Theorem qavgle 10671

Description: The average of two rational numbers is less than or equal to at least one of them. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
qavgle	|- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( ( ( A + B ) / 2 ) <_ A \/ ( ( A + B ) / 2 ) <_ B ) )

Proof of Theorem qavgle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qletric 10654	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A <_ B \/ B <_ A ) )
2	1	orcomd 741	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( B <_ A \/ A <_ B ) )
3		qre 10004	. . . . . 6 |- ( B e. QQ -> B e. RR )
4	3	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> B e. RR )
5		qre 10004	. . . . . 6 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
6	5	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> A e. RR )
7		avgle2 9526	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B <_ A <-> ( ( B + A ) / 2 ) <_ A ) )
8	4, 6, 7	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( B <_ A <-> ( ( B + A ) / 2 ) <_ A ) )
9		qcn 10013	. . . . . . . 8 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
10	9	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> A e. CC )
11		qcn 10013	. . . . . . . 8 |- ( B e. QQ -> B e. CC )
12	11	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> B e. CC )
13	10, 12	addcomd 8467	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A + B ) = ( B + A ) )
14	13	oveq1d 6090	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( ( A + B ) / 2 ) = ( ( B + A ) / 2 ) )
15	14	breq1d 4135	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( ( ( A + B ) / 2 ) <_ A <-> ( ( B + A ) / 2 ) <_ A ) )
16	8, 15	bitr4d 191	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( B <_ A <-> ( ( A + B ) / 2 ) <_ A ) )
17		avgle2 9526	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( ( A + B ) / 2 ) <_ B ) )
18	6, 4, 17	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A <_ B <-> ( ( A + B ) / 2 ) <_ B ) )
19	16, 18	orbi12d 805	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( ( B <_ A \/ A <_ B ) <-> ( ( ( A + B ) / 2 ) <_ A \/ ( ( A + B ) / 2 ) <_ B ) ) )
20	2, 19	mpbid 147	1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( ( ( A + B ) / 2 ) <_ A \/ ( ( A + B ) / 2 ) <_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   e. wcel 2209   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075   CCcc 8167   RRcr 8168   + caddc 8172   <_ cle 8351   / cdiv 8992   2c2 9334   QQcq 9998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624  df-q 9999  df-rp 10034

This theorem is referenced by:  facavg  11162