Theorem axcaucvglemf 8044

Description: Lemma for axcaucvg 8048. Mapping to N. and R. yields a sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
axcaucvg.n	|- N = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
axcaucvg.f	|- ( ph -> F : N --> RR )
axcaucvg.cau	|- ( ph -> A. n e. N A. k e. N ( n <RR k -> ( ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) /\ ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) ) ) )
axcaucvg.g	|- G = ( j e. N. |-> ( iota_ z e. R. ( F ` <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. j , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. j , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) = <. z , 0R >. ) )

Assertion

Ref	Expression
axcaucvglemf	|- ( ph -> G : N. --> R. )

Distinct variable groups:   ph, j   z, F   j, l, u, z   y, l, u   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, u, k, n, r, l)   F( x, y, u, j, k, n, r, l)   G( x, y, z, u, j, k, n, r, l)   N( x, y, z, u, j, k, n, r, l)

Proof of Theorem axcaucvglemf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axcaucvg.n	. . 3 |- N = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
2		axcaucvg.f	. . 3 |- ( ph -> F : N --> RR )
3	1, 2	axcaucvglemcl 8043	. 2 |- ( ( ph /\ j e. N. ) -> ( iota_ z e. R. ( F ` <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. j , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. j , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) = <. z , 0R >. ) e. R. )
4		axcaucvg.g	. 2 |- G = ( j e. N. |-> ( iota_ z e. R. ( F ` <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. j , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. j , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) = <. z , 0R >. ) )
5	3, 4	fmptd 5757	1 |- ( ph -> G : N. --> R. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   {cab 2193   A.wral 2486   <.cop 3646   |^|cint 3899   class class class wbr 4059   |-> cmpt 4121   -->wf 5286   ` cfv 5290   iota_crio 5921  (class class class)co 5967   1oc1o 6518   [cec 6641   N.cnpi 7420   ~Q ceq 7427   <Q cltq 7433   1Pc1p 7440   +P. cpp 7441   ~R cer 7444   R.cnr 7445   0Rc0r 7446   RRcr 7959   1c1 7961   + caddc 7963   <RR cltrr 7964   x. cmul 7965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-eprel 4354  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-1o 6525  df-2o 6526  df-oadd 6529  df-omul 6530  df-er 6643  df-ec 6645  df-qs 6649  df-ni 7452  df-pli 7453  df-mi 7454  df-lti 7455  df-plpq 7492  df-mpq 7493  df-enq 7495  df-nqqs 7496  df-plqqs 7497  df-mqqs 7498  df-1nqqs 7499  df-rq 7500  df-ltnqqs 7501  df-enq0 7572  df-nq0 7573  df-0nq0 7574  df-plq0 7575  df-mq0 7576  df-inp 7614  df-i1p 7615  df-iplp 7616  df-enr 7874  df-nr 7875  df-plr 7876  df-0r 7879  df-1r 7880  df-c 7966  df-1 7968  df-r 7970  df-add 7971

This theorem is referenced by:  axcaucvglemcau  8046  axcaucvglemres  8047