Theorem mulg0 13711

Description: Group multiple (exponentiation) operation at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulg0.b	|- B = ( Base ` G )
mulg0.o	|- .0. = ( 0g ` G )
mulg0.t	|- .x. = (.g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulg0	|- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = .0. )

Proof of Theorem mulg0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9489	. 2 |- 0 e. ZZ
2		mulg0.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
3		eqid 2231	. . . 4 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
4		mulg0.o	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` G )
5		eqid 2231	. . . 4 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
6		mulg0.t	. . . 4 |- .x. = (.g ` G )
7		eqid 2231	. . . 4 |- seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) = seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) )
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	mulgval 13708	. . 3 |- ( ( 0 e. ZZ /\ X e. B ) -> ( 0 .x. X ) = if ( 0 = 0 , .0. , if ( 0 < 0 , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` 0 ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` -u 0 ) ) ) ) )
9		eqid 2231	. . . 4 |- 0 = 0
10	9	iftruei 3611	. . 3 |- if ( 0 = 0 , .0. , if ( 0 < 0 , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` 0 ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` -u 0 ) ) ) ) = .0.
11	8, 10	eqtrdi 2280	. 2 |- ( ( 0 e. ZZ /\ X e. B ) -> ( 0 .x. X ) = .0. )
12	1, 11	mpan 424	1 |- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   ifcif 3605   {csn 3669   class class class wbr 4088   X. cxp 4723   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   0cc0 8031   1c1 8032   < clt 8213   -ucneg 8350   NNcn 9142   ZZcz 9478   seqcseq 10708   Basecbs 13081   +g cplusg 13159   0gc0g 13338   invgcminusg 13583  ._gcmg 13705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-2 9201  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-seqfrec 10709  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-plusg 13172  df-0g 13340  df-minusg 13586  df-mulg 13706

This theorem is referenced by:  mulgnn0gsum  13714  mulgnn0p1  13719  mulgnn0subcl  13721  mulgneg  13726  mulgaddcom  13732  mulginvcom  13733  mulgnn0z  13735  mulgnn0dir  13738  mulgneg2  13742  mulgnn0ass  13744  mhmmulg  13749  submmulg  13752  srgmulgass  14001  srgpcomp  14002  mulgass2  14070  lmodvsmmulgdi  14336  cnfldmulg  14589  cnfldexp  14590