Theorem axcaucvglemf 8083

Description: Lemma for axcaucvg 8087. Mapping to N. and R. yields a sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
axcaucvg.n	|- N = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
axcaucvg.f	|- ( ph -> F : N --> RR )
axcaucvg.cau	|- ( ph -> A. n e. N A. k e. N ( n <RR k -> ( ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) /\ ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) ) ) )
axcaucvg.g	|- G = ( j e. N. |-> ( iota_ z e. R. ( F ` <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. j , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. j , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) = <. z , 0R >. ) )

Assertion

Ref	Expression
axcaucvglemf	|- ( ph -> G : N. --> R. )

Distinct variable groups:   ph, j   z, F   j, l, u, z   y, l, u   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, u, k, n, r, l)   F( x, y, u, j, k, n, r, l)   G( x, y, z, u, j, k, n, r, l)   N( x, y, z, u, j, k, n, r, l)

Proof of Theorem axcaucvglemf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axcaucvg.n	. . 3 |- N = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
2		axcaucvg.f	. . 3 |- ( ph -> F : N --> RR )
3	1, 2	axcaucvglemcl 8082	. 2 |- ( ( ph /\ j e. N. ) -> ( iota_ z e. R. ( F ` <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. j , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. j , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) = <. z , 0R >. ) e. R. )
4		axcaucvg.g	. 2 |- G = ( j e. N. |-> ( iota_ z e. R. ( F ` <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. j , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. j , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) = <. z , 0R >. ) )
5	3, 4	fmptd 5789	1 |- ( ph -> G : N. --> R. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   {cab 2215   A.wral 2508   <.cop 3669   |^|cint 3923   class class class wbr 4083   |-> cmpt 4145   -->wf 5314   ` cfv 5318   iota_crio 5953  (class class class)co 6001   1oc1o 6555   [cec 6678   N.cnpi 7459   ~Q ceq 7466   <Q cltq 7472   1Pc1p 7479   +P. cpp 7480   ~R cer 7483   R.cnr 7484   0Rc0r 7485   RRcr 7998   1c1 8000   + caddc 8002   <RR cltrr 8003   x. cmul 8004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-eprel 4380  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-irdg 6516  df-1o 6562  df-2o 6563  df-oadd 6566  df-omul 6567  df-er 6680  df-ec 6682  df-qs 6686  df-ni 7491  df-pli 7492  df-mi 7493  df-lti 7494  df-plpq 7531  df-mpq 7532  df-enq 7534  df-nqqs 7535  df-plqqs 7536  df-mqqs 7537  df-1nqqs 7538  df-rq 7539  df-ltnqqs 7540  df-enq0 7611  df-nq0 7612  df-0nq0 7613  df-plq0 7614  df-mq0 7615  df-inp 7653  df-i1p 7654  df-iplp 7655  df-enr 7913  df-nr 7914  df-plr 7915  df-0r 7918  df-1r 7919  df-c 8005  df-1 8007  df-r 8009  df-add 8010

This theorem is referenced by:  axcaucvglemcau  8085  axcaucvglemres  8086