Theorem qavgle 10399

Description: The average of two rational numbers is less than or equal to at least one of them. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
qavgle	|- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( ( ( A + B ) / 2 ) <_ A \/ ( ( A + B ) / 2 ) <_ B ) )

Proof of Theorem qavgle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qletric 10382	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A <_ B \/ B <_ A ) )
2	1	orcomd 730	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( B <_ A \/ A <_ B ) )
3		qre 9745	. . . . . 6 |- ( B e. QQ -> B e. RR )
4	3	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> B e. RR )
5		qre 9745	. . . . . 6 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
6	5	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> A e. RR )
7		avgle2 9278	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B <_ A <-> ( ( B + A ) / 2 ) <_ A ) )
8	4, 6, 7	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( B <_ A <-> ( ( B + A ) / 2 ) <_ A ) )
9		qcn 9754	. . . . . . . 8 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
10	9	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> A e. CC )
11		qcn 9754	. . . . . . . 8 |- ( B e. QQ -> B e. CC )
12	11	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> B e. CC )
13	10, 12	addcomd 8222	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A + B ) = ( B + A ) )
14	13	oveq1d 5958	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( ( A + B ) / 2 ) = ( ( B + A ) / 2 ) )
15	14	breq1d 4053	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( ( ( A + B ) / 2 ) <_ A <-> ( ( B + A ) / 2 ) <_ A ) )
16	8, 15	bitr4d 191	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( B <_ A <-> ( ( A + B ) / 2 ) <_ A ) )
17		avgle2 9278	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( ( A + B ) / 2 ) <_ B ) )
18	6, 4, 17	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A <_ B <-> ( ( A + B ) / 2 ) <_ B ) )
19	16, 18	orbi12d 794	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( ( B <_ A \/ A <_ B ) <-> ( ( ( A + B ) / 2 ) <_ A \/ ( ( A + B ) / 2 ) <_ B ) ) )
20	2, 19	mpbid 147	1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( ( ( A + B ) / 2 ) <_ A \/ ( ( A + B ) / 2 ) <_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   e. wcel 2175   class class class wbr 4043  (class class class)co 5943   CCcc 7922   RRcr 7923   + caddc 7927   <_ cle 8107   / cdiv 8744   2c2 9086   QQcq 9739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-n0 9295  df-z 9372  df-q 9740  df-rp 9775

This theorem is referenced by:  facavg  10889