Theorem mulg0 12982

Description: Group multiple (exponentiation) operation at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulg0.b	|- B = ( Base ` G )
mulg0.o	|- .0. = ( 0g ` G )
mulg0.t	|- .x. = (.g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulg0	|- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = .0. )

Proof of Theorem mulg0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9262	. 2 |- 0 e. ZZ
2		mulg0.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
3		eqid 2177	. . . 4 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
4		mulg0.o	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` G )
5		eqid 2177	. . . 4 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
6		mulg0.t	. . . 4 |- .x. = (.g ` G )
7		eqid 2177	. . . 4 |- seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) = seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) )
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	mulgval 12980	. . 3 |- ( ( 0 e. ZZ /\ X e. B ) -> ( 0 .x. X ) = if ( 0 = 0 , .0. , if ( 0 < 0 , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` 0 ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` -u 0 ) ) ) ) )
9		eqid 2177	. . . 4 |- 0 = 0
10	9	iftruei 3540	. . 3 |- if ( 0 = 0 , .0. , if ( 0 < 0 , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` 0 ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` -u 0 ) ) ) ) = .0.
11	8, 10	eqtrdi 2226	. 2 |- ( ( 0 e. ZZ /\ X e. B ) -> ( 0 .x. X ) = .0. )
12	1, 11	mpan 424	1 |- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   ifcif 3534   {csn 3592   class class class wbr 4003   X. cxp 4624   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   0cc0 7810   1c1 7811   < clt 7990   -ucneg 8127   NNcn 8917   ZZcz 9251   seqcseq 10442   Basecbs 12456   +g cplusg 12530   0gc0g 12699   invgcminusg 12872  ._gcmg 12977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-inn 8918  df-2 8976  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-seqfrec 10443  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462  df-plusg 12543  df-0g 12701  df-minusg 12875  df-mulg 12978

This theorem is referenced by:  mulgnn0p1  12988  mulgnn0subcl  12990  mulgneg  12995  mulgaddcom  13000  mulginvcom  13001  mulgnn0z  13003  mulgnn0dir  13006  mulgneg2  13010  mulgnn0ass  13012  mhmmulg  13017  srgmulgass  13165  srgpcomp  13166  mulgass2  13228  cnfldmulg  13401  cnfldexp  13402