9445	. 2 |- 0 e. ZZ
2		mulg0.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
3		eqid 2229	. . . 4 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
4		mulg0.o	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` G )
5		eqid 2229	. . . 4 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
6		mulg0.t	. . . 4 |- .x. = (.g ` G )
7		eqid 2229	. . . 4 |- seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) = seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) )
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	mulgval 13645	. . 3 |- ( ( 0 e. ZZ /\ X e. B ) -> ( 0 .x. X ) = if ( 0 = 0 , .0. , if ( 0 < 0 , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` 0 ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` -u 0 ) ) ) ) )
9		eqid 2229	. . . 4 |- 0 = 0
10	9	iftruei 3608	. . 3 |- if ( 0 = 0 , .0. , if ( 0 < 0 , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` 0 ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` -u 0 ) ) ) ) = .0.
11	8, 10	eqtrdi 2278	. 2 |- ( ( 0 e. ZZ /\ X e. B ) -> ( 0 .x. X ) = .0. )
12	1, 11	mpan 424	1 |- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   ifcif 3602   {csn 3666   class class class wbr 4082   X. cxp 4714   ` cfv 5314  (class class class)co 5994   0cc0 7987   1c1 7988   < clt 8169   -ucneg 8306   NNcn 9098   ZZcz 9434   seqcseq 10656   Basecbs 13018   +g cplusg 13096   0gc0g 13275   invgcminusg 13520  ._gcmg 13642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-addcom 8087  ax-addass 8089  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-ltadd 8103

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-frec 6527  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-inn 9099  df-2 9157  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-seqfrec 10657  df-ndx 13021  df-slot 13022  df-base 13024  df-plusg 13109  df-0g 13277  df-minusg 13523  df-mulg 13643

This theorem is referenced by:  mulgnn0gsum  13651  mulgnn0p1  13656  mulgnn0subcl  13658  mulgneg  13663  mulgaddcom  13669  mulginvcom  13670  mulgnn0z  13672  mulgnn0dir  13675  mulgneg2  13679  mulgnn0ass  13681  mhmmulg  13686  submmulg  13689  srgmulgass  13938  srgpcomp  13939  mulgass2  14007  lmodvsmmulgdi  14272  cnfldmulg  14525  cnfldexp  14526